北京市普通高中会考数学试卷习题.doc
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =（ ） A ．{2,1}-- B ．{2,0}- C ．{0,1} D ．{0,2}【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案. 【详解】集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=, 故{0,2}A B ⋂=， 故选：D2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-， ∴z =12i -. 故选：D.3．()sin 45-︒=（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 45sin 45-︒=-︒=. 故选：B4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，()()()22R,x f x x x f x ∈-=-==，即函数为偶函数. 故选：B.5．sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（ ） A ．0.24 B ．0.14 C ．0.06 D ．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案. 【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=. 故选：C8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x=C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意； 1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意；2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，14,3AB AC AA ===，则BAC ∠ 为直角， 故可得：11111114432422AB BC B A C A C V S AA AB AC AA -=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= , 故选：D10．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】11011a b →→⋅=⨯+⨯=. 故选：B.11．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABCD 不一定是矩形，所以“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A.12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由真数大于0可得. 【详解】由30x ->，得3x >. 故选：A13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（ ）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=. 故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ） A ．0.25 B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是21222=+. 故选：C15．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊂∥，则αβ∥【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD ，由线面垂直的性质可得B 正确. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，记底面ABCD 为α，EF 为m ，EH 为n ，显然A 不正确；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面CDHG 为β，故排除C ；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面ABFE 为β，可排除D ；由线面垂直的性质可知B 正确. 故选：B16．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ） A ．1 B ．2 C 2D 3【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴ 3b =故选：D.17．已知a ，b 是实数，且a b >，则（ ） A ．a b -<- B ．22a b <C ．11a b> D ．||||a b >【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于a b >，所以a b -<-，A 选项正确.221,1,,a b a b a b ==-==，BD 选项错误.112,1,a b a b==<，C 选项错误. 故选：A18．已知0,0x y >>，且1xy =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为,0x y >，所以2x y +≥=，当且仅当1x y ==时取“=”. 故选：B.19．已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】()2xf x =在[)0,∞+上是增函数，所以最小值为()0f ，没有最大值. 故选：C20．对于正整数n ，记不超过n 的正奇数的个数为()K n ，如(1)1K =，则(2022)K =（ ） A ．2022 B ．2020 C ．1011 D ．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可. 【详解】由题意，不超过2022的正奇数有202210112=个. 故选：C. 二、填空题21．计算：lg 2lg5+=___________． 【答案】1【详解】lg2lg5lg101+==. 故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,S S 甲乙，则：2S 甲______2S 乙（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】<【分析】计算出22,S S 甲乙，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455S =⨯=甲. 乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255S =⨯+⨯=乙， 所以22S S <甲乙. 故答案为：<23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25℃对应77℉； ②20-℃对应4-℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值． 其中所有正确推断的序号是_____________． 【答案】①②③【分析】根据条件可得 1.832y x =+，然后逐项分析即得. 【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确.故答案为：①②③. 三、双空题24．已知函数()2,0,0,x x f x x <⎧⎪=≥则(1)f -=________；方程()1f x =的解为________．【答案】 －2 1【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥01=，解得x ＝1. 故答案为：－2；1. 四、解答题25．已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集． 【答案】(1)2()1f x x =+； (2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m =，即得； （2）利用一元二次不等式的解法即得. (1)由题意，(1)22f m =+=， 所以0m =．所以()f x 的解析式为2()1f x x =+． (2)不等式()21f x x <+等价于220x x -<． 解得02x <<．所以不等式()21f x x <+的解集为(0,2)．26．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π (2)12【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值. (1)()f x 的最小正周期为：221T ππ==. (2) 因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．27．阅读下面题目及其解答过程． 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（Ⅰ）求证：1AC BD ⊥；（Ⅱ）求证：直线1D D与平面1AB C 不平行．解：（Ⅰ）如图，连接11,BD B D ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1D D ⊥平面ABCD ．所以①___________． 因为四边形ABCD 为正方形， 所以②__________． 因为1D D BD D⋂=，所以③____________． 所以1AC BD ⊥．（Ⅱ）如图，设ACBD O =，连接1B O ．假设1//D D 平面1AB C ． 因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C平面11D DBB =④____________，所以⑤__________． 又11//D D B B，这样过点1B 有两条直线11,B O B B 都与1D D 平行，显然不可能．所以直线1D D与平面1AB C 不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ①A ．1D D AC⊥ B ．1D D BD⊥②A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥ ③A ．1BD ⊥平面1ABC B ．AC ⊥平面11D DBB④A ．1B OB ．1B B⑤ A ．11//D D B OB ．1D D与1B O为相交直线【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B ；（Ⅱ）④A ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案. 【详解】要证明1AC BD ⊥，可通过证明AC ⊥平面11D DBB 来证得，要证明AC ⊥平面11D DBB ，可通过证明1,D AC A BD D C ⊥⊥来证得， 所以①填A ，②填B ，③填B.平面1AB C 与平面11D DBB 的交线为1B O ，所以④填A ， 由于1//D D 平面1AB C ，因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C 平面111D DBB B O =，根据线面平行的性质定理可知，11//D D B O ，所以⑤填A.28．给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=； 条件②：()()1f x f x -⋅=； 条件③：()()1f x f x --=． 解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数． 【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当0x >时，()f x 的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意()f x 的定义域为(,0)(0,)D =-∞+∞， 当0x <时，24()4xf x x =+. 对于条件③，对任意x D ∈，都有()()1f x f x --=，以x -替换x ，则()()1f x f x --=，这与()()1f x f x --=矛盾，所以条件③不合题意. 若选条件①，当0x >时，0x -<，()()224411144x xf x f x x x -=--=-=+++. （1）()()44491,11145145f f --==-=+=++. （2）对于函数()()2404xh x x x =≠+， 任取120x x <<，()()()()()()221221121222221212444444444x x x x x x h x h x x x x x +-+-=-=⨯++++()()22121122221244444x x x x x x x x +--=⨯++()()()()12212122124444x x x x x x x x ---=⨯++ ()()()()122122124444x x x x xx --=⨯++，其中210x x ->，当122x x <<-时，1240x x ->，()()()()12120,h x h x h x h x ->>， 所以()h x 在(),2-∞-上递减.当1220x x -<<<时，1240x x -<，()()()()12120,h x h x h x h x -<<， 所以()h x 在()2,0-上递增.所以在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<.同理可证得：()h x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，()()()02,01h x h h x <≤<≤. 当0x >时，()()24114xf x h x x =+=++， 由上述分析可知，()f x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减.且()12f x <≤. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，由（2）的分析可画出()f x 的大致图象如下图所示，所以，当1m <-或01m ≤≤或2m >时，()g x 的零点个数是0； 当1m =-或2m =时，()g x 的零点个数是1； 当10m -<<或12m <<时，()g x 的零点个数是2．若选条件②，当0x >时，0x -<，由()()1f x f x -⋅=得()()2144x f x f x x+==--，（1）()()441451,114544f f -+-==-==-+-. （2）对于函数()()2404xh x x x =<+， 根据上述分析可知：()h x 在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增， 且在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<. 对于()()2404x f x x x+=>-，任取120x x <<，()()2222122112122144441444x x x x f x f x x x x x ⎛⎫++++-=-=- ⎪--⎝⎭()2212121212414x x x x x x x x -+-=⋅()()12212112414x x x x x x x x ---=⋅()()122112414x x x x x x --=⋅.其中210x x ->.当1202x x <<<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x -<-<<，()f x 递增；当122x x <<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x ->->>，()f x 递减.所以()f x 的增区间为()0,2，减区间为()2,+∞.且()()21f x f ≤=-. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，结合上述分析画出()f x 的大致图象如下图所示，所以当0m ≥时，()g x 的零点个数是0；当0m <时，()g x 的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出()()12f x f x -的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.。
