子弹打木块问题

子弹打木块类问题子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。

作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。

下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。

【例1】 设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。

求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：()v m M mv +=0 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。

设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012121mv mv s f -=⋅ ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =⋅ ……② ①、②相减得：()()2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=⋅ ……③ 点评：这个式子的物理意义是：f d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()dm M Mmv f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d mM m s +=2 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。

由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：()d mM m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<<d 。

这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。

这就为分阶段处理问题提供了依据。

象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：()202v m M Mm E k +=∆…④当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。

做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。

练习1、质量为M 的木块静止在光滑水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并留在其中，若子弹受到的阻力恒为f ，问：①子弹在木块中前进的距离L 为多大？②木块相对地面的位移是多少？③子弹和木块的相互作用时间是多少？解：系统动量守恒，有：v m M mv )(0+= ∴mM mv v +=0 ①系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：220)(2121v m M mv fL +-= ∴f m M Mmv L )(220+= ②对木块，由动能定理有：221Mv fs = ∴木块的位移fm M v Mm s 2202)(2+= ③对木块，由动量定理有：Mv ft = ∴作用时间fm M Mmv t )(0+= 2、质量为M 的木块静止在光滑水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并以水平速度v 射出，若子弹受到的阻力恒为f ，问：①木块的厚度d 为多大？②木块相对地面的位移是多少？③子弹和木块的相互作用时间是多少？解：系统动量守恒，有：M Mv mv mv +=0 ∴Mv v m v M )(0-= ①系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2220212121M Mv mv mv fd --= ∴Mf v v m f v v m d 2)(2)(202220---= ②对木块，由动能定理有：221M Mv fs = ∴木块的位移Mf v v m s 2)(202-= ③对木块，由动量定理有：M Mv ft = ∴作用时间fv v m t )(0-= 3、质量为M 、厚度为d 的木块固定在水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并以水平速度v 射出。

现将木块放在光滑的水平面上，相同的子弹仍以水平速度v 0 射入，若子弹受到的阻力恒定，问：子弹在木块中前进的最大距离L 为多大？解：木块固定时，对子弹由动能定理有：v 0 2022121mv mv fd -=- ∴d v v m f 2)(220-= 木块未固定时，若子弹从木块中穿出，则L=d若子弹未从木块中穿出，则由系统动量守恒，有：20)(v m M mv +=系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2220)(2121v m M mv fL +-= ∴))((22020v v m M d Mv L -+= 4、有一质量为m 的小物体，以水平速度v 0 滑到静止在光滑水平面上的长木板的左端，已知长木板的质量为M ，其上表面与小物体的动摩擦因数为μ，求木块的长度L 至少为多大，小物体才不会离开长木板？解：小物体不离开木板，即两者最终相对静止。

由系统动量守恒，有：v m M mv )(0+= ∴mM mv v +=0 小物体与木板间摩擦力为mg f μ=，由系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：220)(2121v m M mv mgL +-=μ ∴g m M Mv L )(220+=μ 5、质量为M 的长木板B 静止在光滑水平面上，质量为m 的小滑块A （可视为质点）以水平速度v 0从长木板的一端开始在木板上滑动，到达另一端滑块刚离开木板时的速度为v 0/3，若把此木板固定在水平桌面上，其它条件相同，求：滑块离开木板时的速度。

解：木板不固定时，系统动量守恒，有：Mv mv mv +=300 ∴木板的速度Mmv v 320= 系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2202021)3(2121Mv v m mv fL --= ∴)2(9220M m L mv f -= 将木块固定时，对A 由动能定理有：202'2121mv mv fL -=- ∴M m v v 4130'+= 6、光滑水平面上静置厚度不同的木块A 与B ，质量均为M 。

