九年级上册第24章圆章节培优专题(含答案)
(全优)人教版九年级上册数学第二十四章 圆含答案
人教版九年级上册数学第二十四章圆含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为m,最小距离为n(m>n),则此圆的半径为( )A. B. C. 或 D.m+n或m-n2、如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A =50°,则∠OCD的度数是()A.40°B.45°C.50°D.60°3、如图,将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动),点B 从开始到结束,所经过路径的长度为()A. cmB. cmC.3cmD. cm4、公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数,导致了第一次数学危机. 是无理数的证明如下:假设是有理数,那么它可以表示成(与是互质的两个正整数).于是,所以,.于是是偶数,进而是偶数.从而可设,所以,,于是可得也是偶数.这与“ 与是互质的两个正整数”矛盾,从而可知“ 是有理数”的假设不成立,所以,是无理数.这种证明“ 是无理数”的方法是()A.综合法B.反证法C.举反例法D.数学归纳法5、如图,是半圆的直径,为弦,于,过点作交半圆于点,过点作于,若,则的长为()A. B. C. D.6、下列四个命题:①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧;②在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等;③三角形有且只有一个外接圆;④若两圆没有公共点,则两圆外离.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个7、如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,2),⊙C的圆心为点C(-1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于E点,则△ABE面积的最小值是()A.2B.C.2+D.2-8、如图,在直径为4的⊙O中,弦AC=,则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是:()A. B. C. D.9、如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠BOC=70°,则∠A的度数为()A.70°B.45°C.40°D.35°10、如图,AB和CD都是⊙O的直径,∠AOC=56°,则∠C的度数是()A.22°B.28°C.34°D.56°11、已知圆O的直径是方程x2-5x-24=0的根,且点A到圆心O的距离为6,则点A在()A.圆 O上B.圆 O内C.圆 O外D.无法确定12、在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P 在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()A. B. C.34 D.1013、如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是()A.120°B.100°C.80°D.60°14、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°,0A=3,那么∠AOB所对弧的长度为( ).A.5πB.4πC.3πD.2π15、如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PO的延长线交⊙O于点B,若∠P=40°,则∠B的度数为()A.20°B.25°C.40°D.50°二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC是⊙O的直径,OE⊥BC交AB 于点E,若BE=2AE,则∠ADC =________°.17、如图,点A,B,C在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,OD⊥AB于点E,交⊙O于点D,则∠BAD=________°.18、如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A,BC交⊙O于点D,直线DE是⊙O的切线,切点为D,交AC于E,若⊙O半径为1,BC=4,则图中阴影部分的面积为________.19、△ABC内接于⊙O,且满足AB>AC,连结AO,D,E分别是BC,AO的中点,且OD=OE,若∠ODE等于10°,则∠B等于________.20、如图,⊙O的半径为6,OA与弦AB的夹角是30°,则弦AB的长度是________.21、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=________度.22、一条弦把圆分成1:5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是________.23、在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P 在以DE为直径的半圆上运动,则的最小值为________.24、如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为2,则图中阴影部的面积是________.25、如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB的度数是20°,的长为π,则⊙O的半径是________.三、解答题(共5题,共计25分)26、圆锥的底面半径为3cm,侧面展开图是圆心角为120º的扇形,求圆锥的全面积。
精品2019-2020人教版九年级数学上册第24章 圆单元培优试题含解析
人教版九年级数学上册《第24章圆》单元培优试题一.选择题(共10小题)1.如图,点A,B,C在圆O上,若∠BOC=72°,则∠BAC的度数是()A.72°B.54°C.36°D.18°2.已知AB是半径为5的圆的一条弦,则AB的长不可能是()A.4B.8C.10D.123.如图,AB、AC、BD是⊙O的切线,切点分别是P、C、D.若AB=5,AC=3,则BD的长是()A.4B.3C.2D.14.已知⊙O的半径为2,一点P到圆心O的距离为4,则点P在()A.圆内B.圆上C.圆外D.无法确定5.已知一个扇形的弧长为3π,所含的圆心角为120°,则半径为()A.9B.3C.D.6.如图,AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D,若⊙O的半径为5,BC=8,则AB的长为()A.8B.10C.D.7.下列说法正确的是()A.相等的圆心角所对的弧相等B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等D.相等的弦所对的弧相等8.如图,C是半圆⊙O内一点,直径AB的长为4cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC 绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过的区域(图中阴影部分)的面积为()A.πB.πC.4πD.+π9.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=6.则直线l与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断10.如图,在半径为6的⊙O中,正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O,则图中阴影部分的面积为()A.27﹣9B.18C.54﹣18D.54二.填空题(共8小题)11.有下列说法:①半径是弦;②半圆是弧,但弧不一定是半圆;③面积相等的两个圆是等圆,其中正确的是(填序号)12.在圆内接四边形ABCD中,∠D﹣∠B=40°,则∠B=度.13.如图,有一座石拱桥,上部拱顶部分是圆弧形,跨度BC=10m,拱高为(10﹣5)m,那么弧BC所在圆的半径等于.14.如图的齿轮有30个齿,每两齿之间的间隔相等,则相邻两齿间的圆心角α等于度.15.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是.16.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1cm,则经过A、B、C三点的弧长是cm (结果保留π).17.若点O是△ABC的外心,且∠BOC=70°,则∠BAC的度数为.18.如图,⊙I是△ABC的内切圆,与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,若∠DEF=50°,则∠A=.三.解答题(共8小题)19.如图,AB是半圆O的直径,D是半圆上的一点,∠DOB=75°,DC交BA的延长线于E,交半圆于C,且CE=AO,求∠E的度数.20.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处是否会受到噪音影响?若受到影响,求出影响的时间,若不受到影响,请说明理由.21.如图,⊙O的直径AB为5,弦AC为3,∠ABC的平分线交⊙O于点D.(1)求BC的长;(2)求AD的长.22.(1)已知:如图1,△ABC是⊙O的内接正三角形,点P为上一动点,求证:PA=PB+PC.下面给出一种证明方法,你可以按这一方法补全证明过程,也可以选择另外的证明方法.证明:在AP上截取AE=CP,连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP(2)如图2,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P为上一动点,求证:PA=PC+PB.(3)如图3,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,点P为上一动点,请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系,直接写出结论.23.已知圆锥的底面半径为3,母线长为6,求此圆锥侧面展开图的圆心角.24.如图,AB是O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若AD=6,⊙O的半径为5,求BC的长.25.已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠ABC=75°,D是⊙O上的点.(Ⅰ)如图①,求∠ADC和∠BDC的大小;(Ⅱ)如图②,OD⊥AC,垂足为E,求∠ODC的大小.26.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动,设两点移动的时间为秒,解答下列问题:(1)如图1,当t为几秒时,△PBQ的面积等于4cm2?(2)如图2,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.解:∠BAC=∠BOC=×72°=36°.故选:C.2.解:因为圆中最长的弦为直径,所以弦长L≤10.故选:D.3.解:∵AC、AP为⊙O的切线,∴AC=AP=3,∵BP、BD为⊙O的切线,∴BP=BD,∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2.故选:C.4.解:∵⊙O的半径分别是2,点P到圆心O的距离为4,∴d>r,∴点P与⊙O的位置关系是:点在圆外.故选:C.5.解:设半径为r,∵扇形的弧长为3π,所含的圆心角为120°,∴=3π,∴r=,故选:C.6.解:连接OB,∵AO⊥BC,AO过O,BC=8,∴BD=CD=4,∠BDO=90°,由勾股定理得:OD ===3,∴AD =OA +OD =5+3=8,在Rt △ADB 中,由勾股定理得:AB ==4,故选:D . 7.解:A 、错误.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,本选项不符合题意. B 、正确.C 、错误.弦所对的弧有两个,不一定相等,本选项不符合题意.D 、错误.相等的弦所对的弧不一定相等.故选:B .8.解:∵∠BOC =60°,△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的,∴∠B ′OC ′=60°,△BCO =△B ′C ′O ,∴∠B ′OC =60°,∠C ′B ′O =30°,∴∠B ′OB =120°,∵AB =4cm ,∴OB 21cm ,OC ′=1,∴B ′C ′=,∴S 扇形B ′OB ==π,S 扇形C ′OC ==π,∴阴影部分面积=S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C ′OC =S 扇形B ′OB ﹣S 扇形C ′OC =π﹣π=π;故选:B .9.解:∵x 2﹣3x ﹣4=0,∴x 1=﹣1,x 2=4,∵⊙O 的半径为一元二次方程3x ﹣4=0的根,∴r =,4,∵d >r∴直线l 与⊙O 的位置关系是相离,故选:A .10.解:设EF 交AH 于M 、交HD 于N ,连接OF 、OE 、MN ,如图所示:根据题意得:△EFO是等边三角形,△HMN是等腰直角三角形,∴EF=OF=6,∴△EFO的高为:OF•sin60°=6×=3,MN=2(6﹣3)=12﹣6,∴FM=(6﹣12+6)=3﹣3,=4×(3﹣3)×3=54﹣18;∴阴影部分的面积=4S△AFM故选:C.二.填空题(共8小题)11.解:①半径是弦,错误,因为半径的一个端点为圆心;②半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确;③面积相等的两个圆是等圆,正确,正确的结论有②③,故答案为:②③.12.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,又∠D﹣∠B=40°,∴∠B=70°;故答案为:70.13.解:设圆弧所在圆的圆心为O,半径为r,连接OB,过O作OA⊥BC于D交于A,则BD=BC=5,AD=10﹣5,∴OD=r﹣10+5,∵OB2=BD2+OD2,∴r2=52+(r﹣10+5)2,解得:r=10,故答案为:10.14.解:相邻两齿间的圆心角α==12°,故答案为:12.15.解:连接OB,OC,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC,∵正六边形的周长是12,∴BC=2,∴⊙O的半径是2,故答案为:2.16.解:连接BC、AB,作BC与AB的垂直平分线交于点O,点O即为A、B、C所在圆的圆心,则OA2=22+42=20,OA=2可知∠AOC=90°,∴过A、B、C三点的弧:=.故答案为17.解:①当点O在三角形的内部时,如图所示:则∠BAC=∠BOC=35°;②当点O在三角形的外部时,如图所示;则∠BAC=(360°﹣70°)=145°故答案为:35°或145°.18.解:连结ID、IF,如图,∵∠DEF=50°,∵∠DIF=2∠DEF=100°,∵⊙I是△ABC的内切圆,与AB、CA分别相切于点D、F,∴ID⊥AB,IF⊥AC,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A+∠DIF=180°,∴∠A=180°﹣100°=80°.故答案为:80°.三.解答题(共8小题)19.解:连结OC,如图,∵CE=AO,而OA=OC,∴OC=EC,∴∠E=∠1,∴∠2=∠E+∠1=2∠E,∵OC=OD,∴∠D=∠2=2∠E,∵∠BOD=∠E+∠D,∴∠E+2∠E=75°,∴∠E=25°.20.解:如图:过点A作AC⊥ON,AB=AD=200米,∵∠QON=30°,OA=240米,∴AC=120米,当火车到B点时对A处产生噪音影响,此时AB=200米,∵AB=200米,AC=120米,∴由勾股定理得:BC=160米,CD=160米,即BD=320米,∵72千米/小时=20米/秒,∴影响时间应是:320÷20=16(秒).21.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ACB中,由勾股定理,得(2)∵CD是∠ACB的平分线,∴∠DAB=∠DBA=45°,∵∠ADB=90°,∴△ADB是等腰直角三角形,∴.22.证明:(1)延长BP至E,使PE=PC,连接CE.∵∠1=∠2=60°,∠3=∠4=60°,∴∠CPE=60°,∴△PCE是等边三角形,∴CE=PC,∠E=∠3=60°;又∵∠EBC=∠PAC,∴△BEC≌△APC,∴PA=BE=PB+PC.(2分)(2)过点B作BE⊥PB交PA于E.∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3,又∵∠APB=45°,∴BP=BE,∴;又∵AB=BC,∴△ABE≌△CBP,∴PC=AE.∴.(4分)(3)答:;证明:在AP上截取AQ=PC,连接BQ,∵∠BAP=∠BCP,AB=BC,∴△ABQ≌△CBP,∴BQ=BP.又∵∠APB=30°,∴∴(7分)23.解:∵圆锥底面半径是3,∴圆锥的底面周长为6π,设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°,=6π,解得n=180,答:此圆锥侧面展开图的圆心角是180°.24.(1)证明:连接AC,如图1所示:∵C是弧BD的中点,∴∠DBC=∠BAC,在ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB,∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°,∴∠BCE=∠BAC,又C是弧BD的中点,∴∠DBC=∠CDB,∴∠BCE=∠DBC,(2)解:连接OC交BD于G,如图2所示:∵AB是O的直径,AB=2OC=10,∴∠ADB=90°,∴BD===8,∵C是弧BD的中点,∴OC⊥BD,DG=BG=BD=4,∵OA=OB,∴OG是△ABD的中位线,∴OG=AD=3,∴CG=OC﹣OG=5﹣3=2,在Rt△BCG中,由勾股定理得:BC===2.25.解:(Ⅰ)∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC=75°,∴∠ADC=105°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,∴∠BDC=∠BAC=30°;(Ⅱ)如图②,连接BD,∵OD⊥AC,∴=,∴∠ABD=∠CBD=×75°=37.5°,∴∠ACD=∠ABD=37.5°,∵∠DEC=90°,∴∠ODC=90°﹣37.5°=52.5°.26.解:(1)∵当运动时间为t秒时,PA=t,BQ=2t,∴PB=5﹣t,BQ=2t.∵△PBQ的面积等于4cm2,∴PB•BQ=(5﹣t)•2t.∴(5﹣t)•2t=4.解得:t1=1,t2=4.答:当t为1秒或4秒时,△PBQ的面积等于4cm2;(2)(Ⅰ)由题意可知圆Q与AB、BC不相切.(Ⅱ)如图1所示:当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合.∵∠DAB=90°,∴∠DPQ=90°.∴DP⊥PQ.∴DP为圆Q的切线.(Ⅲ)当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时,如图2所示.由题意可知:PB=5﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=10﹣2t.在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(5﹣t)2+(2t)2=(10﹣2t)2.解得:t1=﹣15+10,t2=﹣15﹣10(舍去).综上所述可知当t=0或t=﹣15+10时,⊙Q与四边形DPQC的一边相切.。
人教版数学九年级上册第24章《圆》单元培优练习题卷(含解析)
《圆》单元培优练习卷一.选择题1.面积为6π,圆心角为60°的扇形的半径为()A.2 B.3 C.6 D.92.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°3.如图:已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在半径OA上(不与点O,A重合).若∠COA=60°,∠CDO=70°,∠ACD的度数是()A.60°B.50°C.30°D.10°4.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为4,∠B=135°,则劣弧AC的长是()A.4πB.2πC.πD.5.如图,直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,根据图中标示的长度与角度,求AD的长度为何?()A.B.C.D.6.如图物体由两个圆锥组成.其主视图中,∠A=90°,∠ABC=105°,若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为()A.2 B.C.D.7.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=16,∠BAC=∠BOD,则⊙O 的半径为()A.4B.8 C.10 D.68.如图,CD是⊙O的切线,点C在直径的延长线上,若BD=AD,AC=3,CD=()A.1 B.1.5 C.2 D.2.59.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠AOC=110°,则∠ADC=()A.55°B.110°C.125°D.70°10.如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,BD=CD,以点D为圆心,BD长为半径作,若AC=6,则图中阴影部分的面积是()A.2π﹣3B.2π+3C.π﹣D.π+11.如图,AB是⊙O的弦,作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C,交AB于点D.已知∠OAB=20°,则∠OCB的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°12.如图,四边形ABCD中,CD∥AB,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D,点B在⊙O上,连接BD,若DE=4,则BD的长为()A.4 B.4C.8 D.813.在正六边形ABCDEF中,若边长为3,则正六边形ABCDEF的边心距为.14.Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,P为AC的中点,连接P D,BC=6,DP =4.O为边BA上一点,以O为圆心,OB为半径作⊙O,当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时,⊙O的半径等于.15.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的点,=.若∠CAB=42°,则∠CAD=16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,其中AC=2,以AC为直径的⊙O交AB 于点D,则圆周角∠A所对的弧长为(用含π的代数式表示)17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,BC=2,BC是半圆O的直径,则图中阴影部分的面积为.18.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E,则图中的弧长是.19.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O直径,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于点E,交⊙O于点D,连接BD.(1)求证:∠BAD=∠CBD;(2)若∠AEB=125°,求的长(结果保留π).20.如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交于点E,延长CD、BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G.(1)求证:DG∥CA;(2)求证:AD=ID;(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.21.如图,在矩形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OE⊥OA交CD边于点E,对角线AC与半圆O的另一个交点为P,连接AE.(1)求证:AE是半圆O的切线;(2)若PA=2,PC=4,求AE的长.22.如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C是上的一动点(不与A,B重合),过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中点,连接EC.(1)求证:EC是⊙O的切线;(2)当∠D=30°时,求阴影部分面积.23.已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上AB同侧的两点,∠BAC=25°(Ⅰ)如图①,若OD⊥AB,求∠ABC和∠ODC的大小;(Ⅱ)如图②,过点C作⊙O的切线,交AB延长线于点E,若OD∥EC,求∠ACD的大小.24.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D,过点D作⊙O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H.(1)求证:E为BC的中点;(2)若⊙O的面积为12π,两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比.参考答案一.选择题1.解:设扇形的半径为r.由题意:=6π,∴r2=36,∵r>0,∴r=6,故选:C.2.解:连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠BCD=40°,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°﹣40°=50°.故选:B.3.解:∵OA=OC,∠COA=60°,∴△ACO为等边三角形,∴∠CAD=60°,又∵∠CDO=70°,∴∠ACD=∠CDO﹣∠CAD=10°.故选:D.4.解:∵四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=135°,∴∠D=45°,∵∠AOC=2∠D,∴∠AOC=90°,则l==2π,故选:B.5.解:设AD=x,∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,∴BD=BE=1,∴AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,在Rt△ABC中,(x+1)2+52=(x+4)2,解得x=,即AD的长度为.故选:D.6.解:∵∠A=90°,AB=AD,∴△ABD为等腰直角三角形,∴∠ABD=45°,BD=AB,∵∠ABC=105°,∴∠CBD=60°,而CB=CD,∴△CBD为等边三角形,∴BC=BD=AB,∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同,∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB:CB,∴下面圆锥的侧面积=×1=.故选:D.7.解:∵∠BAC=∠BOD,∴,∴AB⊥CD,∵AE=CD=16,∴DE=CD=8,设OD=r,则OE=AE﹣r=16﹣r,在Rt△ODE中,OD=r,DE=8,OE=16﹣r,∵OD2=DE2+OE2,即r2=82+(16﹣r)2,解得r=10.故选:C.8.解:∵CD是⊙O的切线,∴∠CDB=∠CAD,又∠C=∠C,∴△CDB∽△CAD,∴==,即=,解得,CD=2,故选:C.9.解:由圆周角定理得,∠B=∠AOC=55°,∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠ADC=180°﹣∠B=125°,故选:C.10.解:∵在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,BD=CD,AC=6,∴AC⊥BD,OC=3,BD=CD=BC,BD=2OB,∴△BCD是等边三角形,∴∠BDC=60°,OB=,∴BD=2,∴图中阴影部分的面积是:S阴=S扇形CDB﹣S△CDB=﹣×2×3=2π﹣3,故选:A.11.解:连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=20°,∴∠DBC=70°,∵∠AOC=90°,∴∠ODA=∠BDC=70°,∴∠OCB=40°,故选:C.12.解:如图,连接OD,设⊙O的半径为r,∵⊙O与边CD相切于点D,∴OD⊥CD,∴∠ODC=90°,即∠3+∠ODE=90°,∵AE为直径,∴∠ADE=90°,∴∠ODA+∠ODE=90°,∴∠ODA=∠3,而∠ODA=∠1,∴∠1=∠3,∵ED=EC=4,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∵AB∥CD,∴∠2=∠CAB,∴∠1=∠CAB∴=,∴AE⊥BD,∵∠1=∠2,DF⊥AC,∴AF=CF,∴CF=﹣4=r﹣2,∵∠DEF=∠AED,∠DFE=∠ADE,∴△EDF∽△EAD,∴DE:EA=EF:DE,即4:2r=(r﹣2):4,整理得r2﹣2r﹣8=0,解得r=﹣2(舍去)或r=4,∴EF=r﹣2=2,在Rt△DEF中,DF==2,∴DB=2DF=4.故选:B.二.填空题(共6小题)13.解:如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,连接OA,OB,则△OAB是等边三角形,过O作OH⊥AB于H,∴∠AOH=30°,∴OH=AO=,故答案为:.14.解:∵∠ADC=90°,P是AC中点,∴AC=2DP=8,又∵BC=6,∴AB=10,则CD===,∴BD==,如图1,若⊙O与CD相切,则⊙O的半径r=BD=;如图2,若⊙O与CP相切,则BO=OE=r,AO=10﹣r,由OE⊥AC知OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴=,即=,解得r=;如图3,若⊙O与DP所在直线相切,切点F,则OF⊥DP,即∠OFD=∠ACB=90°,OB=OF=r,∴OD=BD﹣BO=﹣r,∵∠ODF=∠ADP=∠A,∴△ODF∽△BAC,∴=,即=,解得r=;综上,当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时,⊙O的半径等于或或,故答案为:或或.15.解:连接OC,OD,如图所示.∵∠CAB=42°,∴∠COB=84°.∵=,∴∠COD=(180°﹣∠COB)=48°,∴∠CAD=∠COD=24°.故答案为:24°.16.解:连接OD,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,∴∠COD=2∠A=120°,∵AC=2,∴圆周角∠A所对的弧长为:=,故答案为:.17.解:如图,连接OF.S阴=(S扇形OFC﹣S△OFC)+(S△ABC﹣S△OFC﹣S扇形OBF)=﹣•×+×2×﹣××﹣=﹣+﹣=+,故答案为: +.18.解:连接AE,如图,∵以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E,∴AE⊥BC,在Rt△ABE中,∵AB=2,∠B=45°,∴∠BAE=45°,AE=AB=×2=2,∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA=90°,∴的弧长==π.故答案为π.三.解答题(共6小题)19.(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∵∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD;(2)解:连接OD,∵∠AEB=125°,∴∠AEC=55°,∵AB为⊙O直径,∴∠ACE=90°,∴∠CAE=35°,∴∠DAB=∠CAE=35°,∴∠BOD=2∠BAD=70°,∴的长==π.20.(1)证明:∵点I是△ABC的内心,∴∠2=∠7,∵DG平分∠ADF,∴∠1=∠ADF,∵∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2,∵∠3=∠2,∴∠1=∠3,∴DG∥AC;(2)证明:∵点I是△ABC的内心,∴∠5=∠6,∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,即∠4=∠DAI,∴DA=DI;(3)解:∵∠3=∠7,∠AED=∠BAD,∴△DAE∽△DBA,∴AD:DB=DE:DA,即AD:9=4:AD,∴AD=6,∴DI=6,∴BI=BD﹣DI=9﹣6=3.21.(1)证明:∵在矩形ABCD中,∠ABO=∠OCE=90°,∵OE⊥OA,∴∠AOE=90°,∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°,∴∠BAO=∠COE,∴△ABO∽△OCE,∴=,∵OB=OC,∴,∵∠ABO=∠AOE=90°,∴△ABO∽△AOE,∴∠BAO=∠OAE,过O作OF⊥AE于F,∴∠ABO=∠AFO=90°,在△ABO与△AFO中,,∴△ABO≌△AFO(AAS),∴OF=OB,∴AE是半圆O的切线;(2)解:连接PF,FC,FO并延长交⊙O于G,则∠G=∠ACF,∠G+∠PFG=90°,∵AF是⊙O的切线,∴∠AFG+∠PFG=90°,∴∠AFP=∠G=∠ACF,∵∠FAP=∠A CF,∴△AFP∽△ACF,∴=,∴AF2=AP•AC,∴AF==2,∴AB=AF=2,∵AC=6,∴BC==2,∴AO==3,∵△ABO∽△AOE,∴,∴=,∴AE=3.22.解:(1)如图,连接BC,OC,OE,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△BDC中,∵BE=ED,∴DE=EC=BE,∵OC=OB,OE=OE,∴△OCE≌△OBE(SSS),∴∠OCE=∠OBE,∵BD是⊙O的切线,∴∠ABD=90°,∴∠OCE=∠ABD=90°,∵OC为半径,∴EC是⊙O的切线;(2)∵OA=OB,BE=DE,∴AD∥OE,∴∠D=∠OEB,∵∠D=30°,∴∠OEB=30°,∠EOB=60°,∴∠BOC=120°,∵AB=4,∴OB=2,∴.∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2×=12,∴阴影部分面积为S四边形OBEC ﹣S扇形BOC=12﹣=12﹣4π.23.解:(Ⅰ)连接OC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=25°,∴∠ABC=65°,∵OD⊥AB,∴∠AOD=90°,∴∠ACD=∠AOD==45°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=25°,∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=70°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=70°;(Ⅱ)连接OC,∵EC是⊙O的切线,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵∠BAC=25°,∴∠COE=2∠BAC=50°,∴∠OEC=40°,∵OD∥CE,∴∠AOD=∠COE=40°,∴∠ACD=AOD=20°.24.解:(1)连接BD、OE,∵AB是直径,则∠ADB=90°=∠A DO+∠ODB,∵DE是切线,∴∠ODE=90°=∠EDB+∠BDO,∴∠EDB=∠ADO=∠CAB,∵∠ABC=90°,即BC是圆的切线,∴∠DBC=∠CAB,∴∠EDB=∠EBD,则∠BDC=90°,∴E为BC的中点;(2)△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM,∴AD:BM=,而△ADH∽△MBH,∴DH:BH=,则DH=HM,∴HM:BH=,∴∠BMH=30°=∠BAC,∴∠C=60°,E是直角三角形的中线,∴DE=CE,∴△DEC为等边三角形,⊙O的面积:12π=(AB)2π,则AB=4,∠CAB=30°,∴BD=2,BC=4,AC=8,而OE=AC=4,四边形OBED的外接圆面积S2=π(2)2=4π,等边三角形△DEC边长为2,则其内切圆的半径为:,面积为,故△DEC的内切圆面积S1和四边形O BED的外接圆面积S2的比为:.。