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则=（）A．B．C．D．(★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．B．C．D．(★★) 4. 如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（）A．与直线相交B．与直线平行C．与直线垂直D．与直线是异面直线(★) 5. 如图，四边形是正方形，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知是定义在上的奇函数，则（）A．B． 0C． 1D． 2 (★) 7. 在下列各数中，满足不等式的是（）A．B．C．D．(★) 8. 命题“”的否定是（）A．B．C．D．(★) 9. （）A．B．C．D．(★) 10. 在下列各数中，与相等的是（）A．B．C．D．(★) 11. 在下列函数中，在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．(★) 12. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 13. 在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（）A．B．C．D．(★) 14. 在中，，则（）A．B．C．D． 3(★) 15. 下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．(★★) 16. 函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．(★) 17. 已知，则下面不等式一定成立的是（）A．B．C．D．(★★) 18. 2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．(★★) 19. 在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（）A．B．C．D．(★) 20. 小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A． 108B． 162C． 180D． 189二、填空题(★) 21. _________ ．(★★) 22. 已知则 _________ ；的最大值为_________ ．(★★)23. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 _________ ； _________ .(★★) 24. 某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A部门 4.5 5 6 7.5 9 11 12 13从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是 _________ ．三、解答题(★★) 25. 已知函数的部分图象如图所示．(1)求的值；(2)求函数的零点．(★★) 26. 已知电流（单位： A）关于时间（单位： s）的函数解析式为．(1)当时，求电流；(2)当时，电流取得最大值，写出的一个值．(★★) 27. 如图，在三棱锥中，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为是的中点，所以①_________.因为，由（1）知，，所以②_________所以③_________.所以.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.（A）（B）（A）（B）平面（A）平面（B）平面(★★★★) 28. 已知是定义在上的函数．如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增．如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减．(1)已知函数缓慢递增，写出一组的值；(2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围；(3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：缓慢递增；条件②：单调递增．结论①：缓慢递减；结论②：单调递减．。
北京市夏季普通高中会考数学试题
北京市夏季普通高中会考（新课程）数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3A =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,42．在等比数列{}n a 中，已知122,4a a ==，那么4a 等于(A)6 (B)8 (C)10 (D)163．函数()1f x x =-的零点的个数是(A) 0 (B)1 (C)2 (D)34．一个空间几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是(A) 18 (B)12 (C)6 (D)45．已知函数2x y =的图象经过点()01,y -，那么0y 等于 (A) 12 (B)12- (C) 2 (D)2-6．函数y =(A)(],1-∞- (B) ()1,1-(C) (][),11,-∞-+∞ (D)[)1,+∞7．在菱形ABCD 中，与AB 相等的向量可以是(A)CD (B) AC CB + (C)AD (D)AD DB -8．3tan 4π的值等于(A) 1- (B) (C) (D)1 9．四个函数1y x -=，12y x =，2y x =，3y x =中，在区间()0,+∞上为减函数的是 (A) 1y x -= (B) 12y x = (C) 2y x = (D) 3y x =10．如果直线20ax y ++=与直线320x y -+=垂直，那么a 等于(A)3 (B) 3- (C)13 (D)13-11．函数2sin cos y x x =的最小正周期是 (A) 2π (B)π (C) 2π (D) 4π 12．函数()2log 1y x =+的图象大致是(A) (B) (C) (D)13．口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是(A) 16 (B) 13 (C)12 (D)2314．函数1sin 2y x x =的最大值是 (A) 12(B) 2 (C) 1(D)122+ 15．经统计，2011年3月份30个地区工业增加值速度（%）.全部介于6与26之间，现将统计结果以4为组距分成5组：[]6,10，(]10,14，(]14,18，(]18,22，(]22,26，得到如图所示的频率分布直方图，那么工业增加值增长速度（%）在(]10,18的地区有(A) 3个 (B) 7个 (C) 9个 (D)12个16．平面α与平面β平行的条件可以是(A)α内的一条直线与β平行 (B)α内的两条直线与β平行(C)α内的无数条直线与β平行(D)α内的两条相交直线分别与β平行17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =+，那么()1f -等于(A)2- (B)1- (C)0 (D)218．已知直线,a b 和平面α，那么下列命题中的真命题是(A) 若,a b αα⊥⊥，则//a b (B) 若//,//a b αα，则//a b(C)若,a b b α⊥⊥，则//a α (D)若//,//a b b α，则//a α19．当,x y 满足条件10260y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数z x y =+的最小值是(A)0 (B) 2 (C) 4 (D)520．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ ，t min 后物体的温度C θ 可由公式()0.24010t e θθθθ-=+-求得．把温度是100C 的物体，放在10C的空气中冷却t min 后，物体的温度是40C ，那么t 的值约等于（参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）(A) 6.61 (B)4.58 (C)2.89 (D)1.69第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．已知3sin 5θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos θ= 22．已知0x >，0y >，且4x y +=，那么xy 的最大值是23．某校共有学生2000人，其中高三年级有学生700人．为调查“亿万学生阳光体育运动”的落实情况，现采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为400的样本，那么样本中高三年级的学生人数是24．阅读下面的程序框图，运行相应的程序．当输入16x =，12y =时，输出的结果是二、解答题（共3个小题，共28分）25．（本小题满分9分）已知直线l 经过两点()()1,0,0,1P Q -，圆C ：()()22114x y -+-=（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求AB 的值．26．（本小题满分9分）在平面直角坐标系xOy 中，()4,0OA = ，(OB = ，点C 满足4OCB π∠=．（Ⅰ）求OB BA ⋅ ；（Ⅱ）证明：OC OBC =∠ ；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得BC BA λ= 成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．27．（本小题10分）已知函数()21xf x x =+，数列{}n a 满足()11a f =，()1n n a f a +=()n N *∈．（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并比较n S 与218n n+参考答案：1.D2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.C11.B12.B13.D14.C15.D1.6D17.A18.A 19.D20.B 21.4522. 4 23.140人24. 425. （Ⅰ）1y x =-26. （Ⅰ）求0OB BA ⋅= ； （Ⅱ）11||||sin ||||sin 22OC CB OCB OB CB OBC ∠=∠，面积相等，化简得证；（Ⅲ）是否存在实数3λ=±．数形结合，同向或反向。
2018北京市夏季会考数学试题 Word版含答案7
2018北京市夏季会考数学试题 Word版含答案7北京市夏季普通高中会考数学试卷1.考生需认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共6页，分为两个部分。
第一部分是选择题，共25个小题（共75分）；第二部分是解答题，共5个小题（共25分）。
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分选择题每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={-1.1}，B={1.2}，那么A∩B等于A。
{}B。
{1}C。
{-1.1}D。
{-1.1.2}2.已知某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（）A。
球B。
圆锥C。
圆台D。
圆柱3.某市有超市2000家，其中大型超市140家，中型超市400家，小型超市1460家。
现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取中型超市的数量为A。
7B。
20C。
40D。
734.sin(π+α)等于A。
sinαB。
-sinαC。
cosαD。
-cosα5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC=3.该长方体的表面积为A。
4B。
8C。
12D。
166.在三角形ABC中，∠A=60，∠B=45，BC=3，那么AC 等于A。
6B。
2C。
1D。
$\sqrt{6}$7.如果向量a=(-2,m)，b=(1,2)，且a∥b，那么实数m等于A。
-1B。
1C。
-4D。
48.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两个平面平行。
其中正确命题的序号A。
①B。
②C。
③D。
④9.直线3x-y+1=0的倾斜角的大小是A。
45B。
60C。
120D。
13510.在数列{an}中，a1=1，an×an-1=2，(n=1,2,3,…)，那么a8等于A。
2018年北京市春季普通高中会考数学试题及解析(word版,解析版)
北京市2018届春季普通高中会考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C．D．lg x＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lg x；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．158．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2 C．S3V．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14% 45.5% 34.5% 6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+415．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．20．（3分）在△ABC中，，那么sin A等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，+∞）D．二、解答题26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点.（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=a e x+b e﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．C【解析】直线l的斜率k==，故选：C．3．C【解析】A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lg x≤0，因此不正确．故选：C．4．A【解析】向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．A【解析】①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f（x），为偶函数；③y=lg x为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．B【解析】将函数y=sin x的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．B【解析】模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．D【解析】{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．B【解析】原式===2．故选：B．10．A【解析】∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．B【解析】a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．D【解析】cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．D【解析】由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．C【解析】由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．B【解析】根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．D【解析】某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．B【解析】根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．B【解析】圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．A【解析】经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．B【解析】在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．A【解析】∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．C【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C1、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．C【解析】∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．C【解析】由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．B【解析】f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题26．解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．解：（1）当a=1时，f（x）=e x+b e﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+b e x=e x+b e﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=a e x+b e﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1.。
