函数概念的综合应用精品PPT课件
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函数的应用课件ppt课件ppt
然后根据复合函数的解析式确定图像的变换方式。
03
复合函数的性质
复合函数具有一些特殊的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。这些性
质可以通过分析复合函数的解析式和基本初等函数的性质来得出。
03
函数在实际问题中应用
经济学中函数应用
需求分析
通过构建需求函数，描述 商品价格与需求量之间的 关系，帮助企业预测市场 变化。
不等式在解决实际问题中的应用
通过建立不等量关系式，即不等式，来求解实际问题中的范围或最优解。例如，求解经 济中的最优化问题、工程中的约束条件问题等。
方程和不等式在解决实际问题中的综合应用
有些问题既需要建立等量关系又需要建立不等量关系，这时就需要综合运用方程和不等 式来求解。例如，求解金融中的投资组合问题、物流中的运输优化问题等。
分析和设计。
04
微分学在函数研究中应用
微分学基本概念与性质
微分定义
微分是函数局部变化率的线性近似，描述了函数 在某一点附近的变化趋势。
微分性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质 ，这些性质在解决复杂问题时非常有用。
高阶微分
高阶微分描述函数更高层次的变化率，如加速度 、加加速度等。
微分法在函数研究中应用
函数与方程关系探讨
函数与方程的联系
方程是函数值为零的特殊情况，函数图像与x轴的交点即为方程的 解。
函数与方程的区别
函数表示一种对应关系，而方程则表示一种等量关系。
函数思想在解方程中的应用
通过构造函数，利用函数的性质（如单调性、连续性等）来求解方 程。
函数与不等式关系探讨
函数与不等式的联系
不等式可以看作是函数值大于或小于零的情况，函数图像在x轴上 方的部分对应不等式大于零的解集，下方的部分对应小于零的解
函数 ppt课件ppt
SUMMAR Y
03
函数的运算
函数的四则运算
01
加法运算
将两个函数的值分别相加，得到一 个新的函数。
乘法运算
将两个函数的值分别相乘，得到一 个新的函数。
03
02
减法运算
将一个函数的值减去另一个函数的 值，得到一个新的函数。
除法运算
将一个函数的值除以另一个函数的 值，得到一个新的函数。
04
复合函数
周期性
总结词
函数值按照一定周期重复。
详细描述
函数的周期性是指函数的值会按照一定的周期重复。这个周期可以是任何非零的 常数，并且可以用于预测函数在未来的行为。例如，正弦函数和余弦函数都是具 有周期性的函数，它们的值会按照一定的周期重复。
奇偶性
总结词
函数图像关于原点对称是奇函数，关于y轴对称是偶函数。
多项式函数
由多项式表示的函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内。
详细描述
函数的有界性是指函数的值不会无限增大或减小，而是在一定的范围内变化。 这个范围可以是有限的，也可以是无限的。有界性是函数的一个重要性质，它 有助于我们更好地理解和分析函数的性质和行为。
表格法
通过表格列出输入值和对应的输出值来表示函数 ，适用于离散型函数。
函数的分类
分段函数
在定义域内由不同的数学表达 式或图像表示不同区间的函数 。
线性函数
输出值与输入值成正比关系的 函数，即 $f(x) = ax + b$。
函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
大数据与函数应用
随着大数据技术的不断发展，函 数应用将更多地涉及到大规模数 据的处理和分析，需要更加高效
和稳定的技术支持。
大数据技术将促进函数应用的个 性化发展，使得函数能够更好地 满足不同用户的需求，提升用户
体验。
大数据技术将提升函数应用的预 测能力和决策支持能力，使得函 数能够更好地服务于商业智能和
05
未来函数应用的发展趋势
深度学习与函数应用
深度学习技术将进一步拓展函数应用的领域，特别是在图像识别、语音识别、自然 语言处理等领域，将会有更多的函数应用出现。
深度学习技术将提升函数应用的精度和效率，使得函数能够更好地满足复杂场景的 需求。
深度学习技术将促进函数应用的自动化和智能化，使得函数能够更好地适应不断变 化的环境和需求。
成本与收益
经济增长
在经济增长研究中，函数可以描述国 民生产总值、人均收入等经济指标随 时间的变化规律，用于预测经济发展 趋势和制定经济政策。
在经济分析中，函数用于表示成本、 收益与产量或销售量之间的关系，用 于制定经济决策和评估经济效益。
03
函数的应用实例
三角函数在物理中的应用
总结词 正弦函数 余弦函数 正切函数 应用实例
运动学
在物理学中，函数可以描述物体运动的速度、加速度、位移等物理量随时间的变化规律。
波动
函数可以描述波动现象，如正弦波、余弦波、波动方程等。
热力学
在热力学中，函数可以描述温度、压力、体积等物理量之间的关系，用于研究热力学的性质和变 化规律。
工程领域
控制系统
在工程控制系统中，函数用于描 述系统的输入和输出之间的关系 ，通过调节系统参数实现控制目
解决周期性问题
描述简谐振动、交流电等周 期性现象。
函数的应用ppt课件ppt课件
算法设计
算法是计算机科学中的核心概念之一。函数可以用来设计和实现各种算 法，通过比较不同算法的性能和效率，可以找到最优的解决方案。
03
软件工程
在软件工程中，函数是实现软件功能的基本单元之一。通过合理地组织
