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复变函数的应用

数学与应用数学班

数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际

联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比

较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。

我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复

杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多

工程问题迎刃而解。可以通过 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身

并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。

我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复

变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值 |z|表示信号

的幅度，辐角 arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表

示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其

中ω对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。

所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电

视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。

一、复变函数的简介

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数

开平方的情况 ,它的一般形式是： a bi ，其中 i 是虚数单位。

多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单

复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别 .因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区

域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性

质的逐步的转移 .它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻

学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是

在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学 .当时的数学家公认复变函数论

是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学

中最和谐的理论之一 .为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，

法国的 Laplace 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先

驱 .。

二、复变函数的应用

近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事

实上， P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威

力 .从这种观点出发的研究有了很大发展 .它与其他数学分支产生了较密切的联

系 . 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析 .

但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具 .。

从柯西算起，复变函数论已有了 150 年的历史 .它以其完美的理论与精湛的技巧

成为数学的一个重要组成部分 .它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个

有力的工具被应用在实际问题中 .它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程 .

复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多

应用。

物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论 .复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响 .现如今 .复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，

它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用 .比如俄国的

茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问

题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分 . 它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。

复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的

工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是

解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。而自

然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。

复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一

些复杂的计算问题。复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS 对复杂函

数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对

复杂函数的计算能力使得在 GIS 上的应用也不可或缺。

GIS 的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的

地理实体。空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，

实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。而复变函数中的黎

曼曲面理论就是用来解决这种问题的。复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是

研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼

曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观

的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在

黎曼曲面上就变成单值函数。

复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与

一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也

就是它的基础应用。

针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和 Z 变换。变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，

原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起

来就有一定的难度。

复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路

问题时，使问题变得简单化。例如：积分变换可以把微分方程变换成初等方程，

这样就可以使求解方便得多，减少大量的计算，使复杂的问题简单化。另外在求线性系统的响应时，用积分变换也是十分方便的，因为用积分变换不需要考虑初

始状态，直接运用积分变换来求解就可以了，减少了很多思考的过程，加快速度。