第六章 测量误差的基本知识
第6章 测量误差的基本知识
研究测量误差的目的： 研究测量误差的目的：
分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果，求 分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果， 出最可靠值；评定测量结果的精度； 出最可靠值；评定测量结果的精度；通过研究误差发生的 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。
′ + 3′′,−2′′,−4′′,+2′′,0′′,−4′′,+3′′,+2′′,−3′′,−1′ ′ ′ ′ ′ 0′′,−1′,−7′′,+2′′,+1′,+1′,−8′′,0′′,+3′′,−1′
试计算甲、乙两组各自的观测精度。 试计算甲、乙两组各自的观测精度。 解:
m =± 甲
(+3′′)2 +(−2′′)2 +(−4′′)2 +(+2′′)2 +(0′′)2 +(−4′′)2 +(+3′′)2 +(+2′′)2 +(−3′′)2 +(−1′′)2
10Biblioteka = ±2.7′′m =± 乙
(0′′)2 +(−1′′)2 +(−7′′)2 +(+2′′)2 +(+1′′)2 +(+1′′)2 +(−8′′)2 +(0′′)2 +(+3′′)2 +(−1′′)2
10
′ = ±3.6′
比较m 可知， 比较 甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组 高。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测 结果之比，并化为分子为1的分数式 的分数式， 结果之比，并化为分子为 的分数式，即
第6章 误差理论的基本知识题目
第六章误差理论的基本知识一、填空题1、观测条件与精度的关系是 B 。
A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度大B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度低C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。
反之观测条件好，观测误差小，观测精度小2、防止系统误差影响应该 C 。
A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影响3、系统误差具有的特点为（ C ）。
A．偶然性 B．统计性 C．累积性 D．抵偿性4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（ B ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差5、下列误差中（ A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差Ｂ.横轴误差和指标差Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差6、经纬仪对中误差属（ A ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差7、尺长误差和温度误差属（ B ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差8、测量的算术平均值是 B 。
A. n次测量结果之和的平均值B. n次等精度测量结果之和的平均值C.是观测量的真值9、算术平均值中误差按 C 计算得到。
A. 白塞尔公式B. 真误差△。
C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。
A．系统误差 B．平均中误差 C．偶然误差 D．相对误差12、距离测量中的相对误差通过用（ B ）来计算。
A ．往返测距离的平均值B ．往返测距离之差的绝对值与平均值之比值C ．往返测距离的比值D ．往返测距离之差13、 衡量一组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差 Ｂ.允许误差 Ｃ.算术平均值中误差14、对某一量进行观测后得到一组观测值，则该量的最或是值为这组观测值的（ C ）。
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
第六章 测量误差的基本知识(习题课key)
第六章 测量误差的基本知识1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)尺长不准确 (2)尺不水平 (3)估读不准确 (4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)视准轴与水准轴不平行 (2)仪器下沉 (3)读数不正确 (4)水准尺下沉 (5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″ 44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″ 试求观测值的中误差。
解：Δ=+6、-5、-2、+4、+3、+4、0、-2、-1、-1、+6、+3[ΔΔ]=36+25+4+16+9+16+0+4+1+1+36+9=157 m=±3.62″4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？(不一定) 它们的最大限差是否相等？(相等) 它们的精度是否相等？(相等) 它们的相对精度是否相等？(不相等)5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。
6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。
