初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解.doc

线长为 （结果保留准确值）.
浅析中考几何图形滚动问题的求解
摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运 动
就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了 学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。

几何图形可 以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一 个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还 可以是扇形。

本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经 过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。

关健词：无滑动翻滚路线长规律
浅析中考几何图形滚动问题的求解
纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形 可
以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另 一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆， 还可以是扇形。

如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。

一、滚动过程中图形上点经过的路线长
（一）沿着一条直线无滑动翻滚 口 』 c
例1. （1） （2008四川达州市）.如图所 ，// \ /、\ / \
示，边长为2的等边三角形木块，沿水平 [/ '、、/ '、、
A
C B A 线J 滚动，则上点从开始至结束所走过的路
（2）（2009 黄冈市）矩形 ABC 。

的边 AB=8, AD=6,现
/ V 将矩形A8CD 放在直线/上且沿着/向右作无滑动地 D rAT
\ fT " I
翻滚，半它翻滚至类似开始的位置时（如 4__一"匚一"卜/
（3）如图，将边长为2cm 的正六边形ABCDEF
60 180 ttx2
图所示），则顶点人所经过的路线长是 的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一•周时，顶点A 所经过的路线 长是 o
［分析］这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每 次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个 外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是
AC 和AB 。

矩形滚动一•周，A 点走了 3个弧长，圆心角都是90度，但半径分别是AB 、 AC 、ADo 正六边形滚动一凋，A 点走了 5个弧长，圆心角都是60度，但半径分别是
AF 、AE 、AD 、AC 、AB 。

三个几何图形上A 点走的路线长度都是圆心角等于它的
个外角，半径分别是以A 点到其它顶点的距离的弧长之和。

解:（1） A 点从开始到结束所走过的路线长度为：
120。

120 c 120 , 8 4x2 + 4x2 = 71 乂 2 + 2/ =-7T 180 180 180 3 （2） 顶点A 所经过的路线长
90 o 90 “ 90 i 90 / ° in "
x8 + ”xl0 + 4x6 = 乂 8 + 10 + 6） =12/r 180 180 180 180 （3） 半正六边形滚动一周时，顶点A 所经过的路线长
60 n 60 5 60 A 60 n r-
4x2 + 7rx2^3 + 4x4 +
TTX 2V3 + 180 180 180 180 借g2屈4 + 2品2）=气乌
规律：角度相等的n 边形（nN3）,它的一个外角迎度，设其中1个点到其余的n ・l n
个点的距离分别是k 顷・・，、\。

当它沿着一直线翻滚一周时，这个顶点所经过的路线
360 2
长是 一冗乂1 | +，2 +•.. + "_］」=—丸（k +，2 +•••+ /〃■［） °
180 ' n
例2. （2006黄冈）如图2,将边长为8cm 的正方形ABCD 穴 a n A IXB ） U ） A D 的四边沿直线L 向右滚动（不滑动），汽正方形滚动两周时，正 |一|― …|一 R 「 （ £）） D C 方形的顶点A 所经过的路线的长是 cm.
2
［分析］正方形滚动一周的路线长-勿（，+，2+..・+，1），其中n=4, A到其它三个
顶点n
C、D、B的距离分别是8很、8、8o用正方形滚动一周的路线长乘以2就可得到正方
形滚动两周时，正方形顶点A所经过的路线的长。

解：当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是—^-（8^/2 + 8 +8）x2 = （16 + 8扼））。

4
例3. （1）（2006南宁课改）如图，A是硬币圆周
上一点，硬币与数轴相切于原点。

（A与。

点重; ---- ——产~t
/V I L 3 4合）.假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿
数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点#重合，则点A'对应的实数是.
（2）（08山东烟台）9、如图，水平地面上有一面积为30^c/n2的扇形AOB,半径OA=6cm ,且OA与地面垂直. 在没有滑动的情况下，将扇形向
右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（）
A、20cm
B、24cm
C、1 Qjrcm
D、30/rcm
［分析］这道题目涉及到圆与扇形在直线上滚动，它们在直线上滚动的长度等于圆心走过的路线长。