2016年北京市普通高中夏季会考数学试卷与解析word
2016年北京市普通高中夏季会考数学试卷一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆台D．圆柱3．（3分）某市有超市2000家，其中大型超市140家，中型超市400家，小型超市1460家．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取中型超市的数量为（）A．7 B．20 C．40 D．734．（3分）sin（π+α）等于（）A．sinα B．﹣sinαC．cosαD．﹣cosα5．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1=3．该长方体的表面积为（）A．4 B．8 C．12 D．166．（3分）在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=，那么AC等于（）A．B．C．1 D．7．（3分）如果向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，那么实数m等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．48．（3分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．其中正确命题的序号（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小是（）A．45°B．60°C．120° D．135°10．（3分）在数列{a n}中，a1=1，a n•a n﹣1=2，（n=2，3，…，），那么a8等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．211．（3分）已知sinα=，那么cos2α等于（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=x的图象大致是（）A．B． C．D．13．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．[0，π]C．D．14．（3分）在函数y=2x，y=x2，y=2x，y=cosx中，偶函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．315．（3分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么实数a等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．116．（3分）如果函数f（x）=log3x，那么f（）等于（）A．﹣1 B．C．D．117．（3分）每年的3月5日是“青年志愿者服务日”，共青团中央号召全国青年积极参加志愿服务活动．甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，那么2人参加的活动恰好相同的概率是（）A．B．C．D．18．（3分）在区间[0，4]内随机选一个实数x，该实数恰好在区间[1，3]内的概率是（）A ．B ．C ．D ．19．（3分）已知f（n）=2+22+…+2n，那么f（4）等于（）A．15 B．30 C．55 D．12620．（3分）已知圆O1的方程为x2+y2=4，圆O2的方程为（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．外离B．外切C．内含D．内切21．（3分）已知实数x，y 满足，那么z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．522．（3分）2012年我国环境保护部批准《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》为国家环境保护标准，其中“空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，其类别如表所示：根据北京市2014年和2015年的AQI数据，得到如图：根据上述信息，从统计学角度分析，下列结论中不正确的是（）A．2014年有9个月的AQI类别属于“轻度污染”B．2015年12月份AQI类别为“优”的天数一定为0C．2014年上半年AQI数据标准差大于2015年上半年AQI数据标准差D．每年的第二、第三季度空气质量较好23．（3分）我国南宋数学家秦九韶（约公园1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0的值的一种简捷算法，改算法被后人命名为“秦九韶算法”，其程序框图如图所示．当x=0.4时，多项式x4+0.6x3+x2﹣2.56x+1的值为（）A．0.2 B．1.58944 C．1.26176 D．2.24824．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），如果点C在函数y=﹣3x2+2的图象上，那么使得△ABC为直角三角形的点C的个数为（）A．8 B．6 C．4 D．225．（3分）对于集合M={a|a=x2﹣y2，x∈Z，y∈Z}，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（）①如果P={b|b=2n+1，n∈Z}，那么P⊆M；②如果c=4n+2，n∈Z，那么c∉M；③如果a1∈M，a2∈M，那么a1a2∈M．A．1 B．2 C．3 D．0二、解答题（每小题5分，共25分）26．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示．（Ⅰ）ω=；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）求x0的值．27．（5分）正方体ABCD﹣A 1B1C1D1被平面B1D1C截去一部分后得到几何体AB1D1﹣ABCD．如图所示．（1）在几何体AB1D1﹣ABCD的面上画出一条线段，使该线段所在的直线平行于平面B1D1C．（2）设E为B1D1的中点，求证：B1D1⊥平面A1ECA．28．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，a1=1，a1+a2=．（Ⅰ）当q=；（Ⅱ）在a1和a n之间插入n个数，其中n=1，2，3，…，使这n+2个数成等差+1数列．记插入的n个数的和为S n，求S n的最大值．29．（5分）已知圆M的方程是x2﹣6x+y2﹣16=0．（Ⅰ）圆M的半径是；（Ⅱ）设斜率为k（k＞0）的直线l交圆M于A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C．如果△MBC的面积是4k，求k的值．30．（5分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．（Ⅰ）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=；（Ⅱ）如果f（x）在区间[﹣1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c﹣1；（Ⅲ）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．2016年北京市普通高中夏季会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，那么A∩B={﹣1，0，1}∩{0，1，2}={0，1}，故选：C．2．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆台D．圆柱【解答】解：由俯视图得到几何体为圆台；故选：C．3．（3分）某市有超市2000家，其中大型超市140家，中型超市400家，小型超市1460家．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取中型超市的数量为（）A．7 B．20 C．40 D．73【解答】解：某市有超市2000家，其中大型超市140家，中型超市400家，小型超市1460家．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则应抽取中型超市的数量为：100×=20．故选：B．4．（3分）sin（π+α）等于（）A．sinα B．﹣sinαC．cosαD．﹣cosα【解答】解：利用诱导公式可得：sin（π+α）=﹣sinα．故选：B．5．（3分）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1=3．该长方体的表面积为（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：连结AC，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1=3，∴AC===2，∴CC1===1，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为：S=2S 正方形ABCD+4=2×（2×2）+4×（2×1）=16．故选：D．6．（3分）在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=，那么AC等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得⇒=⇒AC=．故选：B7．（3分）如果向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，那么实数m等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【解答】解：∵∥，∴﹣2×2﹣m=0，得m=﹣4，故选：C．8．（3分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．其中正确命题的序号（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：在①中，由平行公理得平行于同一直线的两条直线平行，故①正确；在②中，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故②错误；在③中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故③错误；在④中，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误．故选：A．9．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小是（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：直线x﹣y+1=0即为y=x+1，则斜率为，设倾斜角为α，则tanα=，可得α=60°，故选：B．10．（3分）在数列{a n}中，a1=1，a n•a n﹣1=2，（n=2，3，…，），那么a8等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵a1=1，a n•a n﹣1=2，∴a n•a n﹣1=a n+1•a n=2，=a n﹣1，则a n+1则a n=a n，+2即a8=a6=a4=a2，∵a1=1，a n•a n﹣1=2，∴a2•a1=2，得a2=2，即a8=2，故选：D．11．（3分）已知sinα=，那么cos2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα=，那么cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2•=，故选：D．12．（3分）函数y=x的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：函数是幂函数，定义域为：{x|x≥0}，排除选项C，D，因为x＞1时，，所以排除选项A．故选：B．13．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．[0，π]C．D．【解答】解：对于函数f（x）=sinx，它的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，再结合x∈[0，]，可得它的增区间为[0，]，故选：A．14．（3分）在函数y=2x，y=x2，y=2x，y=cosx中，偶函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在函数y=2x，y=x2，y=2x，y=cosx中，它们的定义域都是R，其中，满足f（﹣x）=f（x）的只有y=x2 和y=cosx，故偶函数有y=x2 和y=cosx．而满足f（﹣x）=﹣f（x）的只有y=2x，故函数y=2x为奇函数，而y=2x，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），故y=2x为非奇非偶函数，故选：C．15．（3分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么实数a等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M（0，﹣1），N（2，3）；则K MN==2，而直线ax+2y﹣3=0的斜率k=﹣，若直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，则有2×（﹣）=﹣1，解可得a=1，故选：D．16．（3分）如果函数f（x）=log3x，那么f（）等于（）A．﹣1 B．C．D．1【解答】解：∵函数f（x）=log3x，∴f（）==﹣1．故选：A．17．（3分）每年的3月5日是“青年志愿者服务日”，共青团中央号召全国青年积极参加志愿服务活动．甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，那么2人参加的活动恰好相同的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，基本事件总数n=2×2=4，2人参加的活动恰好相同包含的基本事件个数m==2，∴2人参加的活动恰好相同的概率p=．故选：D．18．