高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差 (2)由B 点计算P 2点高程的中误差±6.38mm7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差 (2)分配闭合差后P 1点的高程中误差mm m H H h h h H h h h H h f h h mm m H H h h h H h h h H h f h h mmm mmm mmm H h h h H f h BA B A h h BA B A h h h h B A h 3/54361636123625)(61616165)(61122ˆ3441641241)(21212121)(21126ˆ46212321ˆ321321111ˆ321321222321±=⨯+⨯+⨯±=----=-+++-=-=±=⨯+⨯+⨯±=---+-=-+++-=-=±±=±=-+++=8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？(最多25站)9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。
第六章 测量误差的基本知识习题课
第六章 测量误差的基本知识习题课1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)尺长不准确(2)尺不水平(3)估读不准确(4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)视准轴与水准轴不平行(2)仪器下沉(3)读数不正确(4)水准尺下沉(5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″试求观测值的中误差。
4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等？5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。
6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。
高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差(2)由B 点计算P 2点高程的中误差7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差(2)分配闭合差后P 1点的高程中误差8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。
在测量工作中，真误差、中误差和容许误差都称为绝对误差。
第六章测量误差基本知识【教学目标】使学生掌握测量中测量误差的分类，偶然误差的特性，评定误差的标准及其应用。
【重点、难点】1、重点：测量误差的分类；偶然误差的特性；2、难点：观测值及算术平均值中误差。
【教学方法】本章内容理论性较强，讲授时条理清晰，每个基本概念定义均应举测量实例加以推导或说明。
6.1 概述一、测量误差的定义在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。
二、测量误差的产生测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。
而观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。
1 、外界环境主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。
2、仪器误差（1）仪器制造误差（2）检校残余误差3、观测误差观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等也会产生误差。
可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。
但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。
综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。
观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。
当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。
于是，我们称在相同条件下所进行的一组观测为等精度观测，而称在不同条件下所进行的一组观测为非等精度观测。
三、误差的种类（按性质划分）1、系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的数值和正负号按一定规律变化或保持不变（或者误差数值虽有变化而正负号不变），具有这种性质的误差称为系统误差。
例如，用一支名义长度为30m，而经检定后，其实际长度为29.99m的钢尺来量距，则每量30m的距离，就会产生1cm的误差，丈量60m的距离，就会产生2cm的误差。
第六章 测量误差
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论
第六章测量误差的基本理论1、在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？答：在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除仪器误差以及外界环境的影响。
2、在水准测量中，有下列各种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质：①视准轴与水准管轴不平行；②仪器下沉；③读数不正确；④水准尺下沉。
答：①视准轴与水准管轴不平行；仪器误差。
②仪器下沉；外界条件的影响。
③读数不正确；人为误差。
④水准尺下沉。
外界条件的影响。
3、偶然误差和系统误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？答：系统误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差。
偶然误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性的误差。
偶然误差具有以下统计特性（1）有界性（2）单峰性（3）对称性（4）补偿性4、什么是中误差？为什么中误差能作为衡量精度的指标？答：中误差是指同一组中的每一个观测值都具有这个值的精度5、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x和y相互独立，其m x=m y=m，求m z。