（1）硬币滚动一周的周长为兀,圆心走的长度AA，=〃。

（2）扇形滚动的长度为优弧AB的长度，故圆心移动的距离为优弧AB的长度。

解：（1）点A'对应的实数是4
2
⑵优弧AB的圆心角为n度，"了 &_ = 30几,解得口=300。

所以优弧AB的长360由:斗300/r x 6 1 n it、廿厂
度为 ------ =10万，故选C。

180
例4.己知：圆心角为30 °,半径为3的扇形AOB如
图所示，先绕点A顺时针旋转90 °,再沿直线m作
无滑动的滚动后，再绕点B旋转90。

到达如图扇形A' O' B'的位置，则点O所经
过的总路程长是.
［分析］这道题有图形绕某点的旋转，也有扇形
沿直线翻滚，如右图可知：O经过了三段路线，一
段是以A为圆心，圆心角为90度，OA为半径的扇
形弧长，长度为业三；中间一段是弧
180
AB在直线m上翻滚时，O点经过的路线长O' O” ，因为扇形OAB所在的圆始终与直
线m相切，所以O点到直线m的距离始终等于半径，故O, O”是一条线段，长度等
于弧AB的长度四登；最后一段是以B'为圆心，圆心角为90度，OB为半径的扇
180
形弧长，长度为箜少。

180
解：点0所经过的总路线长
90几x 3 + 307r x 3 * 90 ） x3 _ （90 + 30 + 90）勿x 3 _ 7
180 180 180 180 ~ 2^
规律：如果将此题中扇形圆心角改为n度，半径设为r,其余条件不变, 则圆心。

所经过的总路线长是*^=帘叽
（二）沿着一图形内部边缘无滑动翻滚
例5. （2007年连云港）正左ABC的边长为3cm,边长为1cm
的正的顶点R与点A重合，点P, Q分别在AC, AB上,
将△RPQ沿着边BC, C0顺时针连续翻转（如图所示），直至众P第
一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为
cm.（结果保留兀）
解析：如右图可知，P点运动的路径包括三段强长，这三个弧长
的半径都是等边三角形PQR的边长1,圆心角都是120度,所以点P运
动路径的长度相当于一个半径为1圆的周长2^o
（三）沿着一图形外部边缘无滑动翻滚
例6.（2009年河北）拓展联想：
（1）如图13-4, AABC的周长为/,周长为c的。

从与AB相切
于点。

的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，乂
回到与AB相切于点。

的位置，。

自转了多少周？请说明理由.
（2）如图13-5,多边形的周长为/,周长为c的。

从与某边相切
于点。

的位置出发，在多辿形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又
回到与该边相切于点。

的位置，直接写出。

自转的周数.
图13-
5
(2) (2007年日照)如图，正方形ABCD 的边长是3cm, —个边长为 1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB —BC —CD —DA 一AB 连续
地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是()
［分析］(I)圆o IH 转的周数等于圆o 走的路线长除以圆o 的周长,
要求圆o 自转的周数，关键是求圆o 经过的路线长Oi->O 2 -
>03_>04_>05_>06_>0］,如右图所示。

其中 O|C )6=AC,
O 2O 3=BC, O 4O 5=AB, O )O 6+ O 2O 3+ O 4O 5=/o 另外弧 O1O2、
弧。

3。

4、弧。

5。

6半径都等于圆O 的半径，但圆心角分别是
ZACB 的外角、ZCBA 的外角、ZBAC 的外角，因为多边 形外
角和为360度，故弧0］。

2+弧O3O4+弧。

5。

6=圆O 周长C 则O 点走的路线长等于三角形的周长/与圆O 周长之和。

(2)因为多边形外角和等于360度，点O 在多边形各顶点处旋转的弧长总和为圆O 的周
长c,所以圆O 在多边形外部滚动一周回到原来位置时，点O 所走的总路线长等 于(/ +c)。