（3分）在区间[0，4]内随机选一个实数x，该实数恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，4]内随机选一个实数x，区间长度为4，而该实数恰好在区间[1，3]内的区间长度为2，所以所求概率是；故选：C．19．（3分）已知f（n）=2+22+…+2n，那么f（4）等于（）A．15 B．30 C．55 D．126【解答】解：∵f（n）=2+22+…+2n，∴f（4）=2+22+23+24==30．故选：B．20．（3分）已知圆O1的方程为x2+y2=4，圆O2的方程为（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．外离B．外切C．内含D．内切【解答】解：圆O1的方程为x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2；圆O2的方程为（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，圆心（a，0）半径为：1，圆心距为：≥1=2﹣1，所以两个圆的位置关系不可能是内含．故选：C．21．（3分）已知实数x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：画出实数x，y满足的可行域如图：将z=y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A（﹣3，0）时，直线的纵截距最大，最大为：3．故选：C．22．（3分）2012年我国环境保护部批准《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》为国家环境保护标准，其中“空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，其类别如表所示：根据北京市2014年和2015年的AQI数据，得到如图：根据上述信息，从统计学角度分析，下列结论中不正确的是（）A．2014年有9个月的AQI类别属于“轻度污染”B．2015年12月份AQI类别为“优”的天数一定为0C．2014年上半年AQI数据标准差大于2015年上半年AQI数据标准差D．每年的第二、第三季度空气质量较好【解答】解：由图可得A，D正确，2014年上半年AQI数据波动比2015年上半年AQI数据波动小，故C正确，2015年12月份AQI类别为“优”的天数不一定为0，故B错误，故选：B．23．（3分）我国南宋数学家秦九韶（约公园1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0的值的一种简捷算法，改算法被后人命名为“秦九韶算法”，其程序框图如图所示．当x=0.4时，多项式x4+0.6x3+x2﹣2.56x+1的值为（）A．0.2 B．1.58944 C．1.26176 D．2.248【解答】解：模拟程序框图的运行，可得a0=1，a1=﹣2.56，a2=1，a3=0.6，a4=1，n=4，x=0.4，k=1，S=1，S=0.4×1+0.6=1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=1×0.4+1=1.4，满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=1.4×0.4﹣2.56=﹣2，满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（﹣2）×0.4+1=0.2，不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为0.2．故选：A．24．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），如果点C在函数y=﹣3x2+2的图象上，那么使得△ABC为直角三角形的点C的个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵点A（﹣1，0），B（1，0），如果点C在函数y=﹣3x2+2的图象上，则设点C（a，﹣3a2+2），∵△ABC为直角三角形，①若A为直角顶点，则有AC⊥AB，此时，a=﹣1，点C的坐标为（﹣1，﹣1）；②若B为直角顶点，则有BC⊥AB，此时，a=1，点C的坐标为（1，﹣1）；③若C为直角顶点，则有AC⊥BC，此时，=（﹣1﹣a，3a2﹣2）•（1﹣a，3a2﹣2）=（﹣1﹣a）•（1﹣a）+（3a2﹣1）2=a2﹣1+9a4﹣12a2+4=9a4﹣11a2+3=0，求得a2=，或a2=，故此时，a的不同的值共有4个，此时，点C共有4个．综上可得，满足条件的点C共有6个，故选：B．25．（3分）对于集合M={a|a=x2﹣y2，x∈Z，y∈Z}，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（）①如果P={b|b=2n+1，n∈Z}，那么P⊆M；②如果c=4n+2，n∈Z，那么c∉M；③如果a1∈M，a2∈M，那么a1a2∈M．A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：集合M={a|a=x2﹣y2，x∈Z，y∈Z}，对于①，b=2n+1，n∈Z，则恒有2n+1=（n+1）2﹣n2，∴2n+1∈M，即P={b|b=2n+1，n∈Z}，则P⊆M，①正确；对于②，c=4n+2，n∈Z，若4n+2∈M，则存在x，y∈Z使得x2﹣y2=4n+2，∴4n+2=（x+y）（x﹣y），又x+y和x﹣y同奇或同偶，若x+y和x﹣y都是奇数，则（x+y）（x﹣y）为奇数，而4n+2是偶数；若x+y和x﹣y都是偶数，则（x+y）（x﹣y）能被4整除，而4n+2不能被4整除，∴4n+2∉M，即c∉M，②正确；对于③，a1∈M，a2∈M，可设a 1=x12﹣y12，a2=x22﹣y22，x i、y i∈Z；则a1a2=（x12﹣y12）（x22﹣y22）=（x1x2）2+（y1y2）2﹣（x1y2）2﹣（x2y1）2=（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、解答题（每小题5分，共25分）26．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示．（Ⅰ）ω=2；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）求x0的值．【解答】解：（Ⅰ）由五点对应法得•ω﹣=0．得ω=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x﹣），函数的周期是T==π，则x0﹣==，则x0=+=，故答案为：2，27．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面B1D1C截去一部分后得到几何体AB1D1﹣ABCD．如图所示．（1）在几何体AB1D1﹣ABCD的面上画出一条线段，使该线段所在的直线平行于平面B1D1C．（2）设E为B1D1的中点，求证：B1D1⊥平面A1ECA．【解答】解：（1）如图，连接BD，则BD∥平面B1D1C，证明：∵由已知可得：BD∥B1D1，且BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面B1D1C．（2）证明：在等腰A1B1D1中，E为B1D1的中点，所以，B1D1⊥A1E，由已知可得：AA1⊥平面A1B1D1，所以，AA1⊥B1D1，所以，B1D1⊥平面A1ECA．28．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，a1=1，a1+a2=．（Ⅰ）当q=；（Ⅱ）在a1和a n之间插入n个数，其中n=1，2，3，…，使这n+2个数成等差+1数列．记插入的n个数的和为S n，求S n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是公比为q的等比数列，a1=1，a1+a2=，∴，解得q=．故答案为：．（Ⅱ），∴=，依题意得S n==，∵S n﹣S n=﹣=．﹣1∴S1＜S2，S2=S3，S3＞S4＞S5＞…∴S n的最大值为S2=S3=．29．（5分）已知圆M的方程是x2﹣6x+y2﹣16=0．（Ⅰ）圆M的半径是5；（Ⅱ）设斜率为k（k＞0）的直线l交圆M于A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C．如果△MBC的面积是4k，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣6x+y2﹣16=0，得（x﹣3）2+y2=25，∴圆M的半径是5．故答案为：5；（Ⅱ）设B（x0，y0），C（0，y1），直线l的方程为y=k（x+2）（k＞0）．联立，得（1+k2）x2+（4k2﹣6）x+4k2﹣16=0．∴，即．∴．在y=k（x+2）中，令x=0可得y1=2k．∴=．∵S=4k，且k＞0，∴，解得k=或k=．30．（5分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．（Ⅰ）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=﹣2；（Ⅱ）如果f（x）在区间[﹣1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f （x）＞c﹣1；（Ⅲ）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=﹣，由f（x）的图象关于直线x=1对称，可得﹣=1，解得b=﹣2，故答案为：﹣2．（Ⅱ）证明：由f（x）在[﹣1，1]上不单调，可得﹣1＜﹣＜1，即﹣2＜b＜2，对任意的x∈R，f（x）≥f（﹣）=﹣+c=c﹣，由﹣2＜b＜2，可得f（x）≥c﹣＞c﹣1；（Ⅲ）f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点，设为r，s，（r≠s），r，s∈（，1），可设f（x）=（x﹣r）（x﹣s），由c2+（1+b）c=c（1+b+c）=f（0）f（1）=rs（1﹣r）（1﹣s），且0＜rs（1﹣r）（1﹣s）＜[]2•[]2=，则c2+（1+b）c∈（0，）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。
北京市会考数学试题
北京市会考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，周期为π的是( )A. y = sin(2x)B. y = cos(x/2)C. y = tan(3x)D. y = sec(4x)若复数z 满足|z| = 2，且z^2 = -4，则z = ( )A. 2iB. -2iC. ±2iD. ±√2i已知直线l: y = kx + b 经过点(1, 2) 和(3, 0)，则直线l 的斜率为( )A. 1B. -1C. 2D. -2已知函数f(x) = 3x^2 - 6x + 1，则f(x) 在区间[0, 3] 上的最大值为( )A. 1B. 2C. 4D. 10下列关于等差数列{an} 的性质，正确的是( )A. 若a1 > 0，公差d < 0，则数列{an} 是递增数列B. 若a1 < 0，公差d > 0，则数列{an} 是递减数列C. 数列{an} 中，任意两项的和为常数D. 数列{an} 中，任意两项的积为常数若直线y = kx + b 与双曲线x^2 - y^2 = 1 相交于两点，则实数k 的取值范围为( )A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-1, 1)C. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)D. 以上都不对设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ^2)，且P(X < 3) = 0.7，则P(X > 3) = ( )A. 0.3B. 0.7C. 0.4D. 0.6已知平面内三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，则ΔABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上都不对下列命题中，真命题的个数为( )① 若a > b，则a^2 > b^2② 若a > b，c > d，则ac > bd③ 若a > b，c > 0，则a/c > b/c④ 若a < b < 0，则a^2 < ab < b^2A. 1B. 2C. 3D. 4设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，若f(x) 有两个不同的极值点x1, x2，且f(x1) + f(x2) = -4/3，则a + b = ( )A. -4/3B. -2C. -8/3D. -4二、填空题（每题4分，共16分）已知函数y = log2(x - 1) 的定义域为_______．已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn = 3^n + r，则a2 + r = _______．在ΔABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c，若cos A = 1/3，则sin(2B + C) = _______．已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点(1, √3/2)，则椭圆C 的方程为_______．三、解答题（共54分）（本题12分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1 有两个不同的极值点，求 a 的取值。
2025届北京市春季普通高中会考高考临考冲刺数学试卷含解析
2025届北京市春季普通高中会考高考临考冲刺数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5B ．5C ．13D ．132．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164814．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．1623D ．1635．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11748．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤9．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 10．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=12．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A．B ．6C ．4D．2.函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A．B．C．D．4.若双曲线上存在一点P 满足以为边长的正方形的面积等于（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 不等式“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（ ）A ．5.5，3.7B ．5.4，4.4C ．6.5，3.7D ．5.5，4.48.已知数列的前n 项和为，，则以下满足的数列是（ ）A．B．C．D．9. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（ ）A．B ．数列为递增数列C．D ．数列的前n 项和为，则10. 已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，的有（ ）正确北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题A．恒有B ．与底面所成角的最大值为C．恒有D．三棱锥外接球表面积的最小值为11.在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．A ．数列为等差数列B．C ．当取最大值时，n 的值为51D ．当数列的前n 项和取得最大值时，n 的值为49或5112. 在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A ．直线与所在平面相交B ．三棱锥的外接球的表面积为C ．直线与直线所成角的余弦值为D ．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则13. 已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．14. 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______.15.若是等差数列的前项和，，则______．16.若数列的前n 项和为，首项且.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n 项和.17. 如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.（1）证明：平面平面；（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.18. 已知在直四棱柱中，AD∥BC，AB⊥BC，，AB=1，，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .（1）求证：；（2）若点是棱上的点，且三棱锥的体积为，求直线和平面所成角的正弦值的大小.19. 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.20. 已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.21. 已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，恒成立，求a的取值范围.。
