解析几何中面积问题的研究与拓展
解析几何中有关面积计算的问题
解析几何中有关面积计算的问题
作者：肖建林
来源：《学习周报·教与学》2021年第04期
摘要：解析几何在高考卷中难度属中高档，学生得分率偏低，在遇到求面积问题时，学生的主要问题是不会灵活处理面积表达式，选择合适的面积计算公式，對题目中某个关系吃不透，计算量大，信心不足。
关键词：全国卷;理科数学;解析几何;面积问题;方法归纳
以上就是我们在解析几何如何设直线方程的常见的四种方式。
教学中，我们可以探讨一题多解，打开思路，去体会和总结各种解法的精髓。
但在真正的高考中，应遵循天下武功唯快不破，选取最佳方法解答，毕竟时间就是分数，希望本文对读者遇到该类问题有所帮助。
（广东省佛山市南海区狮山石门高级中学）。
浅谈面积法在几何中的简单应用[1]
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浅谈面积法在几何问题中的应用花岗职高 王万毅运用面积公式以及面积有关性质定理来解决几何问题的方法简称为面积法.在几何问题中，我们常常会遇到一类问题利用面积法来解决，使问题简单明了，思路清晰. 现就如何利用面积证明几何题，并结合自己教学中的一些经验谈一些粗浅的认识，以起到抛砖引玉的作用.面积法证题思路和常用方法有：1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形.2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等.3、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比. 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比. 一、用面积法解决三角形面积问题例1 如图1，过平行四边形ABCD 的顶点A 引直线，和BC 、DC 或其延长线分别交于E 、F ，求证：ADE ABF S S ∆∆=. 证明：连结AC ,∵CF //AB ， ∴ABCD ABC ABF S S S 平行四边形21==∆∆， 又∵CE //AD ，∴ABCD ACD ADE S S S 平行四边形21==∆∆ ∴ADE ABF S S ∆∆=.二、用面积法解决有关线段问题 1、证明线段间的关系例2 已知：如图2，ABC ∆中，AC AB =，点D 是BC 边上的任意一点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，AC BG ⊥，垂足分别为E 、F 、G .猜想：线段DE、DF 与BG 间的数量关系，并证明.图 2图1D证明：猜想BG DF DE =+.连接AD ，则A B C A C D A B D S S S ∆∆∆=+，所以DE AB ∙21DF AC ∙+21=BG AC ∙21，又AC AB =，有DE AC ∙21DF AC ∙+21=BG AC ∙21，得BG DF DE =+. 2、求线段长度问题例3 小赵对芜湖科技馆有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片延其对称轴对折，如图3（1）.旋转放置，做成科学方舟模型，如图3（2）所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AB AC 21+的值.(不能用三角函数表达式表示)解：设正五边形的面积为S ，根据题意知科学方舟的面积为S 21，且DAE ABD S S S ∆∆+=21，而O DF S S ∆=5，即OB DF ⨯⨯⨯⨯21521BD AB ⨯=21DE 21+ AC ⨯，化简整理得22521=+AB AC .B图3（2）图3（1）C三、用面积法求角度间的问题例 4 如图4，D 是ABC Rt ∆直角边AC 上任意一点，AE ∥BC ，AB DE 2=，求证： EBCABC ∠=∠3.证明：延长DC 至点F ，使CF DC =，连接BF 、EF ，∵EBC ABC S S ∆∆=，∴AED ABD S S ∆∆=，∴ADB AD BD ∠∙sin 21CDE DE CD ∠∙=sin 21， ∴AB CD DE CD AD BD 2∙=∙=∙，∴CDADBD AB 2=， 易证BCD ∆≌BCF ∆，∴BF BD =，DF CD =2，∴DFADBF AB =, ∴EBC DBF ABD ∠=∠=∠2， ∴EBC ABC ∠=∠3. 四、用面积法证明定理例5（梅内劳斯定理）一直线截ABC ∆的边BC ，AC ，AB 或其延长线于D ，E ，F 点（位于延长线上的点有奇数个），则1=∙∙FBAFEA CE DC BD . 证明：连接AD ，BE ，根据三角形面积关系，有DBF DAF S S FB AF ∆∆=，EBFEAFS S FB AF ∆∆=，∴EBDEADEBF DBF EAF DAF S S S S S S FB AF ∆∆∆∆∆∆=--=， 又∵EBD EAD S S CD BD ∆∆=， EADECDS S EA CE ∆∆=， ∴1=∙∙FBAF EA CE DC BD当然用面积法解决几何问题肯定不止本文中的几种方法或思路，例如还有作平行线、中位线、利用相似三角形、三角形的面积公式以及有一条边是公共边的两个三角形的面积比问题等.另外，这种方法和思路还可以延伸、拓展、推广到立体几何中，解决有关体积问题.图 4图5。