m m m m yx y x y x z z z y x z 1093222221=+±=+=-++=+=6、进行三角高程测量，按h=Dtan α计算高差，已知α=20°，m α=±1′，D=250m ，m D =±0.13m ，求高差中误差m h 。
m m D m m D h 094.0)20626560()20sec 250(13.0)20(tan )sec ()(tan 2222222222±=⨯⨯+⨯±=+±=ααα 7、用经纬仪观测某角共8个测回，结果如下：56°32′13″，56°32′21″，56°32′17″，56°32′14″，56°32′19″，56°32′23″，56°32′21″，56°32′18″，试求该角最或是值及其中误差。
极限配合与测量技术第六章 6.3 测量误差及数据处理
例如，机械比较仪为简化结构采用近似设计，测量杆的直线位移与 指针杠杆的角位移不成正比，这时，若标尺的等分刻度代替其理论上的 不等分刻度，就会产生原理性的示值误差。
又如，传动系统元件制造不准确所引起的放大比误差；传动系统元 件接触间隙引起读数不稳定误差以及磨损等因素都会产生测量误差。
（2）测量方法误差。
f1
0.01 100% 0.01% 100
f2
0.01 100% 0.001% 1000
显然，ƒ1>ƒ2表示后者的精确度比前者高。
3．测量误差产生的原因
综上所述，绝对误差和相对误差都用来判断测量的精确度。 由于存在测量误差，测得值不能真实地反映被测量的大小，这就 有可能歪曲了客观存在。
测量方法误差是测量方法不完善所产生的误差，它包括计算
公式不精确、测量方法不当和工件安装不合理等。
例如，对同一个被测几何量分别用直接测量法和间接测量法会产 生不同的方法误差。
再如，先测出圆的直径d，然后按公式：S=d计算出周长，由于 π取近似值，所以计算结果中带有方法误差。
（3）环境误差。
环境误差是指测量时，环境不符合标准状态所引起的测量误差。
2．测量误差的表示方法 （1）绝对误差δ。
绝对误差δ是测量结果x与其真值xo之差，即δ=x−xo由于测量
结果可大于或小于真值，因此绝对误差可能是正值或负值，即xo=x±δ。 这说明，测量误差的大小决定了测量的精确度。 δ越大精确度越低，反之则越高。 绝对误差可用来评定大小相同的被测几何量的测量精确度。 当被测尺寸不同时，要比较其精确度的高低，需采用相对误差。
6.3.2 测量误差的分类及其处理方法
根据测量误差出现的规律，可以将其分为系统误差、随机误差 和粗大误差3种基本类型。 1．系统误差及其处理方法 （1）系统误差。
第六章误差基本知识
最或然值（最可靠值）。
根据偶然误差的特性可取算术平均值作为
最或然值。
设对同一量等精度观测了n次，观测值为 l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值
也可表示成： x l1 l2 ln l
n
n
n
l
li
i 1
[l] x
n
n
证明（x是最或然值）
中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为1，分母取整数，称为相对中误差，
即：
Km 1 D Dm
相对中误差不能用于评定测角的 精度，因为角度误差与角度大小无关。
在一般距离丈量中，往返各丈量一次，
取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之
比，将分子化为1，分母取整数来评定距离
丈量的精度。称为相对误差。
经纬仪导线测量时，规范中所规定的相
对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限
误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则
是相对真误差。
与相对误差相对应，真误差、中误差、
极限误差等均称为极限误差又成为允许误差，或最大误差。
由偶然误差的第一个特性可知，在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值，测量上把这个限值叫做极 限误差。
在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的 中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差 作为偶然误差的极限误差，即
允 3m
在实际工作中，有的测量规 范规定以2倍中误差作为极限误 差，
即 允 2m
超过极限误差的误差被认为 是粗差，应舍去重测。
22
第三节 算术平均值及改正数
一、算术平均值
研究误差的目的除了评定精度外，还有求其
第一节 测量误差的概念
第六章 测量误差的基本知识
四、不同精度观测的最或然值
观测值 中误差 权 l1、 l2、 ……、 l n m1、m2、…… 、m n P1、 P2、……、 P n 。
(称为加权平均值）
µ
[ p]
[ Pvv] n −1
ˆ p l + p 2 l 2 + L + p n l n = [ pl ] L= 11 p1 + p 2 + L p n [ p]
二、单位权和单位权中误差
例：已知观测值 L 1 , L 2 , L 3 , 其中误差分别为 m 1 = ± 1 ′′, m 2 = ± 2 ′′, m 3 = ± 3 ′′, 则他们的权为 c0 c0 c0 1 1 当 c 0 = 1 ′′ 时， p 1 = 2 = 1 , p 1 = 2 = , p 1 = 2 = 4 9 m1 m2 m3
例2：用30米的钢尺丈量某两点间的水平距离L，恰好 为12个整尺段，每尺段 li 的中误差均相等，为 ml=±5mm,求该段水平距离及其中误差 ml、相对中误 差ml /L。
解法一：依题意，有
L = l 1 + l 2 + L + l 12 = 360 . 000 m mL = ml 12 = ± 17 . 3 mm mL 1 = L 21000 解法二： L = 12 × l = 360 . 000 m
对于直接平差，还有： ˆ [L ] − [L ] = 0 ˆ [v] = n L − [ L] = n n
四、观测值的中误差
问题的提出：
m=±
[∆∆]
n