北京普通高中会考数学真题及答案B
北京普通高中会考数学真题及答案B第一部分 选择题（ 每小题分,共分）在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1．已知集合A={1,2,3},B={1,2},那么A ∩B 等于（ ） A ．{3} B ．{1,2} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2．已知直线l 经过两点P （ 1,2）,Q （ 4,3）,那么直线l 的斜率为（ ） A ．﹣3 B ．C ．D ．33．某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200．为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A ．120 B ．40 C ．30 D ．204．已知向量,,且,那么x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．给出下列四个函数①；②y=|x|； ③y=lgx ； ④y=x 3+1,其中奇函数的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④6．要得到函数的图象,只需将函数y=sinx 的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向上平移个单位D ．向下平移个单位7．在△ABC 中,2a =,b 3c =,那么角B 等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．给出下列四个函数：○11y x =-； ○22y x =； ○3ln y x =； ○43y x =. 其中偶函数的序号是（ ） A ．○1 B ．○2 C ．○3D ．○49．等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．如果α为锐角,,那么sin2α的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．37511．22log 8log 4 等于 A ．1B ．2C ．5D ．612．cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．13．共享单车为人们提供了一种新的出行方式,表所示：年龄 12﹣20岁 20﹣30岁 30﹣40岁 40比例14%45.5%34.5%为调查共享单车使用满意率情况,线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200岁的人数为（ ）A ．12B ．28C ．69D ．91 14．某几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是（ ）15．已知向量满足,,,那么向量的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动,要求每名学生选择连续的两天参加体验活动,那么某学生随机选择的连续两天中,有一天是星期二的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17．函数的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知圆M ：x 2+y 2=2与圆N ：（ x ﹣1）2+（ y ﹣2）2=3,那么两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离19．已知圆221x y 与圆222(3)(0)x y r r相外切,那么r 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．在△ABC 中,,那么sinA 等于（ ）A．B． C． D．21．某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况,现从中随机抽取168人进行调查,其数据如右表所示. 由此估计,该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是A．1.68万 B．3.21万 C．4.41万 D．5.59万22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1 ②A1C1⊥BD ③平面A1C1B∥平面ACD1 ④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,D在斜边BC上,且CD=2DB,那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．从2008年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是2009年至2016年高铁运营总里程．．．数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息,下列结论中正确的是（）A．截止到2015年12月31日,高铁运营总里程数超过2万公里B．2011年与2012年新增．．高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C．从2010年至2016年,新增．．高铁运营里程数最多的一年是2014年D．从2010年至2016年,新增．．高铁运营里程数逐年递增25．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25第二部分 解答题（ 每小题分,共分）26．已知函数f （ x ）=1﹣2sin 2x （ 1）= ；（ 2）求函数f （ x ）在区间上的最大值和最小值．27．如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC,点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点 （ 1）求证：PB ∥平面EFG ； （ 2）求证：BC ⊥EG ．28． 如图,在三棱锥P ABC -中,PB PC =,AB AC =．D ,E 分别是BC ,PB 的中点．（ Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （ Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．29．已知点P （ ﹣2,2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（ r ＞0）上,直线l 与圆O 交于A,B 两点． （ 1）r= ；（ 2）如果△PAB 为等腰三角形,底边,求直线l 的方程．30．已知圆M ：2x 2+2y 2﹣6x+1=0． （ 1）圆M 的圆心坐标为 ；（ 2）设直线l 过点A （ 0,2）且与x 轴交于点D ．与圆MOAB 与△OCD 的面积相等,求直线l 的斜率．参考答案选择题答题卡第二部分 解答题（ 每小题分,共分）26．已知函数f （ x ）=1﹣2sin 2x （ 1）= ；（ 2）求函数f （ x ）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f （ x ）=1﹣2sin 2x=cos2x, （ 1）=cos （ 2×）=；故答案为：；（ 2）x ∈[﹣,],∴2x ∈[﹣,], ∴cos2x ∈[0,1], ∴当x=﹣时,f （ x ）取得最小值0,x=0时,f （ x ）取得最大值1, ∴函数f （ x ）在区间上的最大值为1,最小值为0．27．如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC,点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点 （ 1）求证：PB ∥平面EFG ； （ 2）求证：BC ⊥EG ．【解答】证明：（ 1）∵点F,G 分别为BC,PC,的中点, ∴GF ∥PB,∵PB ⊄平面EFG,FG ⊂平面EFG, ∴PB ∥平面EFG ．（ 2）∵在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC, 点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点, ∴EF ∥AC,GF ∥PB, ∴EF ⊥BC,GF ⊥BC,∵EF ∩FG=F,∴BC ⊥平面EFG, ∵EG ⊂平面EFG,∴BC ⊥EG ．28． 如图,在三棱锥P ABC -中,PB PC =,AB AC =．D ,E 分别是BC ,PB 的中点．（ Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．（Ⅰ）证明：因为D,E分别是BC,PB的中点,所以//DE PC．因为DE⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,DE平面PAC．……………………………………2分所以//（Ⅱ）证明：因为PB PC=,AB AC=,D是BC的中点,所以PD BC⊥．⊥,AD BC=,因为PD AD D所以BC⊥平面PAD．因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAD．……………………………………5分29．已知点P（﹣2,2）在圆O：x2+y2=r2（ r＞0）上,直线l与圆O交于A,B两点．（ 1）r= ；（ 2）如果△PAB为等腰三角形,底边,求直线l的方程．【解答】解：（ 1）∵点P（﹣2,2）在圆O：x2+y2=r2（ r＞0）上,∴r=2．…（ 1分）（ 2）因为△PAB为等腰三角形,且点P在圆O上,所以PO⊥AB．因为PO的斜率, 所以可设直线l的方程为y=x+m．由得2x2+2mx+m2﹣8=0．△=4m2﹣8×（ m2﹣8）=64﹣4m2＞0, 解得﹣4＜m＜4．设A,B的坐标分别为（ x1,y1）,（ x2,y2）,可得．所以．解得m=±2．所以直线l的方程为x﹣y+2=0,x﹣y﹣2=0．…（ 5分）30．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆M的圆心坐标为；（ 2）设直线l过点A（ 0,2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B,C．若O为坐标原点,且△OAB与△OCD的面积相等,求直线l的斜率．【解答】解：（ 1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（ 2）直线l过点A（ 0,2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B,C．且△OAB与△OCD的面积相等,则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（ x,0）则：, 整理得：x2﹣3x﹣4=0,解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（ 4,0）由于点A在直线y=kx+2上,解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（,0）；直线的斜率为﹣．。
北京市年春季普通高中会考数学试卷-Word版含解析
北京市2017年春季普通高中会考数学试卷（解析版)一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合Ａ＝｛﹣１，1},B={1，﹣1，３},那么A∩B=等于（）A．｛﹣1}Ｂ．{1}C．{﹣1,1}D．{1,﹣1，3}2.已知向量，那么等于(）Ａ． B.ﻩC. D.3．已知向量，，且,那么x的值是（)A．﹣3ﻩB．3ﻩＣ.ﻩD.４．某小学共有学生２０00人,其中一至六年级的学生人数分别为400，４00,４00，30０,300,200．为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为20０的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（）Ａ.1２0ﻩＢ．40 C.３0ﻩD.205．已知点Ａ(２,m），B(3,３)，直线ＡB的斜率为１,那么m的值为（)A．1ﻩＢ.２ﻩＣ．3ﻩD.46.直线ｘ+２ｙ﹣4=０与直线2x﹣y+２＝0的交点坐标是( )Ａ.（２，0)ﻩB．(2,1） C.(０,2） D.（1,２)7.已知向量满足,，且与夹角为30°,那么等于（）Ａ．１ﻩB.ﻩC.3 Ｄ．8．在△ABC中，ａ=2，c=1，∠B=6０°，那么b等于(）Ａ.Ｂ. C.1 Ｄ．9．如果直线l1：2x﹣ｙ﹣1＝0与直线l2:2x+(ａ+1)y＋2=0平行，那么ａ等于（)A.﹣2ﻩB.﹣１ﻩC．１ﻩD．210.当x∈[0,2π]时，函数y=sｉnx的图象与直线的公共点的个数为()Ａ.0 Ｂ．1 Ｃ.２ﻩD．311．已知f(x）=ｌｏｇ3x，ｆ（ａ）＞f(2），那么ａ的取值范围是（)Ａ．{a｜ａ>2｝ﻩB．{a|1＜a<2｝ﻩC．ﻩD．12．不等式组，表示的平面区域是( ）A．ﻩＢ．Ｃ．ﻩＤ．13.等于()Ａ．ﻩB.ﻩC.ﻩD.1４.给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是(）A．①ﻩＢ．②Ｃ.③D．④15.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为() A．1 B．ﻩＣ.D．16.如果ａ+b＝1,那么ab的最大值是()Ａ．Ｂ．ﻩＣ.ﻩD．117.等于（)A.ﻩＢ.ﻩC．Ｄ．18．已知函数．关于ｆ（x）的性质,给出下面四个判断：①f（x)的定义域是R；②ｆ（x)的值域是R;③ｆ（x)是减函数；④f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的判断是( ）A．①Ｂ.②C．③ﻩD.④（x﹣ａ）2+(y﹣3)2=5的一条切线的方程为y＝2ｘ,那么a的值为(）１9．如果圆Ｃ：A.4或1 B．﹣1或４ﻩC．１或﹣4ﻩＤ．﹣1或﹣4２0.中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为,到二○二○年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收入比二０一0年翻一番,产业迈向中高端水平,消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从二０一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%．下面给出了依据“到二０二0年城乡居民人均收入比二０一0年翻一番”列出的关于p的四个关系式：①（1+p%)×10＝２；②(1+p%)１0=２；③ｌg(１+p%)=2;④1+10×p％=2.