函数之间的关系和调用逻辑，可以提高软件的可维护性和可扩展性。
函数在工程学中的应用
机械工程
在机械工程中，函数可以用来描述机械系统的运动规律和特性。例如，通过分析曲线的变化趋势和特征，可以优化机 械系统的设计和性能。
函数与其他数学领域的结合
函数与几何的结合
探索函数图像的几何性质，如对称性、周期性等，加深对函数性 质的理解。
函数与代数的结合
利用代数技巧和方法研究函数的性质，如求导、积分等，进一步拓 展函数的应用范围。
函数与概率统计的结合
将概率统计的思想和方法应用于函数分析，研究随机过程和随机函 数的性质。
函数在交叉学科中的应用
电磁学
在电磁学中，电场和磁场可以用函数来表示，通过分析这 些函数的性质和变化规律，可以了解电磁波的传播和电磁 力的作用机制。
函数在计算机科学中的应用
01 02
数据处理
在计算机科学中，数据处理和分析是核心任务之一。函数可以用来表示 和处理数据，通过分析数据的变化规律和特征，可以挖掘出有价值的信 息。
1 2
函数在物理中的应用
利用函数描述物理现象和规律，如波动方程、热 传导方程等。
函数在经济中的应用
分析经济数据的规律和趋势，预测经济发展趋势 ，为决策提供依据。
3
函数在生物医学中的应用
研究生物体内各种生理指标的变化规律，为医学 研究和临床诊断提供支持。
函数在人工智能领域的应用
01
算法是计算机科学中的核心概念之一。函数可以用来设计和实现各种算 法，通过比较不同算法的性能和效率，可以找到最优的解决方案。
03
软件工程
在软件工程中，函数是实现软件功能的基本单元之一。通过合理地组织
函数之间的关系和调用逻辑，可以提高软件的可维护性和可扩展性。
函数在工程学中的应用
机械工程
在机械工程中，函数可以用来描述机械系统的运动规律和特性。例如，通过分析曲线的变化趋势和特征，可以优化机 械系统的设计和性能。
函数与其他数学领域的结合
函数与几何的结合
探索函数图像的几何性质，如对称性、周期性等，加深对函数性 质的理解。
函数与代数的结合
利用代数技巧和方法研究函数的性质，如求导、积分等，进一步拓 展函数的应用范围。
函数与概率统计的结合
将概率统计的思想和方法应用于函数分析，研究随机过程和随机函 数的性质。
函数在交叉学科中的应用
电磁学
在电磁学中，电场和磁场可以用函数来表示，通过分析这 些函数的性质和变化规律，可以了解电磁波的传播和电磁 力的作用机制。
函数在计算机科学中的应用
01 02
数据处理
在计算机科学中，数据处理和分析是核心任务之一。函数可以用来表示 和处理数据，通过分析数据的变化规律和特征，可以挖掘出有价值的信 息。
1 2
函数在物理中的应用
利用函数描述物理现象和规律，如波动方程、热 传导方程等。
函数在经济中的应用
分析经济数据的规律和趋势，预测经济发展趋势 ，为决策提供依据。
3
函数在生物医学中的应用
研究生物体内各种生理指标的变化规律，为医学 研究和临床诊断提供支持。
函数在人工智能领域的应用
01
函数的应用课件(共20张PPT)
解 设提高x个2元，则将有10x辆电瓶车空出，且租金 总收人为
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
《函数》PPT课件
微分的概念
3 微分是函数在某一点处的
线性逼近，表示函数值随 自变量微小变化时的近似 值。
Part
04
函数的实际应用
函数在生活中的应用
函数在经济学中的应用
函数可以用来描写经济活动中的各种关系，例如供需关系 、消费和收入的关系等，帮助我们理解经济规律和猜测未 来的趋势。
函数在计算机科学中的应用
计算机程序中的算法和数据结构可以用函数来表示和实现 ，函数是计算机科学中实现复杂功能的基础。
通过分析函数图像的对称性、极值点、单 调性等性质，可以解析出函数的性质。
利用图像解方程
利用图像研究实际问题
通过视察函数图像与x轴的交点，可以解出 函数的方程根。
通过将实际问题转化为数学模型，并利用 函数图像进行分析，可以解决一些实际问 题。
THANKS
感谢您的观看
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴 方向平移一定的距离。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴 方向上伸缩一定的比例
。
翻转变换
将函数图像沿x轴或y轴 翻折。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转 一定的角度。
函数图像的辨认与解析
辨认函数类型
ห้องสมุดไป่ตู้
解析函数性质
通过视察函数图像的形状、趋势和特征， 可以辨认出函数的类型（如一次函数、二 次函数、三角函数等）。
复合函数的单调性
根据复合函数的单调性定理，判 断复合函数的单调性。
函数的导数与微分
导数的概念
导数描写了函数在某一点
1
处的切线斜率，是函数值
随自变量变化的瞬时速度
。
微分的计算
4
通过微分的定义和基本初 等函数的微分公式，计算 函数的微分。
函数的综合应用PPT教学课件
的取值范围是______0_，_11_0____1_0_，____ ______.
3.在区间
1 2
，2上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点值取 是得( C最) 小值(，A)f5(x4)min＝(B3)1，34那么f((xC)在)4 区间(D12)，82上最大
返回
