初三上学期数学期中考试题

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山东省泰安市东平县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024~2025学年第一学期期中质量检测九年级数学试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟；2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡或答题纸交回．第I 卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）1．若点A 不在双曲线上，则点A 的坐标可能为（）A ．B ．C ．D ．2．在中，，若的度数为（）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（）A ．B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当时，y 随x 的增大而增大D ．当时，4．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（）A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线，下列结论中错误的是（）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线C ．抛物线的顶点坐标为D ．当时，y 随x 的增大而增大6．如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（）8y x=-(2,4)-(2,4)--(4,2)-(8,1)-ABC V 90C ∠=︒cos B =B ∠30︒45︒60︒70︒ky x=(2,3)--6k =0x >2x <-30y -<<1:3i =9m 3m9m2(1)3y x =-++1x =-(1,3)-1x >-2m 4m米．AB ．C ．2D ．37．如图是三个反比例函数在x 轴上方的图象，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（）ABC ．D ．9．如图，函数和（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，O 为坐标原点，四边形是菱形，在x 轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点A ，与交于点F ，则面积等于（）312123,,k k ky y y x x x===123,,k k k 123k k k >>231k k k >>132k k k >>312k k k >>A B O 、、AOB ∠1312231y ax x =-+y ax a =--0a ≠OACB OB 4sin 5AOB ∠=12y x=BC AOF VA ．12B ．10C ．20D ．2411．如图，一艘军舰在A 处测得小岛P 位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达B 处，此时测得小岛P 位于南偏西方向，则小岛P 离观测点A 的距离是（）A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里12．己知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（m 为任意实数）；⑤若是抛物线上三点，则；其中正确的结论的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．以上都不对第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）13．关于x 的函数是二次函数，则m 的值是_______．14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x 轴负半轴的夹角的正切值为，则m 的值为_______．60︒75︒20)-2(0)y ax bx c a =++≠0abc >420a b c -+>30a c +>2am bm a b +>+()()()1235,,2,,3,y y y --123y y y >>21(1)5m y m x+=-+(,8)P m OP α4315．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，过点A 作轴于点C ，则的面积是_______．16．如图，菱形中，E 为延长线上的一个动点，连接交于点F ，若为直角三角形，则的长为_______．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 为第一象限内一点，连接，过点A 作轴于点，反比例函数的图象经过的中点C ，且与交于点D ，则线段的长为_______．18．如图，已知抛物线，点P 是抛物线上一动点．当点P 在第二象限，时，点P 的坐标是_______．y x =4y x=A B 、AC x ⊥BOC V ABCD 10,sin AB ABD =∠=BC AE BD CEF V BE ,10OA OA =AB x ⊥,8B OB =(0)ky k x=>OA AB BD 234y x x =--+45PBA ∠=︒三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（1）（2）．20．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．（1）写出这个一次函数的表达式；（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；（3）求的面积．21．如图，在中，平分，交于点E ，交的延长线于点F ．（1）求证：；（2）若，求平行四边形的面积．22．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．（1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；22tan 602cos 452sin 60cos 60︒+︒︒-︒23tan 30tan 452sin 60︒-︒+︒y kx b =+2y x=-(1,),(,1)A m B n --ABO V ABCD Y DF ADC ∠BC AB AD AF =63120AD AB A ==∠=︒，，ABCD 20C ︒100C ︒(C)y ︒(min)x 20C ︒(C)y ︒(min)x (C)y ︒(min)x（2）若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？23．已知抛物线的顶点坐标是，且这条抛物线和x 轴的一个交点坐标是，另一个交点是A ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点A 的坐标和对称轴；（3）求当时，直接写出函数值的取值范围．24．如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，某海岛上的观测塔A 距离海岸5海里，在A 处测得B 位于南偏西方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在A 处测得C 位于南偏东方向．求此时观测塔A 与渔船C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：25．如图，已知抛物线与x 轴交于两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点D 作轴于点F ，交直线于点E ，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．2024~2025学年第一学期九年级期中测试数学试题参考答案20C ︒100C ︒20C ︒40C ︒2y ax bx c =++(2,1)(3,0)B 23x -<<,B D 22︒67︒315212512sin 22,cos 22,tan 22,sin 67,cos 67,tan 67816513135⎛⎫︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈ ⎪⎝⎭25y ax bx =++(1,0),(5,0)A B -,C B DF x ⊥BC BD BC BDF V 2:3MBC V一、选择（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）题号123456789101112答案BACADBBBDBBC二、填空（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）13．14．15．216．或3017．18．三、解答题（本大题共7小题，共78分．）19．解：（1）原式…4分（2）原式…4分20．解：（1）把代入得，，把代入得，∴将代入得：解得一次函数为…4分（2）或…4分（3）设一次函数为与y 的交点为C ，则C 为……4分21．证（1）四边形是平行四边形平分…5分1-6-50332(3,4)-3===+31211=+=-=-1x =-2y x=-2m =1y =-2y x=-2x =-(1,2)(2,1)A B --y kx b =+221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩11k b =-⎧⎨=⎩∴1y x =+1x <-02x <<1y x =-+(0,1)AOB AOC COBS S S ∴=+V V V 111222OC OC =⋅+⋅32= ABCD //AB CD ∴F CDF ∴∠=∠DF ADC∠CDF ADF ∴∠=∠F ADF ∴∠=∠AD AF ∴=（2）过点D 作，垂足为H…7分22．解：（1）设水温下降过程中，y 与x 的函数关系式为，由题意得，点在反比例函数的图象上，，解得：，水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是；…4分（2）在加热过程中，水温为时，，解得：，在降温过程中，水温为时，，解得：，，∴一个加热周期内水温不低于的时间为．…6分23．解：（1）设抛物线解析式为将代入得，解得：，抛物线解析式为；…4分（2）令得，DH BA ⊥,3,6BAD AB AD ∠== 180********DAH BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒sin sin 606DH AD DAH AD ∴=∠=︒==3ABCD S AB DH =⋅=⨯= 平行四边形k y x=(4,100)ky x=4100k∴=400k =∴400y x=40C ︒202040x +=1x =40C ︒40040x=10x =1019-= 40C ︒9min 2y (2)1a x =-+(3,0)10a +=1a =-∴22(2)143y x x x =--+=-+-0y =2043x x =-+-，即A 点的坐标为；对称轴为…4分（3）当时，；当时，；当时，…4分24．解：如图，过点A 作于点E ，过点C 作于点F ．根据题意，知海里，海里．海里．海里．…4分在中，……6分答：此时观测塔A 与渔船C 之间的距离约为4.3海里．25．解：（1）将代入得：，解得，则抛物线解析式为；…4分（2）能．当时，，即，设直线的解析式为，把代入得，解得，所以直线的解析式为，设，则，，121,3x x ∴==(1,0)2x =2x =-15y =-2x =1y =-23x -<<151y -<≤AE BD ⊥CF AE ⊥5AE =222,tan 22525BAE BE AE ∠=︒∴=⋅︒≈⨯=624DE BD BE ∴=-=-=4CF DE ∴==Rt AFC V 1367,4 4.3sin 6712FC CAF AC ∠=︒∴=≈⨯≈︒(1,0),(5,0)A B -25y ax bx =++5525550a b a b -+=⎧⎨++=⎩14a b =-⎧⎨=⎩245y x x =-++0x =5y =(0,5)C BC y kx m =+(0,5),(5,0)C B 550m k m =⎧⎨+=⎩15k m =-⎧⎨=⎩BC 5y x =-+()2,45D x x x -++(,5),(,0),(05)E x x F x x -+<<2245(5)5,5DE x x x x x EF x ∴=-++--+=-+=-+当时，，即，整理得，解得（舍去），此时D 点坐标为；当时，，即，整理得，解得（舍去），此时D 点坐标为；综上所述，当点D 的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分；……4分（3）抛物线的对称轴为直线，如图，设，，当时，为直角三角形，∠BCM=90，则，解得，此时M 点的坐标为；当时，为直角三角形，，则，解得，此时M 点的坐标为；:2:3DE EF =:2:3BDE BEF S S =V V ()25:(5)2:3x x x -+-+=2317100x x -+=122,53x x ==265,39⎛⎫⎪⎝⎭:3:2DE EF =:3:2BDE BEF S S =V V ()25:(5)3:2x x x -+-+=2213150x x -+=123,52x x ==335,24⎛⎫⎪⎝⎭265,39⎛⎫ ⎪⎝⎭335,24⎛⎫⎪⎝⎭BC BDF V 2:3422(1)x =-=⨯-(2,)M t (5,0),(0,5)B C 222222222225550,2(5)1029,(25)9BC MC t t t MB t t ∴=+==+-=-+=-+=+222BC MC MB +=MBC V 90BCM ∠=︒225010299t t t +-+=+7t =(2,7)222BC MB MC +=MBC V 90CBM ∠=︒225091029t t t ++=-+3t =-(2,3)-当时，为直角三角形，∠CMB=90，则，解得，此时M 点的坐标为或，综上所述，满足条件的M 点的坐标为或或或． (6)分222MC MB BC +=MBC V 90CMB ∠=︒221029950t t t -+++=126,1t t ==-(2,6)(2,1)-(2,7)(2,3)-(2,6)(2,1)-。

【必考题】初三数学上期中试题(含答案)

x
28
80
1 4
x
42
5000
1 x2 129x 8416 4
1 x 2582 8225 ，
4
∵当 x=258 时， y 1 258 42 22.5 ，不是整数， 4
∴x=258 舍去，
∴当 x=256 或 x=260 时，函数取得最大值，最大值为 8224 元，
又∵想让客人得到实惠，
4a 故选 B.
3．C
解析：C 【解析】【分析】【详解】
解： y x2 2mx 4=(x m)2 m2 4 ，∴点 M（m，﹣m2﹣4），∴点 M′（﹣m，
m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得 m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选 C．【点睛】本题考查二次函数的性质．
是甲出发后（）
A．1h
B． 0.75h
C．1.2h 或 0.75h
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
D．1h 或 0.75h
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60 ， 90 ， 210 ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 ( )
这条抛物线上，则点 M 的坐标为（）
A．（1，-5）
B．（3，-13）
C．（2，-8）
D．（4，-20）
4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知实数 a 0 ，则下列事件是随机事件的是（）
A． a 0
B． a 1 0
C． a 1 0
D． a2 1 0