其中正确的是(）A．①B．②ﻩC．③D．④21.甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示.v1，v2分别表示甲、乙二人的平均得分,ｓ1，ｓ2分别表示甲、乙二人得分的方差,那么v1和ｖ2，s１和s２的大小关系是(）A．v1>ｖ2，s１＞s2ﻩB.ｖ1＜v2，s1>s２ﻩC．v1＞v2，s1＜ｓ２ﻩD.v1<v2，s1<ｓ222．已知直线m,n，ｌ,平面α，β．给出下面四个命题：( ）①;②;③;④.其中正确是（)A.①Ｂ．②C.③D．④2３．如果关于x的不等式x２<ax+ｂ的解集是｛x|１＜ｘ<3}，那么ｂa等于( ）Ａ．﹣81 Ｂ.8１ﻩC.﹣６4ﻩD．6424．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是()Ａ.三棱锥ﻩB．四棱锥ﻩC.三棱柱D．四棱柱25．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是( ）A.2 Ｂ.3ﻩＣ.４ﻩD．5二、解答题（共５小题，满分25分)２6.(５分）如图,在三棱柱ＡBC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥ＣB，点M和Ｎ分别是B1C1和BC的中点．(１)求证：ＭＢ∥平面AC1N;(2)求证:AC⊥MB．27．（5分）已知函数，其中ω＞0，x∈Ｒ．(1）f（0)＝；(2）如果函数ｆ（ｘ）的最小正周期为π，当时，求f(x）的最大值．28．（５分）已知数列{ａn},．(１)判断数列{aｎ}是否为等差数列;(2）求数列｛ａｎ}的前ｎ项和Sｎ.29．（５分)已知点P（﹣2，2)在圆O：x2+y2=r2（r＞０)上，直线l与圆O交于A，Ｂ两点.（1）r=;（２)如果△ＰAＢ为等腰三角形，底边,求直线l的方程.30．（5分)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为３.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ａe﹣kt(ａ,ｋ是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S（单位:克)代表ｔ分钟末未溶解糖块的质量．（1)a=；（2）求ｋ的值;(3）设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随ｔ变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.ﻬ20１7年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={﹣1，１}，B={1,﹣1,3｝,那么Ａ∩B=等于（)A．{﹣1}B．{1}Ｃ．{﹣１,１} D.{1,﹣1，3}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出Ａ∩B即可.【解答】解：集合A＝｛﹣1,1},Ｂ=｛1,﹣１，3}，那么A∩B={﹣1，1｝．故选:C.【点评】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题目．2.已知向量，那么等于（)A.ﻩB．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义.【分析】利用向量运算法则求解．【解答】解：=＝．故选:C．【点评】本题考查向量的运算,是基础题，解题时要认真审题,注意向量运算法则的合理运用．3.已知向量，,且，那么x的值是（)A．﹣３ B.3 C．ﻩD．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解:∵向量，,且,∴=３﹣x=0，解得x=３．故选：B.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.4.某小学共有学生2０00人，其中一至六年级的学生人数分别为400，40０，４0０,300,300,200.为做好小学放学后“快乐3０分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为( ）A．120ﻩＢ．40ﻩC.３0 D．2０【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解:∵一年级学生４00人，∴抽取一个容量为20０的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为，解得ｎ=40,即一年级学生人数应为4０人，故选：Ｂ．【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.5.已知点Ａ（２，ｍ),B(3,3），直线AB的斜率为1,那么m的值为（）A.１ﻩB．2 C.3ﻩD．４【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式可得=1,解方程求得m 的值.【解答】解:由于A(２，m)，B(3,3),直线AB的斜率为１，∴=1，∴m=2,故选:B．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题．6.直线x+2y﹣4=0与直线２x﹣y＋２=0的交点坐标是（)A．(2,0）B．(2,1）ﻩC.(０，2）ﻩD.(１,２)【考点】两条直线的交点坐标．【分析】将二直线的方程联立解出即可.【解答】解:联立,解得x=0，y=２，直∴线ｘ+２ｙ﹣4=0与直线2x﹣y+2=0的交点坐标是（0，２).故选：Ｃ．【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键．7.已知向量满足，,且与夹角为3０°，那么等于（)A.１ﻩB.Ｃ．3ﻩD.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用已知条件,通过向量的数量积公式求解即可．【解答】解:向量满足,,且与夹角为30°，那么=｜|｜|cｏs＝2＝3.故选：C.【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,考查计算能力．8．在△ABC中，a=2，c＝1，∠Ｂ＝60°，那么b等于( ）A.ﻩＢ.ﻩC.１Ｄ.【考点】余弦定理．【分析】由题意和余弦定理列出式子求出b的值.【解答】解:因为在△ABC中,a=２,c=1，∠Ｂ=60°，所以由余弦定理得，b2=ａ２＋c2﹣2ａccoｓB＝４+1﹣=3，解得b=,故选Ｂ.【点评】本题考查了余弦定理的简单应用,属于基础题.9.如果直线l１:２ｘ﹣y﹣１=0与直线ｌ２：2x＋（a+1)ｙ+2＝0平行,那么a等于（)A.﹣２Ｂ.﹣1 C．1 Ｄ．２【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接由两直线平行的条件列式求解a的值．【解答】解：∵直线l1:2x﹣y﹣１=０与直线l2:２x+（a+1）y+2=0平行，∴a+1＝﹣１，解得a=﹣2.故选:A.【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，是基础题．10.当x∈[0，2π]时,函数y=ｓinx的图象与直线的公共点的个数为( )A.0B.1 C．2 Ｄ.3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据曲线与方程之间的关系,直接作图即可得到结论．【解答】解:由y＝sinx与y=,如图:两条曲线的图象的交点个数为２个．方程有２个解.故选：Ｃ.【点评】本题主要考查函数交点个数的判断,利用函数和方程之间的关系,直接进行求解即可,比较基础.11.已知f（ｘ）=ｌog3x，f（a)＞ｆ(2），那么a的取值范围是（) A．｛a｜a>2}ﻩB.{a|1＜a＜2} C.D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意,f（x)=lｏg3x,函数单调递增，即可得出结论.【解答】解:由题意,ｆ(x）=ｌoｇ3x,函数单调递增，∵ｆ(ａ）>ｆ（2），∴a＞2,故选A．【点评】本题考查对数函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础.12.不等式组，表示的平面区域是(）A.ﻩB．ﻩＣ.ﻩD．【考点】简单线性规划;二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用直线确定边界,特殊点判断区域，求解即可．【解答】解:在判吗直角坐标系中，画出直线x=1，x+y﹣３=0，x﹣y﹣3＝0，判断(2,0）满足不等式组,所以不等式组不是的可行域为：故选:D．【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定,一般是找特殊点代入进行检验，属于基础试题.13．等于（）Ａ．ﻩＢ.ﻩＣ．D．【考点】二倍角的正弦.【分析】利用二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解.【解答】解：=sin＝＝．故选:B．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想,属于基础题.14．给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面.其中正确的命题是（)A．①ﻩB．② C.③ﻩＤ．④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①,三个不共线的点确定一个平面，故错；②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错;③,空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点,确定一个平面,故错；④,两条平行直线确定一个平面,正确.【解答】解：对于①,三个不共线的点确定一个平面,故错；对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错;对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点,确定一个平面,故错;对于④，两条平行直线确定一个平面,正确．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．1５.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为( ）A.1ﻩB．Ｃ.ﻩＤ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==3,再求出甲同学被选中包含听基本事件个数m=＝２,由此能求出甲同学被选中的概率．【解答】解：在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律,基本事件总数ｎ==3，甲同学被选中包含听基本事件个数m==2，∴甲同学被选中的概率p=＝.故选:D.【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.1６.如果a+ｂ=1,那么ａb的最大值是(）A．Ｂ.ﻩC.D．1【考点】基本不等式．【分析】由于求aｂ的最大值，只考虑ａ，b＞0时即可.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由于求ab的最大值,只考虑a,b＞0时即可．∵a+b=１,∴,解得aｂ≤,当且仅当ａ=b＝时取等号.那么ab的最大值是.【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．等于( )A. B.ﻩＣ.ﻩD．【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】直接利用诱导公式化简求值即可.【解答】解:由coｓ=cｏs(672π＋）=cos=.故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力,属于基础题.1８.已知函数．关于ｆ(x)的性质，给出下面四个判断:①f（x)的定义域是R;②f(x)的值域是Ｒ；③f（x）是减函数;④f（ｘ）的图象是中心对称图形．其中正确的判断是（）A.①ﻩB．②Ｃ.③ﻩD．④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数的图象可由函数y=向右平移一个单位得到，类比ｙ＝的性质可判定．【解答】解:函数的图象可由函数y=向右平移一个单位得到,所以值域为｛ｙ|y≠０};单调减区间为（﹣∞,０），(0，+∞）；对称中心为（1,０)故④正确,故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域、值域、对称性,属于基础题．1９.如果圆C:(x﹣a）2＋(ｙ﹣3)2=５的一条切线的方程为y=2x,那么a的值为(）A.4或１ﻩB.﹣1或4 C.1或﹣4 D.﹣1或﹣４【考点】圆的切线方程．【分析】由题意,圆心到直线的距离d＝=,即可求出a的值.【解答】解：由题意,圆心到直线的距离d==，∴a＝﹣1或４,故选Ｂ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式，属于中档题．2０．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二○二○年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求:经济保持中高速增长,在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上,到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收入比二0一０年翻一番,产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p％.下面给出了依据“到二0二0年城乡居民人均收入比二0一0年翻一番”列出的关于p的四个关系式:①（１+p％)×10＝2;②（１+p％）１0＝2；③lg(1+p%）＝2；④1+10×p%＝2.其中正确的是( ）A.①B.②C.③D.④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%.则由到二0二0年城乡居民人均收入比二0一0年翻一番，可得:(1+ｐ%）10=２;进而得到答案.【解答】解：设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%．则由到二0二0年城乡居民人均收入比二０一0年翻一番,可得:(１＋p%）10=２;正确的关系式为②;故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数模型的选择与应用,难度基础２1.甲乙两名篮球运动员在４场比赛中的得分情况如图所示．v１,v2分别表示甲、乙二人的平均得分,ｓ1，s2分别表示甲、乙二人得分的方差,那么ｖ1和ｖ２，s1和s2的大小关系是( )A．v1>v2,ｓ1＞s2B.v１＜ｖ2,s1>s2ﻩC.ｖ１>v2，s1＜ｓ2D．v1＜ｖ2，s1<s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图先求出平均数,再计算方差．【解答】解：由茎叶图性质得:V１==14，V２＝=13，Ｓ1= [(9﹣14)2＋(13﹣14)2+（14﹣14）2＋(20﹣14）２］=,Ｓ2＝［(8﹣１３）2+（9﹣13)2＋(13﹣13）２+（２２﹣13）2]＝.＞V2，S1＜Ｓ2.∴V１故选：C．【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．22.已知直线ｍ,n,ｌ，平面α,β.给出下面四个命题：(）①;②;③;④.其中正确是（）A．①B．②ﻩC．③ﻩD.④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在①中,m∥β或m⊂β;在②中,ｍ与n相交、平行或异面；在③中,由线面平行的判定定理知n∥β;在④中，n∥α或n⊂α.【解答】解:由直线m,ｎ，l，平面α，β,知:在①中，ｍ∥β或ｍ⊂β，故①错误;在②中,ｍ与ｎ相交、平行或异面,故②错误；在③中，，由线面平行的判定定理知n∥β,故③正确;在④中，n∥α或n⊂α,故④错误.故选：Ｃ．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题,解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．