4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
1
x
1 x2
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右 各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸张面积最小?
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意
等式成立的充要条件.另外本题也可它
们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程 ，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形 式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方 程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便 是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
世界气温的分布规律
➢赤道及其附近地区气温最高，由赤道向两极，气 温逐渐降低。
3.在区间
1 2
，2上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点值取 是得( C最) 小值(，A)f5(x4)min＝(B3)1，34那么f((xC)在)4 区间(D12)，82上最大
返回
4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
1
x
1 x2
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右 各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸张面积最小?
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意
等式成立的充要条件.另外本题也可它
们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程 ，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形 式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方 程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便 是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
世界气温的分布规律
➢赤道及其附近地区气温最高，由赤道向两极，气 温逐渐降低。
函数运用ppt课件
04
在几何中，函数可以描述图形之间的关系，如直线、 曲线、曲面等。
函数在物理中的应用
物理中许多现象都可以用函数来 描述，如速度、加速度、力等。
在热学中，函数可以描述温度、 压力等物理量的变化规律。
在力学中，函数被用来描述物体 的运动轨迹和受力情况。
在电磁学中，函数可以描述电场 、磁场和电流等物理量的变化规 律。
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法、图象法和列举法 等。
列举法是通过列举所有可能的输 入值和对应的输出值来表示函数 ，适用于简单函数或离散型函数 。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、 单调性、周期性和对称性 等。
对称性是指函数图像关于 某一直线或点对称的性质 。
奇偶性是指函数图像关于 原点对称或关于y轴对称 的性质。
Part
03
函数的实际应用
函数在数学中的应用
函数在数学中有着广泛的应用，它是描述变量之间关 系的一种重要工具。在数学领域，函数被用于解决各
种问题，如代数、几何、微积分等。
输标02入题
在代数中，函数被用来表示变量之间的关系，可以解 决方程和不等式问题。
01
03
在微积分中，函数是研究变化率和积分的基础，可以 解决优化、极值和积分等问题。
实际应用
例如，在投资组合优化中，最值可以用来确定最 优投资组合，在生产计划中，最值可以用来确定 最优生产计划等。
极值与最值的实际应用
极值的应用
例如，在天气预报中，通过分析气象数据的变化率，可以预测天气变化的趋势；在股票 市场中，通过分析股票价格的变动率，可以预测股票价格的走势。
最值的应用
例如，在城市规划中，通过分析人口分布和土地利用情况，可以确定最优的城市规划方 案；在物流管理中，通过分析运输成本和运输时间，可以确定最优的运输路线和方案。
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
函数概念ppt课件
复合函数的运算规则
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
函数的概念(优秀课)ppt课件
函数的表示方法
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
解析法、列表法和图象法。
函数的定义域、值域与对应关系
01
函数的定义域
使函数有意义的自变量$x$的 取值范围。
02
函数的值域
函数值的集合，即${ y|y=f(x),x in D}$。