面积的应用与拓展
面积的应用与拓展面积是几何学中的重要概念，它不仅在日常生活中有着广泛的应用，而且在数学领域中也有着丰富的拓展。
本文将探讨面积的应用以及其在数学中的拓展。
一、面积的应用1. 度量空间面积在日常生活中，我们经常需要度量某个物体的面积，比如房屋、土地、地板等。
通过计算面积，我们可以对物体的大小有一个直观的了解，从而做出相应的决策。
2. 建筑设计与规划在建筑设计与规划中，面积是一个重要的参数。
建筑物的面积决定了其使用功能、布局设计以及建筑成本等方面。
建筑师和规划师需要准确计算不同部分的面积，以便进行设计和规划的决策。
3. 农田规划与管理农田的面积计算对于农业生产的规划与管理非常重要。
农民需要计算田地的面积，以确定适宜的农作物种植方式、施肥量等，从而提高农作物的产量和质量。
4. 城市规划与土地利用在城市规划与土地利用中，面积是一个关键指标。
通过计算不同区域的面积，规划师可以确定各种用地类型的比例，从而合理规划城市的发展布局，提供可持续的城市环境。
5. 地图与导航地图和导航系统中也广泛使用面积的概念。
通过测量地图上不同区域的面积，可以提供准确的导航服务，帮助人们找到最短路径和最佳路线。
二、面积的拓展1. 计算方法的拓展在传统的几何学中，我们通常使用几何图形的形状和尺寸计算面积。
然而，在某些情况下，传统的计算方法可能不适用。
为了解决这个问题，人们发展了更加复杂的计算方法，如积分等，来计算曲线、曲面等不规则图形的面积。
2. 多维空间中的面积面积的概念并不局限于二维平面。
在更高维度的空间中，我们可以推广面积的概念，并定义多维空间中的体积、表面积等概念。
这些拓展使得面积的概念在数学中有着更广泛的应用。
3. 非欧几何中的面积在非欧几何中，面积的概念也得到了拓展。
非欧几何中的面积不满足传统的欧几里得几何中的面积定义，而是根据不同的几何模型来定义。
这种拓展使得面积的概念在几何学的研究中更加丰富和多样化。
总结起来，面积作为几何学中的重要概念，应用广泛且不断拓展。
三角形面积公式在解析几何中的若干应用
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三、 曲线性质的证 明和求解
例 4 若抛 物线 护 = ZP x 的 焦点弦 被焦 点分成长
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等差 数 列。
考试题 ) 解 : 设 内切 圆 圆心 M 坐 标是 ( 殉 , 的 ) 有 二。 > O,
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二、 求 曲线的轨迹方程
例 1, 求平面 丙到一个定点 F 和一条定直线 l 的
距离相 等的点 的轨迹方程。
提炼基本图形 妙解面积问题——对一类函数视角下面积问题的研究
函 数 有 关 的 三 角 形 或 特 殊 四 边 形 的 面 积 问题 出现 频 率 较 高 ．因
研究 拓展 ：我们 如果 把 ＡＡ Ｂ Ｃ放 到 直 角坐 标 系 中来 研究
（ 如图２ ） ，
此 ，在 中考复 习过程 中，要加 强对这 类典型试题 的研 究，不断
挖 掘 试 题 的 内在 潜 能 ，将 试 题 有 效 串联 起 来 ，从 而展 示 知 识 的
二
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解 ：（ １ ） 一 次 函数 的解 析 式 为 Ｙ － ＝ Ｘ＋５ ．
面积的最大值 ，并求 出此时点 的坐标．
二 、基 本 图 形 的推 广 在 解 得 问 题 答 案 之 后 ，如 果 引 导 学 生 及 时 将 试 题 的结 论 进 行 更 深 层 次 的探 究 ，抽 象 、概 括 、拓 展 、 总结 成 公 式 并 加 以应
一
“ 做一题 ，通一类 ，会一片”的效果 ，从而提高学生 的数学 素养 和创造性 地解决 问题 的能力．本文展示 一类 函数视 角下 面积问题
三角形面积的解析几何推导
三角形面积的解析几何推导三角形是几何学中的基本形状之一，它具有广泛的应用。
在解析几何中，我们可以使用坐标系来推导三角形的面积。
本文将使用解析几何的方法，推导三角形面积的计算公式。
假设我们有一个三角形ABC，其中A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)是三个顶点的坐标。
我们的目标是计算出这个三角形的面积。