23.如果关于x的不等式x2<ax+ｂ的解集是｛x|1<x＜3｝，那么bａ等于( )A．﹣８1 B．８1 C.﹣64ﻩＤ.6４【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系求出a、b的值，再计算ｂa的值.【解答】解：不等式ｘ2<ax+b可化为ｘ2﹣ax﹣b<０，其解集是{ｘ|１<ｘ＜3}，那么，由根与系数的关系得,解得a=４,b=﹣3;所以bａ＝（﹣3)４=81.故选：B.【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题，是基础题目．24．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是（)A．三棱锥Ｂ．四棱锥Ｃ.三棱柱ﻩＤ.四棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图可得,直观图为正方体中的一个正四面体,即可得出结论．【解答】解:由三视图可得,直观图为正方体中,面上对角线构成的一个正四面体，故选A.【点评】本题考查三视图与直观图的转化,考查数形结合的数学思想，比较基础．25．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是（)Ａ．2ﻩB.3ﻩC．4 D．５【考点】等比数列的前ｎ项和．【分析】设尖头ａ盏灯,根据题意由上往下数第n层有2ｎ﹣１a盏灯,由此利用等比数列性质能求出结果．【解答】解:由题意设尖头a盏灯,根据题意由上往下数第n层有2n﹣1a盏灯,所以一共有（1+2+4+8+1６+32+64)ａ＝381盏灯,解得a=3.故选:B.【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.二、解答题(共5小题，满分25分）26．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C１中,ＣＣ1⊥底面ABC，AC⊥CＢ，点Ｍ和N分别是B1C1和BC的中点.（１）求证:MＢ∥平面AＣ1N；（2）求证:AC⊥MＢ．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定.C1Ｎ∥MB,即可证明MB∥平面Ａ【分析】(１)证明MＣ１NＢ为平行四边形，所以C1N；（2）证明ＡC⊥平面BCC1Ｂ１,即可证明AC⊥MＢ．【解答】证明：(1)证明：在三棱柱AＢC﹣Ａ1Ｂ1C1中，因为点Ｍ，Ｎ分别是B1C1，ＢC的中点，所以C1Ｍ∥BN,Ｃ1M＝ＢN.ＮB为平行四边形．所以MC１所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N，NB⊄平面ＡC1N，所以ＭB∥平面ＡＣ1Ｎ；（2)因为CC1⊥底面ABC，所以AＣ⊥CC1.因为ＡC⊥BＣ,ＢC∩CC1=Ｃ，所以ＡＣ⊥平面BCC1B１．因为ＭB⊂平面BCC1B1,所以AC⊥ＭB．【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.２7.已知函数,其中ω＞0,ｘ∈R.（1)f（０)= ;(2)如果函数f(x)的最小正周期为π,当时,求f（x)的最大值.【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法.【分析】(1)直接计算可得结论;(２）求出函数的解析式,再利用三角函数的性质求ｆ(x)的最大值．【解答】解:（1)．…（2分）故答案为：．（2）因为f（x）的最小正周期为π,ω＞０,所以．解得ω=2.所以．因为，所以．可得．所以当时，f（x)的最大值是１．…(5分)【点评】本题考查特殊角三角函数值，考查三角函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.2８.已知数列{aｎ},．(1）判断数列{a n｝是否为等差数列；（2)求数列{ａｎ｝的前n项和Sｎ.【考点】数列的求和.【分析】（１)利用等差数列的定义，反例判断即可．（2）通过数列的项数分别求解数列的和即可.【解答】解：(1）a2﹣a１=1,ａ8﹣ａ7=7﹣8＝﹣1,数列不是等差数列．…（1分）(2)解：①当n≤7时,=．②当n>7时，==．…(5分）【点评】本题考查数列求和,等差数列的判断,考查计算能力.29.已知点Ｐ(﹣２，2)在圆O：ｘ2+ｙ2=r2(r>0）上,直线l与圆O交于A，Ｂ两点．(1）r=2；（2)如果△PAＢ为等腰三角形,底边,求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)利用点P(﹣2,2）在圆O：ｘ２+y2=r2(r>０)上，即可求出ｒ;（2)利用弦长公式,即可求直线l的方程.【解答】解：（1）∵点P(﹣2，2）在圆Ｏ:x2+y２＝r2（ｒ＞0)上,∴r=2.…(1分）（2)因为△PAＢ为等腰三角形,且点P在圆O上,所以PＯ⊥ＡB．因为ＰO的斜率，所以可设直线l的方程为ｙ＝ｘ＋m．由得2x2+2mｘ+m2﹣８＝０．△=4m2﹣8×(ｍ２﹣8)=64﹣４ｍ2＞０，解得﹣4＜ｍ＜4．设A,B的坐标分别为(x1，ｙ１）,(x２,ｙ2)，可得．所以．解得m=±2.所以直线l的方程为x﹣y＋2=0,x﹣ｙ﹣2=０.…（5分)【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.30.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为７克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.５克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数Ｓ＝ae﹣kt(a,k是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．(１）a=7 ;（2)求k的值;（3）设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程.【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（１）由题意，t＝0,S=a=7;(2）因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为３.5克，可求k的值；（3）根据函数解析式可得函数的图象，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意,ｔ=0，S=ａ=7.…（7分)（2）因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e﹣5ｋ.解得．…（2分）(3)Ｍ随t变化的函数关系的草图如图所示.溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解.…(5分)故答案为：7．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查指数型函数，属于中档题.。
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
2023年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
2023北京高中合格考数学（第二次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}1,2A =，{}0,1B =，则A B ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}1,22. 函数2log y x =的图象经过点（ ） A. ()1,0B. ()1,1C. ()1,1−D. ()2,23. 要得到函数πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只要将函数cos y x =的图象（ ） A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度 4. 已知向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则x 的值为（ ） A. 12−B. 1−C. 2D. 2−5. 已知平面内的两个非零向量a ，b 满足3a b =−，则a 与b （ ） A. 相等B. 方向相同C. 垂直D. 方向相反6. 031log 93⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ） A.5−B. 1−C. 0D. 17. 在复平面内，复数2i z =−+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AD AA ==，AB =，则1B D =（ ）A.3B. 4C. 5D. 69. 函数()22xf x =−的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 不等式()()310x x +−<的解集是（ ） A. {}31x x −<< B. {}13x x −<< C. {|3x x <−或}1x > D. {|1x x <−或}3x >11. 复数()22i +=（ ） A. 43i −B. 34i −C. 43i +D. 34i +12. 已知0x >，则4x x+的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 413. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08B. 0.14C. 0.24D. 0.5614. 如图，四边形ABCD 是菱形，下列结论正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD =C. AB BC AC +=D. AB AD BD += 15. 已知直线l ，m 和平面α，满足//l m ，m α⊥，则下列结论正确的是（ ） A. //l α B. l ⊂α C. l α⊥D. l 是平面α的斜线16. 已知3sin 5α=，则()sin α−=（ ） A. 45−B.35C.35D.4517. 在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ） A.910B. 12C.19D.11018. “0a b >>”是“22a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 已知集合{}2,4,6,8P =，定义函数()1,,1,.x P f x x P ∈⎧=⎨−∉⎩则()()23f f +=（ ） A. 2−B. 0C. 1D. 220. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为6.5kW h ⋅，收费标准如下表所示：看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元B. 37.5元C. 45.3元D. 51.1元第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 函数()11f x x =+的定义域是______． 22. 已知向量()1,2a =，()3,1b =−，则2a b +=______． 23. 计算ππ2sincos 88=______． 24. ．根据图中信息，给出下列三个结论：①该公司去年12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数； ③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形．AB平面PCD；（1）求证：//（2）求证：AB⊥平面PAD．26. 阅读下面题目及其解答过程．个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．27. 已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．28. 已知数集A 含有n （*n ∈N ）个元素，定义集合{}*,A x y x y A =+∈．（1）若{}1,2,3A =，写出*A ； （2）写出一个集合A ，使得*A A =；（3）当4n =时，是否存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =？若存在，写出一个符合条件的集合A ；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】由并集定义可求.【详解】由题意，{}1,2A =，{}0,1B =， 所以A B ⋃={}0,1,2. 故选：B 2. 【答案】A【分析】根据对数的运算求解即可.【详解】根据对数的运算可知，2log 10=，2log 11≠，2log (1)−无意义，2log 21=， 所以函数2log y x =的图象经过点(1,0). 故选：A 3. 【答案】D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度所得图象的解析式为πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 故选：D 4. 【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数x 的值.【详解】因为向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则20a b x ⋅=−+=，解得2x =. 故选：C. 5. 【答案】D【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量a ，b 满足3a b =−， 所以,a b 为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC 错误，D 正确. 故选：D 6. 【答案】B【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解.【详解】02331log 91log 31213⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】B【分析】由复数的几何意义得出答案.【详解】复数2i z =−+对应的点坐标为()2,1−，位于第二象限 故选：B 8. 【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，14B D ====，故选：B 9. 【答案】A【分析】由函数的单调性结合()10f =即可判断零点个数.【详解】函数()22xf x =−是R 上的单调递增函数，且()122=0f =−，所以函数()22xf x =−只有一个零点，故选：A. 10. 【答案】A【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可. 【详解】解方程()()310x x +−=得3x =−或1x =， 因为函数()()()31f x x x =+−开口向上，所以不等式()()310x x +−<的解集为{}31x x −<<. 故选：A 11. 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()2244134i i i +=+−=+. 故选：D. 12. 【答案】D【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，即4x x +的最小值为4，当且仅当20x =>时，等号成立. 故选：D. 13. 【答案】D【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解. 【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知， “甲、乙两人都命中”的概率为0.70.80.56P =⨯=， 故选：D 14. 【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，AB BC AC +=，AB AD AC BD +=≠，故C 对D 错；因为向量方向不同，所以AB AD ≠，AC BD ≠，故AB 错误. 故选：C 15. 【答案】C【分析】根据线面垂直的性质得解. 【详解】因为//l m ，m α⊥， 所以l α⊥， 故选：C 16. 