【初三数学】浙江省初中名校共同体2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分120分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.若43a b =，则a b b -的值等于（）A.13B.13-C.73D.73-【答案】A 【解析】【分析】此题考查了比例，直接利用比例设参数，然后代入求值即可，解题的关键是熟练掌握比例的性质．【详解】由43a b =，设4a k =，3b k =（0k ≠），∴431333a b k k k b k k --===，故选：A ．2.已知在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，则ABC V 的外接圆直径为（）A.5B.12C.13D.6.5【答案】C 【解析】【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，∴13AB ==，∴ABC V 的外接圆直径为13，故选：C ．3.若将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（）A.23(2)4y x =+- B.23(2)4y x =++ C.23(2)4y x =-- D.23(2)4y x =-+【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换．【详解】解：将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得()2324y x =-+，故选D ．4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A.1米B.2米C.3米D.4米【答案】B 【解析】【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，由垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后即可计算出DE 的长．【详解】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，∴11===8=422AE BE AB ⨯，在Rt AEO △中，3OE ===，∴532(m)ED OD OE =-=-=，∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．5.关于二次函数()224y x =+-，下列说法正确的是（）A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是()24-，C.该函数的最大值是4-D.当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】本题考查了()2y a x h k =-+的图象性质，根据顶点坐标为()h k ，，对称轴x h =，开口方向，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、因为()224y x =+-中的10a =>，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；B 、因为()224y x =+-，所以函数图象的顶点坐标是()24--，，故该选项是错误的；C 、因为10a =>，函数图象的开口向上，该函数的最小值是4-，故该选项是错误的；D 、因为对称轴2x =-，10a =>，函数图象的开口向上，当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故该选项是正确的；故选：D6.如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（）A.3:2B.5:3C.4:3D.2:1【答案】A 【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵90A ∠=︒，6AB =，10BC =，∴DA BA ⊥，8AC ===，∵BD 平分ABC ∠，DF BC ⊥，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ⋅=⋅+⋅，∴68610DF DF ⨯=+，解得：3DF =，∴3DA =，∴835CD AC DA =-=-=，∴4CF =，∴1046BF BC CF =-=-=，∵DF BC ⊥，CE BC ⊥，∴DF CE ∥，∴6342BD BF DE CF ===，即:3:2BD DE =．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．7.小舟给出如下题目：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，点A 坐标为()1,0-，给出下列结论：①20b a +<﹔②240b ac -<；③3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解；④30a b +>；其中正确的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0<a 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：24>0bac ∆=-时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，则利用对称轴即可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；根据抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0可对③进行判断；由20a b +=，0<a ，即可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，即12ba-=，∴20b a +=，故①错误；∵抛物线对称轴是直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为()1,0A -，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，即抛物线抛物线与x 轴有2个交点，∴24>0b ac =- ，故②错误；∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，∴3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解，故③正确；∵a<0，20a b +=，∴30a b +<，故④错误；故选：B ．8.如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，2,3CE CD ==，则AC 的长为（）A.4B.4.5C.5D.5.5【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，方程思想，能够掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．【详解】解：设AC x =2AC x =+，∵AC 平分BAD ∠，∴BAC CAD ∠∠=，∵CDB BAC ∠∠=（圆周角定理），∴CAD DB ∠∠=，∴ACD DCE ∽，∴CD ACCE DC =，即323x =，解得： 4.5x =，故选：B ．9.如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（）A.若α+β=70°，则 DE 的度数为20°B.若α+β=70°，则 DE的度数为40°C.若α﹣β=70°，则 DE的度数为20° D.若α﹣β=70°，则 DE的度数为40°【答案】B 【解析】【分析】连接BE ，根据圆周角定理求出∠ABE =90°，∠AEB =90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+12θ，得到 DE 的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．【详解】解：连接BE ，设 DE的度数为θ，则∠EBD =12θ，∵AE 为直径，∴∠ABE =90°，∵∠A =α，∴∠AEB =90﹣α，∵∠C =β，∠AEB =∠C +∠EBC =β+12θ，∴90°﹣α=β+12θ，解得：θ=180°﹣2（α+β），即 DE 的度数为180°﹣2（α+β），A 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；B 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；C 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；D 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是40°-4β，故本选项错误；故选：B ．．【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．10.定义平面内任意两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的距离2121PQ d x x y y =-+-，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点()3,2P --与点()2,2Q 之间的曼距3222549PQ d =--+--=+=，若点A 在直线122y x =-上，点B 为抛物线22y x x =+上一点，则曼距AB d 的最小值（） A.23540B.6940C.2316D.32【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，根据定义表示出曼距AB d ，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，求解即可．【详解】解：由题意得：设1,22A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2(,2)B b b b +，∴()21222AB a b b d a b =---++，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，∴()2223323224161222ABd b b b b b b ⎛⎫==---=++ ⎪⎝⎭--+，∴曼距AB d 的最小值为2316；故选：C ．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.请写出一个开口向下并且顶点在y 轴上的二次函数表达式________．【答案】24y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先设出二次函数解析式方程，()()20y a x h k a =++≠，再根据图像开口向下可知0a <，再根据顶点在y 轴上，有0h =，即可求解．【详解】设该二次函数的解析式为()()20y a x h k a =++≠，∵抛物线的开口向下，∴0a <，又∵顶点在y 轴上，∴0h =，∴4k =时，有：24y x =-+，故答案为：24y x =-+（答案不唯一，满足上述条件即可）12.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为4米，则a 约为________米．（结果精确到一位小数）【答案】2.5【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据0.618ab≈，4m b =，即可求出a 的值．【详解】解：雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，4m b =，∴0.618ab≈，2.472 2.5m a ∴≈≈，a ∴的值为2.5米；故答案为2.5．13.二次函数()()53y a x x =+-的图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是________．【答案】53x -<<##35x >>-【解析】【分析】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与性质．先求出抛物线与x 轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．【详解】解：当0y =时，()()530x x +-=，解得：1253x x =-=，∴二次函数()()53y a x x =+-的图象与x 轴的交点为(50)-，，()30，，由函数图象可得0y >的x 的取值范围为：53x -<<．故答案为：53x -<<．14.如图，在扇形EOF 中放置有三个全等的矩形方格，点O 为扇形的圆心，格点A 、B 、C 分别在扇形的1，则阴影部分的面积为________．【答案】73π【解析】【分析】连接OC ，先求出OC 长，再利用三角函数求出AOB ∠的度数，再根据阴影面积等于扇形的面积减去梯形面积即可得解．熟练掌握扇形面积公式和利用三角函数求出30AOB ∠=︒是解题的关键．【详解】解：连接OC ，1，∴OC ==，ant AOB Ð=，∴30AOB ∠=︒，∴(230π73603EOF Sπ⨯==扇形，()1232ACBO S =⨯+=梯形，∴阴影部分的面积为：73A O EOF CB S S S π=-=梯阴影扇形形故答案为：73π15.如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边A 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且13EF BF =，折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若4AB =，则折痕DG 的长为________．【答案】【解析】【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点F 作MN AD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，通过证明四边形ABNM 为矩形，四边形CDMN 为矩形，得出4AB MN CD ===，根据13EF BF =，推出13EF MF BF NF ==，则1,3MF NF ==，由折叠的性质得出4DF DC ==，CG FG =，即可根据勾股定理求出CN DM ===CG FG x ==，则GN x =-，根据勾股定理可得222GN NF FG +=，列出方程，求出4155x =，最后根据勾股定理可得：2DG =，即可求解．【详解】解：过点F 作MNAD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴90A ABN ∠=∠=︒，AD BC ∥，∵MN AD ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，同理可得：四边形CDMN 为矩形，∴4AB MN CD ===，∵13EF BF =，∴13=EF BF ，∵AD BC ∥，∴13EF MF BF NF ==，∴1,3MF NF ==，∵CDG 由FDG △沿DG 折叠得到，∴4DF DC ==，CG FG =，根据勾股定理可得：CN DM ====设CG FG x ==，则GN x =，根据勾股定理可得：222GN NF FG +=，即)2223x x -+=，解得：5x =，根据勾股定理可得：2DG ===16.量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C 是量角器半圆弧的中点，点P 为三角板的直角顶点，两直角边PE 、PF 分别过点A 、B ．连结CP ，过点O 作OM CP ⊥交CP 于点M ，交AP 于点N ．若8AB =，则NB 的最小值为________；若点Q 为 BC的中点，则点P 从点Q 运动到点B 时，N 点的运动路径长为________．【答案】①.-②.22π【解析】【分析】如图，连接AC OC ，．证明点N T 在上，且运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．求出BT TN ，，可得结论；连接PO ，TO ，结合图形可得，点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，运动的终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，即有9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，则有9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，根据弧公式即可作答．【详解】解：当点P 在 BC上时，点N 在线段OC 的右侧，如图，连接AC OC ，．∵C 是半圆的二等分点，∴=90AOC ∠︒，即1452APC AOC ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴AOC △是等腰直角三角形，作AOC △的外接圆T e ，连接TN ，TB ．则有圆心T 为AC 中点，∵OM PC ⊥，∴CM PM =，∴NC NP =，∴45NPC NCP ∠=∠=︒，∴18090CNP PCN CPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴90ANC PNC ∠=∠=︒，∴点N 在T e 上，运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．∵8AB =，∴142AO AB ==，∵AO OC =，=90AOC ∠︒，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，AC ==，∴12TA TN TC AC ====，在Rt ATH 中，122AH OH AO ===，45TAH ∠=︒，∴45ATH TAH ∠=∠=︒，∴2AH TH ==，即6BH AB AH =-=，在Rt BHT 中，BT ===，∵BN BT TN ≥-，∴BN ≥-∴BN 的最小值为-当点P 在 AC 上时，如图，可知点N 在线段OC 的左侧，此时的BN 显然大于综上：BN 的最小值为-如图，连接PO ，TO ，∵2CTN CAN ∠=∠，2POB PAB ∠=∠，45CAN PAB CAO ∠+∠=∠=︒，∴()24590CTN PAB POB ∠=︒-∠=︒-∠，∵点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，∴终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，∴9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，∴9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，∵TA TN TC ===∴点N 在T e 上，运动轨迹长为：4522ππ3602︒⨯=︒，故答案为：-，2π2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，弧长公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N 的运动轨迹．三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:4a b c =，且211++=a b c ．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）3,2,4a b c ===（2）x 【解析】【分析】本题考查了比例和比例中项，（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式进行计算即可得；（2）根据比例中项的定义列式求解即可得掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a b b c=，那么线段b 是a 和c 的比例中项”是解题的关键．【小问1详解】解：∵::3:2:4a b c =，则设3,2,4a k b k c k ===，∵211++=a b c ，∴322411k k k +⨯+=，1111k =，1k =，∴3,2,4a b c ===；【小问2详解】解：∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴a x x b=，2x ab =，232x =⨯，26x =，x =或x =（舍），即x 的值．18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且∥OD BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若70B ∠=︒，求CAD ∠的度数；（2）若13,12AB AC ==，求DE 的长．【答案】（1）35︒（2）4【解析】【分析】（1）圆周角定理，得到90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，平行得到90OEA ∠=︒，进而得到OE AC ⊥，垂径定理，得到 AD CD=，进而得到 CD 的度数为70︒，即可求出CAD ∠的度数；（2）勾股定理，求出OE 的长，OD OE -即可求出DE 的长．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键．【小问1详解】解：∵AB 是半圆O 的直径，70B ∠=︒，∴90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，∵∥OD BC ，∴90OEA C ∠=∠=︒，∴OE AC ⊥，∴ AD CD=，∴ CD的度数为70︒，∴170352CAD ∠=⨯︒=︒；【小问2详解】∵13,12AB AC ==，OE AC ⊥，∴131,622OA OD AE AC ====，∴52OE ==，∴135422DE =-=．19.已知二次函数223y x x =-+，当22x -≤≤时，求函数y 的取值范围．小胡同学的解答如下：解：当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：所以函数y 的取值范围为311y ≤≤．小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当2x =-时和当2x =时的函数值，即可解答．【详解】解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下：∵()222312y x x x =-+=-+，10a =>，∴当1x =时，该二次函数有最小值2，∵当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：∴当22x -≤≤时，函数y 的取值范围为211y ≤≤．20.请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，等腰ABC V 内接于O 中，AB AC =；（2）如图②，已知四边形ABCD 为矩形，点A 、D 在圆上，AB CD 、与O 分别交于点E 、F ．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．（1）如图，作直线OA 即可，OA 即为所求；（2）连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可．【小问1详解】如图①，作直线OA 即可，OA 即为所求；【小问2详解】如图②，连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可，直线OH 即为所求．21.杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y （件）与销售单价x 32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w 元，①写出w 与x 的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2100y x =-+（2）①221603000w x x =-+-；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，把3236x y ==，和3432x y ==，分别代入得，36323234k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩．∴y 与x 的函数关系式为2100y x =-+．【小问2详解】解：①由题意可得()()230210021603000w x x x x =--+=-+-：，∴w 与x 的函数关系式为221603000w x x =-+-．②()2221603000240200w x x x =-+-=--+，∵20-<且对称轴为直线40x =∴抛物线开口向下，∵3038x ≤≤在对称轴左侧，即40x <时，w 随x 的增大而增大，∴当38x =时，()223840200196w =--+=最大（元）．答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．22.如图1，在正方形ABCD 中，12CE DE =，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，作MN CM ⊥交边AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：2AM CE =﹔（2）如图2，若23EF BF =，求AN ND 的值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）先证明MBC ECB ≌得出BM EC =，根据12CE DE =，以及正方形的性质即可得证；（2）根据正方形的性质可得，AB CD ∥得出FBM FEC ∽，根据已知条件设3BM a =，则2EC a =，求得4DE a =，进而求得AM ，证明AMN BCM ∽，取得AN ，进而即可求解．【小问1详解】证明：F 为BE 的中点，BF EF ∴=，四边形ABCD 为正方形，90BCE ABC ∴∠=∠=︒，CF BF EF ∴==，FBC FCB ∴∠=∠，BC CB = ，MBC ECB ∴ ≌（AAS ），BM EC ∴=，AB CD = ，12CE DE =，12BM AM ∴=，2AM CE ∴=．【小问2详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥，∴FBM FEC ∽，∵23EF BF =，∴23EF EC BF BM ==设3BM a =，则2EC a =，∵12CE DE =，∴4DE a =，∴246CD DE EC a a a =+=+=，∴633AM AB MB CD MB a a a =-=-=-=，∵MN CM ⊥，∴90NMC ∠=︒，又∵90A MBC ∠=∠=︒，∴90AMN BMC MCB ∠=︒-∠=∠，∴AMN BCM ∽，∴AM AN BC BM =，即363a AN a a =，∴32AN a =，∴39622ND AD ND a a a =-=-=，∴AN ND 312932a a ==．23.根据以下素材，探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．【答案】任务一：()213 2.510y x =-++；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；任务一：待定系数法求解析式，即可求解；任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+，分别令0y =，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树，令6x =-，求得y 的值，与题意比较，进而得出结论．【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为()23 1.60.9y a x =+++，将()0,1.6代入得，1.69 2.5a =+解得：110a =-∴抛物线的表达式为：()213 2.510y x =-++任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++当0y =时，()213 2.5010x -++=解得：8x =-或=2（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()8,0-；∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．∴下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+当0y =时，21 1.6010x -+=，解得：4x =-或4x =（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()4,0-；∵()484---=而路边的绿化带宽4米，∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++，∵绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树当6x =-时，()2163 2.5 1.610y =--++=米而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）．则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．24.如图1，ABC V 是O 内接三角形，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE DC =﹔（2）如图2，过点B 作BF CD ∥分别交AC 、AD 于点M 、N ，交O 于点F ，连接AF ，求证：AN DE AF BM ⋅=⋅；（3）在（2）的条件下，若13AB AC =时，求BF BC 的值；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）79【解析】【分析】（1）旋转的性质，得到,BC DE BAC EAD =∠=，根据弧，弦，角的关系，得到BC CD =，即可得证；（2）证明BCM AFM ∽，进而得到BC BM AF AM=，旋转得到,BC DE AC AD ==，根据BF CD ∥，推出AM AN =，等量代换，得到DE BM AF AN=，即可得证；（3）等量代换，得到13AB AD =，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，角平分线的性质得到EP EQ =，等积法得到13AB E DE AD B ==，连接DF ，推出BC DF =，AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，证明,,D F D '三点共线，设BE x =，则3DE x =，进而得到3BC DE DF x ===，推出7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，证明BAF DAD ' ∽，得到13AB BF AD DD =='，得到1733BF DD x '==，再进行计算即可．【小问1详解】证明：∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE BAC EAD =∠=，∴ BC CD =，∴BC CD =，∴DE DC =；【小问2详解】证明：∵ AB AB =，∴BCM AFM ∠=∠，∵BMC AMF ∠=∠，∴BCM AFM ∽，∴BC BM AF AM =，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE AC AD ==，∵BF CD ∥，∴AMN ACD ∽，∴AM AN AC AD =，∴AM AN =，∴DE BM AF AN =，∴AN DE AF BM ⋅=⋅；【小问3详解】∵13AB AC =，AC AD =，∴13AB AD =，ACD ADC ∠=∠，∴ AC AD =，∵ACB ADE∠=∠∴延长DE 必经过点B ，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，∵BAC DAE ∠=∠，∴EP EQ =，∴1212ABE ADE AB EP S BE S DE AD EQ ⋅==⋅ （同高三角形）∴13AB E DE AD B ==，连接DF ，∵BF CD ∥，∴BDC DBF ∠=∠，∴ BCDF =，∴ ,BC DF AC BC AD DF=-=-，∴ AB AF =，∴AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，则：ABD AFD '∠=∠，D F BD '=，DAD BAF '∠=∠，∵180ABD AFD ∠+∠=︒，∴180AFD AFD '∠+∠=︒，∴,,D F D '三点共线，∵13BE DE =，∴设BE x =，则3DE x =，∴3BC DE DF x ===，4BD BE DE x =+=，∴7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，∵DAD BAF '∠=∠，ABF ADF ∠=∠，∴BAF DAD ' ∽，∴13AB BF AD DD =='，∴1733BF DD x '==，∴77339x BF BC x ==．【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化．。