人教版九年级数学上册 第24章 圆 教材同步培优测评卷(含答案)
人教版九年级数学上册第24章圆教材同步培优测评卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆B.一个三角形只有一个外接圆C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等2.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于()A.42° B.28° C.21° D.20°3.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,则⊙O的直径为()A.6 B.8 C.10 D.124.如图,DC是以AB为直径的半圆上的弦,DM⊥CD交AB于点M,CN⊥CD交AB于点N.AB=10,CD=6.则四边形DMNC的面积()A.等于24 B.最小为24 C.等于48 D.最大为485.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为()A.3 B.2.5 C.4 D.3.56.如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,水面宽AB 为8cm,则水的最大深度CD为()A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm7.图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A点到B点,甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行,乙虫沿ACB路线爬行,则下列结论正确的是()A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲、乙同时到B D.无法确定8.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为()A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm9.如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为()A.5πcm B.6πcm C.9πcm D.8πcm10.如图,AB是⊙O的弦,点C在圆上,已知∠OBA=40°,则∠C=()A.40° B.50° C.60° D.80°二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD= .12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是.13.如图,已知∠BOA=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OB上运动,当OM=5cm时,⊙M与直线OA的位置关系是.14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为.15.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120°,则此扇形的弧长为cm.16.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠COD=90°,则图中阴影部分的面积为.三、解答题(共8题,共72分)17.圆锥底面圆的半径为3m,其侧面展开图是半圆,求圆锥母线长.18.在一个底面直径为5cm,高为18cm的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?若未能装满,求杯内水面离杯口的距离.19.如图,AB和CD分别是⊙O上的两条弦,过点O分别作ON⊥CD于点N,OM⊥AB于点M,若ON=AB,证明:OM=CD.20.如图为桥洞的形状,其正视图是由和矩形ABCD构成.O点为所在⊙O的圆心,点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米,拱高(OE⊥弦CD于点F )EF为2米.求所在⊙O的半径DO.21.△ABC是⊙O的内接三角形,BC=.如图,若AC是⊙O的直径,∠BAC=60°,延长BA到点D,使得DA=BA,过点D作直线l⊥BD,垂足为点D,请将图形补充完整,判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由.22.如图直角坐标系中,已知A(﹣8,0),B(0,6),点M在线段AB上.(1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径为4,试判断直线OB与⊙M的位置关系,并说明理由;(2)如图2,⊙M与x轴、y轴都相切,切点分别是点E、F,试求出点M的坐标.23.已知等边三角形ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连接GD,(1)求证:DF与⊙O的位置关系并证明;(2)求FG的长.24.如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)(2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;(3)在(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.《第24章圆》参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆B.一个三角形只有一个外接圆C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识.【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断;根据切线的判定定理对C进行判断;根据三角形内心的性质对D进行判断.【解答】解:A、不共线的三点确定一个圆,所以A选项错误;B、一个三角形只有一个外接圆,所以B选项正确;C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以C选项错误;D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D选项错误.故选B.【点评】本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了确定圆的条件和切线的判定.2.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于()A.42° B.28° C.21° D.20°【考点】圆的认识;等腰三角形的性质.【专题】计算题.【分析】利用半径相等得到DO=DE,则∠E=∠DOE,根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E,所以∠1=2∠E,同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E,然后利用∠E=∠AOC进行计算即可.【解答】解:连结OD,如图,∵OB=DE,OB=OD,∴DO=DE,∴∠E=∠DOE,∵∠1=∠DOE+∠E,∴∠1=2∠E,而OC=OD,∴∠C=∠1,∴∠C=2∠E,∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E,∴∠E=∠AOC=×84°=28°.故选B.【点评】本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质.3.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,则⊙O的直径为()A.6 B.8 C.10 D.12【考点】垂径定理;勾股定理.【分析】连接OC,根据题意OE=OC﹣1,CE=3,结合勾股定理,可求出OC的长度,即可求出直径的长度.【解答】解:连接OC,∵弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,∴OE=OC﹣1,CE=3,∴OC2=(OC﹣1)2+32,∴OC=5,∴AB=10.故选C.【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理,解题的关键在于连接OC,构建直角三角形,根据勾股定理求半径OC的长度.4.如图,DC是以AB为直径的半圆上的弦,DM⊥CD交AB于点M,CN⊥CD交AB于点N.AB=10,CD=6.则四边形DMNC的面积()A.等于24 B.最小为24 C.等于48 D.最大为48【考点】垂径定理;勾股定理;梯形中位线定理.【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E,则OE平分CD,在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长,即梯形DMNC的中位线,根据梯形的面积等于OE•CD即可求得.【解答】解:过圆心O作OE⊥CD于点E,连接OD.则DE=CD=×6=3.在直角△ODE中,OD=AB=×10=5,OE===4.=OE•CD=4×6=24.则S四边形DMNC故选A.【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理,正确作出辅助线是关键.5.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为()A.3 B.2.5 C.4 D.3.5【考点】垂径定理;勾股定理.【分析】连接OA,根据垂径定理得到AP=AB,利用勾股定理得到答案.【解答】解:连接OA,∵AB⊥OP,∴AP==3,∠APO=90°,又OA=5,∴OP===4,故选C.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.6.如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,水面宽AB 为8cm,则水的最大深度CD为()A .4cmB .3cmC .2cmD .1cm【考点】垂径定理的应用;勾股定理.【分析】根据题意可得出AO=5cm ,AC=4cm ,进而得出CO 的长,即可得出答案.【解答】解:如图所示:∵输水管的半径为5cm ,水面宽AB 为8cm ,水的最大深度为CD , ∴DO ⊥AB ,∴AO=5cm ,AC=4cm ,∴CO==3(cm ),∴水的最大深度CD 为:2cm .故选:C .【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据构造出直角三角形是解答此题的关键.7.图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A 点到B 点,甲虫沿ADA 1、A 1EA 2、A 2FA 3、A 3GB 路线爬行,乙虫沿ACB 路线爬行,则下列结论正确的是( )A .甲先到B 点 B .乙先到B 点C .甲、乙同时到BD .无法确定【考点】圆的认识.【专题】应用题.【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长,那么应该是π(AA 1+A 1A 2+A 2A 3+A 3B )=π×AB ,因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等,因此两个同时到B 点.【解答】解:π(AA 1+A 1A 2+A 2A 3+A 3B )=π×AB ,因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等,因此两个同时到B 点.故选C .【点评】本题考查了圆的认识,主要掌握弧长的计算公式.8.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为()A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm【考点】垂径定理的应用;勾股定理.【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长,再根据勾股定理求出OM的长,进而可得出ME的长.【解答】解:连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,∵直径为200cm,AB=160cm,∴OA=OE=100cm,AM=80cm,∴OM===60cm,∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm.故选:A.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.9.如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为()A.5πcm B.6πcm C.9πcm D.8πcm【考点】圆心角、弧、弦的关系;等边三角形的判定与性质.【分析】如图,连接OD、OC.根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形,则⊙O的半径长为BC=4cm;然后由圆的周长公式进行计算.【解答】解:如图,连接OD、OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴⊙O的周长=2×4π=8π(cm).故选:D.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,等边三角形的判定.该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形.10.如图,AB是⊙O的弦,点C在圆上,已知∠OBA=40°,则∠C=()A.40° B.50° C.60° D.80°【考点】圆周角定理.【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数,然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数,再根据圆周角定理即可求解.【解答】解:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=40°,∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°.∴∠C=∠AOB=×100°=50°.故选B.【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理,正确理解定理是关键.二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD= 80°.【考点】圆周角定理;平行线的性质.【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°,然后根据圆周角定理求解.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=40°,∴∠BOD=2∠C=80°.故答案为80°.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.也考查了平行线的性质.12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是3<r<5 .【考点】点与圆的位置关系.【分析】要确定点与圆的位置关系,主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断.当d >r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.【解答】解:在直角△ABD中,CD=AB=4,AD=3,则BD==5.由图可知3<r<5.故答案为:3<r<5.【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系,解决本题要注意点与圆的位置关系,要熟悉勾股定理,及点与圆的位置关系.13.如图,已知∠BOA=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OB上运动,当OM=5cm时,⊙M与直线OA的位置关系是相离.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】常规题型.【分析】作MH⊥OA于H,如图,根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=,则MH大于⊙M的半径,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解.【解答】解:作MH⊥OA于H,如图,在Rt△OMH中,∵∠HOM=30°,∴MH=OM=,∵⊙M的半径为2,∴MH>2,∴⊙M与直线OA的位置关系是相离.故答案为相离.【点评】本题考查了直线与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,直线l 和⊙O相交⇔d<r;直线l和⊙O相切⇔d=r;直线l和⊙O相离⇔d>r.14.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为2.【考点】正多边形和圆.【分析】连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,先求出圆的半径,在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题.【解答】解;连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=4,∠ABC=90°,∴AC是直径,AC=4,∴OE=OF=2,∵OM⊥EF,∴EM=MF,∵△EFG是等边三角形,∴∠GEF=60°,在RT△OME中,∵OE=2,∠OEM=∠GEF=30°,∴OM=,EM=OM=,∴EF=2.故答案为2.【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是熟练应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.15.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120°,则此扇形的弧长为4πcm.【考点】弧长的计算.【分析】在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180.【解答】解:∵扇形的半径为6cm ,圆心角的度数为120°,∴扇形的弧长为:=4πcm;故答案为:4π.【点评】本题考查了弧长的计算.解答该题需熟记弧长的公式l=.16.如图,半圆O 的直径AB=2,弦CD ∥AB ,∠COD=90°,则图中阴影部分的面积为 .【考点】扇形面积的计算.【分析】由CD ∥AB 可知,点A 、O 到直线CD 的距离相等,结合同底等高的三角形面积相等即可得出S △ACD =S △OCD ,进而得出S 阴影=S 扇形COD ,根据扇形的面积公式即可得出结论.【解答】解:∵弦CD ∥AB ,∴S △ACD =S △OCD ,∴S 阴影=S 扇形COD =•π•=×π×=.故答案为:. 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质,解题的关键是找出S 阴影=S 扇形COD .本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,通过分割图形找出面积之间的关系是关键.三、解答题(共8题,共72分)17.圆锥底面圆的半径为3m ,其侧面展开图是半圆,求圆锥母线长.【考点】圆锥的计算.【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长.依此列出方程即可.【解答】解:设母线长为x ,根据题意得2πx÷2=2π×3,解得x=6.故圆锥的母线长为6m.【点评】本题考查圆锥的母线长的求法,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.18.在一个底面直径为5cm,高为18cm的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?若未能装满,求杯内水面离杯口的距离.【考点】圆柱的计算.【专题】计算题.【分析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中时,水面高为xcm,根据水的体积不变和圆柱的条件公式得到π•()2•x=π•()2•18,解得x=12.5,然后把12.5与10进行大小比较即可判断能否完全装下.【解答】解:设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中时,水面高为xcm,根据题意得π•()2•x=π•()2•18,解得x=12.5,∵12.5>10,∴不能完全装下.【点评】本题考查了圆柱:圆柱的母线(高)等于展开后所得矩形的宽,圆柱的底面周长等于矩形的长;圆柱的侧面积=底面圆的周长×高;圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积;圆柱的体积=底面积×高.19.如图,AB和CD分别是⊙O上的两条弦,过点O分别作ON⊥CD于点N,OM⊥AB于点M,若ON=AB,证明:OM=CD.【考点】垂径定理;全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】设圆的半径是r,ON=x,则AB=2x,在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长,然后根据垂径定理求得CD的长,然后在直角△OAM中,利用勾股定理求得OM的长,即可证得.【解答】证明:设圆的半径是r,ON=x,则AB=2x,在直角△CON中,CN==,∵ON⊥CD,∴CD=2CN=2,∵OM⊥AB,∴AM=AB=x,在△AOM中,OM==,∴OM=CD.【点评】此题涉及圆中求半径的问题,此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题,常把半弦长,半圆心角,圆心到弦距离转换到同一直角三角形中,然后通过直角三角形予以求解.20.如图为桥洞的形状,其正视图是由和矩形ABCD构成.O点为所在⊙O的圆心,点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米,拱高(OE⊥弦CD于点F )EF为2米.求所在⊙O的半径DO.【考点】垂径定理的应用;矩形的性质.【分析】先根据垂径定理求出DF的长,再由勾股定理即可得出结论.【解答】解:∵OE⊥弦CD于点F,CD为8米,EF为2米,∴EO垂直平分CD,DF=4m,FO=DO﹣2,在Rt△DFO中,DO2=FO2+DF2,则DO2=(DO﹣2)2+42,解得:DO=5;答:所在⊙O的半径DO为5m.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,此类题中一般使用列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.21.△ABC是⊙O的内接三角形,BC=.如图,若AC是⊙O的直径,∠BAC=60°,延长BA到点D,使得DA=BA,过点D作直线l⊥BD,垂足为点D,请将图形补充完整,判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】作OF⊥l于F,CE⊥l于E,设AD=a,则AB=2AD=2a,只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题.【解答】解:图形如图所示,直线l与⊙O相切.理由:作OF⊥l于F,CE⊥l于E,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∵l⊥BD,∴∠BDE=90°,∵OF⊥l,CE⊥l,∴AD∥OF∥CE,∵AO=OC,∴DF=FE,∴OF=(AD+CE),设AD=a,则AB=2AD=2a,∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°,∴四边形BDEC是矩形,∴CE=BD=3a,∴OF=2a,∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2a,∴AC=4a,∴OF=OA=2a,∴直线l是⊙O切线.【点评】本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质等知识,解题的关键是添加辅助线,要证明切线的方法有两种,一是连半径,证垂直,二是作垂直,正半径,此题则是运用第二种方法.22.如图直角坐标系中,已知A(﹣8,0),B(0,6),点M在线段AB上.(1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径为4,试判断直线OB与⊙M的位置关系,并说明理由;(2)如图2,⊙M与x轴、y轴都相切,切点分别是点E、F,试求出点M的坐标.【考点】直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.【分析】(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可;(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6,设M(a,﹣a),把x=a,y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程,求出即可.【解答】解:(1)直线OB与⊙M相切,理由:设线段OB的中点为D,连结MD,如图1,∵点M是线段AB的中点,所以MD∥AO,MD=4.∴∠AOB=∠MDB=90°,∴MD⊥OB,点D在⊙M上,又∵点D在直线OB上,∴直线OB与⊙M相切;,(2)解:连接ME,MF,如图2,∵A(﹣8,0),B(0,6),∴设直线AB的解析式是y=kx+b,∴,解得:k=,b=6,即直线AB的函数关系式是y=x+6,∵⊙M与x轴、y轴都相切,∴点M到x轴、y轴的距离都相等,即ME=MF,设M(a,﹣a)(﹣8<a<0),把x=a,y=﹣a代入y=x+6,得﹣a=a+6,得a=﹣,∴点M的坐标为(﹣,).【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,用待定系数法求一次函数的解析式的应用,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键,注意:直线和圆有三种位置关系:已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离是,当d=r时,直线l和⊙O相切.23.已知等边三角形ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连接GD,(1)求证:DF与⊙O的位置关系并证明;(2)求FG的长.【考点】直线与圆的位置关系;等边三角形的性质;勾股定理;垂径定理.【分析】(1)连接OD,证∠ODF=90°即可.(2)利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长,同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长.【解答】(1)证明:连接OD,∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D,∴∠B=∠C=∠ODB=60°,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴∠CFD=∠ODF=90°,即OD⊥DF,∵OD是以边AB为直径的半圆的半径,∴DF是圆O的切线;(2)∵OB=OD=AB=6,且∠B=60°,∴BD=OB=OD=6,∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6,∵在Rt△CFD中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=×6=3,∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,∵FG⊥AB,∴∠FGA=90°,∵∠FAG=60°,∴FG=AFsin60°=.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识,判断直线和圆的位置关系,一般要猜想是相切,那么证直线和半径的夹角为90°即可;注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长.24.如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)(2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;(3)在(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.【考点】点与圆的位置关系;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.【专题】探究型.【分析】(1)由平行易得△BFE是等边三角形,那么各边是相等的;(2)当点E是BC的中点时,△PEC为等边三角形,可得到PC=EC=BE=EF,也就得到了四边形EFPC 是平行四边形,再有EF=EC可证为菱形;(3)根据各点到圆心的距离作答即可.【解答】解:(1)如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠A=∠C=60°.又∵EF∥AC,∴∠BFE=∠A=60°,∠BEF=∠C=60°,∴△BFE是等边三角形,PE=EB,∴EF=BE=PE=BF;(2)当点E是BC的中点时,四边形是菱形;∵E是BC的中点,∴EC=BE,∵PE=BE,∴PE=EC,∵∠C=60°,∴△PEC是等边三角形,∴PC=EC=PE,∵EF=BE,∴EF=PC,又∵EF∥CP,∴四边形EFPC是平行四边形,∵EC=PC=EF,∴平行四边形EFPC是菱形;(3)如图所示:当点E是BC的中点时,EC=1,则NE=ECcos30°=,当0<r<时,有两个交点;当r=时,有四个交点;当<r<1时,有六个交点;当r=1时,有三个交点;当r>1时,有0个交点.【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定,菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点.注意圆和线段有交点,应根据半径作答.。
