第十章能量法解析

b2
整个梁的剪切变形能公式为：
2
U 2 l
kQ( x) dx 2GA
梁的变形能公式为：
弯曲变形能
2
2
U U1 U 2 l
M ( x) 2 EI
dx
l
kQ( x) dx 2GA
剪切变形能
k
A I2
A
( S *z )2dA b2
k是无量纲系数。它只于截面形状有关。
当截面为矩形时
I bh3 12
作用在单元体上，下两表面的力为 P = 1 1 =
其伸长量
l=1=
P
l
P
该单元体上外力作功为
1
0
d
1
d
1
P=
l=
l
P
1
P
d
1
单位体积的应变能即 比能 为
u
1
0
d
若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为 dU = u dx dy dz
令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为
A
3 P2
P3
B
C
1 2
C
广义力：力和力偶 广义位移：线位移和角位移
假设广义力按某一比例 由零增致最后值
对应的广义位移也由零 增致最后值。
对于线性结构，位移与荷 载之间是线性关系，任一 广义位移，例如 2 可表示为
B P1
A
3 P2
2
dx
20l
2
2
1 EI
(
Px 2
2
)
dx
P2l3 96EI
梁的剪切变形能为：
2
U 2 l
kQ( x) 2GA
dx
20l
2
k 2GA
(
P 2
2
)
dx
k P2l 8GA
梁的变形能为：
U
U1
U
2
P2l3 96EI
k P2l 8GA
对矩形截面： 且
k 6, 5
I h2 A 12
第十 章
能量法
§10—( 1，2 ) 概述 ，杆件变形能计算 §10—3 变形能的通式 §10—4 互等定理 §10—5 卡氏定理 §10—6 虚功原理 §10—7 单位荷载法 • 莫尔积分 §10—8 计算莫尔积分的图乘法
§ 10—（ 1 ，2）概述 • 杆件变形能的计算
一，概述 可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作 功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上 就等于积蓄在物体内的应变能。
z
y
M(x) y I
Q(
x)
S
* z
I b
b
m
y
n
x
dx
hy
z
dA y
距中性轴为 y 处的应力取微元体积为
dV dA dx
b
m
y
n
x
dx
dV上的弯曲变形能为：
z
hy
dA
y dV dA dx
2
u1 dV
M ( x) y2 dAdx 2EI 2
dV上的剪切变形能为：
2
u2 dV
Q
(
x
)
(
S
* z
U d U udV
拉杆整个体积内各点的 u为常量，故有
U udV uV uAl
W
Δ1
0
P
dΔ
在 线弹性 范围内
u
1
0
d
U
W
1 2
P1Δ
1
P12 l 2EA
EAΔ 2l
2 1
拉压杆 扭转杆
E
u
1
0
d
1 2
E12
12
2E
G
u
0
1
d
2
1
G
1 2
2G
1
2
例题：试用比能计算横力弯曲的弯曲变形能和剪切变形能。
S
* z
b 2
( h2 4
y2)
k
A I2
A
(
S
* z
)2dA
b2
144 bh5
h 2
h 2
1 (h2 44
2
y2) bdy
6 5
例：图示简支梁，比较弯曲和剪切两种变形能。设截面为矩形。
P
x
l2
l2
解：
M(x) P x, Q(x) P
2
2
代入梁变形能公式
梁的弯曲变形能为：
M(x) P x, Q(x) P
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
二，杆件变形能的计算 1，线弹性 条件下，通过外力功求应变能 （1）常力作功 ：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功
W P
（2）变力作功 ：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性关系。 (静荷载为变力）
轴向拉压杆内的变形能
2
2
U
1 2
P
Δ
l
Nl 2EA
0l
N (x)dx 2EA
扭转杆内的变形能
2
U
1 m φ 2
T2l 2GI P
0l
T (x)dx 2GI p
弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
2
2
U
1 m
2
Ml 2EI
0l
M (x)dx 2EI
组合变形的变形能
2
2
2
U
N (x)dx l 2EA
)2
dAdx
2GI 2 b2
2
u1 dV
M ( x) y2 dAdx 2EI 2
2
u2 dV
Q
(
x
)
(
S* z
)2
dAdx
2GI 2 b2
整个梁的弯曲变形能为：
2
U1 0l u1dV
l
[
M ( x) 2EI 2
A
y2dA]dx
整个梁的剪切变形能为：
2
U 2 l
u dV 2
l
[
Q( x 2GI
)
2
A
(
S
* z
)2dA]dx
b2
2
U1 0l u1dV
l
[
M ( x) 2EI 2
A
y2dA]dx
A y2dA I
整个梁的弯曲变形能公式为：
2
U1 l
M ( x) dx 2 EI
2
U 2 l
u dV 2
l
[
Q( x 2GI
)
2
A
(
S
* z
)2dA]dx
b2
令
k
A I2
A
(
S
* z
)2dA
如：轴向拉（压）杆外力作功
l
W 1P 2
P
P
基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系
轴向拉，压
Δl N l EA
（ N 为轴力）
扭转
φ T l （ 为相对扭转角，T 为扭矩）
GI P
弯曲（不计剪力的影响）
M l EI
（ 为转角，M 为弯矩）
由 U = W , 可得以下变形能表达式
b
m
z
h
n
x
y
解：截面上的弯矩和剪力分别为 M(x) 和 Q(x)。
m
y
h
n
x
dx
距中性轴为 y 处的应力为
M(x) y , I
Q( x) S*z I b
b
z
y
b
m
y
h
n
x
dx
2
弯曲变形比能为：
u1
2 2E
M(x) y2 2EI 2
2
剪切变形比能为：
u2
2 2G
Q
(
x
)
(
S
* z
)2
2GI 2 b2
T (x)dx l 2GI p
l
M
( x )dx 2EI
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
P
P1 l
o
P
1
拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 P1 时， 杆端位移就由 0 逐渐增到 1 。
l
P
P P1
o
d
1
外力作功为
W
Δ1
0
P
dΔ
U
W
Δ1
0
P
dΔ
p
l
p
P
从拉杆中取出一个各边为 单位长 的单元体，
G E 2(1 )
U
2
:
U
1
12 5
(1
)
(
h)2 l
U
2
:
U
1
12 5
(1
)
(
h)2 l
取 =0.3 ，当 h/l = 1/5 时，以上比值为 0.125。当 h/l = 1/10 时， 比值为 0.0321。
可见只有对短梁才考虑剪切变形能，对长梁则可忽略不计。
§10—3 变形能的通式
B P1