黑龙江省哈尔滨第一一三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)

．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）．．．．．如图，点A⊙O上的三点，已知∠AOB=100∘的度数是（C．50∘C．213D．，则下列比例式正确的是（C．AEEC =BFFC图象的一部分，图象过点③+c=0；④abc<.其中正确的个数是（C．3D．21~22题各7分，23~24题各，其中x=3tan30∘++1的方格纸中，有线段AB和线段为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且FK，请直接写出线段FK的长x的图象与反比例函数的图象交于．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数y=13）如图1，求证：∠EAC=∠ABO；）如图2，延长AE交⊙O于点D，连接OD交BC于点F，CD=CF，求证：AB=AD；）在（2）的条件下，延长BC至点I，连接AI交⊙O于点H，连接CH、DH、DI，连接AO并延长交=3OF，∠BAI=2∠HDI，CI=5，求⊙O的半径长.．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−2,0)、B(4,0)，点D为抛物线顶点.）如图1，求a、b的值；）如图2，横坐标为t的点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，连接PA、PD、AD，△PAD的面积为S 与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；）在（2）的条件下，AP交y轴于点E，连接BC，点F在线段BC上，且在PE上方，连接PF、EF，∠PFE 90∘，S△PEF=9AE2，点Q在第四象限抛物线上，连接AQ，DQ，∠AQD=2∠PDQ，求线段PQ的长.16=1a，⇒a=−6.∴3≠0)把A(−6,−2)代入∵C(4,1)，∴PC=4−1=3.OD=3∴S△POC=1/2PC×OD=1/2×2×2=9/224．（1）证明：∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180∘，∴2∠1+2∠3=180∘∴∠1+∠3=90∘，∵EF//BC∴∠5=∠2=∠1，∴EO=OC∵Rt△ECF中，∠5+∠6=90∘∵∠1+∠3=90，∴∠1=∠5，∴∠3=∠6∴OC=OF，∵EO=OC，OC=OF，∴EO=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∵O为AC中点，∴AO=OC∵EO=OF，∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF=∠1+∠3=90∘∴平行四边形AECF是矩形25．（1）解：y=−10x+520，（2）(x−20)(−10x+520)=2520解得，x1=38，x2=34答：略（3）设，获利w元。