人教版九年级上册第24章:圆 单元培优测试(有答案)
人教版九年级上册圆单元培优测试一、单选题(共40分)1.(4分)圆是轴对称图形,它的对称轴有( )A .1条B .2条C .3条D .无数条2.(4分)下列说法错误的是( )A .等弧所对的圆心角相等B .弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C .经过三点可以作一个圆D .三角形的外心到三角形各顶点距离相等3.(4分)在直角坐标系中,⊙O 的圆心在原点,半径为3,⊙A 的圆心A 的坐标为(-3,1),半径为1,那么⊙O 与⊙A 的位置关系为( )A .外离B .外切C .内切D .相交4.(4分)一个圆锥的底面半径是4cm ,其侧面展开图的圆心角是120°,则圆锥的母线长是( ) A .8cm B .12cm C .16cm D .24cm5.(4分)如图,四边形ABCD 为O 的内接四边形,已知BCD ∠为120︒,则BOD ∠的度数为( ) A .100︒ B .110︒ C .120︒ D .130︒6.(4分)下列说法正确的是( )A .三点确定一个圆B .一个三角形只有一个外接圆C .和半径垂直的直线是圆的切线D .三角形的外心到三角形三边的距离相等7.(4分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,过B,C 两点的⊙O 交AC 于点D ,交AB 于点E ,连接EO 并延长交⊙O 于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=22,则AE 2+BE 2的值为 ( )A .8B .12C .16D .208.(4分)如图,在ABC ∆中,452ABC AB BC ︒∠===,.在同一平面内将ABC ∆绕点A 旋转到'ABC ∆的位置,使得点C 在''BC 上.其中点B 的运动路径为弧'BB .则图中阴影部分的面积为( )A .2πB .12π-C .2222π+- D .2222π-+9.(4分)如图,抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点,P 是以点C (0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q 是线段PA 的中点,连结OQ .则线段OQ 的最大值是( )A .3B .41C .72D .410.(4分)如图,矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,连接AE ,将矩形沿AE 翻折,使点B 落在CD 边F 处,连接AF ,在AF 上取点O ,以O 为圆心,OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P .若AB =6,BC =33,则下列结论:①F 是CD 的中点;②⊙O 的半径是2;③AE =92CE ;④S 阴影=32.其中正确的个数为( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题(共24分)11.(4分)如图,AB 是⊙O的直径,BC 与⊙O相切于点B ,AC 交⊙O于点D ,若∠ACB=50°,则∠BOD=______度.12.(4分)小华为参加毕业晚会演出,准备制一顶圆锥形彩色纸帽,如图所示,如果纸帽的底面半径为8cm ,母线长为25cm ,那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm 2.(结果保留π)13.(4分)在Rt ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,若以点C 为圆心,以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切,那么BC 的长等于_____.14.(4分)如图,AB 为O 的直径,点C D 、在O 上.若40,CAB ∠=︒则D ∠的大小为______度. 15.(4分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠BCD =30°,CD =23,则阴影部分面积S 阴影=_____.16.(4分)如图,Rt △ABC ,AB =3,AC =4,点D 在以C 为圆心3为半径的圆上,F 是BD 的中点,则线段AF 的最大值是_____.第11题图 第12题图 第14题图 第15题图 第16题图三、解答题(共86分)17.(本题8分)已知:A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点,且弧BC=弧AD ,求证:AC =BD .18.(本题8分)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线与AB 延长线相交于点P .若∠COB =2∠PCB ,求证:PC 是⊙O 的切线.19.(本题8分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点()A 3,3,()B 4,0,()C 0,1-.(1)以点C 为旋转中心,把ABC 逆时针旋转90,画出旋转后的△A B C '' (2分)(2)在(1)的条件下,①点A 经过的路径'AA 的长度为______(结果保留π);(3分) ②点'B 的坐标为______.(3分)20.(本题8分)如图,ABC 是等腰三角形,AB AC =,点,D E 分别在,BA BC 的延长线上.(1)在CAD ∠的内部求作点P ,使得//CP AB ,AP AB =;(要求:尺规作图,保留作图痕迹)(4分) (2)连接PB ,若5AC =,26BC =,求PB 的长.(4分)21.(本题8分)如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAF ,交⊙O 于点E ,过点E 作直线ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(4分)(2)∠C =45°,⊙O 的半径为2,求阴影部分面积.(4分)22.(本题10分)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,连接AC ,BC ,AD 与⊙O 相切于点A ,交BC 的延长线于点D ,点E 是劣弧BC 的中点,连接AE ,CE .(1)求证:∠DAC =∠AEC ;(4分)(2)延长CE ,AB 交于点G ,使得GB =12AB ,若AC =2,求⊙O 的半径.(6分)23.(本题10分)如图,四边形ABCD 内接于O ,2BAC DAC ∠=∠,AB AC =,点F 在BD 的延长线上,且DF DC =,连接AF CF 、.(1)求证:AC BD ⊥;(4分)(2)求证:FC 是O 的切线.(6分)24.(本题12分)已知:AB 为⊙O 的直径,点C 为弧AB 的中点,点D 为⊙O 上一点,连接CD ,交AB 于点M ,AE为∠DAM的平分线,交CD于点E.(1)如图1,连接BE,若∠ACD=22°,求∠MBE的度数;(3分)(2)如图2,连接DO并延长,交⊙O于点F,连接AF,交CD于点N.①求证:DM2+CN2=CM2;(6分)②如图3,当AD=1,时,请直接写出....线段ME的长.(3分)25.(本题14分)如图1,在直角坐标系中,直线l与x、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,163)两点,∠BAO的角平分线交y轴于点D.点C为直线l上一点,以AC为直径的⊙G经过点D,且与x轴交于另一点E.(1)求证:y轴是⊙G的切线;(2分)(2)求出⊙G的半径r,并直接写出点C的坐标;(6分)(3)如图2,若点F为⊙G上的一点,连接AF,且满足∠FEA=45°,请求出EF的长?(6分)知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷(含解析)
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷(含解析)一.选择题1.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,则侧面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π2.如图,AB为⊙O的直径,P为弦BC上的点,∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交⊙O于点D,过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E.若点C恰好是的中点,BE=6,则PC的长是()A.6﹣8 B.3﹣3 C.2 D.12﹣63.如图,已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6,则弧BC的长为()A.2πB.3πC.4πD.π4.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆柱形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆柱形木材的直径AC是()A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸5.如图,PA、PB是⊙O切线,A、B为切点,点C在⊙O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D、E、F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是()A.6 B.7 C.7D.127.如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16 B.8π﹣16 C.16π﹣32 D.32π﹣168.如图,正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O,EF与BC、CD分别相交于点G、H.若AE=3,则EG的长为()A.B.C.D.9.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥,则圆锥的侧面积为()A.B.πC.50 D.50π10.如图,点C为△ABD外接圆上的一点(点C不在上,且不与点B,D重合),且∠ACB=∠ABD=45°,若BC=8,CD=4,则AC的长为()A.8.5 B.5C.4D.11.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°,直角边AC扫过的面积等于()A.24πB.20πC.18πD.6π12.如图,矩形ABCD中,BC=2,C D=1,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为()A.B.C.D.二.填空题13.若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是.14.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,连接DE,过点D作DF⊥AC于点F.若AB=6,∠CDF=15°,则阴影部分的面积是.15.如图,已知AB是⊙O的弦,C是的中点,联结OA,AC,如果∠OAB=20°,那么∠CAB 的度数是.16.如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA=2,则四叶幸运草的周长是.17.半径为6的扇形的面积为12π,则该扇形的圆心角为°.18.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B 在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为.三.解答题19.如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若BD=4,EC=6,求AC的长.20.如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.21.如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.(1)求证:=;(2)若CE=1,EB=3,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB 交⊙O于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.22.如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO,AO与⊙O交于点C,BD为⊙O的直径,连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积是多少?23.已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.(1)求证:AH=2OM;(2)若∠BAC=60°,求证:AH=AO.(初二)24.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一点,=,DH⊥AB于点H,AC分别交BD、DH于E、F.(1)已知AB=10,AD=6,求AH.(2)求证:DF=EF25.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E为的中点.(1)求证:∠ACD=∠DEC;(2)延长DE、CB交于点P,若PB=BO,DE=2,求PE的长.参考答案一.选择题1.解:圆锥的侧面积=×2π×1×3=3π,故选:B .2.解:连接OD ,交CB 于点F ,连接BD ,∵=,∴∠DBC =∠ABC =30°,∴∠ABD =60°,∵OB =OD ,∴△OBD 是等边三角形,∴OD ⊥FB ,∴OF =DF ,∴BF ∥DE ,∴OB =BE =6∴CF =FB =OB •cos30°=6×=3,在Rt △POD 中,OF =DF ,∴PF =DO =3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),∴CP =CF ﹣PF =3﹣3. 故选:B .3.解:∵ABCDEF 为正六边形,∴∠COB =360°×=60°,∴△OBC 是等边三角形,∴OB =OC =BC =6,弧BC的长为=2π.故选:A.4.解:设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解得r=13,∴⊙O的直径为26寸,故选:C.5.解:连接OA,OB,∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA⊥OA,PB⊥OB,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=110°,∴∠APB=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°.故选:B.6.解:连接DO,EO,∵⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别为D ,E ,F ,∴OE ⊥AC ,OD ⊥BC ,CD =CE ,BD =BF =3,AF =AE =4 又∵∠C =90°,∴四边形OECD 是矩形,又∵EO =DO ,∴矩形OECD 是正方形,设EO =x ,则EC =CD =x ,在Rt △ABC 中BC 2+AC 2=AB 2故(x +2)2+(x +3)2=52,解得:x =1,∴BC =3,AC =4,∴S △ABC =×3×4=6,故选:A .7.解:连接OA 、OB ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠AOB =90°,∠OAB =45°,∴OA =AB cos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×(2)2﹣4×4=8π﹣16. 故选:B .8.解:如图,连接AC、BD、OF,,设⊙O的半径是r,则OF=OA=r,∵AO是∠EAF的平分线,∴∠OAF=60°÷2=30°,AC⊥EF,EG=EF=∵OA=OF,∴∠OFA=∠OAF=30°,∴∠COF=30°+30°=60°,∴FI=r•sin60°=r,∴EF=r×2=r=AE=3,∴r=∴OI=,∴CI=OC﹣OI=,∵EF⊥AC,∠BCA=45°∴∠IGC=∠BCI=45°∴CI=GI=∴EG=EI﹣GI=故选:B.9.解:圆锥的侧面积=•5•5=.故选:A.10.解:延长CD到E,使得DE=BC,连接AE,如右图所示,∵∠ACB=∠ABD=45°,∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=45°,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABC=∠ADE,在△ABC和△ADE中,,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠BAC=∠DAE,∵∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°,∴∠DAE+∠CAD=90°,∴∠CAE=90°,∵ACD=45°,BC=DE=8,CD=4,∴∠ACE=45°,CE=12,∴AC=AE=6,故选:D.11.解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,∴BC=AB=6,∠ABC=60°,=﹣=﹣=18π.∴S阴影故选:C.12.解:连接OE交BD于F,如图,∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,OA=OD=1,而CD =1,∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形,∴BE =1,∠DOE =∠BEO =90°∵∠BFE =∠DFO , OD =BE ,∴△ODF ≌△EBF (AAS ),∴S △ODF =S △EBF ,∴阴影部分的面积=S 扇形EOD ==.故选:C .二.填空题(共6小题)13.解:∵圆锥的底面圆的周长是5πcm ,∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm ,∴=5π,解得:n =150故答案为150°.14.解:连接OE ,∵∠CDF =15°,∠C =75°,∴∠OAE =30°=∠OEA ,∴∠AOE =120°,S △OAE =AE ×OE sin ∠OEA =×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA =,S 阴影部分=S 扇形OAE ﹣S △OAE =×π×32﹣=3π﹣.故答案3π﹣.15.解:连接OC交AB于E.∵C是的中点,∴OC⊥AB,∴∠AEO=90°,∵∠BAO=20°,∴∠AOE=70°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠C=55°,∴∠CAB=∠OAC﹣∠OAB=35°,故答案为35°.16.解:由题意得:四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长,连接AB、BC、CD、AD,则四边形ABCD是正方形,连接OB,如图所示:则正方形ABCD的对角线=2OA=4,O A⊥OB,OA=OB=2,∴AB=2,过点O作ON⊥AB于N,则NA=AB=,∴圆的半径为,∴四叶幸运草的周长=2×2π×=4π;故答案为:4π.17.解:设该扇形的圆心角为n2,则=12π,解得:n=120,故答案为:120.18.解:连接OC并延长,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最大,∵C(3,4),∴OC==5,∵以点C为圆心的圆与y轴相切.∴⊙C的半径为3,∴OP=OA=OB=8,∵AB是直径,∴∠APB=90°,∴AB长度的最大值为16,故答案为16.三.解答题(共7小题)19.(1)证明:连接OD、CD,∵CE是⊙O的直径,∴∠EDC=90°,∵DE∥OA,∴OA⊥CD,∴OA垂直平分CD,∴OD=OC,∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE,∵DE∥OA,∴∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC,∴∠AOD=∠AOC,∵AC是切线,∴∠ACB=90°,在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC(SAS),∴∠ADO=∠ACB=90°,∵OD是半径,∴AB是⊙O的切线;(2)解:连接OD,CD,∵BD是⊙O切线,∴∠ODB=90°,∴∠BDE+∠ODE=90°,∵CE是⊙O的直径,∴∠CDE=90°,∴∠ODC+∠ODE=90°,∴∠BDE=∠ODC,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠BDE=∠OCD,∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BCD,∴∴BD2=BE•BC,设BE=x,∵BD=4,EC=6,∴42=x(x+6),解得x=2或x=﹣8(舍去),∴BE=2,∴BC=BE+EC=8,∵AD、AC是⊙O的切线,设AD=AC=y,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴(4+y)2=y2+82,解得y=6,∴AC=6,故AC的长为6.20.解:(1)直线DE与⊙O相切,连结OD.∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,即∠AED=90°,∴∠ODE=90°,即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线;(2)过O作OG⊥AF于G,∴AF=2AG,∵∠BAC=60°,OA=2,∴AG=OA=1,∴AF=2,∴四边形AODF是菱形,∴DF∥OA,DF=OA=2,∴∠EFD=∠BAC=60°,∴EF=DF=1.21.证明:(1)∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∵O C∥BD∴∠OCB=∠CBD∴∠OBC=∠CBD∴(2)连接AC,∵CE=1,EB=3,∴BC=4∵∴∠CAD=∠ABC,且∠ACB=∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2=CB•CE=4×1∴AC=2,∵AB是直径∴∠ACB=90°∴AB==2∴⊙O的半径为(3)如图,过点O作OH⊥FQ于点H,连接OQ,∵PC是⊙O切线,∴∠PCO=90°,且∠ACB=90°∴∠PCA=∠BCO=∠CBO,且∠CPB=∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC=2PA,PC2=PA•PB∴4PA2=PA×(PA+2)∴PA=∴PO=∵PQ∥BC∴∠CBA=∠BPQ,且∠PHO=∠ACB=90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH=,OH=∴HQ==∴PQ=PH+HQ=22.解:过O点作OE⊥CD于E,∵AB为⊙O的切线,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,∵⊙O的半径为2,∴OE=1,CE=DE=,∴CD=2,∴图中阴影部分的面积=﹣2×1=﹣23.证明:(1)过O作OF⊥AC,于F,则F为AC的中点,连接CH,取CH中点N,连接FN,MN,则FN∥AD,AH=2FN,MN∥BE,∵AD⊥BC,OM⊥BC,BE⊥AC,OF⊥AC,∴OM∥AD,BE∥OF,∵M为BC中点,N为CH中点,∴MN∥BE,∴OM∥FN,MN∥OF,∴四边形OMNF是平行四边形,∴OM=FN,∵AH=2FN,∴AH=2OM.(2)证明:连接OB,OC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∴∠BOM=60°,∴∠OBM=30°,∴OB=2OM=AH=AO,即AH=AO.24.(1)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵DH⊥AB,∴∠DHA=∠ADB=90°,又∵∠DAB=∠HAD,∴△DAB∽△HAD,∴=即=,∴AH=3.6.(2)证明:∵=,∴∠DAC=∠DBA,∵DH⊥AB,∴∠FDE+∠B=90°,∵∠ADB=90°,∴∠DEF+∠DAC=90°,∴∠DEF=∠DEF,∴DF=EF.25.(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠BCD+∠B=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,∵∠DEC=∠B,∴∠ACD=∠DEC.(2)证明:连结OE∵E为BD弧的中点.∴∠DCE=∠BCE,∵OC=OE,∴∠BCE=∠OEC,∴∠DCE=∠OEC,∴OE∥CD,∴△POE∽△PCD,∴=,∵PB=BO,DE=2∴PB=BO=OC∴==,∴=,∴PE=4.人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题(含答案)一、选择题(每题4分,共32分)1.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是( )A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内2.如图1,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为( )图1A.35°B.45°C.55°D.65°3.已知圆锥的底面积为9π cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是( )A.18π cm2B.27π cm2C.18 cm2D.27 cm24.一元钱硬币的直径约为24 mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A.12 mm B.12 3 mmC.6 mm D.6 3 mm5.如图2,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是( )图2A.2+πB.2+2π C.4+πD.2+4π6.如图3,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE 的度数为( )图3A .56°B .62°C .68°D .78°7.如图4,已知⊙O 的半径为5,弦AB ,CD 所对的圆心角分别是∠AOB ,∠COD ,若∠AOB 与∠COD 互补,弦CD =6,则弦AB 的长为( )图4A .6B .8C .5 2D .5 38.如图5,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB =10,AC ︵=CD ︵=DB ︵,点E 是点D 关于AB 的对称点,M 是AB 上的一动点,有下列结论:①∠BOE =60°;②∠CED =12∠DOB ;③DM ⊥CE ;④CM +DM 的最小值是10.上述结论中正确的个数是( )图5A .1B .2C .3D .4二、填空题(每题5分,共35分)9.已知正方形ABCD 的边长为1,以点A 为圆心,2为半径作⊙A ,则点C 在________(填“圆内”“圆外”或“圆上”).10.如图6所示,一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位:厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米.图611.如图7,PA ,PB 分别切⊙O 于A ,B 两点,C 是AB ︵上的一点,∠P =40°,则∠ACB 的度数为________.图712.如图8,在△ABC 中,AB =AC =10,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,与AC 交于点E ,连接OD 交BE 于点M ,且MD =2,则BE 的长为________.图813.如图9,△ABC 是正三角形,曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ,B ,C ,如果AB =1,那么曲线CDEF 的长为________.图914.如图10,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠CAB =30°,BC =2,O ,H 分别为边AB ,AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置,则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为________.图1015.如图11,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:图11(1)当d=3时,m=________;(2)当m=2时,d的取值范围是________.三、解答题(共33分)16.(10分)如图12,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.图1217.(10分)已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,连接CE交并延长⊙O于点D.(1)如图13①,求∠T和∠CDB的大小;(2)如图13②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.图1318.(13分)如图14,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂足为E,若BC =6 3,DE=3.求:(1)⊙O的半径;(2)弦AC的长;(3)阴影部分的面积.图141.D 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C 9.圆上10.134 11.110°12.8 13.4π 14.π [15.(1)1 (2)1<d <316.解:(1)∵A(0,6),N(0,2),∴AN =4. ∵∠ABN =30°,∠ANB =90°, ∴AB =2AN =8,∴由勾股定理,得NB =AB 2-AN 2=4 3,∴B(4 3,2).(2)证明:连接MC ,NC ,如图. ∵AN 是⊙M 的直径, ∴∠ACN =90°, ∴∠NCB =90°.在Rt △NCB 中,∵D 为NB 的中点, ∴CD =12NB =ND ,∴∠CND =∠NCD.∵MC =MN ,∴∠MCN =∠MNC. 又∵∠MNC +∠CND =90°, ∴∠MCN +∠NCD =90°, 即MC ⊥CD.∴直线CD 是⊙M 的切线.17.解:(1)如图①,连接AC,∵AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.∵∠ABT=50°,∴∠T=90°-∠ABT=40°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠ABT=40°,∴∠CDB=∠CAB=40°.(2)如图②,连接AD,在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°,∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=65°.∵∠ADC=∠ABC=50°,∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°. 18.解:(1)∵半径OD⊥BC,∴CE=BE. ∵BC=6 3,∴CE=3 3.设OC=x,在Rt△OCE中,OC2=CE2+OE2,即x2=(3 3)2+(x-3)2,∴x=6.即⊙O的半径为6.