高聚物粘弹性力学模型的几个问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.5 无穷 无穷 E’/3 3G’
’, ’, K’, G’, E’,
t
定义为剪切粘度， t定义为拉伸粘度，对不可 压缩的牛顿流体来说， t ＝3
• 小结：
• ①、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数；
• ②、如果泊松比等于0.5，则描述各向同性胡克弹性体的力
学行为只需要一个力学常数，或者是剪切模量，或者是杨 氏模量，其中杨氏模量是剪切模量的3倍；
ij Cijklekl
各向同性
ij ekkij 2Geij
其中：第一拉梅（Lame）常数； G第二拉梅常数（剪切模量）
• 当i j时， ij ekkij 2Geij
12 ＝2Ge12, 23 ＝2Ge23, 31 ＝2Ge31
在简单剪切条件下，23 =31 =0， x2
12 ＝2Ge12,
学常数
ij ekk ij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk
eij
1 2G
ij
2G
3
1
2G
kk
ij
令：E G(3 2G) ，
G
2( G)
eij
1
E
ij
E
kk
ij
• 如果在1方向对材料进行单向拉伸（22=33=0）
eij
1
E
ij
E
kk
ij
e22
E
11, e33
E
11
e11
高聚物粘弹性力学模型中值得 探讨的几个问题
杨海洋
• 1、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数，描述不可压缩牛顿流体的力学行为需要一个力 学常数。高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表 现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿 流体的线性组合，那么在高聚物粘弹性力学模型中描述高 分子材料的力学行为所需要的力学常数为什么不是三个而 是两个？
C42
4! 2!(4 2)!
6
E 2G(1 ) G(3 2G) (1 )(1 2 ) 9K(K ) 9KG 3K(1 2 )
G
3K 3K G
K E 2 G (1 ) 3G(1 ) GE
3(1 2 ) 3
3 3(1 2 ) 3(3G E)
讨论：当 ＝0.5时，E=3G；K 、趋于无穷大
• ③、描述各向同性并且是不可压缩牛顿流体的力学行为只
需要一个力学常数，或者是剪切粘度，或者是拉伸粘度， 其中拉伸粘度是剪切粘度的3倍。
• 1.3、高聚物粘弹性的力学模型被忽视的一个重要假定
高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性， 可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合。
x1
x3
G：材料抗剪切应变能力大小
=G
• 当i = j时， ij ekkij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk 3kekk = 3kV/V
在静水压条件下
11＝ 22＝ 33＝－P ：其中P为静水压
V/V ＝－P/k
k：抗体积变化能力的大小，称之为本体模量
• 对广义胡克定律的展开形式求逆可以引伸出另外两个力
E K
2G G(E 2G) K 2 G Ev 3K 3K(3K E)
1 2 3G E
3 (1 )(1 2 ) 1 9K E
G E (1 2 ) 3 (K ) 3K(1 2 ) 3KE
2(1 ) 2 2
2(1 ) 9K E
E 1 3K 2G 3K E 2G 2( G) 3K 2(3K G) 6K
• 1.0、求和指标（哑指标）和自由指标（数学准备）
求和指标：
x1 x2 x3
ax by cz 1
3
ai xi 1
i 1
ai xi 1
a1 a2 a3
ax2 by2 cz2 2dxy 2eyz 2 fzx 1
aij xi x j 1
ai xi 1 ajxj 1
3
ai xi 1
i 1 3
ajxj 1
j 1
a1x1 a2 x2 a3x3 1 a1x1 a2 x2 a3x3 1
ai xi a j x j ak xk 表示求和指标可以相互被置换
自由指标：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13 x3 a23 x3
c1 c2
a31x1 a32x2 a33x3 c3
• 2、广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立
的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小 应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组 合来描述高聚物的力学行为？
• 3、高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那
么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单 剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为?
