函数的最大小值与导数

值为8，最小值为-1
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一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或 极小值)
(2) 将 y=f(x) 的各极值与端点处函数值 f(a) f(b) 比较 , 其中最大的一个为最大值，最小 的 一个最小值.
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二、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值.
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益， 常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大 等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数 的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？
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教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包 括端点）处的函数中的最大（或最小）值 必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值 的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最 小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数 的极大值和极小值的区别与联系．
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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讲授新课
阅读课本判断下列命题的真假： 1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多 各有一个； 2、最大值一定是极大值； 3、最大值一定大于极小值；
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
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x2
0
x4 x3 b x
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f(a)
f(x2)
1.3.3函数的最大（小）值与导数
复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x )0 ,则 f ( x)为常数. 如果在某个区间内恒有 f (x
观察下列函数，作图观察函数最值情况： （1）f（x）=|x| （-2<x≤1)
-2 2 1 1
1 (2 f( ) x x ) (0 x 1) x
X （0≤x<2） 0
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（3）f（x）=
（x=2） 0 2
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归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的ห้องสมุดไป่ตู้线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
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三、用导数法求解函数极值的步骤：
(1) (2) (3) 右
的符号，并根据符号确定极大值与极 小 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 值.
求导函数f `(x)； 求解方程f `(x)=0； 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左
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新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最 大或最小,并不意味着它在函数的整个 的定义域内最大或最小。
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
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练习
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
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1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （1,2） 2 （2,5） 5 y， y
3
0 2
+
11
故函数 f(x) 在区间 [1 ， 5] 内的最大值 为11，最小值为2
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练 习
2、 函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的
最大值为(
A.-4 B.0
C
)
C.16 D.20
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3.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2] 15 上的最大值为 ，则a等于（ ）
例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间 [-1，4]内的最大值和最小值
解:f′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x
f ( x)
f ( x)
-1 （-1,2） 2
8
（2 ，4 ）
+
4
3
0
-1
故函数 f (x) 在区间 [-1 ， 4] 内的最大
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3 A. 2
1 B. 2
1 C. 2
3 D. 2 或
1 2
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4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间[2，2]上有最小值-37， （1）求实数a的值； （2）求f(x)在区间[-2，2]上的最大 值.
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知识要点：
小结
.函数的最大与最小值 ⑴设y = f(x)是定义在区间[a , b]上的函数,y = f(x) 在(a , b)内有导数,求函数y = f(x) 在区间[a , b] 上的最大最小值,可分两步进行: ①求y = f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较， 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。

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知识回顾
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
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2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M