(2)∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°,AB =12. 又∵BC =6 3, ∴AC 2=AB 2-BC 2=36, ∴AC =6.(3)∵OA =OC =AC =6, ∴∠AOC =60°.∴S 阴影=S 扇形OAC -S △OAC =60×π×62360-12×6×6×32=6π-9 3.人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)一、选择题1.下列语句中,正确的是( )A.长度相等的弧是等弧;等弧对等弦B.在同一平面上的三点确定一个圆C.直径是弦;半圆是劣弧D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等答案 D 选项A中,长度相等的弧不一定是等弧,故A错误;选项B中,不在同一直线上的三点确定一个圆,故B错误;选项C中,直径是圆中最长的弦,半圆既不是优弧也不是劣弧,故C 错误;选项D中,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故D正确.故选D.2.如图,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是( )A.6B.5C.4D.3答案 B 过O作OC⊥AB于C,由垂径定理得AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理得OC==5.故选B.3.如图,△ABC内接于☉O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )A.80°B.100°C.110°D.130°答案 D 连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°.∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°.故选D.4.如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是( )A.80°B.100°C.60°D.40°答案 A 因为∠ADC=140°,所以∠ABC=180°-∠ADC=40°,所以∠AOC=2∠ABC=80°.5.如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6,若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )A.3次B.4次C.5次D.6次答案 B 当☉O2与AD相切且位于AD上方时,有一个交点;当☉O2与AD相切且位于AD下方时,有一个交点;与BC相切时与AD情况相同,所以共出现4次,故选B.6.如图,直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B',则图中阴影部分的面积是( )A.12πB.24πC.6πD.36π答案 B 因为以AB为直径的半圆绕点A逆时针旋转60°得到以AB'为直径的半圆,故S半圆AB'=S半圆AB,则S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB'-S半圆AB=S扇形BAB'===24π,故选B.7.如图,已知线段OA交☉O于点B,且OB=AB,点P是☉O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案A连接OP,根据题意知,当OP⊥AP时,∠OAP的取值最大.在Rt△AOP 中,∵OP=OB,OB=AB,∴AO=2OP,∴∠OAP=30°.故选A.8.如图,直线AB与☉O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若☉O的半径为,CD=4,则弦EF的长为( )A.4B.2C.5D.6答案 B 连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,∵直线AB与☉O相切于点A,∴OA⊥AB,∵弦CD∥AB,∴OH⊥CD,∴CH=CD=×4=2,∵☉O的半径为,∴OA=OC=,∴OH==,∴AH=OA+OH=+=4,∴AC==2.∵∠CDE=∠ADF,∴=,∴=,∴EF=AC=2.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4,则a的值是( )A.4B.3+C.3D.3+答案B作如图所示的辅助线,易得OC=CD=3,AP=3,AE=2,故PE=DE==1,PD=,故a=PC=DC+PD=3+.10.如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA、PB,则△PAB面积的最大值是( )A.8B.12C.D.答案 C 如图,平移AB使其与☉C相切于P,此时P点距离AB最远,即△PAB的面积最大,连接AC,连接PC并延长交AB于H.因为PC是☉C的半径,MN∥AB,所以PH⊥AB.∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,-3),则AB=5.∵S△ABC=·BC·AO=·AB·CH,∴CH=,∴PH=1+=,∴△PAB面积的最大值是×5×=,故选C.二、填空题11.“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”,这个命题用反证法证明应假设.答案三角形中三个内角都小于60°解析第一步应假设结论不成立,即三角形中三个内角都小于60°.12.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图,若∠AOB=120°,弧AB的长为12πcm,则该圆锥的侧面积为cm2.答案108π解析圆锥的侧面积就是所给扇形的面积,设扇形的半径为r cm,∵弧AB的长为12πcm,∴πr=12π,解得r=18,∴S=πr2=π×182=108π(cm2).另解:S=rl=×18×12π=108π(cm2).13.如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形= cm2.答案4解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-2×2=4(cm),所以S扇形=l·r=×4×2=4(cm2).14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是.答案解析连接AC,∵点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=90°,AC是直径,∵AD=3,CD=2,∴AC==,即☉O直径的长是.15.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,外圆的半径OC⊥AB于D,测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为cm.答案50cm解析如图,连接OA,设半径为r cm,∵CD=10cm,AB=60cm,∴AD=AB=30cm,OD=(r-10)cm,∴r2=(r-10)2+302,解得r=50.∴这个车轮的外圆半径是50cm.16.如图,两个同心圆,大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是.答案8<AB≤10解析如图,当AB经过圆心时最长,此时AB=2×5=10.当AB与小圆相切于D时,利用勾股定理可得AD=4.利用垂径定理可得AB=8.根据直线与圆的位置关系可得,若大圆的弦AB与小圆相交,则8<AB≤10.17.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x 轴上,☉M半径为2,☉M与直线l相交于A、B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为.答案(2,0)或(-2,0)解析过点M作MC⊥l,垂足为C,∵△MAB是等腰直角三角形,∴MA=MB,且∠BAM=∠ABM=45°.∵MC⊥l,∴∠BAM=∠CMA=45°,∴AC=CM.在Rt△ACM中,∵AC2+CM2=AM2,即2CM2=4,∴CM=.在Rt△OCM中,∠COM=30°,∴CM=OM,∴OM=2CM=2,∴M(2,0).根据对称性知,若点M在x轴负半轴上,则点M(-2,0)也满足条件.18.如图24-5-16,在☉O中,AB是直径,点D是☉O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q.连接AC.关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中正确结论是(只需填写序号).答案②③解析如图,连接OD,∵DG是☉O的切线,∴∠GDO=90°.∴∠GDP+∠ADO=90°.在Rt△APE中,∠OAD+∠APE=90°,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO.∴∠APE=∠GPD=∠GDP,∴GP=GD.结论②正确.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAQ+∠AQC=90°.∵点C是的中点,∴∠CAQ=∠ABC.又∵∠ABC+∠BCE=90°.∴∠AQC=∠BCE,∴PC=PQ.∵∠ACP+∠BCE=90°,∠AQC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP,∴AP=CP=PQ,∴点P是△ACQ的外心.所以结论③正确.由于不能确定∠BAD与∠ABC的关系,所以结论①不一定正确.故答案是②③.三、解答题19.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB. (1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.答案(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16,∴DE=CD=8.∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.在Rt△OED中,OE2+ED2=OD2,∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10.∴☉O的直径是20.(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°.∴∠EOD+∠D=90°.∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,∴∠BOD+∠D=2∠M+∠D=90°.∴∠D=30°.20.如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的☉O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).答案(1)证明:连接OD.∵BC是☉O的切线,D为切点,∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC,∴OD∥AC,∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA,∴∠ADO=∠OAD,∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.(2)连接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵∠OAD=∠BAC=30°,∴∠ADE=∠OAD,∴ED∥AO,∴S△AED=S△OED,∠OED=∠AOE=60°,∵OE=OD,∴△ODE为等边三角形,∴∠DOE=60°,∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π.21.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为☉O的切线;(3)若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.答案(1)证明:连接AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,又BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC.(2)证明:连接OD,∵点O、D分别是AB、BC的中点,∴OD∥AC,又DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE为☉O的切线.(3)由AB=AC,∠BAC=60°知,△ABC是等边三角形.∵☉O的半径为5,∴AB=BC=10,CD=BC=5.又∵∠C=60°,∴∠CDE=30°,∴CE=CD=.∴DE===.22.如图①,AB为☉O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.(1)若CD=2,BP=4,求☉O的半径;(2)求证:直线BF是☉O的切线;(3)当点P与点O重合时,过点A作☉O的切线交线段BC的延长线于点E,在其他条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形,请在图②中补全图形并证明你的结论.答案(1)∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=2,∴CP=PD=CD=.又∵BP=4,CD⊥AB,∴BC===.设☉O的半径为x,则OP=4-x,连接OC,∵CD⊥AB,∴OC2=OP2+CP2,∴x2=(4-x)2+()2,解得x=.即☉O的半径为.(2)证明:∵CD⊥AB,∴∠C+∠ABC=90°,∵∠F=∠ABC,∠C=∠A,∴∠A+∠F=90°,即∠ABF=90°,又AB为直径,∴直线BF是☉O的切线.(3)四边形AEBF为平行四边形,证明如下:∵AE为切线,BF为切线,AB为直径,∴∠EAB=∠ABF=90°,∴AE∥BF.∵CD⊥AB,OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=45°.∵∠F=∠ABC,∴∠F=45°.∵∠ABF=90°,∴∠BAF=45°,∴∠BAF=∠ABC=45°,∴AF∥BE.又∵AE∥BF,∴四边形AEBF为平行四边形.。
【期末专项】九年级上《第24章圆》解答题综合培优训练(含答案)
【期末专项复习】第24章:圆解答题综合培优训练1.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC为⊙O直径,延长AC至D,过D作⊙O 切线,切点为E,且∠D=90°,连接BE.DE=12,(1)若CD=4,求⊙O的半径;(2)若AD+CD=30,求AC的长.2.如图,AB是⊙O的直径,D是弦AC的延长线上一点,且CD=AC,DB的延长线交⊙O于点E.(1)求证:CD=CE;(2)连结AE,若∠D=25°,求∠BAE的度数.3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在上取点G,连结CG,DG,AC.求证:∠DGC=2∠BAC.4.如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,经过A,B,E三点的圆O交BC 于点D,且D点是弧BE的中点,(1)求证AB是圆的直径;(2)若AB=8,∠C=60°,求阴影部分的面积;(3)当∠A为锐角时,试说明∠A与∠CBE的关系.5.如图,△ABC中,⊙O经过A、B两点,且交AC于点D,连接BD,∠DBC =∠BAC.(1)证明BC与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为6,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.6.如图,矩形ABCD中AB=3,AD=4.作DE⊥AC于点E,作AF⊥BD于点F.(1)求AF、AE的长;(2)若以点A为圆心作圆,B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.7.已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=40°.(1)如图1,若D为弧AB的中点,求∠ABC和∠ABD的度数;(2)如图2,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数.8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=2AC,半径为2的⊙C,分别交AC、BC于点D、E,得到.(1)求证:AB为⊙C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.9.如图,AM为⊙O的切线,A为切点,过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D,BD交⊙O于C,OC平分∠AOB.(1)求∠AOB的度数;(2)若线段CD的长为2cm,求的长度.10.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,∠A=30°,BC=4,点D 是AB的中点,连接DO并延长交⊙O于点P.(1)求劣弧PC的长(结果保留π);(2)过点P作PF⊥AC于点F,求阴影部分的面积(结果保留π).11.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.(1)求证:EM是⊙O的切线;(2)若∠A=∠E,BC=,求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).12.如图,△ABC的三边分别切⊙O于D,E,F.(1)若∠A=40°,求∠DEF的度数;(2)AB=AC=13,BC=10,求⊙O的半径.13.如图,AB为⊙O的直径,△ABC的边AC,BC分别与⊙O交于D,E,若E 为的中点.(1)求证:DE=EC;(2)若DC=2,BC=6,求⊙O的半径14.如图所示,⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求CD的长.15.如图,在⊙O中,弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD⊥CB.(1)求证:AB=CD;(2)如果⊙O的直径为10,DE=1,求AE的长.16.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BD是∠ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F.(1)求证:△AED≌△CFD;(2)若AB=10,BC=8,∠ABC=60°,求BD的长度.17.如图,⊙O的直径AB的长为2,点C在圆周上,∠CAB=30°.点D是圆上一动点,DE∥AB交CA的延长线于点E,连接CD,交AB于点F.(1)如图1,当DE与⊙O相切时,求∠CFB的度数;(2)如图2,当点F是C D的中点时,求△CDE的面积.参考答案1.(1)解:连接OE,作OH⊥AD于H,∵DE是⊙O的切线,∴OE⊥DE.又∵∠D=90°,∴四边形OHDE是矩形,设⊙O的半径为r,在Rt△OCH中,OC2=CH2+OH2,∴r2=(r﹣4)2+144,∴半径r=20.(2)解:∵OH⊥AD,∴AH=CH.又∵AD+CD=30,即:(AH+HD)+(HD﹣CH)=30.∴2HD=30,HD=15,即OE=HD=OC=15,∴在Rt△OCH中,CH===9.∴AC=2CH=18.【点评】考查了圆的切线的性质,矩形的判定和性质及垂径定理.解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理求得相关线段的长度.2.(1)证明:连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,即BC⊥AD,∵CD=AC,∴AB=BD,∴∠A=∠D,∴∠CEB=∠A,∴∠CEB=∠D,∴CE=CD.(2)解:连接AE.∵∠A BE=∠A+∠D=50°,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠BAE=90°﹣50°=40°.【点评】本题考查圆周角定理,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.3.证明:连结AD,∵弦CD⊥直径AB,∴2∠BAC=2∠BAD=∠DAC(垂径定理),又∵∠DGC=∠DAC(圆周角定理),∴∠BAC=∠DGC,∴∠DGC=2∠BAC.【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用.4.解:(1)连结AD,∵D是中点,∴∠BAD=∠CAD,又∵AB=AC,∴AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴AB是⊙O直径;(2)连结OE,∵∠C=60°,AB=AB,∴∠BAC=60°,∴∠AOE=60°,∴∠BOC=120°,∴∠OBE=30°,∵AB=8,∴OB=4,∴S阴影=S扇形AOE+S△BOE=+×2×4=π+4.(3)由(1)知AB是⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°,∴∠EBC=∠CAD,∴∠CAB=2∠EBC.【点评】本题考查了扇形面积的计算,等腰三角形的性质,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.5.证明:(1)连接BO并延长交⊙O于点E,连接DE.∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°,∴∠EBD+∠E=90°,∵∠DBC=∠DAB,∠DAB=∠E,∴∠EBD+∠DBC=90°,即OB⊥BC,又∵点B在⊙O上,∴BC是⊙O的切线;(2)连接OD,∵∠BOD=2∠A=60°,OB=OD,∴△BOD是边长为6的等边三角形,∴S△BOD=×62=9,∵S扇形DOB==6π,∴S阴影=S扇形DOB﹣S△BOD=6π﹣9.【点评】本题考查了切线的判定,圆周角定理,扇形面积,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出∠EBD+∠DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积.6.解:(1)∵矩形ABCD中AB=3,AD=4,∴AC=BD==5,∵AF•BD=AB•AD,∴AF==,同理可得DE=,在Rt△ADE中,AE==;(2)∵AF<AB<AE<AD<AC,∴若以点A为圆心作圆,B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,即点F在圆内,点D、C在圆外,∴⊙A的半径r的取值范围为2.4<r<4.【点评】本题考查了点与圆的位置关系:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.7.解:(1)如图1,连接OD,∵AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=40°,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣40°=50°.∵D为弧AB的中点,∠AOB=180°,∴∠AOD=90°,∴∠ABD=45°;(2)如图2,连接OD,∵DP切⊙O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.由DP∥AC,又∠BAC=40°,∴∠P=∠BAC=40°.∵∠AOD是△ODP的一个外角,∴∠AOD=∠P+∠ODP=130°.∴∠ACD=65°.∵OC=OA,∠BAC=40°,∴∠OCA=∠BAC=40°.∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=65°﹣40°=25°.【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.8.(1)证明:过C作CF⊥AB于F,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=2AC,∴BC=2,由勾股定理得:AB==5,∵△ACB的面积S=×AB×CF=×AC×BC,∴CF==2,∴CF为⊙C的半径,∵CF⊥AB,∴AB为⊙C的切线;(2)解:图中阴影部分的面积=S△ACB ﹣S扇形DCE=××2﹣=5﹣π.【点评】本题考查了勾股定理,扇形的面积,解直角三角形,切线的性质和判定等知识点,能求出CF的长是解此题的关键.9.解:(1)∵AM为圆O的切线,∴OA⊥AM,∵BD⊥AM,∴∠OAD=∠BDM=90°,∴OA∥BD,∴∠AOC=∠OCB,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°,∴∠AOB=120°;(2)如图:过点O作OE⊥BD,垂足为E∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°,∴OB=OC=BC∵OE⊥BD,∴BE=CE=BC=OA∵OE⊥BD,且OA⊥AD,BD⊥AD∴四边形ADEO是矩形∴OA=DE∴CD+CE=OA=2CE,且CD=2cm∴CE=2cm∴OA=4cm∴的长度==π【点评】本题考查了切线的性质,平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.10.解:(1)连接OB,∵OA=OB,点D是AB的中点,∴PD⊥AB,∵∠A=30°,∴∠POC=∠AOD=60°,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=8,∴OC=4∴劣弧PC的长==π;(2)∵PF⊥AC,∠OPF=30°,∴OF=OP=2,PF=2,∴S=﹣×2×2=π﹣2.阴影【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,扇形面积计算,弧长的计算,掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键.11.解:(1)连接OC,∵OF⊥AB,∴∠AOF=90°,∴∠A+∠AFO+90°=180°,∵∠ACE+∠AFO=180°,∴∠ACE=90°+∠A,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE,∴∠OCE=90°,∴OC⊥CE,∴EM是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠BCE,∵∠A=∠E,∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E,∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A,∴∠A=30°,∴∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形,∴OB=BC=,∴阴影部分的面积=﹣××=﹣.【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的判定和性质,扇形的面积计算,连接OC是解题的关键.12.(1)连OD,OF,如图,则OD⊥AB,OF⊥AC,∴∠DOF=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°,又∵∠DEF=∠DOF=×140°=70°;(2)过A作AM⊥BC于M,∵AB=AC,∴BM=BC=×10=5,则AM=12,则S=60,△ABC设圆O的半径的半径是r,则(13+13+10)•r=60,解得:r=.【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了切线长定理.13.解:(1)连结AE,BD,∵E为的中点,∴=,∴∠CAE=∠BAE,∵∠AEB是直径所对的圆周角,∴∠AEB=90°,即AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,在△AEC和△AEB中,∴△AEC≌△AEB(ASA),∴CE=BE,∴DE=CE=BE=BC;(2)在Rt△CBD中,BD2=BC2﹣CD2=32,设半径为r,则AB=2r,由(1)得AC=AB=2r,AD=AC﹣CD=2r﹣2,在Rt△ABD中AD2+BD2=AB2,∴(2r﹣2)2+32=(2r)2,解得:r=4.5,∴⊙O的半径为4.5.【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系,全等三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.14.(1)证明:连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠BCD=45°,由圆周角定理得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴DA=DB,即△ABD是等腰三角形;(2)解:作AE⊥CD于E,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD=AB=5,∵AE⊥CD,∠ACE=45°,∴AE=CE=AC=3,在Rt△AED中,DE==4,∴CD=CE+DE=3+4=7.【点评】本题考查的是圆周角定理,勾股定理,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.15.(1)证明:如图,∵AD=BC,∴=,∴﹣=﹣,即=,∴AB=CD;(2)如图,过O作OF⊥AD于点F,作OG⊥BC于点G,连接OA、OC.则AF=FD,BG=CG.∵AD=BC,∴AF=CG.在Rt△AOF与Rt△COG中,,∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL),∴OF=OG,∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF.设OF=EF=x,则AF=FD=x+1,在直角△OAF中.由勾股定理得到:x2+(x+1)2=52,解得x=5.则AF=3+1=4,即AE=AF+3=7.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的判定与性质,垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系.注意(2)中辅助线的作法.16.证明:(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°,又∵∠DCF+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCF,∵BD是∠ABC的角平分线,又∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∠DEA=∠F=90°,在△AED与△CFD中,∴△AED≌△CFD(AAS)(2)∵△AED≌△CFD,∴AE=CF,BE=BF,设AE=CF=x,则BE=10﹣x,BF=8+x,即10﹣x=8+x,解得x=1,在Rt△BFD,∠DBC=30°,设DF=y,则BD=2y,∵BF2+DF2=BD2,∴y2+92=(2y)2,y=3,BD=6.【点评】考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质.解答此题的关键是证明△AED≌△CFD.17.解:(1)如图:连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE=90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE=180°∴∠AOD=90°∵∠AOD=2∠C∠C=45°∵∠CFB=∠CAB+∠C∴∠CFB=75°(2)如图:连接OC∵AB是直径,点F是CD的中点∴AB⊥CD,CF=DF,∵∠COF=2∠CAB=60°,∴OF =OC =,CF =OF =,∴CD=2CF =,AF=OA+OF =,∵AF∥AD,F点为CD的中点,∴DE⊥CD,AF为△CDE的中位线,∴DE=2AF=3,=×3×=∴S△CED【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识,属于基础题,中考常考题型.21 / 21。
人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题(含祥细答案)
25.如图所示,⊙ O是等腰三角形 ABC的外接圆, AB= AC,延长 BC至点 D,使 CD=AC,连
∠ D= 80°,则∠ EAC的度数为(
)
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D.35°
12.如图,抛物线 y= x2﹣ 4 与 x 轴交于 A、B 两点, P 是以点 C( 0,3)为圆心, 2 为半径
的圆上的动点, Q是线段 PA的中点,连结 OQ.则线段 OQ的最大值是(
)
A. 3
B.