山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．已知点()13,A y -，()21,B y -和()32,C y 都在反比例函数()0ky k x=>的图象上，则1y ，2y 和3y 的大小关系是（）A ．312y y y <<B ．213y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<3．如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB CD EF ∥∥，36cm AC =，35BD DF =，则AE 的长为（）A ．48cmB ．60cmC ．96cmD ．120cm4．10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．235．函数y kx k =-和()210k y k x+=-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为8cm ，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（）A ．()4cmB ．()16cmC ．(12cm-D ．(24cm-7．如图，直线y x =-与双曲线()0ky k x=≠交于A ，B 两点，已知OA =表达式为（）A ．3y x=B ．3y x=-C ．9y x=D ．9y x=-二、填空题8．如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离AB 的长为3.5m ，则表高为（）（参考数据：冬至时，0.5≈表高影长；夏至时，3≈表高影长）A ．2.1mB ．2.4mC ．56m .D ．5.8m三、单选题9．如图，点光源O 射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB 投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD ．已知3cm AB =，胶片与屏幕的距离EF 为定值，设点光源到胶片的距离OE 长为x （单位：cm ），CD 长为y （单位：cm ），y 随x 的变化而变化，且当60x =时，43y =，则y 与x 的函数关系可表示为（）A ．4360y x =B ．233y x =+C ．24003y x=+D ．2580y x=10．已知反比例函数()22a y a x-=≠，点()11,M x y 和()22,N x y 是反比例函数图象上的两点．若对于12x a =，256x ≤≤，都有12y y >，则a 的取值范围是（）A ．502a -<<或522a <<B ．532a -<<且2a ≠，0a ≠C ．532a -<<-或02a <<D ．5522a -<<且2a ≠，0a ≠四、填空题11．若()304n m m =≠，则n mm+=．12．近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有只候鸟．累计捕捉数量（只）100200350420480带有标记卡数量（只）132444526013．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE 的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC 保持水平，点A 、B 、D 在同一直线上，90AFE DEF ∠=∠=︒，测得0.15m AB =，0.2m BC =， 1.7m AF =，37.5m EF =，则超然楼的高度DE =m ．14．如图，点P ，Q ，R 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ．若OE ED DC ==，2320S S +=，则k =．15．如图，在ABCD 中，4AB =，6AD =，45A ∠=︒，点E 为边AD 上的一个动点，连接EC 并延长至点F ，使得12CF CE =，以EB ，EF 为邻边构造BEFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．五、解答题16．如图，一次函数4y kx =+的图象与反比例函数()0my x x=<的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，()1,3B -，连接OA ，OB ．(1)求k 和m 的值；(2)求AOB V 的面积．17．图1是小亮沿广场道路AB 散步的示意图，线段CD 表示直立在广场上的灯柱，点C 表示照明灯的位置，已知小亮身高1.5m ，6m CD =．(1)如图2，小亮站在E 处时与灯柱的距离9m ED =，则此时小亮的影长AE =m ；(2)如图3，小亮继续行至G 处时，发现其影长KG 恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离．18．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别是()2,6A ，()6,2B ，()10,0C ．(1)以原点O 为位似中心画111A B C △，使它与ABC V 位似．若1112A B AB =在第一象限内画出111A B C △；(2)在（1）的条件下，求点1A的坐标．19．如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形ABCD中，直角尺的顶点G在CD上滑动，当点E落在BD上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若==，求BD的长．BE AE22420．2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表．一分钟跳绳成绩统计表成绩等级一分钟跳绳次数频数x≥nA160x≤<75B120160x≤<69C80120x<36D80请根据以上信息，完成下列问题．(1)随机抽取的学生人数为人，统计表中的n=，统计图中B等级对应扇形的圆心角为度；(2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人?(3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率．21．如图1，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与双曲线()10ky k x=≠交于()4,1A m +，(),3B m -．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式kx b x+<的解集；(3)如图2，将直线y x b =+向上平移a 个单位长度得到直线l ，直线l 与反比例函数()2130y x x=-<的图象交于C ，D 两点，与双曲线1k y x =在第一象限内交于点E ，连接BD ，EA ，若四边形ABDE 是平行四边形，求a 的值．22．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度．如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形ABCD 为矩形，5m AB =，0.9m BC =，AE BF ⊥，延长FB DC ，交于点H ， 1.2m CH =．(1)求此时液压撑杆AE 的长；(2)已知吊臂BF 最长为9.5m ，抓手0.5m FG =，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明．23．小光根据学习函数的经验，探究函数11y x =-的图象与性质．(1)刻画图象①列表：下表是x ，y 的几组对应值，其中a =，b =；x …4-2-1-0122334544332234 (11)x -…15-13-12-1-2-a4-4321b13…②描点：如图所示；③连线：请用平滑的曲线顺次连接．(2)认识性质观察图象，完成下列问题：①当1x >时，y 随x 的增大而；②函数11y x =-的图象的对称中心是．（填写点的坐标）(3)类比探究①小光发现，函数11y x =-的图象可以由反比例函数1y x =的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；②函数43y x =-的图象经平移可以得到函数42=+y x 的图象，请说明平移过程．24．（1）在ABC V 和DEC 中，AB AC =，DE DC =，90BAC EDC ∠==︒．①如图1，当CE 与AC 重合时，BEAD=；②如图2，DEC 绕点C 逆时针旋转一定角度，连接AD ，BE ，BEAD的值是否改变？请说明理由；（2）如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角CFE △，90CFE ∠=︒，连接AF ，BF ，当AFE ABF ∠=∠时，求BE 的长．25．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数8y x=的图象，他们在平面直角坐标系内选定点133,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：【动手操作】操作1：如图1，过点P 作x 轴的平行线l ，将直线l 上方的反比例函数图象沿直线l 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X 图象”．操作2：如图2，过点P 作y 轴的平行线m ，将直线m 左侧的反比例函数图象沿直线m 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y 图象”．操作3：如图3，过点P 作直线n ：152y x =-+，将第一象限内反比例函数的图象在直线n 下方的部分沿直线n 翻折得到新图象，与直线n 下方的图象组成的封闭图象是“Z 图象”．试卷第11页，共11页【解决问题】(1)如图1，求“X 图象”与x 轴的交点C 的坐标；(2)过x 轴上一点(),0Q t 作y 轴的平行线，与“Y 图象”交于点M ，N ．若3MN QN =，求t 的值；(3)如图3，反比例函数()80y x x =>的图象与直线n 交于点E ，F ，已知点G 和点H 是“Z 图象”上的两个动点，当以点E ，G ，F ，H 为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G 和点H 的坐标．。

江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

南京市秦淮区2023-2024学年初三上学期期中考试数学试卷(含解析)