首先，我们可以根据向量的定义，得到两个向量AB和AC的坐标表示：向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)向量AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以利用向量的叉积来计算三角形的面积。
向量的叉积定义如下：向量的叉积= |AB × AC| = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB × AC|表示向量AB和AC的叉积的长度，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的长度，θ表示向量AB和AC的夹角。
根据三角形的面积计算公式，我们知道，三角形的面积等于底边长度乘以高，并且高等于底边长度乘以sinθ。
因此，我们可以将向量的叉积用于计算三角形的面积。
由于向量的叉积的长度等于平行四边形的面积，所以三角形的面积等于平行四边形的面积的一半。
因此，我们可以将向量的叉积的长度除以2，来计算三角形的面积。
综上所述，我们得到了计算三角形面积的公式：三角形面积 = |AB × AC| / 2现在，我们将这个公式应用到具体的三角形ABC的坐标表示中。
假设点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)是三角形ABC的顶点。
我们可以计算出向量AB和向量AC的坐标表示：向量AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)向量AC = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)接下来，我们计算向量AB × AC的叉积的长度：|AB × AC| = |2 * 4 - 2 * 4| = 0最后，我们将叉积的长度除以2，来计算三角形ABC的面积：三角形面积 = 0 / 2 = 0因此，三角形ABC的面积为0。
面积的研究-王五
面积的研究-王五
引言
本文旨在探讨面积的研究，主要讨论面积的定义、计算方法以及应用领域等内容。
面积的定义
面积是指平面上某个区域所占据的空间大小。
在数学中，面积可以通过计算该区域的长度和宽度来得到。
面积的计算方法
面积的计算方法根据不同的几何形状而异。
以下为常见几何形状的面积计算方法：
1. 正方形和长方形：面积等于边长或长度乘以宽度。
2. 圆形：面积等于π乘以半径的平方。
3. 三角形：面积等于底边长度乘以高度再除以2。
4. 梯形：面积等于上底和下底长度之和乘以高度再除以2。
面积的应用领域
面积的概念在各个学科和领域中都有广泛的应用，其中一些常见的应用领域包括：
1. 建筑领域：用于测量建筑物的地板面积和房间面积，以确定其大小和布局。
2. 地理学：用于测量陆地、国家和城市的面积，以研究地理特征和人口分布。
3. 农业学：用于测量农田的面积，以帮助农民计划和管理农作物种植。
4. 统计学：用于调查和研究中收集和分析数据的单位面积。
结论
面积作为一个基本几何概念，在各个学科和领域中都有重要的应用。
通过了解不同几何形状的面积计算方法，我们能够更好地理解和应用面积的概念。
直线与椭圆相交的三角形面积问题探究
直线与椭圆相交的三角形面积问
题探究
直线与椭圆相交所产生的三角形面积问题是高中解析几何中的常见问题．它不仅能充分体现数形结合、分类讨论及转化与化归等重要数学思想，更重要的是对于提升学生的整体数学素养具有很大的作用．本文从直线与椭圆相交所构成三角形的基本特点出发，就定直线与定点构成三角形、定直线与动点构成三角形以及动直线与定点构成三角形这三类问题对椭圆内三角形面积的问题求法进行探究．
以上是笔者对直线与椭圆相交的三角形有关面积问题的一点总结．但在实际解决问题中，题目的已知条件都是灵活多变的，有时甚至还要考虑其它因素的存在，比如说椭圆的焦点在y 轴上等情形．
因此，在日常的学习过程中，还需要多进行归纳总结，丰富解决问题的经验，才能真正做到灵活处理有关椭圆的问题．另外，椭圆内部的图形也不全是由三角形构成，常见的还有求椭圆内四边形面积的最值，有待我们进一步探究．。
2020年中考复习课件：面积法在几何问题的应用(共18张PPT)
7.在Rt△ABC中，CB=3,BA=4,点D分BC为1：2，连接AD， 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。求BE+CF 的值是________
解S△：ABD∵= S12△AADC·D=B12E,ASD△·ACCBF=,12 AB·CB. 又S△ACD+S△ABD=S△ACB ∴AD(BE+CF)=AB·CB,
6.如图，在矩形ABCD中，AB=3, AD=4,P是AD上不 与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂 线，垂足为E, F。求PE+PF的值。
解：连接OP，过A作AH⊥BD垂足为H.