式中△ i ＝L i —X ，( i = 1、2、…、n )。 由于真值一般难以知道那么真误差也就 难以求得，因此在实际工作中往往用观 测值的改正数v 来推求观测值的中误差。
第六章测量误差的基本知识
程测曰亠量理论教案授课教师：谢艳使用班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-教师授课教案课程名称：公路工程测量2013年至2014年第二学期第 _ 次课班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-5 编制日期：20丄年________ 月________ 日教学单元（章节）第六章测量误差的基本知识目的要求1、了解测量误差的概念。
2、掌握测量误差产生的原因3、了解测量误差的分类及其相应的处理方式。
4、掌握评定观测精度的标准及其相应的计算方式。
知识要点1、测量误差概念2、测量误差产生的原因3、测量误差的分类4、评定观测精度的标准技能要点分析问题能力教学步骤介绍测量误差的概念，了解测量误差的产生的原因、测量误差的分类。
介绍评定观测精度的标准。
练习中误差、容许误差、相对误差的计算方法。
教具及教学手段多媒体课件教学。
作业布置情况3题教学反思授课教师： ________ 谢艳_____________________ 授课日期：2014年____________________ 月_____ 日教学内容第六章测量误差的基本知识一、情境导入用PPT播放工程实例图片及其测量误差产生的原因，让学生对测量误差有一个微观上的了解。
讲解测量误差的来源：每一个物理量都是客观存在，在一定的条件下具有不以人的意志为转移的客观大小，人们将它称为该物理量的真值。
进行测量是想要获得待测量的真值。
然而测量要依据一定的理论或方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由具体的人进行。
由于实验理论上存在着近似性，方法上难以很完善，实验仪器灵敏度和分辨能力有局限性，周围环境不稳定等因素的影响，待测量的真值是不可能测得的，测量结果和被测量真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就叫做测量值的误差二、新课教学第一节概述1、测量误差概念：真值与观测值之差2、测量误差（△）=真值-观测值女口：测量工作中的大量实践表明，当对某一客官存在的量进行多次贯彻时，不论测量仪器多么的精密，贯彻进行的多么的细致，所得到的各观测值质检总是存在差异。
第六章 测量误差基本知识(2)
2.加权平均值的中误差（mx）
mx
m0 [ p]
3、单位权中误差m0
闫
超
[P] [PVV ]
德 制
m0
n
n 1
作
例题
例：如图，已知L1＝4Km，
L2＝2.5Km，L3＝8.5Km
HA＝78.324m，h1＝-7.980m；
HB＝64.347m， h2＝5.992m；
HC＝24.836m，h3＝45.516m
一、三角形观测闭合差的中误差
W 180 A B C mw mA2 mB2 mC 2
若mA mB mC m， 则mw 3m
A
αγ
β
C
B
mc=????
闫 超 德 制 作
A
α
β
C？
B
第五节 误差传播定律的应用
二、水准测量的误差分析
h h1 h2 hn
设每站高差中误差相等mhi mh ,则mh mh n
重”应该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的
“权”。
1、权的定义
➢ 权：观测值精度的可靠程度。
➢ “权”与中误差的平方成反比，观测值或观测值函数的 精度越高，其权越大 。
闫 超
➢ Pi=C/mi² （ C是常数）
德
制
作
一、不等精度观测和观测值的权
2、单位权
➢ 在Pi=C/mi²中，当Pi=1，称Pi为单位权 ➢ Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值; ➢ Pi=1时，C＝mi²，当权为1时， C常数等于观测值
h ltg 120 .25 tg1204700 27.28m
mh2
h l
ml
2
h
2
第六章 测量误差基本知识
0 . 05 m
，并测得倾斜角
m 3 0 ,
15 0 0 0 0
，
4其中误差 m 3 0s ，求相应水平距离D及其中误差。05 m .丈量倾斜距离 50 . 00 m , 其中误差 m s 0 .
15 0 0 0 0 ，其中误差
设某未知量的观测值为： l1 , l2 , , ln 该量的算术平均值为：
x l1 l2 ln n [l ] n
则该量的改正数： v i
[l ] n
li x li
[VV ] n 1
m
经推算：观测值的中误差
m
n
证明两式根号内相 等
1 l1 X
m1 L1 1 ,
2
1
,
m1
2
10000
L2
2000 L1
L2
即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在 本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全 长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能 超过1／2000或1／15000，它就是相对容许误差。
x
Z x1 x 2
m
2 x1
m
2 x2
Z k 1 x 1 k 2 x 2 ... k n x n k m
2 2 2 x2
2 2 k1 m x1
... k m
2 n
2 xn
例
丈量了斜距S=50.00m，其中误差 m s
并测得倾斜角 求相应水平距离 解： D s cos D s D cos cos 15
第六章 测量误差基本知识
i
偶然误差的特性：
1、有界性 2、趋向性 3、抵偿性
§6-2 评定精度的标准
一、精度 所谓精度，是指误差分布的集中与离散 程度，表示观测成果的精确程度。 二、中误差 真误差的平方的算术平均值的方根
m [] n
三、相对误差
k D D
K m L
四、极限误差
在实际观测中，大于2m出现的概率，大于3m 误差出现的概率‰，有限次观测，小概率出现的 机会很小，因而以2m或3m为极限误差。
2 2
, m2 , mn
2
得到和差函数的中误差： m
Z
m1 mz mn