南京秦淮区2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测九年级数学一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程是一元二次方程的是（） A . 210x -=B .2110x -= C . 20x x -=D . 20x y -=2．一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（） A . 3B . 4C . 9D . 123．如图，点C 在O 上，OC 平分弦AB ，连接OA ，BC ，若40A ∠=︒，则C ∠的度数是（）A . 50︒B . 60︒C . 65︒D . 70︒4．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（）A . 80B . 82C . 84D . 865．以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（） A . ①B . ②③C . ③④D . ②③④6．图①是一张长28cm ，宽16cm 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为280cm 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm ，根据题意，可列方程为（）A . (282)(162)80x x --=B . (2822)(162)80x x -⨯-=C . 1(282)(162)802x x ⨯--=D .1(282)(162)802x x --=二、填空题．（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程24x =的根是．8．一组数据7，10，7，2，7的极差是．9．若将一元二次方程21616x x +=化为2()x m n +=的形式，则m n += ．10．如图，在ABC ∆中，92A ∠=︒，则点A 在以线段BC 为直径的圆．（填“上”“内”或“外”）11．如图，在O 中，弦AB 的长度是弦CD 长度的两倍，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则A O B ∠ 2COD ∠．（填“>”“<”或“=”）12．小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是环．13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x ，根据题意可列方程为．14．如图，四边形ABCD 的各边都与O 相切，若28AB CD cm ==，则四边形ABCD 的周长为 cm ．15．如图，O 的半径为2，AB 是弦，点C 在优弧AB 上．将O 沿AB 折叠后，连接CB ，CB 交AB 于点D ．若108ADB ∠=︒，则ADB 的长是（结果保留π）．16．在ABC ∆中，135A ∠=︒，3AB =，AC =，则其外接圆的半径是．三、解答题．（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：2410x x -+=．18．（6分）解方程：3(2)2x x x -=-．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程20(0,0)ax bx c a c ++=≠≠．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．20．（7分）如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，2AB =，连接DG ．（1）求证DG AB ∥；（2）DG 的长为．21．（8分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=．（1）当该方程有实数根时，求m 的范围；（2）若该方程的两个根1x ，2x 满足1212x x x x +=⋅，求m 的值．22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A ，B 进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A ，B 的合格产品数量如下表：23．（6分）如图，已知直线l 和点A ，B ．在直线l 上确定点C ，使以A ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C ．）24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．25．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是它的外接圆，点D 在AC 上且CD CB =，连接AD ，BD ，CD ，BD 与AC 交于点E ．（1）判断AED ∆的形状，并证明；（2）当AD BE =时，求BAC ∠的度数．26．（10分）如图①，C ，D 分别是半圆O 的直径AB 上的点，点E ，F 在AB 上，且四边形CDEF 是正方形．（1）若AB =CDEF 的面积为；（2）如图②，点G ，H ，M 分别在AB ，AB ，DE 上，连接HG ，HM ，四边形DGHM 是正方形，且其面积为16． ①求AB 的值；②如图③，点N ，P ，Q 分别在HM ，AB ，EM 上，连接PN ，PQ ，四边形MNPQ 是正方形．直接写出正方形MNPQ 与正方形DGHM 的面积比．27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知ABC ∆．求作：ABC ∆的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，直接写出它的准切圆的半径长．南京市秦淮区2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测九年级数学一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程是一元二次方程的是（） A . 210x -=B .2110x -= C . 20x x -=D . 20x y -=【答案】C ．【解析】解：A 、210x -=，是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、2110x -=，是分式方程，故B 不符合题意； C 、20x x -=，是一元二次方程，故C 符合题意； D 、20x y -=，是二元一次方程，故D 不符合题意；故选：C ．2．一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（） A . 3B . 4C . 9D . 12【答案】C ．【解析】设该圆锥的母线长为l ，根据题意得124362l ππ⨯⨯⨯=，解得9l =，即该圆锥的母线长是9．故选：C ．3．如图，点C 在O 上，OC 平分弦AB ，连接OA ，BC ，若40A ∠=︒，则C ∠的度数是（）A . 50︒B . 60︒C . 65︒D . 70︒【答案】C ．【解析】OA OB =，40A ∠=︒， 40B ∴∠=︒， OC 平分弦AB ，OC AB ∴⊥，904050BOC ∴∠=︒-︒=︒， OC OB =,18050652OCB ︒-︒∴∠==︒, 故选：C ．4．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（）A . 80B . 82C . 84D . 86【答案】B . 【解析】平均成绩为4802100260100808210⨯+⨯+⨯++=，故选：B .5．以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（） A . ①B . ②③C . ③④D . ②③④【答案】C .【解析】根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补， ∴只有矩形、正方形有外接圆，故③④一定有外接圆．故选：C .6．图①是一张长28cm ，宽16cm 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为280cm 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm ，根据题意，可列方程为（）A . (282)(162)80x x --=B . (2822)(162)80x x -⨯-=C . 1(282)(162)802x x ⨯--=D .1(282)(162)802x x --=【答案】D .【解析】设该盒子的高为xcm ，则纸盒底面的长为1(282)2x cm -，宽为(162)x cm -，纸盒的底面（图中阴影部分）面积是280cm ， ∴1(282)(162)802x x --=，故选：D .二、填空题．（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程24x =的根是．【答案】122,2x x ==-．【解析】两边开平方得， 2x =±．故答案为：122,2x x ==-．8．一组数据7，10，7，2，7的极差是．【答案】8．【解析】极差为：1028-=．故答案为：8．9．若将一元二次方程21616x x +=化为2()x m n +=的形式，则m n += ．【答案】88．【解析】21616x x +=，216641664x x ++=+，2(8)80x +=，所以8m =，80n =，所以88088m n +=+=．故答案为：88．10．如图，在ABC ∆中，92A ∠=︒，则点A 在以线段BC 为直径的圆．（填“上”“内”或“外”）【答案】内．【解析】若点D 在以线段BC 为直径的圆上，则90D ∠=︒，因为9290A D ∠=︒>∠=︒，所以点A 在以线段BC 为直径的圆内，故答案为：内．11．如图，在O 中，弦AB 的长度是弦CD 长度的两倍，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则A O B ∠ 2COD ∠．（填“>”“<”或“=”）【答案】>．【解析】过点O 作OE AB ⊥交AB 于点F ，连接BE .∴12AF BF AB ==，AE BE =， ∴12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，又2AB CD =， ∴BF CD =，在Rt BEF ∆中，BE BF >， ∴BE CD >， ∴BOE COD ∠>∠， ∴12AOB COD ∠>∠，即2AOB COD ∠>∠，故答案为：>．12．小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是环．【答案】8．【解析】总次数为23455120+++++=，所以中位数取第10与第11的平均数，所以中位数为8882+=，故答案为：8．13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x ，根据题意可列方程为．【答案】220(1)24x +=．【解析】设平均每月营业额的增长率为x ，则九月份的营业额为：20(1)x +，十月份的营业额为：220(1)x +，则由题意列方程为：220(1)24x +=．故答案为：220(1)24x +=．14．如图，四边形ABCD 的各边都与O 相切，若28AB CD cm ==，则四边形ABCD 的周长为 cm ．【答案】24．【解析】如图，E ，F ，G ，H 是切点四边形ABCD 各边与O 相切AH AE ∴=，DH DG =，CG CF =，BE BF =AH DH CF BF AE DG CG BE ∴+++=+++AD BC CD AB ∴+=+ 28AB CD cm ==∴四边形ABCD 的周长为(84)224cm +⨯=故答案为：24．15．如图，O 的半径为2，AB 是弦，点C 在优弧AB 上．将O 沿AB 折叠后，连接CB ，CB 交AB 于点D ．若108ADB ∠=︒，则ADB 的长是（结果保留π）．【答案】85π．【解析】补全圆，取'D 与D 关于AB 对称，连接OA ，OB ，AC ，'108AD B ADB ∴∠=∠=︒，由内接四边形定理可得180'18010872ACB AD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 2144AOB ACB ∴∠=∠=︒， ∴ADB 的长144281805ππ⋅==，故答案为：85π．16．在ABC ∆中，135A ∠=︒，3AB =，AC =，则其外接圆的半径是．．【解析】作CD AB ⊥， 135A ∠=︒，∴45CAD ∠=︒，在Rt ACD ∆中，AC 45CAD ∠=︒， ∴1CD AD ==， ∴134BD =+=，在Rt BCD ∆中，BC = 135A ∠=︒，∴AC 在优弧上所对的圆周角为18013545︒-︒=︒， ∴90BOC ∠=︒，在Rt BOC ∆中，BC =OB OC =，∴OB OC ==，即r =. 三、解答题．（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：2410x x -+=．【答案】12x =，2x ．【解析】2410x x -+=，2443x x ∴-+=，2(2)3x ∴-=，2x ∴=解得12x =，22x =． 18．（6分）解方程：3(2)2x x x -=-．【答案】12x =，213x =．【解析】3(2)2x x x -=-，3(2)(2)0x x x ∴---=，则(2)(31)0x x --=， 20x ∴-=或310x -=，解得12x =，213x =． 19．（8分）已知关于x 的一元二次方程20(0,0)ax bx c a c ++=≠≠．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【答案】（1）见解析．【解析】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同， ∴0ac <，∴0ac ->，20b >，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->∴该方程一定有两个不相等的实数根.（2）不是，反例2304x x +-=（答案不唯一）理由如下：方程有两个不相等的实数根 ∴240b ac ∆=->，满足24b ac >即可，反例：216b =，3ac =，即2304x x +-=，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同. 20．（7分）如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，2AB =，连接DG ．（1）求证DG AB ∥；（2）DG 的长为．【答案】（1）见解析；（2）2+．【解析】（1）证明：连接AD ，1802458BAD ︒∠=⨯=︒，1802458ADG ︒∠=⨯=︒， ∴BAD ADG ∠=∠， ∴DG AB ∥.（2）由题可得，四边形DGFE 为等腰梯形，作EP DG ⊥，FQ DG ⊥，正八边形ABCDEFGH ，2AB =∴EF AB ∥，2GF EF AB ===，135GFE DEF ∠=∠=︒， ∴EF DG ∥，∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒，在Rt QGF ∆中，45DGF ∠=︒，2GF =，QG QF ∴==，同理可得DP EP = 易证四边形PQFE 是矩形，2PQ EF ∴==，22DG ∴=．21．（8分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=．（1）当该方程有实数根时，求m 的范围；（2）若该方程的两个根1x ，2x 满足1212x x x x +=⋅，求m 的值．【答案】（1）14m ≤；（2）1m =-- 【解析】（1）关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=有实数根， ∴22(21)40m m --∆=≥，解得：14m ≤．故m 的取值范围是14m ≤．（2）22(21)0x m x m +-+=∴12(21)x x m +=--，212x x m ⋅=，1212x x x x +=⋅， ∴2(21)m m --=，解得11m =-+21m =- 又14m ≤， ∴1m =-22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A ，B 进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A ，B 的合格产品数量如下表：【答案】（1）B 比较稳定；（2）见解析. 【解析】（1）8291888386865A x ++++==，2162549010.85A S ++++==，8588868982865B x ++++==，214091665B S ++++==，∴A B x x =，22A B S S >， ∴B 比较稳定.（2）8586868687865A x ++++==2100010.45A S ++++==，9294949892945B x ++++==，24001644.85B S ++++==，综上，经过本次调试，A ，B 生产线的合格产品数量均变得更加稳定，B 生产线合格产品数量有提升.23．（6分）如图，已知直线l 和点A ，B ．在直线l 上确定点C ，使以A ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C ．）【答案】见解析．【解析】即1234,,,C C C C 为所求24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．【答案】100元或110元．【解析】设月饼每盒降了x 元．根据题意，得(202)(12080)1200x x +--=，解得：120x =或210x =， ∴120100x -=或110答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元．25．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是它的外接圆，点D 在AC 上且CD CB =，连接AD ，BD ，CD ，BD 与AC 交于点E ．（1）判断AED ∆的形状，并证明；（2）当AD BE =时，求BAC ∠的度数．【答案】（1）AED ∆为等腰三角形，证明见解析；（2）36︒. 【解析】（1）AED ∆为等腰三角形，证明：设BDC α∠=，ACD β∠=， ∴AED αβ∠=+，CD CB =， ∴CD CB =，∴DBC BDC α∠=∠=，AD AD =，∴ABD ACD β∠=∠=，AB AC =，∴ACB ABC αβ∠=∠=+，AB AB =，∴ADB ACB αβ∠=∠=+， ∴ADB AED ∠=∠， ∴AD AE =，∴AED ∆为等腰三角形.（2）AD BE =，∴AE BE =，∴BAE EBA β∠=∠=，又BC BC =，∴BAE BDC ∠=∠， ∴αβ=，∴5180ABC ACB BAC α∠+∠+∠==︒，∴36α=︒， ∴36BAC ∠=︒.26．（10分）如图①，C ，D 分别是半圆O 的直径AB 上的点，点E ，F 在AB 上，且四边形CDEF是正方形．（1）若AB =CDEF 的面积为；（2）如图②，点G ，H ，M 分别在AB ，AB ，DE 上，连接HG ，HM ，四边形DGHM 是正方形，且其面积为16． ①求AB 的值；②如图③，点N ，P ，Q 分别在HM ，AB ，EM 上，连接PN ，PQ ，四边形MNPQ 是正方形．直接写出正方形MNPQ 与正方形DGHM 的面积比．【答案】（1）16；（2）①AB =．【解析】（1）连接OF四边形CDEF 是正方形， 2FC CO ∴=，2222FC CO OF +== 解得：2CO =，4FC = ∴正方形的边长为4， ∴正方形CDEF 的面积为16.（2）①连接OE ，ON ，四边形DGHM 是正方形， ∴4NG DG ==，设OD x =，则2DE x =，在Rt ODE ∆中，2222(2)5OE x x x =+=，在Rt ONG ∆中，2224(4)ON x =++， ∴2224(4)5x x ++=，解得124,2x x ==-（舍）∴OE =∴AB =.②连接OP ，DH ，4MD OD ==，且90MDO ∠=︒， ∴45MOD OMD ∠=∠=︒，又45PMN ∠=︒，∴180OMD DMH PMN ∠=∠+∠=︒，∴,,O M P 共线，∴OM DH ==MP =∴22MNPQ DGHMS MP S OM ==正正. 27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知ABC ∆．求作：ABC ∆的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，直接写出它的准切圆的半径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12345654353,4,,,,3322r r r r r r ======．【解析】（1）如图所示（其中一种情况）（2）证明：如图所示：过C 且与AB ，BC 相切，连OC ，∴90OCB ∠=︒，O 到,AB BC 的距离相等，∴O 在ABC ∠角平分线上， ∴1302OBC ABC ∠=∠=︒， ∴在Rt ABC ∆中，12OC OB =， ∴22223BC OB OC OC =-=， ∴OC =若1O 是ABC ∆外接圆， ∴2120BOC BAC ∠=∠=︒，作1O M BC =，OB OC =，∴1O M 平分1BO C ∠， ∴111602BO M BO C ∠=∠=︒，同理，在1Rt BO M ∆中，112BO O M =， ∴222211134BM O B O M O B =-=，∴1O B ，12BM BC =， ∴1O B =，∴1O B OC =.（3）12345654353,4,,,,3322r r r r r r ======．。

