初中数学_经典几何模型之“阿氏圆”
中考数学常见几何模型专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．PC CM例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P 是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，P A，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，P A，CT．ABCEF12PAT BAP∽PTPBAPAB12 1212∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∵P A 2＝AT •AB ，∵＝， ∵∵P AT ＝∵P AB ，∵，∵＝＝，∵PT ＝PB ，∵PB +CP ＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∵CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∵CT，∵PB +PC，∵PB +PC．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．23BM BP =4=PA ATABPA PAT BAP ∽PT PB AP AB 121212ACT 1212PBM ∠=2PC BP 22四边形Rt CDM 中，【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A B C D ，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明BPG BAP ，得的长得到最小值．△BPG BAP ，△DP ，当P 、D 、G 4913=+=．故选：1例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．为半径作O ，在优弧135APB =︒OP OA =，△2OP OC OT =，△OP OC1PT OP1例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，△C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又△△PCD＝△△△△△13=PDBP△PD＝13BP△AP+13BP＝AP+PD△当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，△COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，△A=60°，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD=，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD+的最小值.提示：AC m=【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）A．B．C．D．△PCE△△BP，当B1=△EB=2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，△O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD 中， AB =260AC BAC ACD =∠=∠=︒，，设•AD k BD =，则k 的最小值为 ___________．1##1-【分析】如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．由ABE MBD ∽，推出，使得ABE MBD ∽，取Rt ACJ 中，BM CD CJ ⊥，△ABE MBD ∽，△BE DB EF FB =，△12AF =4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PAPB=k ( k 为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．3333【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在CG的最小值为_____．边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+127．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA 的最小值是___________．28．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个PC的最大值为_____．动点，则PD﹣12BC PB BC2PB49．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△O A ＋PB的最小值为________．10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．CP CD121CP CD111．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为__，PD ﹣23PC 的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD＋12PC 的最小值为__，PD ﹣12PC 的最大值为__．，先证明PBGCBP ，得到共线时取等号），从而计算出（当且仅当G 、P 、交于点F ，解法同（64PB BG =PBGCBP ∴，∴23PG PC ∴=，PD ∴PD PG DG +≥（当且仅当32PD PC +，32PD PC -23PD PC ∴-，故答案为：（2）如图上取一点G ，使得21PB BG =4BC PBG CBP ∴，∴PD PG DG +≥（当且仅当PD PG ∴+的最小值为在Rt CDF 中，DCF ∠在Rt GDF 中，DG 12PD PC -=【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，△C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CDCP=CPCB=12，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP，△PDBP=12，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，△COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC -的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC+的最小值和12PD PC -的最大值．PC 的最小值241PB BC BG =PB BC PBG ∠=PG BG PC PB ∴=△DP+PG≥DG 12PD PC -当点P 在2,PBF ∠=三点共线时会有33694PB BC BG =PB BC ，PBG ∠=PG BG PC PB ∴=PC DP =+△DP+PG≥DG 23PD PC +的值最小，最小值为23PD PC -DG 的延长线上时，（3）如图，使得BG=1，作241PB BC BG =PB BC ，PBG ∠=PG BG PC PB ∴=12PC DP =△DP+PG≥DG 12PD PC+的值最小，最小值为在Rt△CDF △DF=CD•sin60°=14．