C.
D.4
22.如图, AB是⊙ O的直径, D是弦 AC延长线上一点,且 AB= BD, DB的延长线交⊙ O于点 E,过点 C作 CF⊥ BD,垂足为点 F. ( 1) CF与⊙ O有怎样的位置关系?请说明理由; ( 2)若 BF+CF=6,⊙ O的半径为 5,求 BE的长度.
23.如图,四边形 ABCD是正方形,以边 AB为直径作⊙ O,点 E 在 BC边上,连结 AE交⊙ O 于点 F,连结 BF并延长交 CD于点 G. ( 1)求证:△ ABE≌△ BCG; ( 2)若∠ AEB=55°, OA= 3,求劣弧 的长.(结果保留 π)
∠ COA= 60°,∠ CDO= 70°,∠ ACD的度数是(
)
A. 60°
B. 50°
6.对于以下图形有下列结论,其中正确的是(
C. 30° )
D.10°
A.如图①, AC是弦
人教版九上数学第24章《圆的综合》培优测试卷(附答案)
《圆的综合》培优测试卷1如图,BE是O O的直径,点A和点D是O O上的两点,过点A作O O的切线交BE延长线于点C(I)若/ ADE= 25°,求/ C的度数(H)若AB= AC求/ D的度数.2.如图,在菱形ABCDL 点P在对角线AC上,且PA= PD O 0是△ PAD的外接圆.(1)求证:AB是O 0的切线;3.如图所示,△ ABC内接于O Q AC是直径,D在O O上,且AC平分/ BCD AE// BC交CD 于E, F在CD的延长线上,且AE= EF.连接AF(1)求证:AF是O 0的切线;(2)连接BF交AE于G,若AB= 12, AE= 13,求AG的长.4•已知等边△ ABC内接于O O, D为弧BC的中点,连接DB DC过C作AB的平行线,交BD 的延长线于点E.(1)求证:CE与O O相切;(2 )若AB长为6,求CE长.5•如图,已知O 0为厶ABC的外接圆,BC为O O的直径,作射线BE使得BA平分/ CBE 过点A作ADL BE于点D.(1)求证:DA为O 0的切线;(2)若BD= 1, tan / ABD= 2,则O 0的半径为6•如图,AB为半O 0的直径,弦AC的延长线与过点B的切线交于点D, E为BD的中点,连接CE(1)求证:CE是O 0的切线;(2)过点」C作CF L AB垂足为点F, AC= 5, CF= 3,求O 0的半径.7.已知,如图,BC是以线段AB为直径的O 0的切线,AC交O 0于点D,过点D作弦DEL AB垂足为点F,连接BD BE(1)仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论:①________ ,② ________ ,③ ________ ,(不添加其它字母和辅助线,不必证明)(2)若/ A= 30°, CD= 2,求O O的半径r.&如图,AB为O O直径,C D为O O上的点,/ ACD= 2 / A, CEL DB交DB的延长线于点E.(1)求证:直线CE与O O相切;(2)若AC= 8, AB= 10,求CE的长.9.已知四边形ABCD内接于O Q AB为O O的直径,/ BCD-148。
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优卷 含答案
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优卷难度系数:0.50一.选择题1.如图,点A,B,C都在⊙O上,∠A=∠B=20°,则∠AOB等于()A.40°B.60°C.80°D.100°2.下列说法中,不正确的个数是()①直径是弦;②经过圆内一定点可以作无数条直径;③平分弦的直径垂直于弦;④过三点可以作一个圆;⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点.A.1个B.2个C.3个D.4个3.⊙O的半径为3,锐角三角形ABC内接于⊙O,且BC=3.则∠A的度数为()A.30°B.150°C.30°或150°D.不能确定4.若圆锥的底面半径为2,母线长为5,则圆锥的侧面积为()A.5πB.10πC.20πD.40π5.如图,AD是半圆的直径,点C是弧BD的中点,∠ADC=55°,则∠BAD等于()A.50°B.55°C.65°D.70°6.如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为()A.2πB.C.D.7.如图,在△ABC中,以边BC为直径做半圆,交AB于点D,交AC于点E,连接DE,若=2=2,则下列说法正确的是()A.AB=AE B.AB=2AE C.3∠A=2∠C D.5∠A=3∠C 8.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的内切圆的半径是()A.5B.2C.5或2D.2或﹣19.如图,⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2,则⊙O的半径为()A.2B.C.3D.10.如图,⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距为,分别以B、D、F为圆心,正六边形的半径画弧,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.二.填空题11.在⊙O中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角等于°.12.如图,点A、B、C在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠CBD=75°,则∠AOC=.13.用反证法证明:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.证明时,可以先假设.14.如图,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,O,A,B都是格点,若图中扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为.15.P是⊙O内一点,⊙O的半径是15,OP=9,则过P点且长度是整数的弦共有条.16.如图,正方形ABCD的边长为4,M为AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作圆P,当圆P与正方形ABCD的边相切时,CP的长为.三.解答题17.如图,圆中两条弦AB、CD相交于点E,且AB=CD,求证:EB=EC.18.如图,已知,在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A,B两点),以M为圆心作圆M和AB相切,分别过A,B作⊙M的切线,两条切线相交于点C.求证:∠ACB为定值.19.如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O点D.点E在⊙O上.(1)若∠AOC=40°,求∠DEB的度数;(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.20.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=4,⊙O是△ABC的外接圆.(1)求⊙O的半径;(2)若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点,且P A=2,请直接写出⊙P的半径的长.21.如图所示,AB是圆O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.(1)判断直线BD和圆O的位置关系,并给出证明;(2)当CE=5,BC=8时,求圆O的半径.22.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长.23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC 于点E,交AB的延长线于点F.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)如果AB=5,BC=6,求DE的长.24.如图,⊙O为△ABC的外接圆,D为OC与AB的交点,E为线段OC延长线上一点,且∠EAC=∠ABC.(1)求证:直线AE是⊙O的切线.(2)若D为AB的中点,CD=6,AB=16①求⊙O的半径;②求△ABC的内心到点O的距离.参考答案1.解:连接OC.∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,同理,∠A=∠ACO∴∠ACB=∠A+∠B=40°,∴∠AOB=2∠ACB=80°.故选:C.2.解:①直径是特殊的弦.所以①正确,不符合题意;②经过圆心可以作无数条直径.所以②不正确,符合题意;③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.所以③不正确,符合题意;④过不在同一条直线上的三点可以作一个圆.所以④不正确,符合题意;⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点.所以⑤正确,不符合题意.故选:C.3.解:如图,锐角三角形ABC内接于⊙O,∵⊙O的半径为3,BC=3.∴OB=OC=BC=3,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∴∠A=BOC=30°,∴∠A的度数为30°,4.解:圆锥的侧面积为:π×2×5=10π.故选:B.5.解:连接OB,OC∵∠ADC=55°,∴∠AOC=2∠ADC=110°,∴弧AC=110°,∵AD是半圆的直径,∴∠COD=70°,∵C是弧BD的中点,∴∠BOD=2∠COD=140°,∴∠BAD=∠BOD=70°,故选:D.6.解:如图,连接CO,∵∠BAC=50°,AO=CO=3,∴∠ACO=50°,∴∠AOC=80°,∴劣弧AC的长为=,故选:D.7.解:∵=2=2,∴∠BOD=∠EOC=∠DOE,∵∠BOD+∠EOC+∠DOE=180°,∴∠BOD=∠EOC=45°,∠DOE=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=67.5°,同理,∠OEC=∠OCE=67.5°,∴∠A=45°,∵BC为直径,∴∠AEB=∠CEB=90°,∴AB=AE,故A、B错误;3∠A=135°,2∠C=135°,∴3∠A=2∠C,C正确;5∠A=225°,3∠C=202.5°,∴5∠A≠3∠C,D错误;故选:C.8.解:设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I,半径为r,三边上的切点分别为D、E、F,连接ID、IE、IF,得正方形,则正方形的边长即为r,如图所示:当BC为直角边时,AC==10,根据切线长定理,得AD=AF=AB﹣BD=6﹣r,CE=CF=BC﹣BE=8﹣r,∴AF+FC=AC=10,即6﹣r+8﹣r=10,解得r=2;当BC为斜边时,AC==2,根据切线长定理,得BD=BF=6﹣r,CE=CF=2﹣r,∴BC=BF+CF=6﹣r+2﹣r=8,解得r=﹣1.答:这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1.故选:D.9.解:设DE与⊙O相切于点N,连接OD、OE、ON,作DM⊥OE于M,如图所示:则ON⊥DE,DE=2,OD=OE,∠DOE==45°,∵DM⊥OE,∴△ODM是等腰直角三角形,∴DM=OM,OE=OD=DM,设OM=DM=x,则OD=OE=x,EM=OE﹣OM=(﹣1)x,在Rt△DEM中,由勾股定理得:x2+(﹣1)2x2=22,解得:x2=2+,∵△ODE的面积=DE×ON=OE×DM,∴ON====+1,即⊙O的半径为:1+;故选:B.10.解:如图,连接OB,OA,作OM⊥AB于点M,则OM=.∵∠AOB==60°,AO=OB,∴BO=AB=AO,AM=AB=AO,OM=,∴,∴AO=1,∴BO=AB=AO=1,∴S△AOB=AB×OM=×1×=,∵S扇形AOB==,∴阴影部分面积是:(﹣)×6=π﹣.故选:A.二.填空题11.解:如图,∵弦BC垂直平分半径OA,∴OD:OB=1:2,∴∠BOD=60°,∴∠BOC=120°,∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°.故答案为:60°或120°.12.解:在优弧AC上取点E,连接AE,CE,∵∠ABC=180°﹣∠E,∠ABC=180°﹣∠CBD,∠CBD=75°,∴∠E=∠CBD=75°.∴∠AOC=2∠E=150°,故答案为:150°.13.解:反证法证明:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.证明时,可以先假设这两个角所对的边相等,故答案为:这两个角所对的边相等.14.解:∵每个小方格都是边长为1的正方形,∴AO==,∵∠AOB=90°,∴=2πr,∴r=.故答案是:.15.解:如图示,作AB⊥OP于P,AP=BP,在Rt△AOP中,OP=9,OA=15,AP==12,∴AB=24,故过点P的弦的长度在24和30之间,根据圆的对称性可得,二者之间的每个整数值的弦各2条,共10条,所以过点P的弦中长度为整数的弦的条数为10+2=12条.故答案为12.16.解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=x.在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,∴x2=22+(4﹣x)2,∴x=2.5,∴CP=2.5;如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC 是矩形.∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=2,PM=4,在Rt△PBM中,PB==2,∴CP=BC﹣PB=4﹣2.综上所述,CP的长为2.5或4﹣2.故答案是:2.5或4﹣2.三.解答题17.证明:如图,连接AD,∵AB=CD,∴=,∴﹣=﹣,即=,∴∠BAD=∠CDA,∴AE=DE,又∵AB=CD,∴AE=CE.18.证明:连接AM,BM,由题意得:M是内心,∴AM平分∠CAB,BM平分∠ABC,∴∠CAM=∠BAM,∠CBM=∠ABM,∴∠AMB=180°﹣∠BAM﹣∠ABM,∴∠BAM+∠ABM=180°﹣∠AMB,△ABC中,∠C=180°﹣(∠CAB+∠ACB)=180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM=180°﹣2(180°﹣∠AMB)=2∠AMB﹣180°,∵所在圆是个定圆,弦AB和半径都是定值,∴∠AMB为定值,∴∠ACB为定值2∠AMB﹣180°.19.解:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴弧AD=弧BD,∴∠DEB=∠AOC=×40°=20°;(2)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴AC=BC,即AB=2AC,在Rt△AOC中,AC===4,则AB=2AC=8.20.解:(1)过点A作AD⊥BC,垂足为D,连接OB、OC,∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∵OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上,即O在AD上,∵BC=4,∴BD=BC=2,∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=2,∴AD==6,设OA=OB=r,则OD=6﹣r.∵在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∴OD2+BD2=OB2,即(6﹣r)2+22=r2.解得r=,即⊙O的半径为,(2)当⊙P也经过B、C两点,则设PB=r,P A=2,则PD=6﹣2=4或6+2=8,BD=2,∴PB==2或PB==2.所以⊙P的半径的长为2或2.21.解:(1)直线BD和⊙O相切.证明:∵∠AEC=∠ODB,∠AEC=∠ABC,∴∠ABC=∠ODB,∵OD⊥BC,∴∠DBC+∠ODB=90°,∴∠DBC+∠ABC=90°,∴∠DBO=90°,∴直线BD和⊙O相切;(2)∵OD⊥BC,BC=8,∴BF=CF=4,在Rt△CEF中,EF==3,设圆O的半径为r,则OF=r﹣3,在Rt△OBF中,OB2=OF2+BF2,即r2=(r﹣3)2+42,解得,r=,即圆O的半径为.22.(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠C=180°﹣∠BAD=75°,∵∠DBC=75°,∴∠DBC=∠C,∴DB=DC;(2)解:连接OB、OC,∵∠DBC=∠C=75°,∴∠BDC=30°,由圆周角定理得,∠BOC=2∠BDC=60°,∴的长==π.23.解:(1)相切,理由如下:连接AD,OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴CD=BD=BC.∵OA=OB,∴OD∥AC.∴∠ODE=∠CED.∵DE⊥AC,∴∠ODE=∠CED=90°.∴OD⊥DE.∴DE与⊙O相切.(2)由(1)知∠ADC=90°,∴在Rt△ADC中,由勾股定理得AD==4.∵S ACD=AD•CD=AC•DE,∴×4×3=×5DE.∴DE=.24.解:(1)证明:连接AO,并延长AO交⊙O于点F,连接CF∵AF是直径∴∠ACF=90°∴∠F+∠F AC=90°,∵∠F=∠ABC,∠ABC=∠EAC∴∠EAC=∠F∴∠EAC+∠F AC=90°∴∠EAF=90°,且AO是半径∴直线AE是⊙O的切线.(2)①如图,连接AO,∵D为AB的中点,OD过圆心,∴OD⊥AB,AD=BD=AB=8,∵AO2=AD2+DO2,∴AO2=82+(AO﹣6)2,∴AO=,∴⊙O的半径为;②如图,作∠CAB的平分线交CD于点H,连接BH,过点H作HM⊥AC,HN⊥BC,∵OD⊥AB,AD=BD∴AC=BC,且AD=BD∴CD平分∠ACB,且AH平分∠CAB∴点H是△ABC的内心,且HM⊥AC,HN⊥BC,HD⊥AB∴MH=NH=DH在Rt△ACD中,AC===BC,∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH,∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH,∴DH=,∵OH=CO﹣CH=CO﹣(CD﹣DH),∴OH=﹣(6﹣)═5.。
人教版九年级上册 数学 第24章 圆 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 第24章 圆 培优训练一、选择题1. 如图,BC 是半圆O 的直径,D ,E 是上两点,连接BD ,CE 并延长交于点A ,连接OD ,OE ,如果∠A=70°,那么∠DOE 的度数为( )A .35°B .38°C .40°D .42°2. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD =59°,则∠C 等于( )A .29°B .31°C .59°D .62°3. 如图,在⊙O 中,AB ︵=CD ︵,∠1=45°,则∠2等于( )A .60°B .30°C .45°D .40°4. 2019·唐山乐亭期末如图,圆锥的底面半径OB =6 cm ,高OC =8 cm ,则这个圆锥的侧面积是( )A .30 cm 2B .60π cm 2C .30π cm 2D .48π cm 25. 已知⊙O的面积为9π cm2,若点O 到直线l 的距离为π cm ,则直线l 与⊙O的位置关系是( ) A .相交B .相切C .相离D .无法确定6. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成,在从正面看到的形状图中(如图②),∠A =90°,∠ABC =105°.若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为( )A .2 B. 3C.32D.27. 已知正六边形的半径为r ,则它的边长、边心距、面积分别为( ) A.233r ,r ,3r 2 B .r ,r2,23r 2 C.33r ,r ,3r 2D .r ,3r 2,332r 2二、填空题8. 【题目】(2020·营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .9. 如图,AB 为⊙O的直径,CD ⊥AB.若AB =10,CD =8,则圆心O 到弦CD 的距离为________.10.若若若若若若若若若若若若3 cm 若若若若若若若若若若若若120°若若若若若若若若若________cm .11. 如图所示,有一直径是2 米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ,则: (1)AB 的长为________米;(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为________米.12.(2019•河池)如图,PA 、PB 是的切线,A、B 为切点,∠OAB=38°,则∠P=__________.13. (2020·福建)一个扇形的圆心角是90︒,半径为4,则这个扇形的面积为______.(结果保留π)14. (2019•十堰)如图,为半圆的直径,且,将半圆绕点顺时针旋转,点旋转到点的位置,则图中阴影部分的面积为__________.三、解答题15. 当汽车在雨天行驶时,司机为了看清楚道路,要启动前方挡风玻璃上的雨刷.如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图,雨刷杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动),当杆AB 绕点A 转动90°时,雨刷CD 扫过的面积是图中阴影部分的面积,现量得CD =90 cm ,∠DBA =20°,AC =115 cm ,DA =35 cm ,试从以上信息中选择所需要的数据,求出雨刷扫过的面积.O ︒AB 6AB =A 60︒B C16. (2020·临沂)若若1O若若若若1r若2O若若若若2r.若1O若若若若若12r r+若若若若若若若若若若若若12O O若若若P若若若若若1212O O若若若若若若若若若若若若若A若若若1O A若2O A若1O A若1O若若B若若若B若2O A若若若若BC若12O O若若C.若1若若若若BC若2O若若若若若2若若12r=若21r=若126O O=若若若若若若若若若.17. (2019•辽阳)如图,是⊙的直径,点和点是⊙上的两点,连接,,,过点作射线交的延长线于点,使.(1)求证:是⊙的切线;(2)若,求阴影部分的面积.BE O A D OAE AD DE A BE C EAC EDA∠=∠AC OCE AE==人教版九年级数学第24章圆培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由题意可知,圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l的距离为π cm>圆的半径3 cm,∴直线l与⊙O相离.故选C.6. 【答案】D[解析] ∵∠A=90°,∠ABC=105°,∴∠ABD=45°,∠CBD=60°,∴△ABD是等腰直角三角形,若CBD是等边三角形.设AB的长为R,则BD的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1,即1=12lR,∴l=2R,∴下面圆锥的侧面积为1 2·2R·2R= 2.