例3：分段丈量一直线AC上的两段距离AB、BC，丈量结 果 AB=150.15m ， BC=210.24m ， 其 中 误 差 分 别 为 m AB 0.12m mCD 0.16m ，求AC全长及其中误差
设每个角度的测角中误差为 m ，则角度闭合差的中误 差为 m m n
如果以2倍的中误差为极限误差，则允许的n边多边形 的角度闭合差为：
2m n
例1：设水平角的测角中误差 m 18" ，则三角形的角 度闭合差的限差应为： 2m n 2 18" 3 60"
三、水准测量的精度
（一）水准仪两次测定高差的限差
假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量，求一 次测定的高差中误差和两次测定高差之差的中误差。 （1）设用DS3级水准仪前视或后视在水准尺上的读数中误 差： m 1mm 则一次测定高差的中误差为： h m 2 1.4mm m （2）两次测定高差之差的计算式为 h h 差的中误差为： m m 2 2mm
2 2 2 2
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工程测量理论教案授课教师：谢艳使用班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-5教师授课教案课程名称：公路工程测量2013年至2014年第二学期第次课班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-5 编制日期：20 14 年月日教学单元（章节）第六章测量误差的基本知识目的要求1、了解测量误差的概念。
2、掌握测量误差产生的原因3、了解测量误差的分类及其相应的处理方式。
4、掌握评定观测精度的标准及其相应的计算方式。
知识要点1、测量误差概念2、测量误差产生的原因3、测量误差的分类4、评定观测精度的标准技能要点分析问题能力教学步骤介绍测量误差的概念，了解测量误差的产生的原因、测量误差的分类。
介绍评定观测精度的标准。
练习中误差、容许误差、相对误差的计算方法。
教具及教学手段多媒体课件教学。
作业布置情况3题教学反思授课教师：谢艳授课日期：2014年月日教学内容第六章测量误差的基本知识一、情境导入用PPT播放工程实例图片及其测量误差产生的原因，让学生对测量误差有一个微观上的了解。
讲解测量误差的来源：每一个物理量都是客观存在，在一定的条件下具有不以人的意志为转移的客观大小，人们将它称为该物理量的真值。
进行测量是想要获得待测量的真值。
然而测量要依据一定的理论或方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由具体的人进行。
由于实验理论上存在着近似性，方法上难以很完善，实验仪器灵敏度和分辨能力有局限性，周围环境不稳定等因素的影响，待测量的真值是不可能测得的，测量结果和被测量真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就叫做测量值的误差二、新课教学第一节概述1、测量误差概念:真值与观测值之差测量误差（△）=真值-观测值如：测量工作中的大量实践表明，当对某一客官存在的量进行多次贯彻时，不论测量仪器多么的精密，贯彻进行的多么的细致，所得到的各观测值质检总是存在差异。
同一量各观测值质检，以及观测值与其真实值（简称为真值）质检的差异，称为建筑测量误差。
2、误差产生的原因：仪器设备、观测者、外界环境测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。
观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
具体来说，测量误差主要来自以下四个方面：(1) 外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。
(2) 仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。
(3) 方法理论公式的近似限制或测量方法的不完善。
(4) 观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。
3、测量误差分类系统误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。
例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005 m，则每量尺，就带有+0.005 m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。
所以这种误差与所丈量的距离成正比。
再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为l*i″/ρ″（ρ″=206265″，是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水准尺之间的距离l成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。
但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。
∙偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。
例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。
但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。
而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。
偶然误差具有如下四个特征：①在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(本例为1.6″)；②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)；③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；④在相同条件下，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。