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =-++经过点()4,4A --，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =--，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =-++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上以动点，求12AM CM +的最小值．交E 于点G ),24k +，E 或32k =-)6△PC =交E 于点M 51225=△12ME AE =△PM 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．BC F BC ES S''=△ABC ，连接【点睛】本题考查折叠问题，尺规作图：作角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短距离问题，本题综合性强，难度较大．16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD ，AB ＝4，以顶点B 为直角顶点的等腰Rt△BEF 绕点B 旋转，BE ＝BFAE ，CF ．(1)求证：△ABE △△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt△BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DGMP +PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE △△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE △△ABE ，可得△DAE ＝△BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ △CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：△四边形ABCD 是正方形，△AB ＝BC ，△ABC ＝90°， △△EBF ＝90°＝△ABC ，△△ABE ＝△CBF ， 又△BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH △AB 于H ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，△ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．．根据作图结合题意易证DCP PCB~，即可PD+最小，最小值即Rt ACD中，利用勾股定理求出1)2AP BP+，使23CE=，根据作图结合题意易证ECP PCA~，即可得出13EP AP=，EP BP+，说明当最小，最小值即为BE长．中，利用勾股定理求出BE的长即可；AD．1CD CP △DCP PCB ~， BP ，△12AP BP AP +=三点共线时，AP PD +最小，最小值即为Rt ACD 中，2226AC CD +=1)2AP BP BP +=+，△2AP BP +如图，在CA 321CE CP △ECP PCA ~，△EP AP 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为224BC CE =+=)AP BP +，△3AP BP +【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=37例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.[答案]37.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
中考数学模型阿氏圆专题
中考数学模型阿氏圆专题阿基米德的圆是指周长是半径r的常数倍的圆，即C=2πr。
在数学模型中，阿基米德的圆是一种重要的几何模型。
它的特点是，无论圆的半径大小如何变化，其周长与半径的比值始终保持不变。
这种性质使得阿基米德的圆在工程、物理、生物等领域有着广泛的应用。
首先，阿基米德的圆在工程领域中具有重要意义。
在建筑设计中，通过使用阿基米德的圆模型可以制作出很多典型的建筑结构，比如圆形天花板、拱桥等。
而在工业制造领域，阿基米德的圆也可以应用于机械设计、汽车制造等方面。
例如，在汽车制造中，阿基米德的圆模型可以用来设计轮胎的形状和尺寸，以确保汽车在行驶过程中的稳定性和平衡性。
其次，阿基米德的圆在物理学中也有着广泛的应用。
在力学中，通过使用阿基米德的圆模型可以描述物体的运动轨迹。
例如，在自由落体运动中，物体的竖直位移与时间的关系可以通过阿基米德的圆模型来解释。
在光学中，阿基米德的圆也可以用来解释光的传播规律。
例如，在反射折射现象中，阿基米德的圆模型可以用来解释光线在不同介质间传播时的变化。
此外，阿基米德的圆在生物学中也有一定的应用。
在生物进化研究中，阿基米德的圆模型可以用来描述物种的数量与时间的关系。
例如，根据阿基米德的圆模型，如果假设某一物种的数量每年以相同的速率增加，那么可以预测在未来的某一时刻，该物种的数量将达到一个平衡值。
总的来说，阿基米德的圆是一种非常有用的数学模型，它在工程、物理、生物等多个领域都有着广泛的应用。
通过研究阿基米德的圆模型，我们可以更好地理解和应用这些领域中的相关知识，为实际问题的解决提供更科学、准确的方法。
因此，我们应该深入学习和研究阿基米德的圆模型，以提高我们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
经典几何模型之阿氏圆教学设计 (2)精选全文
可编辑修改精选全文完整版《经典几何模型之阿氏圆》教学设计一．教学目标根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为： 1.知识与技能了解阿波罗尼斯圆及其文化背景，掌握阿波罗尼斯圆的简单性质并能应用性质解决问题. 2.过程与方法通过具体例子引导学生自主合作、探究、抽象概括，对阿波罗尼斯圆由感性认识上升到理性认识的过程，体会从特殊到一般的数学研究方法，渗透数形结合的思想． 3.情感、态度与价值观通过学生对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力和抓主要矛盾解决问题的能力．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重难点分析重点：阿波罗尼斯圆及其性质的理解和应用．难点：阿波罗尼斯圆性质的推导及其应用．三．教学过程（一）课题引入 提出问题：（2008年高考）已知在ABC ∆中，2AB AC ==，，求ABC S ∆的最大值. 解法一：（以下是大部分学生给出的解法）222424,cos 44x x x BC x AC B x x+--====，1=2sin 2ABCSx B ∆∴⋅⋅⋅=222x xx ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩22x ∴<<故当x =ABC S ∆大解法二：（也有小部分学生给出了这样的解法）设()()1,0,1,0A B -，动点C满足AC =，求点C 的轨迹，=即：()2238x y -+=11=222ABC y S AB C ∆∴⋅⋅≤⨯⨯=从以上两种解析过程可以看出，第二种解法简洁，又避免复杂计算，但是学生对于“AC =，点C 的轨迹是圆”这个知识点没有概念，其实这涉及到了数学的一个经典几何模型“阿氏圆”. 