03
函数的对应关系
自变量$x$与因变量$y$之间的 对应法则。
函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
奇偶性
01
角度计算
反三角函数可以用于计算角度，如已知三角形的两边长，可以利用反正
弦或反余弦函数计算出夹角。
02
工程应用
在工程中，反三角函数常用于解决与角度、长度等相关的实际问题，如
建筑设计、机械制造等领域。
03
复合函数
反三角函数可以与其他函数组合形成复合函数，用于解决更复杂的数学
问题。例如，可以将反三角函数与多项式、指数函数等进行复合，得到
0，+∞）上是减函数。
指数函数与对数函数的应用举例
增长率问题
通过指数函数可以描述某些量的增长速 度，如人口增长、细菌繁殖等。
利息计算
通过指数函数可以计算复利问题中的本 金和利息。
对数运算
通过对数函数可以简化某些复杂的运算 ，如计算幂、开方等。
数据分析
通过对数函数可以对某些数据进行归一 化处理，以便更好地进行数据分析和可 视化。
对数函数的图像与性质
对数函数的定义
形如y=log_a x（a>0且a≠1） 的函数称为对数函数。
对数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值也增大；当 0<a<1时，图像在x轴下方，且
随着x的增大，y值减小。
对数函数的性质
函数的概念ppt课件
函数的特性
确定性
对于给定的输入值，函数总是产生一个唯一的 输出值。
可计算性
函数可以在有限的步骤内计算出输出值。
可重复性
对于相同的输入值，函数总是产生相同的输出值。
函数的类别
多项式函数
由多项式组成的函数，如二次 函数、三次函数等。
指数函数
输出值与输入值的指数相关的 函数。
线性函数
输出值与输入值成正比关系的 函数。
极限的分类
根据函数趋于某点的不同方 式，极限分为左极限和右极 限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、 局部保号性等性质。
极限的运算性质
极限的加减乘除法则
极限的加减乘除运算法则可以用来计算极限。
极限的复合运算
复合运算是指将多个基本运算组合在一起进行计算。
重要极限及其推论
重要极限是极限计算中常用的几个基本极限，它们具 有形式简单、应用广泛的特点。
优化组织管理
在组织管理中，函数可以用来优化流程和资源配置，提高组织效率和 绩效。
1.谢谢聆 听
对应关系
自变量与因变量之 间的对应关系。
变量
函数中的自变量和 因变量。
定义域
函数中自变量的取 值范围。
解析式
用数学表达式来表 示函数关系。
值域
函数中因变量的取 值范围。
图表法表示函数
坐标系
建立直角坐标系，以横轴表示自变量，纵轴 表示因变量。
连线
描点
根据函数的对应关系，在坐标系上描出相应 的点。
用平滑的曲线将这些点连接起来，形成函数 图像。
函数的连续性
连续性的定义
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数 值，则函数在该点连续。
函数教学 ppt课件ppt课件
总结词
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
详细描述
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
详细描述
在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
详细描述
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
详细描述
在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。
函数的应用课件ppt课件ppt课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
偶性、单调性、周期性和对称性等。
函数的运算和变换
重点回顾了函数的基本运算，如函数的加法、减法、乘法和除法 等。此外，还总结了函数的复合、反函数和复合函数等概念及其
性质。
函数的实际应用
通过具体实例，展示了函数在实际问题中的应用，如线性函数 、二次函数、指数函数和对数函数等在实际问题中的应用。
下章预告
05
函数的应用案例分析
案例一：斐波那契数列
斐波那契数列是一个经典的数学函数，它描述了一个数列，其中每个数字是前两个 数字的和。
在生物学、物理学和计算机科学等领域，斐波那契数列有广泛的应用，例如在研究 植物生长、地震周期和股票市场等方面。
通过使用斐波那契数列，我们可以模拟自然界的许多现象，并更好地理解它们的内 在规律。
用于求解微积分问题，如求导数、积 分等。
三角函数
用于研究三角形、圆和其他几何形状 的性质。
函数在物理中的应用
运动学函数
描述物体的位置、速度和加速度 随时间的变化。
波动函数
描述波的传播、振动和波动现象。
电学函数
描述电流、电压和电阻等电学量的 变化。
函数在日常生活中的应用
01
02
03
经济函数
描述商品价格、需求和供 给等经济现象的变化。
函数的导数和微积分
介绍函数的导数概念、求导法则和微积分的基本概念。通过学习导数和微积分， 可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决实际问题提供更有效的工具。
多元函数和向量函数