广东深圳福田区外国语学校(集团)2024年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025 学年第一学期期中考试九年级数学试卷说明：命题人、审题人：九年级备课组答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上。

选择题用 2B 铅笔作答，填涂答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上。

选择题用 2B 铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满。

修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答。

主观题用黑色字迹的签字笔作答; 答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外。

考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中。

1、考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。

2、全卷共 4 页，考试时间 90 分钟，满分 100 分。

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1、如图所示的几何体，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．1 题2、在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（）A ．B ．C ．D ． 3、不解方程，判断方程 x 2﹣4x ﹣1＝0 的根的情况是（） A ．没有实数根 B ．有两个相等实数根C ．有两个不相等实数根D ．无法确定4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，DE ＝4，则 BC 的长是（）3 题A ．8B ．10C ．11D ．125、如图，张老汉想用长为 70 米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为 640 平方米的矩形羊圈AB 并在边 BC 上留一个 2 米宽的门（建在 EF 处，门用其他材料），设 AB 的长为 x 米，则下面所列方程正确的是（）A ．x （70﹣x ）＝640B ．x （70﹣2x ）＝640 5 题C ．x （72﹣x ）＝640D ．x （72﹣2x ）＝6406、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1 是以点 P 为位似中心的位似图形，若，△ABC 的周长为 6，则△A 1B 1C 1 的周长是（）A ．12B ．8C ．6D ．36 题7、如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在边AD 和CD 上，EF∥AC，连接BE 交对角线AC 于点G，若点G 是AC 的四等分点（AG＜CG），AC＝4，则EF 的长为（）A．B．2 C．D．38、在正方形ABCD 中，AB＝4，点E 是边AD 的中点，连接BE，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在点F 处，BF 与AC交于点H，点O 是AC 的中点，则OH 的长度是（）A．B．C．4﹣27 题8 题二、填空题（本题共5 小题，每小题 3 分，共15 分）9、已知，则＝10、在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．11、一个不透明的箱子里有3 个球，其中2 个白球，1 个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为．12、如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE 平分∠BAC，分别交BD，BC 于点F，E．若AB：BC＝3：4，则13、在菱形ABCD 中，E，F 分别是AB，BC 边上的中点，G 为DE 上一点，若AB=6，∠B =∠EGF = 60 ，则DG的长为10 题12 题13 题三、解答题（本题共7 小题，其中第14 题6分，第15 题 6 分，第16 题9 分，第17 题8 分，第18 题8 分，第19 题12 分，第20 题12 分，共61 分）14、（6 分）解一元二次方程：（x+2）2 =3（x+2）；（2）x2﹣3x﹣1＝0．D．15、（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）画出将△ABC 向左平移5 个单位，再向上平移3 个单位后的△A1B1C1；（2）以原点O 为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1 的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1 的相似比为2：1；（3）若△A1B1C1 内部任意一点P1 的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1 的对应点P2 的坐标（用含a、b 的代数式表示）16、（9 分）本期开学以来，初三2015 级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A 等：优秀；B 等：良好；C 等：及格；D 等：不及格），并将结果汇成了如图1、2 所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1 扇形图中D 等所在的扇形的圆心角的度数是，并把图2 条形统计图补充完整；（3）我校九年级有1800 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为；（4）已知得A 等的同学中有一位男生，体育老师想从4 位A 等的同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．17、（8 分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375 个，六月份售出540 个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10 元，月销售量为500 个，若在此基础上每个涨价1 元，则月销售量将减少20 个，现在既要使月销售利润达到6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？18、（8 分）如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD 交于点O，AC 平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若，BD＝2，求BE 的长（直接写出答案）3 19、（12 分）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图 1 的形状，连接 AG 、AC ，则∠ACG ＝°；【解决问题】：（2）将矩形 AQGF 绕点 A 顺时针转动，边 AF 与边 CD 交于点 M ，连接 BM ，AB ＝10，AD ＝6．①如图 2，当 BM ＝AB 时，求证：AM 平分∠DMB ；写出证明过程 ②如图 3，当点 F 落在 DC 上时，连接 BQ 交 AF 于点 O ，则 AO ＝；【迁移应用】：（3）如图4，正方形 ABCD 的边长为5 2 ，E 是 BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），连接 AE ，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90°至 FE ，作射线 FC 交 AB 的延长线于点 G ，则 BG ＝；（4）如图 5，在菱形 ABCD 中，∠A ＝120°，E 是 CD 边上一点（不与点 C 、D 重合），连接 BE ，将线段 BE 绕点 E顺时针旋转 120°至 FE ，作射线 FD 交 BC 的延长线于点 G ，若 BG= 6 ,则 CG=；20、（12 分）在正方形 ABCD 中，AB ＝10，AC 是对角线，点 O 是 AC 的中点，点 E 在 AC 上，连接 DE ，点 C 关于DE 的对称点是 C ′，连接 DC ′，EC ′．（1）如图 1，若 DC ′经过点 O ，求证：；（2）如图 2，连接 CC ′，BC ′，若∠ADC ′＝2∠CBC ′，则 CC ′的长为；并说明理由？（3）当点 B ，C ′，E 三点共线时，直接写出 CE 的长．备用图。

2024-2025学年北京北师大附中初三上学期期中数学试题及答案

2024北京北师大附中初三（上）期中数学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回．一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=．（2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________．（2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象；（3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ；（2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据：证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=．故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠，由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案．【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒，故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答；【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ，即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=，故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=．故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，．故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===，在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=；【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果；（2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==，若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解（2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；（2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=，解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析（3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解（3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可．【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=，解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =，由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案；（3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论．【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：；（4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可；（2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ，结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围．【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===；【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ，而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<，解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数；（2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =，连接CN ，证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =，连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===，根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。

人教版初三上册《数学》期中考试卷及答案【可打印】

一、选择题（每题1分，共5分）1. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）。

A.（2，3）B.（2，3）C.（2，3）D.（2，3）2. 已知一组数据：1，2，3，4，5，那么这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）。

A. 3，3，3B. 3，3，3.5C. 3，3，4D. 3，3，4.53. 下列函数中，属于一次函数的是（）。

A. y=2x+1B. y=x^2C. y=2/xD. y=3sinx4. 已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=2时，y=4，那么k的值为（）。

A. 2B. 4C. 2D. 45. 在平面直角坐标系中，点A（3，2），点B（3，2），那么线段AB的中点坐标是（）。

A.（0，0）B.（0，1）C.（0，1）D.（1，0）二、判断题（每题1分，共5分）1. 直角三角形的两个锐角互余。

（）2. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（）3. 一元二次方程的根一定是实数。

（）4. 圆的周长与半径成正比。

（）5. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 在等腰三角形中，若底边长为10，腰长为13，则这个等腰三角形的周长是______。

2. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）关于原点的对称点坐标是______。

3. 已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），若方程有两个相等的实数根，则判别式△=______。

4. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则第10项a10=______。

5. 在平面直角坐标系中，点A（m，n），点B（m，n），则线段AB的长度是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述一元二次方程的根的判别式。