教材原题再现及推广：人教版必修2教材习题4.1B 组第3题：已知点M 与两个定点 (0,0),B(3,0)A 的距离之比为12，求动点M 的轨迹方程. 解：设(),M x y ，由已知得：1.2=即()2214x y ++=.探究：平面内到两个定点的距离的比值为常数λ（λ>0）的点的轨迹是圆？ 证明：两个定点不妨设(,0),B(,0)A a a -,动点,)C x y （,由题意可得||||CA CB λ=，λ=得：()()()()2222222112110x y a x a λλλλ-+--++-= 当=λ1时，0x =；当λ≠1时， 2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 圆心：221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，221a r λλ=-概念形成：阿氏圆：平面内到两个定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹.设计意图：先以高考真题为例暴露学生存在的问题，再以课本练习题引入，说明问题源于课本，但又高于课本，提醒学生重视课本，用好课本，发掘课本的潜在价值.（二）阿氏圆背景介绍阿波罗尼斯 (Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)约公元前262～前190,古希腊人.阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”.在其巨著《圆锥曲线论》给出了一个著名的几何问题：“在平面上给定相异两点A 、B ，设点P 在同一平面内且满足，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，又称阿氏圆.这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”．以阿波罗尼斯圆为背景的考题在历年高考中频频出现，备受青睐.《普通高中数学课程标准（实验）》在不同部分对数学文化的内涵和价值做了阐述，首次明确提出数学课程要“体现数学的文化价值”.设计意图：抽象概括，形成概念，渗透数学文化，体现课程标准． （三）阿氏圆定义的应用例1（2020年全国卷） 已知12030F ,,F ,（-3）（）为双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点，若双曲线C 的渐近线上存在点P 满足: 122PF PF =，求b 的最大值. 解：122PF PF =()()2222343x y x y ⎡⎤∴++=-+⎣⎦即()22516x y -+= 即圆与渐近线有交点55 4.3b bc ==≤ 125b ∴≤变式训练：已知向量2a =，且2b a b =-，求cos a,b 的最小值. 解：设()()20a ,,b x,y ==2b a b =- 224b a b ∴=-()222242x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦ 2281639x y =⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭当OB与圆相切时，cos a,b 有最小值为2设计意图：解题思路一般有两种，一是以边长（或角）为自变量建立函数关系式，转化为函数最值问题来处理，但计算繁琐，浪费时间.二是建系，转化为阿氏圆的问题进行处理. （四） 探究阿氏圆性质1.阿氏圆的圆心D 与两个定点的位置有什么关系？2.|||___,||AE AF|=____.EB |BF|= 3. 若PAPBλ=，圆心到定点的距离（DA 、DB ）与半径（r ）之间有什么等量关系?2r DA DB =⋅， 1DB r λ=⋅， DA r λ=⋅， 1||ABr λλ=-. （五）灵活应用例3 P 为圆O ：2236x y +=上任意一点, M,N 为定点,其中点M(3,0),若PNPMλ=则=λ ，定点N 的坐标________.解析：此题若用常规思路先求点P 的轨迹方程，再求半径和面积自然可以求解．但对于填空题大可不必“小题大做”，若应用性质可以很快确定点P 的轨迹.也可以直接代入上述结论计算半径和面积.例4 若3,5OA OB ==，P 为圆O ：2236x y +=上任意一点,则2AP BP +的最小值为 ；解：6,3,5r OA OB === 12OA=r ∴设2PH AP =∴ 圆O 是以A,H 为定点的阿氏圆212,OH r ∴=⨯= ()0,12H ∴ 213AP BP PH BP HB ∴+=+==小变式：求56AP BP +的最小值 .解：6,3,5r OA OB === 55666OB=r ∴⨯=⨯设65BG BP =∴ 圆O 是以B,G 为定点的阿氏圆636,55OG r ∴=⨯=36,05G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()656555395AP BP PA BP AP BG AG ⎛⎫∴+=+=+== ⎪⎝⎭小（六）模拟试卷链接1. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个单位向量，若a b ⊥，求232a c a b c +++-的最小值.2. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个向量，若44a =,b =，且0a b=⋅，若c 满足：220c a c+15=-⋅求4c a b c ++-的最小值设计意图：巩固提升，突出重点，突破难点，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． （七）课堂总结(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么? （八）再思考1. 平面内到两定点的距离之积（平方和、平方差）为定值的点的轨迹是什么？3. 平面内到一定点和一定直线（两直线）的距离之和（差、积、商）为定值的点的轨迹是什么？设计意图：由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，在此基础上提出可以继续探究的问题，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．四.教学反思本堂课我就解析几何中有关圆的定点、定值类问题中涉及阿波罗尼斯圆的一些问题，结合高考中以阿波罗尼斯圆为背景的考题.对阿波罗尼斯圆及其性质进行了一个简单的探究. 教学过程中我按照“创设情境---组织探索---知识应用1、教学思路清晰，学生思维活跃，求知欲强，对问题的解法能够提出自己的想法，总结也非常到位.2、大部分同学能够利用阿波罗尼斯圆巧妙解决定点、定值问题.3、充分运用多媒体及几何画板，化抽象为形象，突出了重点,化解了难点. 不足之处：1、由于学生尚未具有良好的思维水平和学习习惯，因而灵活运用知识的能力欠缺.2、学生的计算能力还有待提高.3、少数同学没有跟上上课的节奏，听起来有点吃力.在今后的教学中，我会加强对学生灵活运用知识能力和计算能力的培养，同时适当照顾后进生.。