介绍多元函数的概念、性质和运算，以及向量函数的概念、表示和运算。通过学 习多元函数和向量函数，可以更好地处理多变量问题，为解决实际问题提供更全 面的视角和方法。
《函数的应用》课件
02
未来函数的发展趋势可能包括 更加复杂的函数类型、更加深 入的函数性质研究以及更加广 泛的实际应用。
03
未来的研究方向可能包括探索 新的函数类型、研究函数的性 质和特征、以及将函数应用于 更多的实际问题中。
THANKS
感谢观看
系也可以用线性函数来描述。
指数函数的应用实例
总结词
指数函数在描述增长和衰减现象时非常 有用，如人口增长、复利计算等。
VS
详细描述
指数函数是一种特殊的函数形式，它描述 了变量以固定比率变化的关系。在现实生 活中，很多问题都可以通过指数函数来描 述和解决。例如，在生物学中，人口增长 可以用指数函数来描述；在金融学中，复 利计算也可以用指数函数来表示。
义。
04
函数在数学中还被用于描述和解决一些实际问题，如 概率分布、统计推断等问题。
函数在物理中的应用
01
函数在物理学中也有着广泛的应用，它是描述物理现象和规律的重要 工具。
02
在物理学中，函数被用于描述各种物理量之间的关系，如力、速度、 加速度等。
03
通过函数，我们可以更好地理解和分析物理现象和规律，并利用这些 规律解决实际问题。
对数函数的应用实例
总结词
对数函数在科学计算、统计学和经济学等领 域有着广泛的应用。
详细描述
对数函数是一种特殊的函数形式，它描述了 变量之间对数比例变化的关系。在现实生活 中，很多问题都可以通过对数函数来描述和 解决。例如，在物理学中，声音的传播可以 用对数函数来描述；在统计学中，数据的分 布可以用对数函数来拟合；在经济学中，复
函数的表示方法
总结词
列举函数的表示方法
详细描述
函数可以通过解析式、表格、图象等方式来表示，这些表示方法各有优缺点，适用于不同的情况。
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
函数及其应用课件
函数图像的变换与平移
横向压缩
纵向压缩
横向伸缩
纵向伸缩
设函数f(x)的图像向左平移a 个单位长度，得到y=f(x+a) 的图像；若向右平移a个单 位长度，得到y=f(x-a)的图
像。
设函数f(x)的图像向下平移b 个单位长度，得到y=f(x)-b的 图像；若向上平移b个单位长 度，得到y=f(x)+b的图像。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如单调性 、奇偶性、周期性等。这些性质描述 了函数在不同区间上的变化趋势和特 征。
函数的分类与表示
函数的分类
根据不同的分类标准，函数可以分为不同的类型。例如，根据定义域的不同， 函数可以分为离散型和连续型；根据值域的不同，函数可以分为有限型和无限 型。
函数的表示
函数可以用不同的方式来表示，如解析式、图象、表格等。不同的表示方式可 以让我们更方便地理解和研究函数的性质和特点。
积分是微分的逆运算，它用于求解函数与坐标轴所围成的面积。积分的
计算方法包括定义、基本初等函数的积分、不定积分与定积分的计算等
。
导数的定义与性质分析
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线斜率。导数的定义公 式为$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。
设函数f(x)的图像向左平移a 个单位长度后，再在横向上 压缩k倍，得到y=k·f(x+a)的 图像；若向右平移a个单位长 度后，再在横向上压缩k倍，
得到y=k·f(x-a)的图像。
设函数f(x)的图像向下平移b 个单位长度后，再在纵向上 压缩k倍，得到y=k·f(x)-b的 图像；若向上平移b个单位长 度后，再在纵向上压缩k倍，
函数概念的综合应用PPT精品课件
• ②火车、汽车、电车等交通城市工具日趋重要。 • (2)不平衡：交通工具的更新在__________
比较显著。
• 2．人力牵引
• (1)人力车：是近代城镇中重要的交通工具，
数量众多。
50
• (2)自行车：19世纪中后期传入中国，20世纪
__________年代以后，自行车成为人们日常
生活主要的代步工具。
• (3)电话：
• ①开端：1882年，传入中国。 • ②发展：1949年11月，中华人民邮共电和部国
__________成立，邮政和电信合一。
• ③地位：目前中国电话用户总数居世界第一 位。
• 2.近代通讯事业的发展主要是受第二次工业 革命的影响。近代阻碍中国邮电通信事业发 展的因素有哪些？
• 近代中国人的愚昧迷信；清政府观念的落后； 列强的侵略和控制；近代经济发展的滞后； 中国政局的动荡等。
• (6)磁悬浮列车：2003年__________磁悬浮 列车是世界上第一条商业化运营的磁悬浮列 车专线。
• (7)飞机：起始于20世纪20年代初，30年代中 期已形成覆盖大半个中国的航空网。新中国
• 4．现代交通的发展特点
• (1)发展快速：所有省份实现了飞机的运营。
• (2)层次多样：传统的和现代化的交通工具并 行应用。
• ③列强为了扩大在华的经济利益，加强对中 国的控制，镇压中国人民的反抗，始终凭借 强大的经济实力控制和操纵中国的交通。
• ④中国各地经济发展严重不平衡，这就决定 了各地交通发展的不平衡。
• (2013·广东广州联考)新中国的火车经过了蒸 汽机车、内燃机车、高速列车的发展历程， 其根本原因是( )
合作探究
• 【史料】