• 1.2、描述不可压缩牛顿流体力学行为所需要的材料力学
常数
牛顿流体满足本构方程：
ij pij DijklVkl
ij Cijklekl
ij pij 'Vkkij 2G'Vij
ij ekkij 2Geij
’, G’, K’, E’, ’
, G, K, E,
• 对牛顿流体来说不可压缩条件经常得到满足，相当于：
1 E
11
杨氏模量E反映了材料抗拉伸 能力的大小
-e22/e11=-e33/e11=
泊松比 反映了拉伸过程中材料的横 向收缩与纵向伸长的比值
• 因为找不到一种简单的实验方法让第一拉
梅常数在某个方程里单独出现，因此其物
理或几何意义都不明确，在实际过程中很
少使用。
ij ekkij 2Geij
G
＋
更加复杂的力学 模型
麦克斯韦（Maxwell）模型 沃伊特（Voigt）模型或开 尔文（Kelvin）模型
3
a1 j x j c1
j1
3
a2 j x j
c2
j1
3
a3 j x j
Fra Baidu bibliotek3
j1
小结：
aa21
j j
x x
j j
c1 c2
a3
j
x
j
c3
aij x j ci
自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值；
求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。
• 克罗内克尔符号（Kronecker delta）
1,当i j
ij 0,当i j
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
• 1.1、描述各向同性条件下胡克弹性体力学行为所需要的
材料力学常数
• （初中物理教材）胡克定律：F=kx, k：弹簧的弹性系数 • （大学力学教材）广义胡克定律：
’, ’, K’, G’, E’,
t
定义为剪切粘度， t定义为拉伸粘度，对不可 压缩的牛顿流体来说， t ＝3
• 小结：
• ①、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数；
• ②、如果泊松比等于0.5，则描述各向同性胡克弹性体的力
学行为只需要一个力学常数，或者是剪切模量，或者是杨 氏模量，其中杨氏模量是剪切模量的3倍；
ij Cijklekl
各向同性
ij ekkij 2Geij
其中：第一拉梅（Lame）常数； G第二拉梅常数（剪切模量）
• 当i j时， ij ekkij 2Geij
12 ＝2Ge12, 23 ＝2Ge23, 31 ＝2Ge31
在简单剪切条件下，23 =31 =0， x2
12 ＝2Ge12,
学常数
ij ekk ij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk
eij
1 2G
ij
2G
3
1
2G
kk
ij
令：E G(3 2G) ，
G
2( G)
eij
1
E
ij
E
kk
ij
• 如果在1方向对材料进行单向拉伸（22=33=0）
eij
1
E
ij
E
kk
ij
e22
E
11, e33
E
11
e11
高聚物粘弹性力学模型中值得 探讨的几个问题
杨海洋
• 1、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数，描述不可压缩牛顿流体的力学行为需要一个力 学常数。高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表 现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿 流体的线性组合，那么在高聚物粘弹性力学模型中描述高 分子材料的力学行为所需要的力学常数为什么不是三个而 是两个？
C42
4! 2!(4 2)!
6
E 2G(1 ) G(3 2G) (1 )(1 2 ) 9K(K ) 9KG 3K(1 2 )
G
3K 3K G
K E 2 G (1 ) 3G(1 ) GE
3(1 2 ) 3
3 3(1 2 ) 3(3G E)
讨论：当 ＝0.5时，E=3G；K 、趋于无穷大
• ③、描述各向同性并且是不可压缩牛顿流体的力学行为只
需要一个力学常数，或者是剪切粘度，或者是拉伸粘度， 其中拉伸粘度是剪切粘度的3倍。
• 1.3、高聚物粘弹性的力学模型被忽视的一个重要假定
高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性， 可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合。
x1
x3
G：材料抗剪切应变能力大小
=G
• 当i = j时， ij ekkij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk 3kekk = 3kV/V
在静水压条件下
11＝ 22＝ 33＝－P ：其中P为静水压
V/V ＝－P/k
k：抗体积变化能力的大小，称之为本体模量
• 对广义胡克定律的展开形式求逆可以引伸出另外两个力
E K
2G G(E 2G) K 2 G Ev 3K 3K(3K E)
1 2 3G E
3 (1 )(1 2 ) 1 9K E
G E (1 2 ) 3 (K ) 3K(1 2 ) 3KE
2(1 ) 2 2
2(1 ) 9K E
E 1 3K 2G 3K E 2G 2( G) 3K 2(3K G) 6K
• 1.0、求和指标（哑指标）和自由指标（数学准备）
求和指标：
x1 x2 x3
ax by cz 1
3
ai xi 1
i 1
ai xi 1
a1 a2 a3
ax2 by2 cz2 2dxy 2eyz 2 fzx 1
aij xi x j 1
ai xi 1 ajxj 1
3
ai xi 1
i 1 3
ajxj 1
j 1
a1x1 a2 x2 a3x3 1 a1x1 a2 x2 a3x3 1
ai xi a j x j ak xk 表示求和指标可以相互被置换
自由指标：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13 x3 a23 x3
c1 c2
a31x1 a32x2 a33x3 c3
• 2、广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立
的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小 应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组 合来描述高聚物的力学行为？
• 3、高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那
么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单 剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为?
• 1.2、描述不可压缩牛顿流体力学行为所需要的材料力学
常数
牛顿流体满足本构方程：
ij pij DijklVkl
ij Cijklekl
ij pij 'Vkkij 2G'Vij
ij ekkij 2Geij
’, G’, K’, E’, ’
, G, K, E,
• 对牛顿流体来说不可压缩条件经常得到满足，相当于：
1 E
11
杨氏模量E反映了材料抗拉伸 能力的大小
-e22/e11=-e33/e11=
泊松比 反映了拉伸过程中材料的横 向收缩与纵向伸长的比值
• 因为找不到一种简单的实验方法让第一拉
梅常数在某个方程里单独出现，因此其物
理或几何意义都不明确，在实际过程中很
少使用。
ij ekkij 2Geij
G
＋
更加复杂的力学 模型
麦克斯韦（Maxwell）模型 沃伊特（Voigt）模型或开 尔文（Kelvin）模型
3
a1 j x j c1
j1
3
a2 j x j
c2
j1
3
a3 j x j
Fra Baidu bibliotek3
j1
小结：
aa21
j j
x x
j j
c1 c2
a3
j
x
j
c3
aij x j ci
自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值；
求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。
• 克罗内克尔符号（Kronecker delta）
1,当i j
ij 0,当i j
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
• 1.1、描述各向同性条件下胡克弹性体力学行为所需要的
材料力学常数
• （初中物理教材）胡克定律：F=kx, k：弹簧的弹性系数 • （大学力学教材）广义胡克定律：