解:(1)..•三角形的外角和是360。

，点0在三个顶点旋转角度之和为360度，所经 过
的路线长为圆0周长c 。

V AABC 的周长为I,二。

在三边上自转时O 点经过的路 线长为/,所以O 点经过的总路线为(/+c),二。

共自转了 土 =』+ 1 (周).
C C
(2) -+1. C
二、滚动过程图形位置变化规律
例7. (1)如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长 是
大正六边形边长的一半，当小正六边形由图甲位置滚动到图乙的位置时，线段OA 绕
点O 顺时针转过的角度为 度。

甲 乙 A
D
(A)
(B) (C) (D)
［分析］(1)OA绕点O顺时针转过的角度就是小正六边形沿着大
正六边形边缘顺时针滚动角度之和，如右图所示，小正六边形滚动角
度总和为60°+120°+60°=240°,所以线段OA绕点O顺时针转过的
角度为240度。

(2)小正方形从点A出发顺时针绕着大正方形边缘翻滚一周，回到起始位置时H它的方向改变情况取决于它总共转过的角度，若
它共转过的角度是360。

整数倍，则它方向与原小正方形相同；若它共转过的角度不是360。

整数倍，则它方向改变，设它共
转过的角度被<
b
360°整除的余数为n,则它方向相当于将原小正方形方向顺时针旋转n度时情况。

因此, 解决此题的关键是求小正方形共转过的角度。

如右图所示，小正方形从大正方形一边端点位置转到大正方形另一邻边端点位置，转过角度为3X90+90,小正方形每次翻滚90 度(小正方形的一个外角)，在B处要旋转到BC边，还要旋转大正方形一个外角90度。

小正方形第一■次回到起始位置时，它共翻滚的角度为4 (3X90+90),是360。

整数倍，
所以它的方向与原小正方形相同，故选B。

规律：若一个正n边形沿着一个边长为它a倍(a为整数)的正m边形外部边缘顺时针旋转，第一次回到起始位置时，它共转过的角度为/n(— x Q +迎)=迎重+ 360 , n m n
若ma为n的整数倍，则它的方向与原来一
例8.如图，正方形ABCD的边长是2cm, 一个边长为1cm的小正三角形沿着正方
形ABCD的边AB一BC—CD一DA—AB连续地翻转，那么这个小正方形第-一次回到起
始位置时，它的方向是()
［分析］这里n=3, a=2, m=4,小正三角形共转过角度为
•
360x4x2 +360^ 1320度，它除以360度的余数为240°,此时
3 •
它的方向相当于原正三角形顺时针旋转240。

，故选C。

右图通.
过正三角形翻滚展示过程也说明答案的正确性。

例8. （1）（2008泰安）如图，将边长为1的正三角
形（MP沿三轴正方向连续翻转2008次，点F依次落在
点品珍珞L , J的位置，则点号■的横坐标A广\ 为.
⑵（2006绍兴）如图，将边长为1的正方形OAPB
沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P”
P2, P3, P4，…, P2006的位置，则P2006的横坐标
X2006=-
（第16（3）如图，将边长为1的正六边形ABOCDP沿x
轴正方向连续翻转2010次，点5依次落在点P” P2,
P3, P4,…，P2010的位置，则点P2010的横坐标为・
［分析］这三题都是求一个正多边形沿着一条直线X
轴
连续翻转一定次数后，点P对应位置的横坐标。

解
决此类题目，关键是寻找规律。

(1)图1 可知x pl = L x p4 = 4, Xp7 = 7,x pl0 = 101
S+ = 3〃 +1，a+2 = 3〃 +1,5+3 = 3〃 + 2.5 o 所以
P200S的横坐标X2o()x= 2008o
(2)图2 可知 % = 1, % = 5, % = 9叫4"+1 = 4〃
+1 %〃+2=4〃 + Z 5+3 =4〃+ 2, =4〃+ 3.
因为P2005的横坐标X2OO5=2OO5,所以P2006的横坐标X2O()6=2OO6 O
（3）图3可知%=1,喝=7, ip6f=6〃 + l°因为2005可表示为6n+l（n为整数），所以点
P2005的横坐标为2005o又因为点P2010的横坐标比点P2005的横坐标多4,所以点P2010的横坐标为20090。