• 材料一 1880年刘铭传奏请修建铁路，刘锡 鸿等众多官员纷纷反对，理由是修建铁路 “不可行者八，无利者八，有害者九”。如 每造铁路“山川之神不安，即旱潦之灾易 召”，火车飞行，“路稍不平，则或激轮而 全车皆碎”，仿西洋造火车，借英、法等国 金钱，无由归还，“诸强邻遂相凌逼，几至 亡国”。清政府认为“铁路断不宜开”的观 点不无道理，遂搁置修路倡议。
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1 x2
()
A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
函数y=1+x2(x∈R)的值域是［1,+∞).当x趋向于+∞时，
y=
1 x
的函数值趋近于0.
类型 二 求函数值域问题 【典型例题】 2.求下列函数的值域. (1)y=3-4x,x∈(-1,3］. (2)y=x2-4x+6,x∈［1,5). (3)y= 3x 1 (提示：x函1数y=3xx1的1 分子和分母都含有自变量x，是否可以 将其变形为只有分母含有自变量x的形式?） (4)y=2x – 根号下（x-1)
【拓展提升】求形如f(g(x))的函数的定义域的方法 (1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域 由g(x)∈D,求出x的范围, 即得到f(g(x))的定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为D，求f(x)的定义域 由x∈D, 求出g(x)的范围，即得到f(x)的定义域.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
第2课时 函数概念的综合应用
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域.
函数相等
g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈［0,1).
1.函数f(x)=3x-4的定义域是[1,4]，则其值域是( ) A.{-1,8} B.［-1,8］ C.(-1,8) D.R
＝ f 2x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【解析】选B.因为f(x)的定义域为［0,2］，所以对于函数
函数相等 1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致. 2.结论:两个函数相等.
函数相等 1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致. 2.结论:两个函数相等. 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( ) (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了.( )
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【易错误区】判断两个函数是否相等时忽视定义域致误
【典例】下列各组函数中是相等函数的是( ) A. y＝x＋1与y＝ x2－1
x－1
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x+1)2与y＝x2
D.f(x)= 1 ,g(x)= x 10
2
2
2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由.
(1)y= x 1 x 1 ,y= x2 1 (2)y= 1 x 1 x ,y= 1 x2
【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( )
①y= x2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x2 1与y=x-1
类型 二 求函数值域问题 【典型例题】 1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
1 x2
() A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
（提示：当x趋向于+∞时，y=1x 的函数值是如何变化的？）
类型 二 求函数值域问题
【典型例题】 1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
【典型例题】
1.(2013·呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义域是
［0,2］，则函数g(x)=f(x+ 1 )+f(x- 1 )的定义域是( )
2
2
A.［0,2］
B.［- 1 , 3 ］
22
C.［ 1 , 5 ］
D.［ 1 , 3 ］
22
22
2.已知y=f(2x+1)的定义域为［1,2］. (1)求f(x)的定义域. (2)求f(2x-1)的定义域
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域;
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域. (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法 得到.