2. 请简述圆的性质。

3. 请简述等差数列的性质。

4. 请简述三角形的内角和定理。

5. 请简述平行线的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，求这个等腰三角形的周长。

湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。

九年级上学期期中考试(数学)试题含答案

九年级上学期期中考试（数学）（考试总分：100 分）一、单选题（本题共计10小题，总分30分）1.（3分）在在在在在在在在在,在P(4,-2)在在在在在在在在在在在在( )A.(-4,2)B.(4,2)C.(-2,4)D.(-4,-2)2.（3分）在在在在在,在在在在在在在在在在在在A. B. C. D.3.（3分）在在在y=(x在1)2+2在在在在在在3在在在在在,在在在在在在在在在在在在( )A.y=x2+2B.y=(x﹣1)2+1C.y=(x+2)2+2D.y=(x﹣1)2﹣34.（3分）在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在“1”,“2”,“3”“4”,“5”,“6”,在在在在在在在,在在在在在在在在在,在在在在在在在在A. B. C. D.5.（3分）在在,在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在,在在在在在在在在在在.在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在,在在在在在在A. B.C. D.6.（3分）在在在在在在在在在在在,在在在在在在A. B. C. D.7.（3分）在在,在在,在在在,在,在在在在A.6B.9C.12D.158.（3分）在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在A. B. C. D.9.（3分）236410589535在在,BC在在在在在在在在在,在在在在在在在3m,在在在6m,在在在在在在在B在在在在在在在在在在在AC在在在P.在在在在在在在在在在在( )A.3B.C.D.410.（3分）在在,在在ABCD在,AB=8cm,BC=6cm,在P在在A在在,在1cm/s在在在在A→D→C在在在在在在,在在在Q在在A在在,在2cm/s在在在在A→B→C在在在在在在,在在在在在在在C在,在在在在在在在在在.在在在在在在t(s),在APQ在在在在S(cm2),在在在在在在在S在t在在在在在在在在在在( )A. B.C. D.二、填空题（本题共计5小题，总分15分）11.（3分）在在在在在在在在在在在在在72°,在在在在在在在在在在在在___________.12.（3分）在在,在在在在在在,在在在在 _________.13.（3分）在在,在在在在,在在在,在在在在在.在在,在,在______.14.（3分）在在在在在在在在在在8,在在在在在在在在在在,在在在在在在在在______.15.（3分）在在,在在在在在在在在在,在在在在1在在在在OABC在在O在在在在在45°在在在在在在OA1B1C1,在在在在,在在O在在在在2021在在在在在在OA2021B2021C2021,在在在A2021在在在在_______.三、解答题（本题共计7小题，总分55分）16.（6分）在在在在在在在.(1)在m在在(2)在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在.17.（6分）在在,在在在在在在在在在在在在在在在1在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在在在在在在,在ABC在在在在在在在在.(1)在在ABC在在在在6在在在在在在在在A1B1C1,在在在在A1B1C1;(2)在在在A1B1C1在在在O在在在在在在在在A2B2C2;(3)在在在ABC在在在在在在在在在在A2B2C2,在在在在在在在在在______.18.（8分）在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在4在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在在在在在在,在在在在在A在B在C在D在在在在在(在在在在在在在,在在在在在在).在在在在在在在在在在在,在在在在.(1)在在在在在在在在在在在在在“在在在在”在在在在在在?(2)在在在在在在在在在在在在(在在在),在在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在“在在在在”在“在在在在”在在在.(在在在在在在在在在在在在在A在B在C在D在在)19.（6分）在在在(x-1)2-5(x-1)+4=0在,在在在在在x-1在在在在在在,在x-1=y,在在在在在在在y2-5y+4=0,在在,在y=1在,在x-1=1,在在:x=2;在y=4在,在x-1=4,在在:x=5,在在在在在在在:在在在在在在在在在在(2x+5)2-7(2x+5)+12=0在在20.（8分）A.如图,在在BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的在O与CE相切于点D,AD在OC,点F为OC与在O的交点,连接A(1)在在:CB在在O在在在;(2)在在ECB=60°,AB=6,在在在在在在在在在在.21.（10分）在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在50在.在在在在在在在在在在在在,在在在在在,在在在在在在y(在)在在在在在在x(在)在在在在在在在在,在在在在在在在:(1)在在y在x在在在在在在在在;(在在在在在在在x在在在在在)(2)在在在在在在在在在在在在在在在在在在24000在,在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在?(3)在在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在在在在50%,在在在在在在在在在在在在在在w(在),在w在x在在在在在在在在,x在在在在,w在在在在,在在在在在在在?22.（11分）A.如图,已知二次函数y=a x2+b x+3的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(4,0),与y的正半轴交于点(1)在在在在在y=a x2+b x+3在在在在.(2)在Q(m,0)在在在OB在在在,在在Q在y在在在在在,在BC在在在M,在在在在在在在N,在在CN,在在:在在在在在Q,在在MN=MC?在在在,在在在在Q在在在;在在在在,在在在在在.(3)在在E在在在在在在在在,在在E在在在在在在在在BC在在在在F,在EF=,在在在在E在在在.答案一、单选题（本题共计10小题，总分30分）1.（3分）在在在在A2.（3分）在在在在C3.（3分）在在在在C4.（3分）在在在在D5.（3分）在在在在D6.（3分）在在在在A7.（3分）在在在在C8.（3分）在在在在B9.（3分）在在在在B10.（3分）在在在在A二、填空题（本题共计5小题，总分15分）11.（3分）在在在在512.（3分）在在在在1313.（3分）在在在在27°14.（3分）在在在在2015.（3分）在在在在(−√22,−√22)三、解答题（本题共计7小题，总分55分）16.（6分）(1)m=-1(2)在在在在在在在: x =在在在在:17.（6分）(1)在在,在A1B1C1 在在在在;(2)在在,在A2B2C2 在在在在;(3)在在在在在在在在(-3,0).18.（8分）(1)在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在,在在在在在在在在在在在在在在“在在在在”在在在在(2)在在在在在在:在在 12 在在在在在在在,在在在在在在在在在在“在在在在”在“在在在在”在在在 2 在,在在在在在在在在在在在“在在在在”在“在在在在”在在在19.（6分）在在在在在:在 2x+5=y,在在在在在在在 y2-7y+12=0,在在 y 1=3 y2 =4 在 y=3 在,在2x+5=3,在在:x=-1;在 y=4 在,在 2x+5=4,在在: x=在在在在在在在:x1 = -1 x2 =20.（8分）(1)在在:在在 OD,在 AF 在在在在 G,在CE 在在O 在在在在 D, 在OD在CE,在在CDO=90°, 在AD在OC,在在ADO=在COD,在DAO=在COB, 在OA=OD,在在ADO=在DAO,在在COD=在COB, 在OB=OD,OC=OC,在在CDO在在CBO,在在CBO=在CDO=90°, 在OB在BC在CB 在在O 在在在.(2)S 在=S 在在 ODF=21.（10分）(1)在 y 在 x 在在在在在在在在在 y=kx+b(k≠0),在 y在 x 在在在在在在在在在 y=-20x+2600;(2)(x-50)(-20x+2600)=24000,在在,x1=70,x2=110(在在在在,在在), 在在在在在在在在,在在在在在在在在 70 在;(3)在在在在在,w=(x-50)(-20x+2600),=-20x 2+3600x-130000, w=-20(x-90)2+32000,在在在在在在在在在在在在在在在在在在 50%,在在在在在在在在在在,在在在,50≤x≤75,在a=-20 < 0,在在在在在在在,在在在:x=90 在 x < 90 在,w 在 x 在在在在在在在在 x=75 在,w 在在在在在,在在 w=27500, 在:在在在在 75 在在,在在在在在在在,在在在在在 27500 在.22.（11分）(1)在 A(-1,0),B(4,0)在在 y=ax 2+bx+3,在:在在在在在在在在在在(2)在在,在在在在:在 x=0 在,y=3, 在在 C 在在在在(0,3). 在在在 BC 在在在在在在在 y=kx+c(k≠0), 在B(4,0),C(0,3)在在 y=kx+c,在:,在在:在在在 BC 在在在在在在在在在 Q 在在在在(x,0),在在 M 在在在在在 N 在在在在在MN=MC. 在在 C 在在在在(0,3),在在在:x=0( 在在)在在在 Q在在在在在在在在 Q在在 MN=MC.(3)在在 E 在 EP在在在 BC,在 y 在在在 P,在在在在 P 在在在,在在 P1,P2,在在 2 在在.在OB=4,OC=3,在在在 O 在在在 BC 在在在在=在在 E 在在在在在在在在 BC 在在在在 F,在在在 E 在在在 BC 在在在在,在在 P1在在在 OC 在在在,在在 P1在在在在在CP1=CP2,在在 P2在在在在在在在 BC在在在在在在在在在在 EP 在在在在在在在在在在在 EP在在在在在在在在在在在在在在,在:在在在E 在在在在:。

2024-2025学年河南省周口市郸城县多校联考九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年河南省周口市郸城县多校联考九年级上学期期中考试数学试题1.下列各组数中的四条线段，是比例线段的是（）A．1，2，3，8B．1，4，2，6C．5，6，2，3D．2.若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（）A．1：16B．16：1C．1：4D．1：2 3.下列各式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．4.用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣5）2＝4B．（x+5）2＝4C．（x﹣5）2＝121D．（x+5）2＝1215.如图，直线l 1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（）A．B．C．D．6.如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（）A．4B．6C．16D．187.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．且D．且8.已知矩形的顶点A、B、C的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为（）A．B．C．D．9.若，则（）A．2B．4C．D．10.如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，下列结：①；②；③；④．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11.如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是_______________．(添加一个即可)12.设，则的值是_____．13.两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为______．14.如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点D在边上，点E在斜边上，点F在边上，若，则正方形的面积为______．15.如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．16.（1）解方程：；（2）计算：17.如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A 2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．18.如图，在四边形中，相交于点E，点F在上，且，(1)求证：；(2)若，求的长．19.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：小霞：两边同除以，得，则．移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．20.如图，在中，D 、E 、F 分别为边的中点，相交于点O ，．试求出线段的长．(结果保留根号)21.如图，有一块形状为的斜板余料，已知，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，D ，E 两点分别在上，且．(1)求斜边上的高；(2)求平行四边形的面积．22.某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？23.【问题呈现】如图①，和都是等边三角形，连接．求证：．【类比探究】如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出的值．【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且连接．（1）求的值；（2）延长交于点F，交于点G．求证：．。