质量为m 的子弹具有这样的水平速度：它击中可自由滑动的木块A 后，正好能射穿它。

现A 固定，子弹以上述速度穿过A 后，恰好还能射穿可自由滑动的B ，两木块与子弹的作用力相同。

求两木块厚度之比。

解：设A 木块厚度为a ，B 木块厚度为b ，子弹初速度是v 0，射穿自由滑动的A 后速度为v ，正好能射穿说明两者速度相等。

由动量守恒，有： v m M mv )(0+= 系统能量守恒，有：)(2)(212120220m M Mmv v m M mv fa +=+-= 子弹射穿固定的A 后速度为v 1，射穿B 后速度为v B ，子弹射穿A 后，对子弹由动能定理有：20212121mv mv fa -=- ∴可求得m M m v v +=01 之后子弹在射穿B 时，有： B v m M mv )(1+= 系统能量守恒，有：)(2)(212121221m M Mmv v m M mv fb B +=+-= ∴ mm M v v b a +==2120 7、如图所示，长为l 质量为m 1的木板A 置于光滑水平面上，左端放一质量为m 2的物体B.物体与木板之间的动摩擦因数为μ，现在A 与B 以速度v 0在水平光滑地面上一起向右匀速运动.当A 与竖直墙壁发生弹性碰撞后，要使物体一直不从木板上掉下来，v 0必须满足什么条件？解：木板碰墙后速度反向，由动量守恒定律(向左为正向)：v m m v m m )()(21021+=-讨论:（1）若m 1 ＞ m 2 最后以共同速度为v 向左运动，由能量守恒定律：2212021)(21)(21v m m v m m +-+≤gl m 2μ ∴ 0v ≤1212)(m gl m m +μ （2）若m 1 = m 2 碰后系统的总动量为0，最后都静止在水平面上，由能量守恒定律：2021)(21v m m +≤gl m 2μ ∴ 0v ≤gl m m gl m μμ=+)(2212 （3）若m 1 ＜ m 2 木板能与墙多次碰撞, 每次碰后的总动量都向右,最后木板静止在靠近墙壁处,B 静止在A 右侧.由能量守恒定律：2021)(21v m m +≤gl m 2μ ∴ 0v ≤)(2212m m gl m +μ 8、质量为2m 、长为L 的木块置于光滑的水平面上，质量为m 的子弹以初速度v 0水平向右射穿木块后速度为v 0 /2。

设木块对子弹的阻力恒定。

求：（1）子弹穿过木块的过程中木块的位移（2）若木块固定在传送带上，使木块随传送带始终以恒定速度u<v 0水平向右运动，则子弹的最终速度是多少？解：（1）设子弹穿过木块后木块获得的速度是V ，由系统动量守恒得：mV v mmv 2200+= 系统能量守恒，有：22020221)2(2121mV v m mv fL ⋅--= 对木块，由动能定理：2221mV s f ⋅=⋅ 解得：木块的速度V=v 0/4 木块的位移： S=L/5（2）在此过程中，由于木块受到传送带的作用力，所以系统动量不守恒。

假设子弹穿过木块，以子弹为研究对象： 由动量定理得： ft mv mv -=-0 由动能定理得：2022121)(mv mv L ut f -=+- 解以上两式，得：202085)(v u v u v --±= 当20)(u v -＞2085v ，即u ＜0)4101(v -时， 202085)(v u v u v --+= 当20)(u v -＜2085v 时，方程无解，表明子弹不能穿出木块。

即u ＞0)4101(v -时，u v = 9、如图所示，A 、B 是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。

A 的左端和B 的右端相接触。

两板的质量皆为M=2.0kg ，长度皆为l=1.0m,C 是一质量为m=1.0kg 的木块．现给它一初速度v 0 =2.0m/s ，使它从B 板的左端开始向右动．已知地面是光滑的，而C 与A 、B 之间的动摩擦因数皆为μ=0.10．求最后A 、B 、C 各以多大的速度做匀速运动．取重力加速度g=10m/s 2.解：先假设小物块C 在木板B 上移动距离 x 后，停在B 上．这时A 、B 、C 三者的速度相等，设为V ．由动量守恒得：V M m mv )2(0+=由能量守恒得：220)2(2121V M m mv mgx +-=μ 解得：m gM m Mv x 6.1)2(20=+=μ x 比B 板的长度l 大．这说明小物块C 不会停在B 板上，而要滑到A 板上．设C 刚滑到A 板上的速度为v 1，此时A 、B 板的速度为V 1，由动量守恒得：1102MV mv mv += 由功能关系得：2121202212121MV mv mv mgl ⋅--=μ 解得：10641±=V 56221 =v 由于v 1必是正数，故合理的解是s m V /155.010641=-= s m v /38.156221=+= 当滑到A 之后，B 即以V 1= 0.155m/s 做匀速运动．而C 是以 v 1=1.38m/s 的初速在A 上向右运动．设在A 上移动了y 距离后停止在A 上，此时C 和A 的速度为V 2，由动量守恒得： 211)(V m M mv MV +=+ ∴s m V /563.015662=+= 由功能关系得：222121)(212121V m M MV mv mgy +-+=μ ∴m y 5.0= y 比A 板的长度小，故小物块C 确实是停在A 板上．最后A 、B 、C 的速度分别为:： s m V v v C A /563.02=== s m V v B /155.01==。