2021初中数学阿氏圆最值模型归纳讲课讲稿
初中数学阿氏圆最值模型归纳几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.PA B O【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O 上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=25R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2PB=PC；故本题求“PA+2PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为5 5定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小；【技巧总结】计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形P问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPkOB3. 在 OB 上取一点 C ，使得 OC k ，即构造 △POM ∽△ BOP ，则 PCk ， PC k PBOP PB4. 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维 探究重点例题 1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=4 ， BC=3，以点 C 为圆心， 2 为半径作圆 C ， 分别交 AC 、BC 于 D 、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则1 PA PB 的最小值为2．AADDPMCEBCB【分析】这个问题最大的难点在于转化1PA ，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆 C 半径为 2，2CA=4 ，连接 CP ，构造包含线段 AP 的△CPA ，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2 ， 连接 PM ，可得 △CPA ∽△ CMP ，故 PA ：PM=2:1，即 PM= 1PA ．2问题转化为PM+PB≥BM 最小值，故当B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13 ．变式练习>>>1. 如图1，在RT△ABC 中，∠ ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP，求① AP 1BP ，②2 AP2BP ，③1AP3BP ，④AP 3BP 的最小值.[答案]：①= 37 ，②=2 37 ，③= 237 ，④= 2 37 .3例题2. 如图，点 C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10 ,点B 在⊙C 上一动点，OB5AB5的最小值为.[答案]：5.变式练习>>>2. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1) ，M(4,4) ，以M 为圆心，2 2 为半径画圆，O 为原点，P是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC＝1，BD＝2，P 为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D 共线时，PC+PD 最小．理由：连接PB、CO，AD 与CO 交于点M，∵AB＝BD＝4，BD 是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB 是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC 是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC 是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM ，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP 最小＝AD﹣AM＝2 ﹣＝．变式练习>>>3. 如图，四边形ABCD 为边长为 4 的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD+ PC 的最小值为 5 ；PD+4PC 的最小值为10 ．【解答】解：①如图，连接PB、在BC 上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+ PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE 中，DE＝＝5，∴PD+ PC 的最小值为5．②连接DB，PB，在BD 上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC 于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4 ＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC 中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC 的最小值为10 ．故答案为5，10 ．例题 4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆 B 的半径为3，点P 是圆 B 上的一个动点，则PD 最大值为．1PC 的2ADPBC【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造1 PC ，在 BC 上取 M 使2得此时 PM= 3 ，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 的22最大值．连接 PD ，对于 △PDM ，PD-PM ＜ DM ，故当 D 、M 、P 共线时， PD-PM=DM 为最大 15值 ．2AD A DA D A DPBMCPBMCPBMCBMCP变式练习 >>>4．（ 1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．（ 2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ B ＝ 60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．图 1图 2【解答】解：（ 1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G ，使得 BG ＝4．