【答案】B【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为3sin 5α=，所以()3sin sin 5αα−=−=−， 故选：B 17. 【答案】D【分析】根据古典概型求解.【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的， 有10个位置可排，成为第一个人的可能性为110， 所以他拿到采集管的概率为110. 故选：D 18. 【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件. 故选：A. 19.【答案】B【分析】由23P P ∈∉，，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知23P P ∈∉，， 所以(2)(3)1(1)0f f +=+−=， 故选：B. 20. 【答案】B【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为6.50.5 1.4 4.55⨯⨯=元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为6.53 1.631.2⨯⨯=元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x 小时，费用为6.5 1.49.1x x ⨯=元. 综上，小王应缴纳的充电费 4.5531.29.19.135.75y x x =++=+， 因为00.5x <≤，所以35.7540.3y <≤. 故选：B第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 【答案】{|1}x x ≠−【分析】根据函数解析式有意义求解即可. 【详解】由10x +≠可得1x ≠−， 所以函数()11f x x =+的定义域是{|1}x x ≠−， 故答案为：{|1}x x ≠− 22. 【答案】(5,4)−【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为()1,2a =，()3,1b =−， 所以2(1,2)(6,2)(5,4)a b +=+−=−， 故答案为：(5,4)−23. 【答案】2【分析】由二倍角的正弦公式求解.【详解】πππ2sincos sin 8842==.故答案为：224. 【答案】①②③【分析】根据雷达图，明显可得出甲、乙每月投资额的大小及波动幅度，即可得出结论. 【详解】由雷达图可知，12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额，故①正确；由雷达图可知，该公司去年甲产品的月投资额的平均数在25万元附近，比较稳定，变化幅度小，乙产品的月投资额的平均数明显小于25万元较多，并且不稳定，变化幅度大，故②③正确. 故答案为：①②③三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）因为//AB CD ，由线面平行判定定理得证；（2）由题意得AB AD ⊥，AB PD ⊥，根据线面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】由题意，底面ABCD 是矩形，即//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ；【小问2详解】由题意，PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB PD ⊥，又底面ABCD 是矩形，即AB AD ⊥，,AD PD D AD ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． 26. 【答案】①B ②A ③A ④A ⑤B【分析】①由具体函数的定义域求解；②由()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=求解；③由()()()11112f x x x x x =−++=−−++=求解；④()11112f x x x x x x =−++=−++=求解；⑤由一次函数的单调性判断.【详解】解：①因为()11f x x x =−++，所以()f x 的定义域为R ；故答案为：B. ②因为()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=，故答案为：A. ③因为()()()11112f x x x x x =−++=−−++=，故答案为：A. ④因为()11112f x x x x x x =−++=−++=，故答案为：A ；⑤因为当1x ≥时，()2f x x =，所以函数是[)1,+∞上的增函数，故答案为：B. 27. 【答案】（1）π（2）2，π6x = 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式得解；（2）根据自变量的取值范围求出π26x +的范围，再由正弦函数求解即可. 【小问1详解】因为函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以周期2ππ2T ==， 即函数最小正周期为π.【小问2详解】 因为ππ,36x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以πππ2262x −≤+≤， 所以π1sin 216x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，π2()2sin 226f x x ⎛⎫−≤=+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值为2， 此时ππ262x +=，即π6x =. 28. 【答案】（1）{}2,3,4,5,6（2）{}0（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据集合的新定义，写出A *中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解；（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.【小问1详解】因为{}1,2,3A =，{}*,A x y x y A =+∈， 所以112,123,134,224,235,336+=+=+=+=+=+=为A *中元素， 故{}{}*,2,3,4,5,6A x y x y A =+∈=. 【小问2详解】取{}0A =，此时{}{}*,0A x y x y A =+∈=， 满足*A A =.【小问3详解】当4n =时，不存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =. （反证法）假设4n =时，存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =， 不妨设{,,,}A a b c d =，且a b c d <<<，则22a a b a c b c b d c d d <+<+<+<+<+<，所以2,,,,,,2a a b a c b c b d c d d +++++为*A 中7个不同的元素， 所以22,3,4,6,7,8,210a a b a c b c b d c d d =+=+=+=+=+==， 由22,3,4a a b a c =+=+=解得1,2,3a b c ===.此时，5b c A *+=∈与5A *∉矛盾，所以假设不成立，故不存在这样的集合A .。
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2019 年北京市普通高中会考数学试卷号序考位生座须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分选择题（每小题 3 分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.号1．已知集合A {0 ，1，2} ， B {1 ，2，3} ，那么集合 A I B 等于场考 A ．{ 0 }B． {1 ，2} C． {1，2，3} D． {01,2,3}2. 已知向量a (1， 2) ， b (2 ，m) ，且a b，那么m 等于A ．4 B．1 C．1 D．43.不等式x2 2 x 3 0 的解集为A. x 3 x 1B. x 1 x 3C. x x 3或 x 1D. x x 1或 x 34.某程序框图如图所示，如果输入 a ，b， c 的值分别是 3,1,9，那么输出 S的值是A.2B.2C. 3 3D.95.要得到函数y sin x 的图象向左平移个单位长度，6所得图像的函数关系式为A.y sin( x) A.y sin( x)6 6C. y cos( x)B. ycos( x)666. ( 1) 2 log 2 2 等于2A. 5B. 3C. 4D. 547.已知 1， a ， b ， 8是等比数列，那么ab 的值等于A. 1B. 4C. 8D. 168.sin45o cos15o cos45o sin15o 等于A. 1B.9．给出下列四个函数：1 C.1D. 122① yx 2 ； ② y x 3 ； ③ y x 1 ； ④ y e x .其中偶函数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④10. 某校共有学生 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人. 学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库（简称 “CIMS 系统 ”） 中随机选取参加测试的学生 . 现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 30 的样本进行测试，那么应抽取女生的人数为A. 12B. 15C. 18D. 2011.已知直线 l 1 ： 2x y 1 0 ， l 2 ： ax y2 0，且 l 1 ∥ l 2 ，那么实数 a 等于A. 2B.12.已知角 的终边过点1 C.1D. 222P(1,3) ，那么 tan 等于A.33 C.3 B.D. 32213.已知一个几何体的三视图如图所示， 那么该几何体的体积是A. 1B. 2C. 4D. 814. 在△ABC中，a 1 ， A 30°， B 45°，那么b的A ．1 B． 2 C． 3 D．215. 函数f ( x) 1 2x的零点的个数xA ．0 B．1 C．2 D．3x 0,16．当数 x, y 足条件y 0, ， z x y 的最小是2x y 2 0A. 2B. 1C. 0D. 217.已知数列a n 足 an 1an2(n N*) ，且 a 4 那么a n的前 4 和S等于1 4A ．0 B．1 C．2 D．418. 如果 a 0 ， b 0， ab 4 ，那么a b 的最小是A. 2 2B. 3C. 4D. 619.已知向量a,b足a 2 ， a b = 3 且 a,b 的角，那么 b31B. 3C. 3D. 3A.3320.某中学开展 3 拓展活，要求每名学生必参加其中的一活. 校甲、乙两名学生随机拓展活，恰好同一活的概率A. 1B. 1C. 1D. 24 3 2 3n，3,21.已知数列a n 足 a n 1 n ( n N*) ，且 a n 4 ，那么 n 等于，n > 32nA ．2 B．3 C．4 D．2或322.已知点P是x2 y2 4x 3 0 上的任意一点，那么P与原点距离的最小A ．1 B．2 C．3 D．423.我国古代数学着作《九章算》中有如下：“今有女子善，日自倍，五日五尺⋯⋯”其大意：“有一位善于布的女子，每天的布都是前一天的2 倍， 5 天一共了 5 尺布⋯⋯”那么该女子第一天织布的尺数为A.4 B.5C.6D.103131313124.已知直线 l 过原点，且与圆 x 2 ( y2)2 1 有公共点，那么直线 l 倾斜角的取值范围是A. [, 3 ]B. [6, 2] C. [ , 5]D. [, 2]33663 325.设 m ， n 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果 m ∥ ， n ∥ ，那么 m ∥ n ；② 如果 m ， m，那么∥；③如果 ， m，那么 m ∥ ；④如果，，那么∥ .其中正确命题的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④26. 改革开放 40 年来，我国经济社会发展取得举世瞩目的辉煌成就，坚持巩固加强第一 产业、优化升级第二产业、积极发展第三产业，三次产业结构在调整中不断优化，农 业基础地位更趋巩固，工业逐步迈向中高端，服务业成长为国民经济第一大产业 . 尤其是党的十八大以来， 经济增长由主要依靠第二产业带动转向依靠三次产业共同 带动，三次产业内部结构调整优化 .国家统计局发布的数据如下，反映了从 2013 年 到 2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动情况 .2013 -2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动指标指标 (百分点）2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年第一产业对国内生产总值增长的拉0.30 0.30 0.30 0.30 0.30第二产业对国内生产总值增长的拉3.80 3.50 2.90 2.60 2.50第三产业对国内生产总值增长的拉3.70 3.50 3.70 3.904.00三次产业对国内生产总值增长的拉7.807.306.906. 80 6. 80说 明 ： 我 国 的 三 次 产 业 划 分 是 ： 第 一 产 业 是 指 农 、 林 、 牧 、 渔 业 （ 不 含 农 、林 、牧 、渔 服 务 业 ） .第 二 产 业 是 指 采 矿 业（ 不 含 开 采 辅 助 活 动 ），制 造 业（ 不含 金 属 制 品 、 机 械 和 设 备 修 理 业 ） ， 电 力 、 热 力 、 燃 气 及 水 生 产 和 供 应 业 ，建 筑 业 . 第 三 产 业 即 服 务 业 ， 是 指 除 第 一 产 业 、 第 二 产 业 以 外 的 其 他 行 业 .根据上述信息 ,下列结论中错误的是 ?A.2013~2017 年，第一产业增加值占国内生产总值的比值保持不变B.2013~2017 年，第二产业增加值占国内生产总值的比值逐年减少C.2014~2017年，第三产业增加值占国内生产总值的比值不断增加D.2013~2017 年，三次产业增加值占国内生产总值的比例保持不变27.设函数f (x)x [ x]( x 0) ，其中 [ x] 表示不超过x的最大整数，如： [0.5]0 ，[2] 2 .如果函数 y kx 的图像与函数 f ( x) 的图像恰有3个交点，那么实数k的取值范围是A. [1,1) B. [1,1]C. [1,1) D. [1,1]4 3 4 35 4 5 4第二部分解答题（共 19 分）28.（本小题满分 5 分）已知函数 f ( x) cos2 x sin2 x①求 f () 的值；2②求函数 f (x) 在区间[, ] 上的最大值和最小值6 429.（本小题满分 5 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为1的正方形，点E, F 分别为线段BD1 ,CC1的中点。
（I）求证： EF / /平面 ABCD ；（ II）当 DD1 2 时，求证平面DE平面BFD1。
30.（本小题满分 5 分）已知直线 l 经过P(1,0)，Q(2, 1)两点，圆C的方程是( x 1)2( y 1)2 4 .（I）求直线l的方程；（II）设直线l与圆 C 交于A, B两点，求AB的值 .31.（本小题满分 4 分）铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液 .这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛的应用 .但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能蛩未被完全使用，导致了能源的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中亟待解决的问题 .研究发现，当电池以某恒定电流放电时，电压U 关于放电时间t的变化率y满足1y ae bt(其中a,b为常数，无理数 e =2.71828 ··).实验数据显示，当时间t 的值为0和5时，电压U关于放电时间 t 的变化率 y 分别为 -2 和 -752,求a,b的值 .。