故选D.7. 【答案】D二、填空题8. 【答案】15【解析】在圆锥中,底面半径r,高h,母线长l满足r2+h2=l2,因为r=3,h=4,可求得l=5(负值舍去).而圆锥的侧面积公式是S侧=rl,所以上述圆锥侧面积为×3×5=15.9. 【答案】310. 【答案】9若若若若若n若360rl若120若360×3l若若若l若9.11. 【答案】(1)1(2)14 [解析] (1)如图,连接BC.∵∠BAC =90°,∴BC 为⊙O 的直径,即BC = 2. ∵AB =AC ,AB2+AC2=BC2=2, ∴AB =1(米).(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米. 根据题意,得2πr =90·π·1180,解得r =14.12. 【答案】76【解析】∵是的切线,∴, ∴,∴, ∴,故答案为:76.13. 【答案】π4【解析】本题考查了扇形面积的计算,S=2904360π⨯=π4.14. 【答案】【解析】由图可得,图中阴影部分的面积为:,故答案为:.三、解答题15. 【答案】解:由题意可知若ACD ≌△AC′D′,所以可将若AC′D′旋转到若ACD 处,使阴影部PA PB 、O PA PB PA OA =⊥,90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒,90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒6π22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=6π分面积成为一部分环形面积,可通过两扇形面积之差求得, 即雨刷CD 扫过的面积S 阴影=S 扇形ACC′-S 扇形ADD′=90π×1152360-90π×352360=π4(115+35)×(115-35)=3000π(cm2). 答:雨刷扫过的面积为3000π cm2.16. 【答案】证明:(1)连接AP ,过点2O 作直线BC 的垂线,垂足为点M ,如下图:∵线段12O O 的中点是点P ,以1212O O 的长为半径画弧∴121212O P O P AP O O ===∴∠PAO1=∠PO1A ,∠PAO2=∠PO2A ,∴∠O1A O2=∠PAO1+∠PAO2=90°∴△O1A O2是直角三角形∵2O A BC ∴∠O1A O2=∠ABC =90°又∵∠O2MB=90°∴四边形ABM O2是平行四边形∴O2M =AB= O1A -O1B=2r ∴BC 是2O 的切线;(2)∵12r =,21r =,126O O =, ∴O1A =123r r +=又∵∠O1A O2=90°∴cos ∠A O1 O2=1123162O A O O ==∴∠A O1 O2=60° 在Rt △B O1 C中:1tan602BC BO =⨯==设O1 O2与1O 的交点为点N ,则阴影部分的面积为:11216022==223603BO CBO N S SS ππ⨯-⨯⨯=阴影扇形.【解析】(1)证切线常用的方法有“作垂线证半径”和“作半径证垂直” ,考虑到题目中的已知条件,用“作垂线证半径”更简便一些,为此我们可以过点2O 作直线BC 的垂线,垂足为点M ;同时考虑到∠O1A O2可能是直角,可以连接AP 用等腰三角形的等角对等边和三角形内角和定理进行证明;条件中还给出了平行线,因此可以证明∠ABC =90°,则四边形ABM O2是平行四边形,最后证明O2M =AB= O1A -O1B=2r ,问题得以解决.MNM(2)求阴影部分的面积,可以根据割补法来求.解决问题的关键是分别求出△BO1C 和扇形BO1N 的面积,根据已知条件,可以先求出O1A =123r r +=,然后根据三角函数求出∠A O1 O2的度数,需要的数据再通过三角函数求出,问题得解.17. 【答案】(1)如图,连接,过作于,∴, ∴, ∵,∴,∵,∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴是⊙的切线. (2)∵, ∴, ∵, ∴, ∵,,OAO OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠∴, ∵, ∴,, ∴是等边三角形, ∴,, ∴,∴,在中,, ∴, ∴阴影部分的面积.2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 3OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。
人教版九年级数学上册第24章圆的培优训练(含答案)
第24章圆的培优1 如图,AB为O O的直径,CD是弦,AB丄CD于点E, OF丄AC于点F , BE = OF .(1)求证:△ AFO ◎△ CEB;(2)若BE = 4, CD = 8 二,求:①O O的半径;②求图中阴影部分的面积.2. 如图,AB是O O的直径,AC是弦,0D丄AB交AC于点D.若/ A= 30°, OD = 2.求CD的长.3. 如图,AB是O O的直径,AC丄AB, E为O O上的一点,AC= EC,延长CE交AB的延长线于点D .(1)求证:CE为O O的切线;(2)若OF丄AE, OF = 1,/ OAF = 30°,求图中阴影部分的面积. (结果保留n)4. 如图,在厶ABC中,分别以A, B为圆心,AC, BC为半径在厶ABC的外侧构造扇形CAE , 扇形CBD,且点E, C, D在同一条直线上,=60°,= 90°.(I)求/ ACB的度数.A, B到直线ED的距离的和.5•如图,在Rt△ ABC中,/ A = 90°, O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD = 2, AE= 3, tan/ 2(1)求证:AE是O的切线;(2 )求图中两部分阴影面积的和.6.已知:如图,在 O O 中,直径 BC = 8, M 为AB 的中点,/ ABC = 30°,点E 时圆上任3意一点,MF 丄ME 交BC 于F .(1)求劣弧AC 的长;7.一条排水管的截面如右图所示,截面中有水部分弓形的弦 AB 为—- cm ,弓形的高为6cm .(1)求截面O O 的半径.&如图,在△ ABC 中,AB = AC , O O 是厶ABC 的外接圆,D 为弧AC 的中点, 长线上一点,/ DAE = 105°.E是BA 延 (1)求/ DAC 的度数;(2 )若0 O 的半径为3,求弧BC 的长.AB 的长.6.已知:如图,在 O O 中,直径 BC = 8, M 为AB 的中点,/ ABC = 30°,点E 时圆上任3 9. AB 是O O 的直径,PA 切O O 于点A , PO 交O O 于点C ,连接BC ,若/ P = 30 (1) 求/ B 的度数;(2) 若PC = 2,求BC 的长.10.如图,点I 是厶ABC 的内心,BI 的延长线与△ ABC 的外接圆O O 交于点D ,与AC 交于点E ,延长 CD 、BA 相交于点F ,/ ADF 的平分线交 AF 于点G .(1)求证: DG // CA ;(2)求证: AD = ID ;(3)若 DE = 4, BE = 5,求 BI 的长.11•如图,在Rt △ ABC 中,/ ACB = 90°, D 是AC 上一点,过B , C , D 三点的O O 交AB 于点E ,连,接ED , EC ,点F 是线段AE 上的一点,连接 FD ,其中/ FDE = Z DCE .(1) 求证:DF 是O O 的切线.(2) 若D 是AC 的中点,/ A = 30°, BC = 4,求DF 的长.D12.如图,AB是O O的直径,CA与O O相切于点A,且CA= BA .连接0C ,过点A作AD丄0C于点E,交O 0于点D,连接DB .(1)求证:△ ACEBAD;(2)连接CB交O0于点M,交AD于点N •若AD = 4,求“ MN的长.13.如图,△ ABC 中,/ C= 90°,/ ABC= 2/ A,点O 在AC 上,OA= OB,以O 为圆心,OC为半径作圆.(1)求证:AB是O O的切线;(2)若BC = 3,求图中阴影部分的面积.14•如图,M , N是以AB为直径的O O上的点,且厂.,弦MN交AB于点C, BM平分/ ABD, MF丄BD于点F .(1)求证:MF是O O的切线;(2)若CN = 3, BN= 4,求CM 的长.15.如图,△ ABC内接于O O, AB = AC, BO的延长线交AC于点D,且/ DOC = Z DCO ,E是弧AC上的一点,过点C作CF丄AE交AE的延长线于点F,连接OA(1)求证:AO丄BC;(2 )若3 / CAF = 2 / ABC,求证:CF是O O的切线;(3 )若0 O的半径为1,求CD的长.参考答案1. ( 1)证明:T AB为O O的直径,AB丄CD,••• BC= BD,•••/ A=Z DCB,••• OF 丄AC,.•./ AFO = Z CEB ,•/ BE= OF ,AFO也厶CEB (AAS).(2)①•/ AB为O O的直径,AB丄CD ,设OC= r,贝U OE= r - 4,••• r2=( r - 4) 2+(4 二)2•• r = 8.②连结OD .•/ OE= 4= OC ,•/ OCE= 30°,/ COB = 60°,•••/ COD = 120°,•/△ AFO也厶CEB ,•S^AFO = S^BCE,…S阴=S扇形OCD—S^OCDA2•解:连接BC,如图,•/ OD 丄AB,•••/ AOD = 90°,•••/ A= 30°,•AD = 2OD = 4, OA= 二OD = 2 二, T AB是O O的直径,•••/ ACB= 90 ° ,••• BC^—AB = 2 二,2•- AC= “ f. BC = 2] X “ j .:= 6,•CD = AC- AD = 6 - 4= 2 .3. ( 1)证明:连接OE ,•/ AC= EC,OA = OE,•••/ CAE=Z CEA,/ FAO=Z FEO ,•/ AC丄AB,.•./ CAD = 90°,•••/ CAE+ / EAO = 90°,•••/ CEA+ / AEO = 90°,即/ CEO= 90°,•OE 丄CD ,•CE为O O的切线;(2)解:I/ OAF = 30°, OF = 1••• AO= 2;••• AF =二即AE=";•-甘“ i.皑-二•// AOE= 120 ° , AO = 2;• ^ " : ";…_二卩」总’二石"HF4•解:(1)v在厶ABC中,分别以A, B为圆心,AC, BC为半径在厶ABC的外侧构造扇形CAE,扇形CBD,且点E,C, D在同一条直线上,=60°,: = 90°,•••/ EAC= 60°,/ CBD = 90° , AE= AC, BC = BD,/ CBD)= 45°,•••/ ACB= 180 ° -/ ACE -/ BCD = 180°- 60 ° - 45°= 75(2) ■-过 A 作AQ丄EC 于Q,:过 B 作BF丄CD 于F,则/ AQC = / BFD = 90°,•// ACE= 60 °,/ BCD = 45 ° ,•••/ QAC= 30°,/ FBC = / BCD = 45°,•/ AC= 2, BC = 4,CQ = —AC=丄1= 1,2 2 £由勾股定理得:AQ=pf/_ :=甘、,2BF2= 42,解得:BF = 2 二,AQ+BF = 一+2 匚,所以点A, B到直线ED的距离的和是一+25. ( 1)证明:连接0E .•••AB与圆0相切,••• 0D 丄AB .•••在Rt A BDO 中,BD = 2, tan/BOD = -OD 3•OD = 3.•// A= 90°, OD 丄AB,•AE// OD .•/ OD = AE = 3, AE / OD ,•四边形AEOD为平行四边形,•AD // EO.•/ DA丄AE,•OE丄AC.又•/ OE为圆的半径,•AC为圆O的切线.(2)解:T OD // AC,•一• :■-:即」--,• EC= AC —AE = 7.5 — 3 = 4.5,3+黔.9兀_ 39-9兀 4 ^T~ 4 6•解:(1连接AO ,•••直径 BC = 8,••• AO = 4,•••/ ABC = 30 ° ,•••/ AOC = 60°,(2)连接AC ,•/ BC 是O O 的直径,•••/ CAB = 90 ° ,AB = BC = 4 _, 2••• M 为AB 的中点,BM = AB = 2 二,•/ MF 丄 ME ,• FM =— BM =二,BF = 3,■_L延长EM 交O O 于N ,过 O 作OH 丄EN 于H ,连接 ON ,则 OH = PM =二 HM = OF = 4- 3 = 1 ,• NH = HE ,• EM = EH - HM = V I 「1.7 .解:(1)设O O 半径为r ,作OC 丄AB 于C 点,交弧AB 于D 点•••AB = 12 乙J9OJI X 3三360•劣弧AC 的长= X4 ~~180•/ CD = 6,解得:r = 12 (cm)答:截面O O的半径为12cm.(2)连接AD ,AD = OA= OD•••△AOD是等边三角形,•••/ AOD = 60° 同理/ BOD = 60°•••/ AOB= 120 °•弧长丄"i - ■.r..:答:截面中有水部分弓形的弧AB的长为8冗cm .&解:(1)v AB= AC,•/ ABC=Z ACB,•••D为「.的中点,•,•••/ CAD = Z ACD ,2,:,•••/ ACB= 2 / ACD ,又DAE = 105°,•/ BCD = 105°,•/ ACD = .. X 105°= 35°,•••/ CAD = 35°;(2)•/ DAE = 105。
2020年秋人教版九年级上册第24章《圆》培优练习卷 含答案
2020年人教版九年级上册第24章《圆》培优练习卷一.选择题1.在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆一定()A.与x轴和y轴都相交B.与x轴和y轴都相切C.与x轴相交、与y轴相切D.与x轴相切、与y轴相交2.若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,△AOB,△BOC,△COD,△DOA的周长相等,且△AOB,△BOC,△COD的内切圆半径分别为3,4,6,则△DOA的内切圆半径是()A.B.C.D.以上答案均不正确3.如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°,得到正六边形OA i B i∁i D i E i,则正六边形OA i B i∁i D i E i(i=2020)的顶点∁i的坐标是()A.(1,﹣)B.(1,)C.(1,﹣2)D.(2,1)4.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的弦,且CD⊥AB于点E,点F为圆上一点,若AE =BF,,OE=1,则BC的长为()A.2B.3C.4D.55.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=CB,∠BAC=30°,BD=,则AD+CD的值为()A.3B.2C.+1D.不能确定6.如图,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,点P是以C(1,0)为圆心,1为半径的圆上任意一点,连接P A,PB,则△P AB面积的最小值是()A.5B.10C.15D.207.如图,MN是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.若MN=2,AB=a,则△P AB周长的最小值是()A.2+a B.+a C.1+a D.2+a8.如图,⊙O内切于正方形ABCD,边BC、DC上两点M、N,且MN是⊙O的切线,当△AMN的面积为4时,则⊙O的半径r是()A.B.C.2D.二.填空题9.已知⊙O1与⊙O2的半径是方程3(x﹣2)=x(x﹣2)的两根,那么当⊙O1与⊙O2相切时,圆心距O1O2的值是.10.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,以点B为圆心,AB的长为半径的圆分别交CD边于点M,交BC边的延长线于点E.若DM=CE,的长为2π,则CE的长.11.如图,扇形AOB的圆心角是90°,半径为4cm,分别以OA、OB为直径画圆,则图中阴影部分的面积为.12.如图,AC=1,∠BAC=60°,弧BC所对的圆心角为60°,且AC⊥弦BC.若点P在弧BC上,点E、F分别在AB、AC上.则PE+EF+FP的最小值为.13.如图,P A、PB切⊙O于A、B两点,连接OP交AB于点C,交弧AB于点D,∠APB =70°,点Q为优弧AmB上一点,OQ∥PB,则∠OQA的大小为.14.在⊙O中,AB是直径,AB=4,C是圆上除A、B外的一点,D、E分别是、的中点,M是弦DE的中点,则CM的取值范围是.三.解答题15.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,⊙O过点D,与AB相切于点A,与CD相交于点E,且AB=DE.(1)求证:BC与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为5,求四边形ABCD的面积.16.如图,AB是⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD =30°.(1)求证:DP是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.17.如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以点A为圆心,以AB 的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.(1)求证:DE与⊙A相切;(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.18.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.(1)求证:AB为⊙C直径.(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.19.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AB=4,ON=1,求⊙O的半径.20.如图,AB是⊙O的直径,弦BC、DE的延长线交于点F,AB⊥DE于H,连接BE、CE.(1)求证:∠BEC=∠F.(2)连OE,若OE∥BC,CE=13,DE=24,求⊙O的半径.参考答案一.选择题1.解:∵点(3,4),∴点到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,∴在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆一定与x轴相切,与y 轴相交,故选:D.2.解:设△DOA的内切圆半径为r,△AOB,△BOC,△COD,△DOA的周长为L,则S△AOB=L•3=L,S△BOC=L•4=2L,S△COD=L•6=3L,S△DOA=Lr,∵S△AOB•S△COD=S△COD•S△DOA,∴L•3L=2L•Lr,∴r=.3.解:由题意旋转8次应该循环,∵2020÷8=252…4,∴∁i的坐标与C4的坐标相同,∵C(﹣1,),点C与C4关于原点对称,∴C4(1,﹣),∴顶点∁i的坐标是(1,﹣),故选:A.4.解:如图,连接OC交AF于J,设BC交AF于T,过点T作TH⊥AB于H.∵AB⊥CD,∴=,∵=,∴=,∴OC⊥AF,∴∠AJO=∠CEO=90°,∵∠AOJ=∠COE,OA=OC,∴△AJO≌△CEO(AAS),∴AE=CJ,∵AB是直径,∴∠F=∠CJT=90°,∵AE=BF,∴BF=CJ,∵∠CTJ=∠BTF,∴△CTJ≌△BTF(AAS),∴CT=BT,∵TH⊥AB,CD⊥AB,∴TH∥CE,∴EH=BH,∵=,∴∠TBF=∠TBH,∵∠F=∠THB=90°,BT=BT,∴△BTF≌△BTH(AAS),∴BF=BH,∵AE=BF,∴AE=BH,∵OA=OB,∴OE=OH=1,∴EH=BH=2,∴AE=BH=2,∴AB=6,OC=OB=3,∴EC===2,∴BC===2,故选:A.5.解:如图,过点B作BE⊥AD于E,BF⊥DC交DC的延长线于F.∵AB=BC,∴=,∴∠BDE=∠BDF,∵∠DEB=∠DFB=90°,DB=DB,∴△BDE≌△BDF(AAS),∴BE=BF,DE=DF,∵∠AEB=∠F=90°,BA=BC,BE=BF,∴Rt△BEA≌Rt△BFC(HL),∴AE=CF,∴AD+DC=DE+AE+DF﹣CF=2DF,∵∠BDF=∠BAC=30°,BD=,∴BF=BD=,∴DF===,∴DA+DC=3,故选:A.6.解:作CH⊥AB于H交⊙O于E、F.∵C(1,0),直线AB的解析式为y=x+3,∴直线CH的解析式为y=﹣x+,由解得,∴H(﹣,),∴CH==3,∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,AB=5,∴EH=3﹣1=2,当点P与E重合时,△P AB的面积最小,最小值=×5×2=5,故选:A.7.解:作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,连接OA′,OA,OB,P A,AA′,∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,∴∠A′ON=∠AON=60°,P A=P A′,∵点B是弧AN的中点,∴∠BON=30°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA′=,∴A′B=2.∴P A+PB=P A′+PB=A′B=2,∴△P AB周长的最小值是2+a,故选:D.8.解:设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.∵BC、CD、MN是切线,∴BE=CE=CF=DF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt△CMN中,∵MN=x+y,CN=a﹣y,CM=a﹣x,∴(x+y)2=(a﹣y)2+(a﹣x)2,∴ax+ay+xy=a2,∵S△AMN=S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN=4,∴4a2﹣×2a×(a+x)﹣(a﹣x)(a﹣y)﹣×2a×(a+y)=4,∴a2﹣(ax+ay+xy)=4,∴a2=4,∴a=2或﹣2(负值舍去),∴AB=2a=4,∴⊙O的半径为2.故选:C.二.填空题9.解:3(x﹣2)﹣x(x﹣2)=0,(x﹣2)(3﹣x)=0,所以x1=2,x2=3,即⊙O1与⊙O2的半径分别为2、3,所以当⊙O1与⊙O2相切时,圆心距O1O2的值是2+3=5或3﹣2=1.故答案为1或5.10.解:连接BM,则AB=BE=BM,设BM=R,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=BE,∠B=∠BCD=90°,∵DM=VE,∴CM=BC,∵的长为2π,∴=2π,解得:R=4,即BM=BE=CD=AB=4,在Rt△BCM中,由勾股定理得:BC2+CM2=BM2,BC=CM=2,∴CE=4﹣2,故答案为:4﹣2.11.解:如图,连接AB,OC,过点C作CD⊥OB,CE⊥OA,∵OB=OA,∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,∵OA是直径,∴∠ACO=90°,∴△AOC是等腰直角三角形,∵CE⊥OA,∴OE=AE,OC=AC,∴Rt△OCE≌Rt△ACE(HL),∵S扇形OEC=S扇形AEC,∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积,同理可得,与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积,∴S阴影=S△AOB=×4×4=8(cm2).