∵ ＝ ＝ ，＝ ＝ ，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4 中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF ⊥BC 于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF 中，∠DCF ＝60°，CD＝4，∴DF ＝CD?sin60 ＝°2 ，CF＝2，在Rt△GDF 中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大（如图 2 中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线AB 交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线1AC：y=﹣x﹣6 交y 轴于点C．点E 是直线AB 上的动点，过点 E 作EF⊥x 轴交AC 于点2F，交抛物线于点G．（1））求抛物线y=﹣x2+bx+c 的表达式；（2））连接GB，EO，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G的坐标；（3））①在y 轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E 运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM+CM 它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c 上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB 的解析式为y=kx+n 过点A ，B，∴，∴，∴直线AB 的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y=2x+4 ，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12 x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF 为对角线，∴1（﹣4+0）=12 2（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH= 5 ，AE=2 5 ，设AE 交⊙E 于G，取EG 的中点P，∴PE=5，2连接PC 交⊙E 于M，连接EM，∴EM=EH= ，∴PEME52 = 1 ，∵ME5 2 AE5=12 5 2，∴PE MEME AE=1，2∵∠PEM=∠MEA ，∴△PEM∽△MEA ，∴PE MEME AE =1，2∴PM=12 AM ，∴12AM+CM 的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52 ，∴5（p+2）2=5，4∴p=52 或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC= = 5 52，即：12AM+CM=5 5．2变式练习>>>5. 如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+ E′B 的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1 或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB 解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB 解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1 中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+3，∴PN＝﹣m2+ m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2 中，在y轴上取一点M′使得OM ′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′O?B＝×3＝4，∴OE′2＝OM′O?B，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM ′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在RT△ABC 中，∠ B=90°，AB=CB=2 ，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆 C 的半径为 2 ，点P 为圆B 上的一动点，求AP2PC2的最小值.[答案]： 5 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 11 -2. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则 2 PA+PB 的最小值为.[答案]：2 5 .3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则2PB+PC的最小值为.[答案]：3 7. 24. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3 ，CB=4， C 的半径为2，点P 是 C 上的一动点，则AP 1PB 的最小值为？2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 12 -5. 如图，在平面直角坐标系中， A 2,0 ，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2 ，P是△ AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC 的最小值是多少？[答案] 4 26. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△ AFC；（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD+ AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD+ AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图 1 中，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 13 -（2）解：①如图2 中，当点D，E 在AB 边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 ，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+ AD＝+1．②如图3 中，当点E，F 在边AB 上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+ AD＝+ ．（3）如图4 中．取AC的中点M．连接DM ，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD，∴△DCM ∽△ACD，∴＝＝，∴DM ＝AD，∴BD+ AD＝BD+DM ，∴当B，D，M 共线时，BD+ AD 的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P 是边长为 6 的正方形ABCD 内部一动点，PA＝3，求PC+ PD 的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD 中，AB＝18，BC＝25，点M 是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+ MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC+ MD 的最小值．