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线长为 （结果保留准确值）.

浅析中考几何图形滚动问题的求解

摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运 动

就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了 学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。几何图形可 以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一 个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还 可以是扇形。本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经 过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。

关健词：无滑动翻滚路线长规律

浅析中考几何图形滚动问题的求解

纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形 可

以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另 一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆， 还可以是扇形。如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。

一、滚动过程中图形上点经过的路线长

（一）沿着一条直线无滑动翻滚 口 』 c

例1. （1） （2008四川达州市）.如图所 ，// \ /、\ / \

示，边长为2的等边三角形木块，沿水平 [/ '、、/ '、、

A

C B A 线J 滚动，则上点从开始至结束所走过的路

（2）（2009 黄冈市）矩形 ABC 。的边 AB=8, AD=6,现

/ V 将矩形A8CD 放在直线/上且沿着/向右作无滑动地 D rAT

\ fT " I

翻滚，半它翻滚至类似开始的位置时（如 4__一"匚一"卜/

（3）如图，将边长为2cm 的正六边形ABCDEF

60 180 ttx2

图所示），则顶点人所经过的路线长是 的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一•周时，顶点A 所经过的路线 长是 o

［分析］这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每 次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个 外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是

AC 和AB 。矩形滚动一•周，A 点走了 3个弧长，圆心角都是90度，但半径分别是AB 、 AC 、ADo 正六边形滚动一凋，A 点走了 5个弧长，圆心角都是60度，但半径分别是

AF 、AE 、AD 、AC 、AB 。三个几何图形上A 点走的路线长度都是圆心角等于它的

个外角，半径分别是以A 点到其它顶点的距离的弧长之和。

解:（1） A 点从开始到结束所走过的路线长度为：

120

。 120 c 120 , 8 4x2 + 4x2 = 71 乂 2 + 2/ =-7T 180 180 180 3 （2） 顶点A 所经过的路线长

90 o 90 “ 90 i 90 / ° in "

x8 + ”xl0 + 4x6 = 乂 8 + 10 + 6） =12/r 180 180 180 180 （3） 半正六边形滚动一周时，顶点A 所经过的路线长

60 n 60 5 60 A 60 n r-

4x2 + 7rx2^3 + 4x4 +

TTX 2V3 + 180 180 180 180 借g2屈4 + 2品2）=气乌

规律：角度相等的n 边形（nN3）,它的一个外角迎度，设其中1个点到其余的n ・l n

个点的距离分别是k 顷・・，、\。当它沿着一直线翻滚一周时，这个顶点所经过的路线

360 2

长是 一冗乂1 | +，2 +•.. + "_］」=—丸（k +，2 +•••+ /〃■［） °

180 ' n

例2. （2006黄冈）如图2,将边长为8cm 的正方形ABCD 穴 a n A IXB ） U ） A D 的四边沿直线L 向右滚动（不滑动），汽正方形滚动两周时，正 |一|― …|一 R 「 （ £）） D C 方形的顶点A 所经过的路线的长是 cm.

2

［分析］正方形滚动一周的路线长-勿（，+，2+..・+，1），其中n=4, A到其它三个

顶点n

C、D、B的距离分别是8很、8、8o用正方形滚动一周的路线长乘以2就可得到正方

形滚动两周时，正方形顶点A所经过的路线的长。

解：当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是—^-（8^/2 + 8 +8）x2 = （16 + 8扼））。

4

例3. （1）（2006南宁课改）如图，A是硬币圆周

上一点，硬币与数轴相切于原点。（A与。点重; ---- ——产~t

/V I L 3 4合）.假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿

数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点#重合，则点A'对应的实数是.

（2）（08山东烟台）9、如图，水平地面上有一面积为30^c/n2的扇形AOB,半径OA=6cm ,且OA与地面垂直. 在没有滑动的情况下，将扇形向

右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（）

A、20cm

B、24cm

C、1 Qjrcm

D、30/rcm

［分析］这道题目涉及到圆与扇形在直线上滚动，它们在直线上滚动的长度等于圆心走过的路线长。（1）硬币滚动一周的周长为兀,圆心走的长度AA，=〃。（2）扇形滚动的长度为优弧AB的长度，故圆心移动的距离为优弧AB的长度。

解：（1）点A'对应的实数是4

2

⑵优弧AB的圆心角为n度，"了 &_ = 30几,解得口=300。所以优弧AB的长360由:斗300/r x 6 1 n it、廿厂

度为 ------ =10万，故选C。

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例4.己知：圆心角为30 °,半径为3的扇形AOB如

图所示，先绕点A顺时针旋转90 °,再沿直线m作

无滑动的滚动后，再绕点B旋转90

。到达如图扇形A' O' B'的位置，则点O所经

过的总路程长是.

［分析］这道题有图形绕某点的旋转，也有扇形

沿直线翻滚，如右图可知：O经过了三段路线，一

段是以A为圆心，圆心角为90度，OA为半径的扇

形弧长，长度为业三；中间一段是弧

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