∙粗大误差在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差称为粗大误差，一般地，给定一个显著性的水平，按一定条件分布确定一个临界值，凡是超出临界值范围的值，就是粗大误差，它又叫做粗误差或寄生误差。
产生粗大误差的主要原因如下：⑴客观原因：电压突变、机械冲击、外界震动、电磁（静电）干扰、仪器故障等引起了测试仪器的测量值异常或被测物品的位臵相对移动，从而产生了粗大误差；⑵主观原因：使用了有缺陷的量具；操作时疏忽大意；读数、记录、计算的错误等。
另外，环境条件的反常突变因素也是产生这些误差的原因。
粗大误差不具有抵偿性，它存在于一切科学实验中，不能被彻底消除，只能在一定程度上减弱。
它是异常值，严重歪曲了实际情况，所以在处理数据时应将其剔除，否则将对标准差、平均差产生严重的影响。
∙误差处理随机误差处理的基本方法是概率统计方法。
处理的前提是系统误差可以忽略不计，或者其影响事先已被排除或事后肯定可予排除。
一般认为，随机误差是无数未知因素对测量产生影响的结果，所以是正态分布的，这是概率论的中心极限定理的必然结果。
减小误差的方法1、选用精密的测量仪器;2、多次测量取平均值第二节评定观测精度的标准精度：是指误差分布的离散程度。
衡量精度的指标：1、中误差设在相同观测条件下，对某个真值为的量进行了次观测，得到观测值分别为，每次观测的真误差用表示，则定义中误差：中误差与精度成反比，即中误差越大，该组观测值精度就越低；反之，精度越高。
2、相对误差误差的绝对值与观测值之比。
采用中误差的绝对值与观测值的比值作为衡量精度的指标，称为相对中误差，简称相对误差，一般用表示，并化为分子为1的分数形式，即3、容许误差（极限误差）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是容许误差，一般用表示。
容许误差有时也称为限值误差,取2倍或3倍的中误差作为偶然误差的容许误差。
即△容=±2m、△容=±3m三、课堂练习1、测量误差来源于（ A ）。
A.仪器、观测者、外界条件B.仪器不完善C.系统误差D.偶然误差2、用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于（ D ）。
A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差3、真误差是观测值与（ A ）之差。
A.真值B.观测值与正数C.中误差D.相对误差4、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于（ B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差5、用名义长度为30 m的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004 m，用此钢尺丈量AB两点距离，由此产生的误差是属于（ C ）。
A.偶然误差B.相对误差C.系统误差D.绝对误差6、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是（ B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差7、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于（ A ）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8、衡量一组观测值精度的指标是（ A ）。
A.中误差B.相对误差C.平均误差D.容许误差9、在距离丈量中衡量精度的方法是用（ B ）。
A.绝对误差B.相对误差C.标准差D.中误差10、工程测量中的最大误差一般取其中误差的（ A ）。
A.2倍B.1倍C.3倍D.以上都不是11、对三角形进行5次等精度观测，其真误差（闭合差）为：+04″；-03″；+01″；-02″；+06″，则该组观测值的精度（ B ）。
A.不相等B.相等C.最高为+01″D.最低为-02″12、某基线丈量若干次计算得到平均长为540m，平均值之中误差为±0.05m，则该基线的相对误差为（ C ）。
A.0.0000925B.1/12000C.1/10000D. 1/900013、根据观测误差对测量结果影响的性质，观测误差可以分为（ AE ）。
A.系统误差B.粗差C.或然误差D.极限误差E.偶然误差14、粗差的形式有（ ABCDE ）。
A.读错B.记错C.测错D.听错E.超限15、衡量精度的指标（ ADE ）。
A.中误差B.系统误差C.偶然误差D.容许误差E.相对误差16、容许误差规定为相应中误差的（ BC ）。
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍E.5倍1、测量误差产生的原因有（仪器误差）、（观测误差）、（外界环境）。
2、观测误差按性质可分为（系统误差）和（偶然误差）两类。
3、误差按其性质分类分为系统误差、偶然误差，有时还会出现（粗差）。
4、测量误差大于（极限误差）时，被认为是错误，必须重测。
5、真误差为（真值）与（观测值）之差。
6、衡量观测值精度的指标是（中误差）、（容许误差）和（相对误差）。
7、直线丈量的精度是用（相对误差）来衡量的。
8、中误差越小，观测精度越（高）。
9、测量中通常取（2倍）或（3倍）中误差作为偶然误差的容许误差。
10、有两条直线，AB的丈量相对误差为1/3200，CD的丈量相对误差为1/4800，则AB的丈量精度（低于）CD的丈量精度。
11、用钢尺分别丈量了两段距离，AB段长100m，CD段长200m，丈量两段的中误差均为±0.02m，则AB段比CD段丈量精度（低）。
12、某线段长度为300m，相对误差为1/1500，则该线段中误差为（±0.2m）。
四、归纳小结学习本章以概念为主弄清以下各主要问题：测量误差分类及其产生的原因，偶然误差的特性，评定观测值精度的标准，误差传播定律及其应用。
1、测量误差概念: 真值与观测值之差。
测量误差（△）=真值-观测值2、测量误差产生的原因：仪器设备、观测者、外界环境。
3、测量误差分类：系统误差、偶然误差、粗差4、评定观测值精度的标准：1）中误差2）容许误差3）相对误差五、作业布臵课后练习1、2、6.六、安全教育测量人员必须从思想上爱护仪器，养成正确使用仪器的良好习惯，要认证做好记录，要求正确、清洁、干净。