【解答】解：（1）如图1 中，作线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点E，连接EC．线段EC 即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 14 -∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE?AD＝×6＝9，∴PA2＝AE?AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+ PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+ PD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+ PD 的最小值为．（3）如图3 中，如图 2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE?AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE?AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM ，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD ，∴MC+ MD ＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+ MD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2 ，∴MC+ MD 的最小值为 2 ．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 15 -。
2022年全国中考数学经典几何模型解题策略专题 最值之阿氏圆问题
三、真题演练
APC∽BPA ，
AP CP AC 1 ， BP AP AB 2
BP 2AP ， CP 1 AP ， 2
BP CP BC 4 ，
2AP 1 AP 4 ，解得： AP 8 ，
2
3
BP 16 ， CP 4 ，即点 P 为定点，
3
3
点 A 的轨迹为以点 P 为圆心，8 为半径的圆上，如图，过点 P 作 BC 的垂线，交圆 P 与点 3
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中物理
专题 最值之阿氏圆问题
一、方法突破
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定 点距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 构成的 图形为圆．
P
A
B
O
“阿氏圆”的一些性质： （1） PA MA NA k ．
PB MB NB 应用：根据点 A、B 的位置及 k 的值可确定 M、N 及圆心 O． （2）△OBP∽△OPA，即 OB OP ，变形为 OP2 OA OB ．
在 RtCDH 中， CH CD cos60 4 ， DH CD sin 60 4 3 ， GH CG CH 6 4 10，
DG GH 2 DH 2 102 (4 3)2 2 37 ， PD 1 PC PD PG DG ， 2
PD 1 PC 2 37 ， 2
PD 1 PC 的最大值为 2 37 ． 2
A1 ，此时点 A1 到 BC 的距离最大，即 ABC 的面积最大，
中考数学几何最值之阿氏圆问题
C，使得
OC OP
k
，即构造△POM∽△BOP，则
PC PB
k
，
PC
k
PB
④ 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A、P、C 三点共线时可得最小值
题型精讲
【例 1】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个
动点，则
PD
1 2
PC
的最大值为___5____．
A
M
B
O
N
模型最值技巧： 计算 PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：
① 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB
② 计算出这两条线段的长度比 OP k
OB
③
在
OB
上取一点
12 10
C
D
A
B
本部分内容讲解结束
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的最小值为（
C
）
A． 10 B． 11 C． 13 D． 14
2．如图，已知菱形 ABCD的边长为 4，B 60 ， B的半径为 2，P 为 B 上一动点，则
37 PD
1 2
PC
的最小值_______．
PC
3 PD 的最小值___1_1_1__
6
3
3．如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．
第七部分 几何图形综合
专题39 几何最值之阿氏圆问题
初中数学阿氏圆模型
初中数学阿氏圆模型
阿氏圆模型是一个初中数学中比较重要的概念，它的主要作用是帮
助我们更好地理解椭圆的性质。
下面，我将介绍一下阿氏圆模型的相
关知识。
一、阿氏圆的概念
阿氏圆是指在椭圆上取两点A、B，以它们为焦点作二次函数的图像所
得的第三个焦点C所在的椭圆。
在数学上，它的表示式为x²/a²+y²/b²=1。
二、阿氏圆的性质
1. 根据椭圆的定义可知，阿氏圆上任意一点P到其他两点A、B的距离之和等于常数2c，即AP+BP=2c。
2. 阿氏圆的两个直径分别是椭圆长轴和短轴，它们的长度分别为2a和
2b。
3. 阿氏圆与椭圆的关系：椭圆的焦点在阿氏圆上，阿氏圆的焦点也在
椭圆上。
同时，椭圆的两个焦点与阿氏圆的两个交点连成的线段互相
垂直。
三、阿氏圆的应用
1. 阿氏圆可以帮助我们更好地理解椭圆的本质特征和性质，比如椭圆
的对称轴、离心率和焦点等。
2. 阿氏圆可以用来解决一些跟椭圆有关的几何问题，比如焦点坐标、
半径、直径的求解等。
3. 阿氏圆在物理学中也有一些应用，比如描述电子在电磁场中的运动
轨迹等。
以上就是阿氏圆模型的相关知识，希望这篇文章可以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
初中数学“阿氏圆”专题经典讲解
7
解 题 思 路 ： 取 OE 得 中 点 D， 由 阿 氏 圆 可 得 ： 1 AP PD , 所 以 2
1 AP
BP
PD
BP 最小值为 BD ( 用两点坐标公式可求的
BD长 )BD=5
2
用了两次 阿氏圆 ：
例 6、 正方形 ABCD的边长为 4，AE=DF,AN=，1 求 2 5NH DH 的最小值？
OB
3、在 OB上取一点，A，使 OA = OP =K,得三角形相似即△ POA∽△ BOP； OP OB
4
、根据△ POA∽△ BOP，可得 PA=K·PB,可将 PB和 PA进行转换。
阿氏圆总结： 遇到“PA kPB”型的最值问题， 要将系数为 K 的线段转化为系数为 1 的线段，即要考虑 “kPB PC”。求 PA kAB 可转化为 PA+PC.