故答案为8cm2.12.解:连接AP,O,OA.分别以AB、AC所在直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为M,P关于AC的对称点为N,连接MN,交AB于点E,交AC于点F,连接PE、PF.∴AM=AP=AN,∵∠MAB=∠P AB,∠NAC=∠P AC,∵∠BAC=∠P AB+∠P AC=∠MAB+∠NAC=60°,∴∠MAN=120°∴M、P、N在以A为圆心,AP为半径的圆上,设AP=r,易求得:MN=r,∵PE=ME,PF=FN,∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r,∴当AP最小时,PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA,∴AP≥OA﹣OP,即点P在OA上时,AP可取得最小值,在Rt△ABC中,∵AC=1,∠BAC=60°,∴BC=,∵∠BOC=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OC=BC=,作OH⊥AC交AC的延长线于H.在Rt△OCH中,∵OC=,∠OCH=30°,∴OH=OC=,CH=OH=,在Rt△AOH中,AO===,此时AP=r=﹣,∴PE+EF+PF的最小值为﹣3,故答案为﹣3.13.解:如图,连接OA.∵P A,PB是⊙O的切线,∴∠OPB=∠OP A=∠APB=35°,P A⊥OA,∴∠OAP=90°,∴∠POA=90°﹣35°=55°,∵OQ∥PB,∴∠POQ=180°﹣∠OPB=145°,∴AOQ=360°﹣145°﹣55°=160°,∵OQ=OA,∴∠OQA=∠OAQ=(180°﹣∠AOQ)=10°,故答案为10°.14.解:如图,连接OD,OE,OC,OM.∵=,=,∴∠AOD=∠DOC,∠EOC=∠EOB,∵AB是直径,∴∠AOB=180°,∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=90°,∵OD=OE=2,∴DE=2,∵DM=ME,∴OM=DE=,∵OC=2,∴2﹣≤CM,当C,A重合时,CM的值最大,最大值为,∵C是圆上除A、B外的一点,故答案为2﹣≤CM<.三.解答题15.解:(1)连接AE,∵∠D=90°,∴AE是⊙O的直径,过O作OF⊥BC于F,∵AB是⊙O的切线,∴∠OAB=90°,∵∠B=90°,∴∠OAB=∠B=∠OFB=90°,∴四边形ABFO是矩形,∴AB=OF,∵∠B=∠D=90°,∠C=60°,∴∠DAB=120°,∴∠DAE=30°,∴DE=AE=AO,∵AB=DE,∴OF=OA,∴BC与⊙O相切;(2)由(1)知,AB=AO=5,AE=10,过E作EH⊥BC于H,则BH=AE=10,EH=AB=5,∵∠C=60°,∴CH=EH=,∴BC=10+,在Rt△ADE中,∵DE=AB=5,∴AD=DE=5,∴四边形ABCD的面积=+(10+10+)×5=50+.16.(1)证明:连接OD∵∠ACD=60°,∴∠AOD=120°,∴∠BOD=60°,∵∠APD=30°,∴∠ODP=90°,即PD⊥OD,∴PD是⊙O的切线;(2)解:∵在Rt△POD中,OD=3cm,∠APD=30°,∴PD=3,∴图中阴影部分的面积=×3×3﹣×π×32=﹣π.17.(1)证明:连接AE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC,∴∠DAE=∠ABC,∴△AED≌△BAC(SAS),∴∠DEA=∠CAB,∵∠CAB=90°,∴∠DEA=90°,∴DE⊥AE,∵AE是⊙A的半径,∴DE与⊙A相切;(2)解:∵∠ABC=60°,AB=AE=4,∴△ABE是等边三角形,∴AE=BE,∠EAB=60°,∵∠CAB=90°,∴∠CAE=90°﹣∠EAB=90°﹣60°=30°,∠ACB=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°,∴∠CAE=∠ACB,∴AE=CE,∴CE=BE,∴S△ABC=AB•AC==8,∴S△ACE=S△ABC==4,∵∠CAE=30°,AE=4,∴S扇形AEF===,∴S阴影=S△ACE﹣S扇形AEF=4﹣.18.解:(1)∵⊙C经过坐标原点,∴∠AOB=90°,∴AB是⊙C的直径.(2)∵四边形AOMB是圆内接四边形,∠BMO=120°,根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB=60°,∴∠ABO=30°,∵点A的坐标为(0,4),∴OA=4,∴AB=2OA=8,⊙C的半径AC==4;∵C在第二象限,∴C点横坐标小于0,设C点坐标为(x,y),由半径AC=OC=4,即=,则==4,解得,y=2,x=﹣2或x=2(舍去),故⊙C的半径为4、圆心C的坐标分别为(﹣2,2).19.(1)证明:∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,∴∠BAD=∠BCD,∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠AMC=∠AEN=90°,∵∠ANE=∠CNM,∴∠BCD=∠BAM,∴∠BAM=BAD,在△ANE与△ADE中,∵,∴△ANE≌△ADE,∴AD=AN;(2)解:∵AB=4,AE⊥CD,∴AE=2,又∵ON=1,∴设NE=x,则OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1连结AO,则AO=OD=2x﹣1,∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x﹣1,AO=2x﹣1,∴(2)2+(x﹣1)2=(2x﹣1)2,解得x=2,∴r=2x﹣1=3.20.(1)证明如图,连接AC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AB⊥DE,∴∠BHF=90°,∴∠F+∠ABC=90°,∠ABC=90°,∴∠F=∠BAC,∵∠BEC=∠BAC,∴∠BEC=∠F.(2)解:连接AE,OE,设OA=OE=r.∵OE∥BC,∴∠OEB=∠EBC,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OBE=∠EBC,∴=,∴AE=EC=13,∵AB⊥DE,∴DH=EH=12,AH===5,在Rt△OEH中,∵OE2=OH2+EH2,∴r2=122+(r﹣5)2,∴r=,∴⊙O的半径为.。
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题 含答案
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题难度:较难一.选择题1.已知两圆的半径分别为8和5,圆心距为5,那么这两圆的位置关系是()A.内切B.外切C.相交D.外离2.如图,点A、B、C在⊙O上,则下列结论正确的是()A.∠AOB=∠ACBB.∠AOB=2∠ACBC.∠ACB的度数等于的度数D.∠AOB的度数等于的度数3.如图,在⊙O中,=,∠C=70°,则∠A的度数为()A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图,点A、B、C是⊙O上的点,OB∥AC,连结BC交OA于点D,若∠ADB=60°,则∠AOB的度数为()A.30°B.40°C.45°D.50°5.如图,AB为⊙O的直径,点D是弧AC的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AC=12,AE=3,则⊙O的直径长为()A.10B.13C.15D.166.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的内切圆的半径是()A.5B.2C.5或2D.2或﹣1 7.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在格点上,点E在AB的延长线上,以A为圆心,AE为半径画弧,交AD的延长线于点F,且弧EF经过点C,则扇形AEF的面积为()A.B.C.D.8.在半径为3cm的⊙O中,若弦AB=3cm,则弦AB所对的圆周角的度数为()A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°9.如图,⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2,则⊙O的半径为()A.2B.C.3D.10.如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC、BC为直径作半圆,其中M,N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点,,的中点分别是P,Q.若MP+NQ=7,AC+BC=26,则AB的长是()A.17B.18C.19D.20二.填空题11.一个扇形的圆心角为135°,面积为6π,则此扇形的弧长为.12.已知三角形三边分别为3、4、5,则该三角形内心与外心之间的距离为.13.如图,在⊙O中,AB为直径,弦CD⊥AB,垂足为E,CD=8,BE=2,则⊙O的半径为.14.如图,AB是⊙O的直径,C是BA延长线上一点,点D在⊙O上,且CD=OA,CD的延长线交⊙O于点E,若∠BOE=54°,则∠C=.15.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠ABD=42°,则∠BCD的度数是.16.如图,直线AB与⊙O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半径为,CD=4,则弦EF的长为.17.赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,则桥弧AB所在圆的直径=米.18.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D,过点D作DE⊥AC于E,连结OD,则下列结论中:①OD∥AC;②∠B=∠C;③2OA=AC;④DE是⊙O的切线;⑤∠EDA=∠B,正确的序号是.三.解答题19.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且AD平分∠CAB,作DE⊥AB于E.(1)求证:AC∥OD;(2)求证:OE=AC.20.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连接AC,BC.D是的中点,过D作DE⊥AB于点E,交BC于点F.(1)求证:BC=2DE;(2)若AC=6,AB=10,求DF的长.21.如图△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,,以BC为直径作⊙O,交AB于点D,连接CD.(1)求BD的长;(2)射线DO交直线AC于点E,连接BE,求BE的长.22.如图,点A,点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E,且∠DAE=∠ABD.(1)求证:AE是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径为5.CD=6,求AD的长.23.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于点D,延长DO交⊙O 于点F,连接OC,AF.(1)求证:OD=AC;(2)填空:①当∠B=时,四边形OCAF是菱形;②当∠B=时,AB=2OD.24.数学活动小组对学校400米的跑道进行规划设计,跑道由两段直道和两端是半圆的弯道组成(如图).其中400米跑道最内圈周长为400米,两端弯道最内圈的半径R=36米.(1)求跑道中一段直道的长度(π取3.14);(2)在活动中发现跑道最外圈周长y(米)随跑道总宽度x(米)的变化而变化,请求出y与x的函数关系式;(3)若跑道最外圈周长为460米,那么最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条?25.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.在同一平面内,△ABC内部一点O到AB,AC,BC的距离都等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G.(1)直接写出a的值;(2)连接BO并延长,交AC于点M,过点M作MN⊥BC于点N.①求证:∠BMA=∠BMN;②求直线MN与图形G的公共点个数.参考答案一.选择题1.解:∵两圆的半径分别为8和5,圆心距为5,则8+5=13,8﹣5=3,∵3<5<13,∴两圆相交,故选:C.2.解:A、根据圆周角定理得:∠AOB=2∠ACB,故本选项不符合题意;B、根据圆周角定理得:∠AOB=2∠ACB,故本选项符合题意;C、∠ACB的度数等于的度数的一半,故本选项不符合题意;D、∠AOB的度数等于的度数,故本选项不符合题意;故选:B.3.解:∵=,∴AB=AC,∴∠B=∠C=70°,∴∠A=180°﹣2×70°=40°,故选:C.4.解:设∠ACB=x°,则∠AOB=2∠ACB=2x°,∵OB∥AC,∴∠OBD=∠ACB=x°,∵∠ADB=60°,∴∠AOB+∠OBD=∠ADB=60°,即2x+x=60,解得x=20,则∠AOB=2x°=40°,故选:B.5.解:如图,连接OF.∵DE⊥AB,∴DE=EF,=,∵点D是弧AC的中点,∴=,∴=,∴AC=DF=12,∴EF=DF=6,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,则有x2=62+(x﹣3)2,解得x=,∴AB=2x=15,故选:C.6.解:设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I,半径为r,三边上的切点分别为D、E、F,连接ID、IE、IF,得正方形,则正方形的边长即为r,如图所示:当BC为直角边时,AC==10,根据切线长定理,得AD=AF=AB﹣BD=6﹣r,CE=CF=BC﹣BE=8﹣r,∴AF+FC=AC=10,即6﹣r+8﹣r=10,解得r=2;当BC为斜边时,AC==2,根据切线长定理,得BD=BF=6﹣r,CE=CF=2﹣r,∴BC=BF+CF=6﹣r+2﹣r=8,解得r=﹣1.答:这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1.故选:D.7.解:连接AC.由题意AC==,∵∠EAF=45°,AE=AF=AC=,∴S扇形AEF==π,故选:B.8.解:如图所示,连接OA,OB,则OA=OB=3cm,∵B=3cm,∴OA2+OB2=AB2,∴∠AOB=90°,∴劣弧AB的度数是90°,优弧AB的度数是360°﹣90°=270°,∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°,故选:D.9.解:设DE与⊙O相切于点N,连接OD、OE、ON,作DM⊥OE于M,如图所示:则ON⊥DE,DE=2,OD=OE,∠DOE==45°,∵DM⊥OE,∴△ODM是等腰直角三角形,∴DM=OM,OE=OD=DM,设OM=DM=x,则OD=OE=x,EM=OE﹣OM=(﹣1)x,在Rt△DEM中,由勾股定理得:x2+(﹣1)2x2=22,解得:x2=2+,∵△ODE的面积=DE×ON=OE×DM,∴ON====+1,即⊙O的半径为:1+;故选:B.10.解:连接OP,OQ,分别交AC,BC于H,I,∵M,N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点,,的中点分别是P,Q,∴OP⊥AC,OQ⊥BC,由对称性可知:H,P,M三点共线,I,Q,N三点共线,∴H、I是AC、BC的中点,∴OH+OI=(AC+BC)=13,∵MH+NI=AC+BC=13,MP+NQ=7,∴PH+QI=13﹣7=6,∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=13+6=19,故选:C.二.填空题11.解:设扇形的半径为R.由题意:=6π,解得R=4,∴扇形的弧长==3π,故答案为3π.12.解:∵三角形三边分别为3、4、5,∴32+42=52,∴三角形是直角三角形,如图,设Rt△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,设Rt△ABC的内切圆的半径为r,则OD=OE=r,∵∠C=90°,∴CE=CD=r,AE=AN=3﹣r,BD=BN=4﹣r,∴4﹣r+3﹣r=5,解得r=1,∴AN=2,在Rt△OMN中,MN=AM﹣AN=,∴OM=.则该三角形内心与外心之间的距离为.故答案为:.13.解:连接OC,如图所示:∵CD⊥AB,∴CE=DE=CD=4,设⊙O的半径为r,则OE=r﹣2,OC=r,在Rt△OCE中,由勾股定理得:42+(r﹣2)2=r2,解得:r=5,即⊙O的半径为5.故答案为:5.14.解:连接OD,∵CD=OA=OD,∴∠C=∠DOC,∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C,∵OD=OE,∴∠E=∠EDO=2∠C,∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°,∴∠C=18°,故答案为18°.15.解:连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=42°,∴∠A=90°﹣∠ABD=48°,∴∠BCD=180°﹣∠A=132°.故答案为132°.16.解:连接OA,OC,过点O作OG⊥CD于点G,根据垂径定理,得CG=DG=CD=2,在Rt△OCG中,OC=,根据勾股定理,得OC2=CG2+OG2,即=4+OG2,∴OG==,∵直线AB与⊙O相切于点A,∴OA⊥AB,∵弦CD∥AB,∴OA⊥CD,∴点A、O、G三点共线,∴AG=AO+OG=+=4,在Rt△ACG中,根据勾股定理,得AC===2.∵∠CDE=∠ADF.∴∠CDE+∠CDF=∠ADF+∠CDF.∴∠EDF=∠ADC,∴=,∴EF=AC,∴EF=2.故答案为:2.17.解:根据垂径定理,得AD=AB=20米.设圆的半径是R,根据勾股定理,得R2=202+(R﹣10)2,解得R=25(米),∴⊙O的直径为50米.故答案为50.18.解:连接AD,∵D为BC中点,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,①正确;∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°=∠ADC,即AD⊥BC,又BD=CD,∴△ABC为等腰三角形,∴∠B=∠C,②正确;∵DE⊥AC,且DO∥AC,∴OD⊥DE,∵OD是半径,∴DE是⊙O的切线,∴④正确;∴∠ODA+∠EDA=90°,∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°,∴∠EDA=∠ODB,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB,∴∠EDA=∠B,∴⑤正确;∵D为BC中点,AD⊥BC,∴AC=AB,∵OA=OB=AB,∴OA=AC,∴③正确,故答案为:①②③④⑤.三.解答题19.证明:(1)∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AO=DO,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO,∴AC∥OD;(2)过O作OF⊥AC于F∵DE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AFO=∠DEO=90°,∵AC∥OD,∴∠FOD=∠AFO=90°,∴∠F AO+∠FOA=90°,∠FOA+∠EOD=90°,∴∠F AO=∠EOD,在△AFO和△OED中,,∴△AFO≌△OED(AAS),∴AF=OE,∵OF⊥AC,OF过O,∴AF=CF=AC,∴OE=AC.20.(1)证明:延长DE交⊙O于点G,如图所示:∵AB为⊙O的直径,DE⊥AB,∴DE=GE,=,∵D是的中点,∴==,∴=,∴BC=DG=2DE;(2)解:连接BD、OD,如图所示:∵=,∴∠DBC=∠BDF,∴DF=BF,∵AB为⊙O的直径,AB=10,∴∠ACB=90°,OB=OD=5,∴BC===8,由(1)得:DE=BC=4,∵DE⊥AB,∴OE===3,∴BE=OB﹣OE=2,设DF=BF=a,则EF=4﹣a,在Rt△BEF中,由勾股定理得:22+(4﹣a)2=a2,解得:a=,∴DF=.21.解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠ABC=60°,∵,AC2+BC2=AB2,∴(4)2+BC2=(2BC)2,∴BC=4,∵BC为直径,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=∠A=30°,∴BD=BC=2;(2)∵OD=OB,∴∠CBD=∠EDB=60°,∴∠DOB=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠COE=∠DOB=60°,∵∠OCE=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°,∴∠CEO=30°,∵OC=OB=BC==2,∴OE=2CO=4,∴CE===2,∴BE===2.22.解:(1)证明:如图,连接OA,∴OA=OB,∴∠ABD=∠OAB,∵∠DAE=∠ABD,∴∠OAB=∠DAE,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠OAB+∠OAD=90°,∴∠DAE+∠OAD=90°,∴∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∴AE是⊙O的切线;(2)作OF⊥BC于点F,∵OA⊥AE,AE∥BC,∴点A、O、F在同一条直线上,∵BD是直径,∴∠BCD=90°,∴∠AED=90°,∴四边形AECF是矩形,∴AF=EC,AE=FC,∵⊙O的半径为5,即BD=10,∵CD=6,∴BC==8,∴BF=FC=4,OF=CD=3,∴CE=AF=AO+OF=5+3=8,∴DE=CE﹣CD=8﹣6=2,∵AE=FC=4,∴AD==2.23.解:(1)证明:∵OD⊥BC于点D,∴CD=BD,∵AO=BO,∴OD是△ACB的中位线,∴OD=AC;(2)解:当∠1=30°时,四边形OCAF是菱形.理由如下:∵∠1=30°,AB是直径,∴∠BCA=90°,∴∠2=60°,而OC=OA,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=CA,又∵D,O分别是BC,BA的中点,∴DO∥CA,∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF.∴△OAF是等边三角形,∴AF=OA=OF,∴OC=CA=AF=OF,∴四边形OCAF是菱形;②当∠1=45°时,AB=2OD,∵∠1=45°,∵OD⊥BC于点D,∴△BOD是等腰直角三角形,∴OB=OD,∴AB=2OB=2OD.故答案为:30°,45°.24.解:(1)设直道的长度为x米,由题意可得,2π×36+2x=400,即2×3.14×36+2x=400,解得x=86.96,即跑道中一段直道的长度是86.96米;(2)由题意可得,y=2π(36+x)+86.96×2=2×3.14×(36+x)+173.92=400+6.28x,即y与x的函数关系式是y=6.28x+400;(3)当y=406时,460=6.28x+400,解得x≈9.55,9.55÷1.2≈7.96,即最多能铺设道宽为1.2米的跑道7条.25.解:(1)如图,∵AB=3,AC=4,BC=5,∴33+42=52,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,由题意可知:图形G是以O为圆心,a为半径的圆,AB,AC,BC与圆O相切,设切点分别为F,D,Q,连接OF,OD,OQ,∴OF⊥AB,OD⊥AC,OQ⊥BC,∴四边形AFOD为正方形,∴AF=AD=OF=OD=a,根据切线长定理可知:BF=BQ=3﹣a,CD=CQ=4﹣a,∴3﹣a+4﹣a=5,解得a=1;(2)①由题意可知:点O是△ABC的内心,∴∠ABM=∠CBM,∵MA⊥AB,MB⊥BC,∴∠A=∠BNM=90°,∴∠BMA=∠BMN;②如图,作OE⊥MN于点E,∵∠BMA=∠BMN,∵OD⊥AC,∴OD=OE,∴OE为圆O的半径,∴MN为圆O的切线,∴直线MN与图形G的公共点个数为1.。
