九年级上册第24章圆章节培优专题(含答案)

圆的培优专题1——与圆有关的角度计算

一、核心：运用圆周角和圆心角相互转化求角度

解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！

7、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC =CD ,P ＝，

解题策略：

1.在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！

2.圆的内接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！

∠30︒

二、无圆则先添加辅助圆，再利用核心求角度

1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若DAB ＝，DAC ＝，

3、如图，四边形ABCD 中，AB

＝AC ＝AD ，CBD ＝，BDC ＝，则

4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若D ＝，

5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，ABC ＝ADC ＝，

解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！

∠20︒∠30︒∠20︒∠30︒∠60︒∠∠70︒

圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算

1、如图，AB是⊙O的弦，OD AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED

＝，⊙O的半径为4，则弦AB的长是.

2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝.

3、如图，⊙O的半径为，弦AB CD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝.

4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝，则⊙O的半径为.

5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝，CD＝10，则BC＝

6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，AEC＝，CE的延

长线交⊙O于点D，则CD＝

7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，

并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移

动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.

问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求

出受影响的时间？

⊥∠30︒

25⊥

∠∠60︒

∠15︒

∠60︒

10760︒

圆的培优专题3——圆与全等三角形

2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且

求BC－AC的值.

4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，AC=BC，点M为BC上一点，CE AM于E，

AE＝5，ME

＝3，求BM的长

.

⊥

圆的培优专题4——圆与勾股定理

1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦AC BC，点N是AB的中点，BNC＝，

求BNBC的值.

3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝，

CE AB于点E，DF AB于点F.

（1）求证：CE＝EF；

（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.

4、如图，AB为⊙O的直径，CD AB于点D，CD交AE于点F，AC=CE

⊥∠60︒

∠45︒⊥⊥

⊥

（1）求证：AF ＝CF ；

（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长

5、如图，在⊙O 中，直径CD

弦AB 于E

，AM BC

于M ，交CD 于N ，连接AD.

（1）求证：AD

＝AN ；

⊥⊥

圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题

1、在⊙O中，弦AB CD于E，求证：AOD＋BOC＝.

2、在⊙O中，弦AB CD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2.

3、在⊙O中，弦AB CD于点E，若点M为AC的中点，求证ME BD.

4、在⊙O中，弦AB CD于点E，若ON BD于N，求证：ON＝AC.

5、在⊙O中，弦AB CD于点E，若AC＝BD，ON BD于N，OM

AC于M.

（1）求证：ME ON；

（2）求证：四边形OMEN为菱形.

⊥∠∠180︒

⊥

⊥⊥

⊥⊥

1

2

⊥⊥

⊥

//

点拨：利用等弧所对圆周角和圆心角进行转换

点拨：利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形

点拨：1.利用等弧或同弧所对圆周角相等

2.利用直角三角形斜边上中线性质得到等腰三角形，进而得到等

角

点拨：利用直径与半径的关系构造中位线定理

点拨：利用弦相等得到弦心距相等

圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线

一圆与内角平分线问题往往与线段和有关

1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝.

2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝，求CA+CBCD的值.

∠∠90︒

∠∠120︒

二圆中的外角问题往往与线段的差有关

4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝.

求BC－ACPC的值.

求PB－PAPO的值.

圆的培优专题7——与切线有关的角度计算

∠∠90︒