10 2 ( 其中 BE= 2 ) 2
A
D
P
E
B
C
例 4、如图， AB为⊙ O的直径， AB=2，点 C与点 D在 AB的同侧，且 AD⊥ AB，
BC⊥AB， AD=1， BC=3,点 P 是⊙ O上的一动点，则 2 PD+PC的最小值为
34
2
2
C
D
P
6
A
O
B
解题思路： 连接 PO,点 P 为圆上的动点 , 将 2 PD转化为系数为 1 的线段 , 点 D是 2
A
A
A
P
P
P
P
B
O
B
CO
B
CO
图1
图2
图3
关键在于确定点 C 的位置，当点 A、P、C 三点共线时， PA+PC最. 小，
57、经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆”一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
2022年中考数学几何模型之动点最值之阿氏圆模型(讲+练)(解析版)
专题15 动点最值之阿氏圆模型背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B 点，则需【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB②计算出这两条线段的长度比OPk OB = ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C ．4D ．【答案】B【详解】如图，在CA 上截取CM ，使得CM ＝1，连接PM ，PC ，BM ． △PC ＝3，CM ＝1，CA ＝9，△PC 2＝CM •CA ，△PC CMCA CP=， △△PCM ＝△ACP ，△△PCM △△ACP ，△13PM PC PA AC ==，△PM 13=PA ，△13AP +BP ＝PM +PB ，△PM +PB ≥BM ，在Rt△BCM 中，△△BCM ＝90°，CM ＝1，BC ＝7，△BM =，△13AP +BP △13AP +BP 的最小值为B ． 例2.在ABC 中，AB =9，BC =8，△ABC =60°，△A 的半径为6，P 是A 上一动点，连接PB ，PC ，则32PC PB+的最小值_____________+PB 的最小值_______【答案】21【详解】①连接AP ，在AB 上取点Q ，使AQ =4，连接CQ ， △△A 的半径为6，即AP =6，△23AB AP =，又6923AP AB ==，且PAQ BAP ∠=∠， △APQ ABP ∆∆∽，△23PQ AP P AB B ==，△23PQ BP =，△()232333PC PB PC BP PC PQ ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当P C Q 、、三点共线时，PC PQ +的值最小，最小值为CQ 的长，过C 作CI △AB 于I ，△90CIB CIQ ∠∠==︒，在Rt △CIB 中，△60CBI ∠=︒，BC =8，sin CI CBI BC ∠==，△CI =△4BI ，9441QI AB AQ BI =--=--=，在Rt △CIQ 中，7CQ ==，△32PC PB +的最小值为()321PC PQ +=；故答案为：21；②连接AP ，由①得：在Rt △CIA 中，AC在AC 上取点G ，使AG PG ，BG ，△736AG AP ==，△AP AC ==△P P AC A AG A =，且GAP PAC ∠=∠，△AGP APC ∆∆∽，△GP AG A P P C ==△GP =，△PB PB GP =+， 当G P B 、、三点共线时，PB GP +的值最小，最小值为BG 的长， 过G 作GH △AB 于H ，△90GHA GHB ∠∠==︒，在Rt △CIA 中，sin C CI AI AC ∠==Rt △GAH 中，sin GH GAH AG ∠==△GH =，△18073AH ，18047797373BH AB AH =-=-=，在Rt △GHB 中，BG =△PB例题3. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM=DM 为最大值152．【变式训练1】如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则12PD PC +的最小值_______．+PC 的最小值_______【详解】①如图，在BC 上取一点G ，使得BG =1，连接PB 、PG 、GD ，作DF △BC 交BC 延长线于F ．AB CDP△221PB BG ==，422BC PB ==，△PB BCBG PB=， △PBG PBC ∠=∠，△PBG CBP ∆∆，△12PG BG PC PB ==，△12PG PC =，△12PD PC DP PG +=+，△DP PG DG +≥，△当D 、P 、G 共线时，PD +12PC 的值最小，最小值为DG ，在Rt △CDF 中，△DCF =60°，CD =4，△DF =CD •sin CF =2，在Rt △GDF 中，DG =②如图，连接BD ，在BD 上取一点M ，使得BM PB 、PM 、MC ，过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒， △AC △BD ，△AOB =90︒，△ABO =△CBO =12△ABC =30︒，△AO =12AB =2，BO △BD =2 BO =△32BM PB ==PB BD =△BM PB PB BD ==△MBP =△PBD ，△△MBP ~△PBD ，△PM PB PD BD ==△PM =，△PC PC PM MC =+≥，△当M 、P 、C 共线时，PC 的值最小，最小值为CM ，在Rt △BMN 中，△CBO =30︒，BM △MN =12BM BN 12=，△CN =4-1722=，△MC 3=，△PC ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上一动点，则最小值为 ，的最大值为 .【答案】最小值为5，最大值为5【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，最小值为；当点P在DG的延长线时，DG，最大值为5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，的最小值是.【答案】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP ＝2，OA ＝4，OK ＝1，，∵∠POK ＝∠AOP ，∴△POK ∽△AOP ，在△PBK 中，，的最小值为BK 的长，∵B （4，4），K （1，0），，∴的最小值为5.