2024-2025学年阶段性学业水平测评卷(吉林省九年级上学期期中考试A卷)数学试题

2024-2025学年阶段性学业水平测评卷（吉林省九年级上学期期中考试A 卷）数学试题一、单选题1．抛物线224y x =-的顶点坐标是（）A ．()2,4B ．()0,4-C ．()0,4D ．()2,4-2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．平面内，已知O 的半径是5cm ，线段6cm OP =，则点P 在（）A ．O 外B ．O 上C ．O 内D ．无法确定4．如图，在O 中，OC ⊥弦A 于点C ，4AB =，1OC =，则OB 的长为（）A ．17B ．15CD ．35．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是()214312y x =--+，则他将铅球推出的距离为（）A ．3mB ．4mC ．7mD ．10m6．《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为x 尺，则依题意所列方程为（1丈10=尺，1尺10=寸）（）A ．()2226.810x x ++=B ．()2226.810x x +-=C ．()226.810x x +=D ．()226.810x x -=二、填空题7．点()3,2M -关于原点对称的点的坐标是．8．如图，以点O 为旋转中心，将AOB ∠按顺时针方向旋转110︒得到COD ∠，若40AOB ∠=︒，则AOD ∠=°．9．已知函数2=32y x x a ++-的图象过原点，则a 的值为10．将一元二次方程()()252x x x +=-化为一般形式2100x ax ++=则a 的值为．11．如图，BC 为O 的直径，弦CD OA ∥．若50C ∠=︒，则A ∠=°．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的度数是°．13．当=时，代数式2421x x +-的值与代数式232x -的值相等．14．若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a ，b ，则通常记作这个两位数为ab ，于是10ab a b =+．如：()()101010910a a a a a -=+-=+，当()9910x x ⨯-的值最大时，x 的值为．三、解答题15．用适当的方法解方程：2230x x --=．16．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，求该函数的解析式并写出对称轴．17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC CB ==，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到ADE V ．(1)线段DE 的长是______，EAC ∠的度数是______°；(2)连接CD ，求证：四边形ACDE 是平行四边形．18．在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++经过点()1,0和()1,4-．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点()12,A y ，()23,B y 都在该抛物线上，则1y _______2y ．（填“>”“<”或“=”）19．如图，在5×5的正方形网格纸中，已知格点M 和格点线段AC ，请按要求画出AC 为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．(1)在图①中画出四边形ABCD ，使得四边形ABCD 是中心对称图形，且点M 在四边形ABCD 的内部（不包括边界上）．(2)在图②中画出四边形AECF ，使得四边形AECF 既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点M 在四边形ABCD 的边界上（不包括顶点上）．20．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）求圆心O 到BC 的距离OD ．21．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的三个顶点的坐标分别为()6,3A ，()0,5B ，0,0．(1)将OAB △向左平移5个单位长度得到111O A B △，请画出111O A B △；(2)画出OAB △绕原点O 顺时针方向旋转90︒后得到的22OA B △；(3)OAB ∠的度数为_______︒．22．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一个交点为C ，与y 轴交于点B ．(1)点C 的坐标为______；(2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．23．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取5=）24．已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC ．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，有DB EC ．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2cm BC =．点P 从点A 出发，以2/s cm 的速度沿A B C →→向终点C 运动，过点P 作直线AC 的垂线交AC 于点D ，当点P 与A 、C 不重合时，作点A 关于点D 的对称点Q ，设点P 的运动时间为()s 03x x <<，APQ △与ABC V 重叠部分图形的面积是2cm y ．(1)AB 的长为______；(2)当点Q 与点C 重合，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，3OA OB ==．经过点O ，A 的抛物线L ：2y ax bx =+交AB 于点C ，点C 的横坐标为1．点P 在线段AB 上，当点P 与点C 不重合时，过点P 作PQ y ∥轴，与抛物线交于点Q .以PQ 为边向右侧作矩形PQMN ，且1PN =．设点P 的横坐标为m 时，解答下列问题．(1)求此抛物线L 的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边PN 上时，求m 的值；(3)矩形PQMN 为正方形时，直接写出m 的值．。

上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知53x y =，3y ≠-那么下列等式不成立．．．的是（）A ．83x y y +=B ．23x y y -=C ．5533x y +=+D ．3533x y +=+2．下列图形，一定相似的是（）A ．两个等边三角形B ．两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个菱形3．已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB n =，那么下列关系式正确的是（）A ．sin AC n A =⋅B ．cos AC n A=⋅C ．tan AC n A =⋅D ．cot AC n A=⋅4．已知向量a 与非零向量c 方向相同，且其长度为c 长度的3倍；向量b 与c 方向相反，且其长度为c 长度的6倍，那么下列等式中成立的是（）A ．12a b=B ．12a b =- C ．2a b = D ．2a b=- 5．已知ABC V 的三边都不相等，如果ABC V 与DEF 相似，且B D ∠=∠，那么下列等式一．定不成立．．．．的是（）A ．AB BC DE DF =B ．AB BC DF DE =C ．AB BC DE EF =D ．AB AC DE EF=6．如图，已知在ABC V 中，点G 是中线AH 上一点，且34AG AH =，点D 、E 分别在边AB AC 、上，DE 经过点G ，那么下列结论中，错误的是（）A ．如果3AD BD =，那么DE BC∥B ．如果点E 与点C 重合，那么:3:2AD BD =C ．AB AC AD AE +的和是一个定值D ．AD AE AB AC+的和是一个定值二、填空题7．计算：tan 60cos30︒+︒=．8．计算：()()33222b a a b -+-= 9．已知线段b 是线段a ，c 的比例中项，4cm a =，6cm b =，那么c =cm ．10．如果两个相似三角形的相似比是4:9，那么它们的周长比是．11．已知在ABC V 中，点D 是边AB 的中点，ACD B ∠=∠，4BD =，那么AC 的长是12．如图，已知123l l l ∥∥，:1:2AB BC =，如果10DF =，那么DE =．13．已知点P 位于第一象限内，6OP =，且OP 与x 轴正半轴夹角的正弦值为23，那么点P 的坐标是14．如图，在ABC V 中，正方形DEFG 内接于ABC V ，点D 、E 分别在边AB AC 、上，点G 、F 在边BC 上，如果10AB AC ==，12BC =，那么DE 的长是．15．如图，已知点P 在等边三角形ABC 的边BC 的延长线上，120PAQ ∠=︒，射线AQ 与CB 的延长线交于点Q ，如果3BC =，8CQ =，那么CP =．16．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，连接CD ，如果BCD ADE S S =△△，8AC =，那么AE =．17．为了测量校门口路灯AB 的高度，小明准备了两根标杆CD EF 、和皮尺，按如图的方式放置，已知 1.5CD EF ==米，在路灯的照射下，标杆CD 的顶端C 在标杆EF 留下的影子为G ，标杆EF 在地面上的影长是FH ，经测量得0.5FG =米， 1.5DF =米，3FH =米，那么灯杆AB 的长是米．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，7AC BC ==，点D 在边A 上，34AD BD =，点E 在射线BC 上，将DEB 沿着D 翻折，点B 落在点F 处，如果点A E F 、、在同一直线上，那么BE =．三、解答题19．如图，在ABC V 中，点E 为AC 中点，点D 在边AB 上，AED B ∠=∠，9AB =，6AC =．(1)求AD 的长；(2)设AB a =，BC b =用向量a 、b 表示向量DE ，即DE = ______．20．如图，在ABC V 中，120C ∠=︒，4BC =，3sin 5B =，求AC 的长．21．如图，AC 与BD 相交于点O ，将ADO △、ABO 、BOC 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，当AD BC ∥时，试探究1S 、2S 、3S 有怎样的等量关系，并说明理由．22．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形也有重心；②在平面内，图形A 与图形B 拼成一个图形C ，那么图形C 的重心一定在图形A 的重心与图形B 的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题：如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为Rt ABC ，C 为直角顶点，1cot 2B =，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合．(1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心G ；（不用写作法，保留痕迹，写出结论）(2)直接．．写出线段AG 与线段BG 之比的比值．23．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 在边CB 的延长线上，点E 在线段AD 上，DE CE =．(1)求证：EAF ECA ∽；(2)如果3CF EF =，连接EB ，求证：EB CD ⊥．24．如图，在锐角ABC V 中，AD 是高，tan 3ABC ∠=，点E 是AB 的中点．(1)求BED ∠的正切值；(2)点F 在线段ED 的延长线上，且CF ED ⊥，连接BF ，如果BF CF =，求BC AC 的值．25．如图1，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，AB AD CD ==，AB BC <．(1)当6AB =，1cos 3C =时，求梯形ABCD 的面积；(2)作CD 的垂直平分线交射线AB 于点E ，交CD 于点F ．①如图2，当点E 与点B 重合时，求C ∠的余弦值；②当EF 经过BC 的中点时，求AB BC的值．。

北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍）．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。

初三上学期期中数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. 2.5B. -3.14C. √9D. π2. 已知a、b是方程x² - 5x + 6 = 0的两根，则a+b的值是（）A. 5B. -5C. 6D. -63. 下列各式中，正确的是（）A. 3a = a + a + aB. 3(a + b) = 3a + 2bC. 3(a - b) = 3a - 3bD. 3(a + b) = 3a - 3b4. 已知一次函数y = kx + b（k≠0），当x=1时，y=2；当x=2时，y=4。

则该一次函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = 2x - 1C. y = 3x + 1D. y = 3x - 15. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 长方形D. 平行四边形6. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，-3）7. 已知正方形的边长为4，则该正方形的对角线长是（）A. 4B. 6C. 8D. 108. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x²B. y = |x|C. y = -x³D. y = x + 19. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 70°，则∠C的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°10. 下列各式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. a² + b² = (a - b)²C. a² + b² = (a + b)² - 2abD. a² + b² = (a - b)² + 2ab二、填空题（每题5分，共50分）11. 若m + n = 5，mn = 6，则m² + n²的值是______。