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法. ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函 数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+ cx (d其中 a,b,c,d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法. ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
提示：y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它的含义是x∈［1,2］还 是 2x+1∈［1,2］?
2.已知y=f(2x+1)的定义域为［1,2］. (1)求f(x)的定义域. (2)求f(2x-1)的定义域.
提示：y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它的含义是x∈［1,2］还 是 2x+1∈［1,2］? 定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它 的含义是x∈［1,2］.
【类题试解】下列哪组中的两个函数是相等函数( )
2
A.f(x)= x 和g(x)= x
x
2
x
B.y= x 2与y=x
C.y=x0和y=1
D.f(x)= 1 +1和g(x)= 1
x
x 1
【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( )
①y= x2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x2 1与y=x-1
(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也 相同.( )
类型 一 函数相等的判断
【典型例题】
1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的
是( )
A.f(x)=x-2,g(x)= x2 4
x2
B.f(x)= x ,g(x)=1
x
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
()
A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
函数y=1+x2(x∈R)的值域是［1,+∞).当x趋向于+∞时，
y=
1 x
的函数值趋近于0.
类型 二 求函数值域问题 【典型例题】 2.求下列函数的值域. (1)y=3-4x,x∈(-1,3］. (2)y=x2-4x+6,x∈［1,5). (3)y= 3x 1 (提示：x函1数y=3xx1的1 分子和分母都含有自变量x，是否可以 将其变形为只有分母含有自变量x的形式?） (4)y=2x – 根号下（x-1)
【拓展提升】求形如f(g(x))的函数的定义域的方法 (1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域 由g(x)∈D,求出x的范围, 即得到f(g(x))的定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为D，求f(x)的定义域 由x∈D, 求出g(x)的范围，即得到f(x)的定义域.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
第2课时 函数概念的综合应用
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域.
函数相等
g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈［0,1).
1.函数f(x)=3x-4的定义域是[1,4]，则其值域是( ) A.{-1,8} B.［-1,8］ C.(-1,8) D.R
＝ f 2x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【解析】选B.因为f(x)的定义域为［0,2］，所以对于函数
函数相等 1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致. 2.结论:两个函数相等.
函数相等 1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致. 2.结论:两个函数相等. 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( ) (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了.( )
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【易错误区】判断两个函数是否相等时忽视定义域致误
【典例】下列各组函数中是相等函数的是( ) A. y＝x＋1与y＝ x2－1
x－1
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x+1)2与y＝x2
D.f(x)= 1 ,g(x)= x 10
2
2
2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由.
(1)y= x 1 x 1 ,y= x2 1 (2)y= 1 x 1 x ,y= 1 x2
【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( )
①y= x2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x2 1与y=x-1
类型 二 求函数值域问题 【典型例题】 1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
1 x2
() A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
（提示：当x趋向于+∞时，y=1x 的函数值是如何变化的？）
类型 二 求函数值域问题
【典型例题】 1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
【典型例题】
1.(2013·呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义域是
［0,2］，则函数g(x)=f(x+ 1 )+f(x- 1 )的定义域是( )
2
2
A.［0,2］
B.［- 1 , 3 ］
22
C.［ 1 , 5 ］
D.［ 1 , 3 ］
22
22
2.已知y=f(2x+1)的定义域为［1,2］. (1)求f(x)的定义域. (2)求f(2x-1)的定义域
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域;
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域. (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法 得到.
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法. ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函 数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+ cx (d其中 a,b,c,d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法. ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
提示：y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它的含义是x∈［1,2］还 是 2x+1∈［1,2］?
2.已知y=f(2x+1)的定义域为［1,2］. (1)求f(x)的定义域. (2)求f(2x-1)的定义域.
提示：y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它的含义是x∈［1,2］还 是 2x+1∈［1,2］? 定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它 的含义是x∈［1,2］.
【类题试解】下列哪组中的两个函数是相等函数( )
2
A.f(x)= x 和g(x)= x
x
2
x
B.y= x 2与y=x
C.y=x0和y=1
D.f(x)= 1 +1和g(x)= 1
x
x 1
【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( )
①y= x2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x2 1与y=x-1
(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也 相同.( )
类型 一 函数相等的判断
【典型例题】
1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的
是( )
A.f(x)=x-2,g(x)= x2 4
x2
B.f(x)= x ,g(x)=1
x
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1