【变式训练4】如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60︒，A 与BC 相切于点E ，在A 上任取一点P ，则PB 的最小值为___________．【详解】解：在AD 上截取AH =1.5，连接PH 、AE ，过点B 作BF △DA 延长线，垂足为F ，△AB =2，△ABC =60°，△BE =AF =1，AE =BF △AP AD AH AP ==△△PAD =△PAH ，△△ADP △△APH ，△DP AD PH AP ==，△PH ，当B 、P 、H 共线时，PB 的最小，最小值为BH 长，BH =课后训练1.如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A B C D 【答案】C【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ， △2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==，△G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BGBA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPG BAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =， 则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长，DG C ．2.如图，在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，2）、C （4，0）、D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ＝135º，则2PD ＋PC 的最小值是 .【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，∴的最小值为2DE.3.如图，在Rt ABC中，△C=90°，CA=3，CB=4．C的半径为2，点P是C上一动点，则12AP BP+的最小值______________23+PB PA的最小值_______【详解】①在BC上取点D，使CD=14BC=1，连接AD，PD，PC，由题意知：PC =2，△12DC PC PC BC ==，△PCD =△BCP ，△PDC BPC ∆∆∽，△12PD PB =，且12PA PB PA PD AD +=+≥，△AD =△2PA PB 1+②在AC 上取点E ，使CE =43，连接PE ，BE ，PC ，△42323CE PC ==，23PC AC =，△23CE PC PC AC ==，且△PCE =△ACP ， △PEC APC ∆∆∽，△23PE PC PA AC ==，△23PE PA =，△23PB PA PB PE BE +=+≥，△BE =△23+PB PA ．4.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB 上一动点，求的最小值.【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"PC＋PD的值最小，最小值为.5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1；（2）m＝2；（3【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a＝．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式为．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，，∵NE∥OB，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（，，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，，∴M′E BE′，∴AE′＋′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。
九年级数学中考复习：线段最值问题——“阿氏圆”课件
问题转化为PM + PB ≥ 最小值，故当B、P、M三点共线时取得最小
值，直接连接BM即可得 13.
不积洼步 无以至千里。
变式1：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6,圆C
的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求
• ① +
1
，②
2
2 + ③
2
∴PM= 2 ，∴
2
2
2
+ = + = ，
∵DM⊥CO,∴此时 2 + 最小，且AD-AM=2 2 −
2
2
=
3 3
2
不积洼步 无以至千里。
例3.如图，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点
15.
1
P是圆B上的一个动点，则 − 的最大值为_____.2
中考复习专题题
普集街乡初级中学
不积洼步 无以至千里。
学习目标
1、掌握阿氏圆模型特点和有关解题思路，应用"阿氏圆"
的性质解答带系数的两条线段和的最小值（重点）（形
如求PA+k•PB 的最值问题）
2、体会数学思想——转化思想. (难点）
不积洼步 无以至千里。
定理探究
“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，
则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨
迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
人物介绍
阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262-190年），古希腊数
学家，与欧几里得，阿基米德齐名．
初中数学最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
中考数学几何模型 第11讲阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13． 变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE +PD ≤DE ，在Rt △DCE 中，DE ＝＝5，∴PD +PC 的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______。