人教版九年级数学上册 第24章 圆 章末同步培优、能力提升练习卷(含答案)
人教版九年级数学上册 第24章 圆 章末同步培优、能力提升练习卷(含答案)一、选择题1.若P 为半径长是6cm 的⊙O 内一点,OP =2cm ,则过P 点的最短的弦长为( ). A .12cmB .cm 22C .cm 24D .cm 282.四边形ABCD 内接于⊙O ,BC 是⊙O 的直径,若∠ADC =120°,则∠ACB 等于( ). A .30°B .40°C .60°D .80°3.若⊙O 的半径长是4cm ,圆外一点A 与⊙O 上各点的最远距离是12cm ,则自A 点所引⊙O 的切线长为( ). A .16cmB .cm 34C .cm 24D .cm 644.⊙O 的半径为10cm ,弦AB ∥CD .若AB =12cm ,CD =16cm ,则AB 和CD 的距离为( ). A .2cmB .14cmC .2cm 或14cmD .2cm 或10cm5.⊙O 中,∠AOB =100°,若C 是上一点,则∠ACB 等于( ). A .80°B .100°C .120°D .130°6.三角形的外心是( ). A .三条中线的交点B .三个内角的角平分线的交点C .三条边的垂直平分线的交点D .三条高的交点7.如图,A 是半径为2的⊙O 外的一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA ,则的长为( ).7题图A .π32B .π38C .πD .3π328.如图,图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A 点到B 点,甲虫沿,,,路线爬行,乙虫沿路线爬行,则下列结论正确的是( ).8题图A .甲先到B 点B .乙先到B 点C .甲、乙同时到B 点D .无法确定9.如图,同心圆半径分别为2和1,∠AOB =120°,则阴影部分的面积为( ).9题图A .πB .π34C .2πD .4π10.某工件形状如图所示,圆弧的度数为60°,AB =6cm ,点B 到点C 的距离等于AB ,∠BAC=30°,则工件的面积等于( ).10题图A .4πB .6πC .8πD .10π11.如图,⊙O 1的弦AB 是⊙O 2的切线,且AB ∥O 1O 2,如果AB =12cm ,那么阴影部分的面积为( ).11题图A .36πcm 2B .12πcm 2C .8πcm 2D .6πcm 2二、填空题12.如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠AOC =60°,则∠B =______.12题图13.如图,边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转,当B ,C 两点恰好落在扇形AEF 的弧上时,的长度等于______.13题图14.如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB 的长为________.14题图15.若圆锥的底面半径是2cm ,母线长是4cm ,则圆锥的侧面积是________cm 2. 16.如图,在△ABC 中,AB =2,,2 AC 以A 为圆心,1为半径的圆与边BC 相切,则∠BAC 的度数是______.16题图17.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则以直线AB为轴旋转一周所得的几何体的表面积为______.18.已知半径为2cm的两圆外切,半径为4cm且和这两个圆都相切的圆共有______个.三、解答题19.已知:如图,P是△ABC的内心,过P点作△ABC的外接圆的弦AE,交BC于D点.求证:BE =PE.20.如图,△ABC的三个顶点都在⊙O上,AP⊥BC于P,AM为⊙O的直径.求证:∠BAM=∠CAP.21.如图,⊙O中,=,点C在上,BH⊥AC于H.求证:AH=DC+CH.22.已知:等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O,AB=AC,点O到BC的距离OD的长等于2cm.求AB的长.23.已知:如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于C点,AB=12cm.求两个圆之间的圆环面积.24.如图,以的边为直径作交斜边于点,连接并延长交的延长线于点,点为的中点,连接.判断与的位置关系并说明理由;若的半径为,∠,求的长.25.现有一块块直径为的圆形铁片,若它做成一个有盖的油桶,并尽可能的用好这块铁片,工人师傅在圆形铁片上截取两个圆(即两底)和一个矩形(侧面),如图.若把作为油桶的高时,则油桶的底面半径等于多少?当把作为油桶的高时,油桶的底面半径与中的相等吗?若相等,请说明理由;若不相等,请求出.参考答案1.D . 2.A . 3.B . 4.C . 5.D . 6.C . 7.A . 8.C . 9.C . 10.B . 11.A .12.30°. 13.cm.3π14.cm.32 15.8πcm .16.105°. 17.πcm.58418.五.19.提示:连结BP . 20.提示:连结BM .21.提示:延长CH 到E ,使CE =CD ,连结BE ,证:△ABH ≌△EBH . 22.cm 64或cm.3423.36cm 2.提示:连结OC、OA.24.解:根据题意,得,即,∴.与中的不相等.连接、.根据题意,得,,∴,即.24.证明:连接,,∵为直径,且,∴,又∵,∴,∴,∴∠∠,∴.25.解:如图①,连接,即为所求角平分线;如图②,连接并延长,与交于点,连接,即为所求角平分线∵是直径,∴半圆半圆又∵,∴,∴,∴∠∠,即平分∠.。
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圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一、核心:运用圆周角和圆心角相互转化求角度解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!7、如图,PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线,PAB 过圆心O ,若AC =CD ,P =,解题策略:1.在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点!2.圆的内接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!∠30︒二、无圆则先添加辅助圆,再利用核心求角度1、如图,△ABC 内有一点D ,DA =DB =DC ,若DAB =,DAC =,3、如图,四边形ABCD 中,AB=AC =AD ,CBD =,BDC =,则4、如图,□ABCD 中,点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点,若D =,5、如图,O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,ABC =ADC =,解题策略:通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗!∠20︒∠30︒∠20︒∠30︒∠60︒∠∠70︒圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图,AB是⊙O的弦,OD AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上,若BED=,⊙O的半径为4,则弦AB的长是.2、如图,弦AB垂直于⊙O的直径CD,OA=5,AB=6,则BC=.3、如图,⊙O的半径为,弦AB CD,垂足为P,AB=8,CD=6,则OP=.4、如图,在⊙O内,如果OA=8,AB=12,A=B=,则⊙O的半径为.5、如图,正△ABC内接于⊙O,D是⊙O上一点,DCA=,CD=10,则BC=6、如图,⊙O的直径AB=4,C为AB的中点,E为OB上一点,AEC=,CE的延长线交⊙O于点D,则CD=7、如图,A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处,并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.问:A地是否受到这次台风的影响?若受到影响,请求出受影响的时间?⊥∠30︒25⊥∠∠60︒∠15︒∠60︒10760︒圆的培优专题3——圆与全等三角形2、如图,AB是⊙O的直径,C是半圆的中点,M、D分别是CB及AB延长线上一点,且求BC-AC的值.4、如图,点A、B、C为⊙O上三点,AC=BC,点M为BC上一点,CE AM于E,AE=5,ME=3,求BM的长.⊥圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图,⊙O是△BCN的外接圆,弦AC BC,点N是AB的中点,BNC=,求BNBC的值.3、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为CB延长线上一点,且CAD=,CE AB于点E,DF AB于点F.(1)求证:CE=EF;(2)若DF=2,EF=4,求AC.4、如图,AB为⊙O的直径,CD AB于点D,CD交AE于点F,AC=CE⊥∠60︒∠45︒⊥⊥⊥(1)求证:AF =CF ;(2)若⊙O 的半径为5,AE =8,求EF 的长5、如图,在⊙O 中,直径CD弦AB 于E,AM BC于M ,交CD 于N ,连接AD.(1)求证:AD=AN ;⊥⊥圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中,弦AB CD于E,求证:AOD+BOC=.2、在⊙O中,弦AB CD于点E,若⊙O的半径为R,求证:AC2+BD2=4R2.3、在⊙O中,弦AB CD于点E,若点M为AC的中点,求证ME BD.4、在⊙O中,弦AB CD于点E,若ON BD于N,求证:ON=AC.5、在⊙O中,弦AB CD于点E,若AC=BD,ON BD于N,OMAC于M.(1)求证:ME ON;(2)求证:四边形OMEN为菱形.⊥∠∠180︒⊥⊥⊥⊥⊥12⊥⊥⊥//点拨:利用等弧所对圆周角和圆心角进行转换点拨:利用直径所对圆周角为直角,构造直角三角形点拨:1.利用等弧或同弧所对圆周角相等2.利用直角三角形斜边上中线性质得到等腰三角形,进而得到等角点拨:利用直径与半径的关系构造中位线定理点拨:利用弦相等得到弦心距相等圆的培优专题6——圆与内角(外角)平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关1、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB=.2、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB=,求CA+CBCD的值.∠∠90︒∠∠120︒二圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CP平分△ABC的外角ACQ,ACB=.求BC-ACPC的值.求PB-PAPO的值.圆的培优专题7——与切线有关的角度计算∠∠90︒二 切线与两个圆7、如图,两同心圆的圆心为O ,大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ,小圆的DE 的度数为,则大圆的BC 的度数为 .圆的培优专题8——与切线有关的长度计算110︒E1、如图,在⊙O 的内接△ACB 中,ABC =,AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ,若⊙O 的半径为1,BD OC ,则CD = .2、如图△ABC 内接于⊙O ,AB =BC ,过点A 的切线与OC 的延长线交于D ,BAC =, CD =,则AD = .3、如图,⊙O 为△BCD 的外接圆,过点C 的切线交BD 的延长线于A ,ACB =,ABC =,则 CDDB 的值为 .4、如图,AB 为⊙O 的直径,弦DC 交AB 于E ,过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M , 若AB =4,ADC =,M =,则CD = .5、如图,等边△ABC 内接于⊙O ,BD 切⊙O 于B ,AD BD 于D ,AD 交⊙O 于E ,⊙O 的半径为1,则AE = .6、如图,△ABC 中,C =,BC =5,⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ,若⊙O 的 半径为2,则△ABC 的周长为 .7、如图,△ABC 中,C =,AC =12,BC =16,点O 在AB 上,⊙O 与BC 相切于D , 连接AD ,则BD = .解题策略:1、连半径,有垂直;寻找特殊三角形;设元,构建勾股定理列方程. 2、等腰,角平分线,平行经常结合出题圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理(基础题)1、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为AE 的中点,CD BE 于D. (1)判断DC 与⊙O 的位置关系,并说明理由;∠30︒//∠75︒3∠75︒∠45︒∠45︒∠75︒⊥∠90︒∠90︒⊥(2)若DC =3,⊙O 的半径为5,求DE 的长.2.如图,AB 与⊙O 相切于点B ,BC 为⊙O 的弦,OC ⊥OA ,OA 与BC 相交于点P . (1)求证:AP=AB ;(2)若OB=4,AB=3,求线段BP 的长.3、如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径,AE CD 于E ,DA 平分BDE.(1)求证:AE 是⊙O 的切线;(2)若AE =2,DE =1,求CD 的长. 4、如图,AE 是⊙O 的直径,DF 切⊙O 于B ,AD DF 于D ,EF DF 于F.(1)求证:EF +AD =AE ;(2)若EF =1,DF =4,求四边形ADFE 的周长.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理(简单)⊥∠⊥⊥ 点拨:面积法1、如图,已知点A 是⊙O 上一点,半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ,OC =BC , AC =OB. (1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若ACD =,OC =2,求弦CD 的长.2、如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B ,点M 在PB 上,且OM AP ,MN AP 于N.(1)求证:OM =AN ;(2)若⊙O 的半径,PA =9,求OM 的长.3、如图,AB 为⊙O 的直径,半径OC AB ,D 为AB 延长线上一点,过D 作⊙O 的切线,E 为切点,连接CE 交AB 于F. (1)求证:DE =DF ;(2)连接AE ,若OF =1,BF =3,求DE 的长.4、如图,正方形ABCO 的顶点分别在轴、轴上,以AB 为弦的⊙M 与轴相切于F ,已知A ,求圆心M 的坐标.5.如图,已知AB 为⊙O 的直径,AD 、BD 是⊙O 的弦,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,OC12∠45︒//⊥3r =⊥y x x (0,8)∥AD,BA、CD的延长线相交于点E.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半径.6.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,CD是⊙O的切线,切点且C,过点C作CD⊥PA于D,若AD:DC=1:3,AB=8,求⊙O的半径.圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图,BD 为⊙O 的直径,A 为的中点,AD 交BC 于E ,过D 作⊙O 的切线,交BC 的延长线于F. (1)求证:DF =EF ;2、如图,AB 为⊙O 的直径,C 、D 为⊙O 的一点,OC AD ,CF DB 于F.(1)求证:CF 为⊙O 的切线;(2)若BF =1,DB =3,求⊙O 的半径.3、如图,以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. (1)求证:OC =OD ;(2)过D 作DM 切⊙O 于M ,若AB =2,DM =, 求⊙O 的半径.4、如图,在△ABC 中,AC =BC ,ACB =,以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. (1)求证:AD =BD ;(2)弦CE 交BD 于M ,若S △ABC=3S △BCM ,求 BDCE.(不做)圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形BC ⊥⊥22∠90︒点拨:作垂线构造中位线定理 点拨:1、证全等 2、等角-同角 (45°特殊角) 点拨:三线合一1、如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ,与边AC 交于E , 过D 作DF AC 于F.(1)求证:DF 为⊙O 的切线; (2)若DE =,AB =5,求AE 的长.2、如图,在△ABC 中,AB =AC ,以边AB 为直径作⊙O ,交BC 于D ,过D 作DE AE.(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)连接OC ,若CAB =,求 DEOC 的值.3、如图,AB =AC ,点O 在AB 上,⊙O 过点B ,分别交BC 于D 、AB 于E ,DF AC.(1)证:DF 为⊙O 的切线;(2)若AC 切⊙O 于G ,⊙O 的半径为3,CF =1,求AC.4、如图,CD 是⊙O 的弦,A 为的中点,E 为CD 延长线上一点,EG 切⊙O 于G.(1)求证:KG =GE ;(2)若AC EG ,DKCK = 35,AK =,求⊙O 的半径.圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图,AB 是⊙O 的直径,AC = CE ,点M 为BC 上一点,且CM =AC. (1)求证:M 为△ABE 的内心;⊥5⊥∠120︒⊥CD //210点拨:1、三线合一 2、面积法求DF 点拨:1、三线合一,中位线定理 2、DE 和OC 都与OF 建立数量关系(2)若⊙O的半径为5,AE=8,求△BEM的面积.2、如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分BAC点M是△ABC的内心. (1)求证:BC=DM;(2)若DM=,AB=8,求OM的长.3、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D是BC的中点,DE AB于E,I是△ABD 的内心,DI的延长线交⊙O于N.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若DE=4,CE=2,求⊙O的半径和IN的长.圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图,点P是等边△ABC外接圆BC上的一个动点,求证PA=PB+PC.∠252⊥点拨:1、证明EM和BM是角平分线2、利用Rt△AEB内接三角形半径公式求出BE边上的高点拨:1、因为BC=2DC, 转化为求证DC=DM,再转化成求角相等即可2、利用内心性质得到相等的角3、利用Rt△AEB内接三角形半径公式求出MN,再利用切线长定理求出CQ=CN,进而求出ON的长,最后利用勾股定理求出OM点拨:1、利用垂径定理和直径性质得直角,再利用矩形性质2、利用矩形性质和勾股定理3、利用内心的性质证明IN=AN长度不变,点E 在⊙O 内,求AEB 的度数.(3)如图3,当点P 在线段OB 的延长上时,求OCP 的度数.圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题3、在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB =40cm ,弦CD =48cm ,且A B ∥CD ,则AB 与CD 之∠∠6、点P是半径为5的⊙O内的一点,且OP=3cm,在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有条.7、已知⊙O的半径为5cm,弦AB=8,P为AB上一动点,且OP长为整数,满足条件的P点有个.8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O2,若∠AO1B=90°那么∠AO2B的度数是.9、从不在⊙O上的一点A,作⊙O的割线交⊙O于B、C,且A B·AC=64,OA=10,则⊙O的半径等于.10、已知⊙O的半径为5cm,AB是弦,P是直线AB上的一点,PA=3cm,AB=8cm,则tan∠OPB的值为.11、已知PA、PB是⊙O的两条切线,点C是⊙O上异于A、B的一点,过C点切线交PA、PB于D、E两点,若∠APB=400,则∠DOE=.12、已知等腰△ABC内接于⊙O,底边BC=8cm,圆心O到BC的距离等于3cm,则腰长AB=.13、在△ABC中,∠C=90o,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边只有一个公共点,则R的取值范围.14、若两圆没有公共点,则两圆的位置关系是.15、在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的直径是.16、已知⊙O1和⊙O2仅有一条公切线,⊙O1半径为3cm,且O1O2=5cm,则⊙O2的半径等于.17、已知⊙O上有A、B、C三点,若弦AC的长恰好等于⊙O的半径,则∠ABC=.l l18、已知⊙O的半径是5cm,P是直线上的一点,且OP=5cm,那么直线与⊙O的位置关系是.19、在△ABC中,AB=AC=5cm,且△ABC的面积为12cm2,则△ABC外接圆的半径为.20、AB、AC是⊙O的两条切线,B、C为切点,∠A=50°,点P是圆上异于A 、B的一动点,则∠BPC=.。