在矩形ABCD中，AB=3, AD=4， 由勾股定理 得：BD=5. ∵BD·AH=AB·AD, ∴AH=2.4. ∵PE⊥AO,PF⊥DO, ∴S△SA△ODA=P12O=O12D·AOA·H.PE,S△DOP=12 DO·PF,
解：根据面积法求得
PE+PF=DG
DG=
AD • CD 12 =
AC 5
∴PE+PF=
12 5
设PE=x，则PF=
12－Ｘ 5
∴PE·PF=x·( 12－Ｘ ) =－（ｘ－５ ６）２＋２ ３５ ６ 5
∴当x=
6 5
时，PE·PF取得最大值为
36 25
类型五、借助面积证两角相等
13.如图，C是线段AB 上的一点，△ACD、△BCE都 是等边 三角形，AE、BD相交于O。 求证：∠AOC=∠BOC
2
2
∴AB·CN=BC·AM
BC • AM 120
即 CN=
= AB 13
几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)
几何图形的面积问题（与函数值域转化）一、考情分析圆锥曲线中几何图形的面积问题，是近几年高考命题的重点和难点。
在2018年的全国卷和2019年的全国卷中，都有圆锥曲线的大题压轴的第二问出现。
题目的难度是可想而知的，这其中涉及到：距离，斜率，切线，直线与圆，三角形的面积，四边形的面积等。
此专题，从这个出发点出发，梳理了最近的高考题和诊断性考试题，得出曲径通幽的解题之法。
归根结底，最终都是转换到函数值域。
二、经验分享圆锥曲线中的几何图形的面积问题，以及围绕与几何图形的面积问题关键是： 其一，选取合适的变量，第二，建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题（也就是转化成函数值域问题）， 第三，构造函数，用导数的方法求其最大值与最小值。
其求解策略一般有以下几种：①几何法：根据题目上传达的几何图形以及几何关系，建立目标函数，若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法: 若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.三、题型分析（一）角的最值问题例1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【变式训练1】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A. 13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B. 32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 13,43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【变式训练2】【2019届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.【变式训练3】【2019届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且0120(AOB O ∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为 （ ） A.31 B. 2 C. 21 D. 51【答案】A【解析】由题意得，当()22222424c a b cx y a-=-⇒= ，则 ()()2222222244,,2424ca b ca b c cA B aa⎛⎛-- -- ⎝⎝，又因为120AOB ∠=︒， ()22242242244244tan 384084032ca b c c a c a c a a aπ-==-+=⇒-+=4222840423(4231,)331e e e e e ∴-+=⇒=±-<⇒=⇒=舍去.（二）距离的最值问题例2.【2019届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2 3 2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点(23,2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2|232|21k k -=+,求得0k =或3k =,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.【变式训练1】【2020届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（ ） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．（三）几何图形的面积的范围问题例3.在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为11422255O l d -=⨯=,圆C 面积的最小值为1． 【变式训练1】【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ， B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时， PAB ∆面积的最大值是 A. 22 B. 2 C.223 D. 23【答案】A【变式训练2】【吉林省普通中学2020届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A ．73 B ． 6 C ． 132D ． 3【答案】B【变式训练3】【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.（四）函数转化例4.【2019届成都一诊】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a b y a x C ：，2202220)(ax a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22ab mn -=原式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222所以设1>=b a t ，函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到：2t =时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。
浅谈几何教学中面积法的运用
浅谈几何教学中面积法的运用——一道全市统测题引发的思考[摘要]： 利用面积法解题，具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
[关键词]：面积的可分性；线段的和差关系；面积比；线段的比几何是初中数学的一个难点，学生对几何感到很难学、不想学、怕学。
因此，在几何教学过程中，除了培养学生的学习兴趣以外，还要经常帮助学生进行一题多变多解的训练，学生感到难的题要让学生从内心上不要心生畏惧，而要善于去探索，去总结，进而达到事半功倍的效果。
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。
所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法．在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法．并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
2011至2012学年度东莞市全市统测八年级数学试卷的第10题就出了一道此类型的题目，结果因为学生平常接触较少，不会灵活解题，导致丢分现象十分严重。
下面本文就由此题展开，从四个方面把教学中常遇到的一些题型举例介绍面积法在解题中的运用。
1.利用面积的可分性证明线段的和差关系例一、（华东师大八年级下第110页习题第三题）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边长AB 、BC 分别为8和15，求点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和． 解：过P 点作PE ⊥AC,PF ⊥BD, 连接PO ，S△AOD=41S 矩形ABCD =41⨯8⨯15=30在矩形ABCD 中，∠ABD=900OA=OD=OB=OC=AC 21∴AC==+22AB AD 22158+=17，S△AOD=S△AOD=30∴30)(1741=+⨯⨯PF PE∴PE+PF=17120而今年的全市统考题就是根据上面的题进行变型、变题，但解题思路跟上题一样。
如例二、如图2，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F, AG ⊥BD 于)(1741)(221)(212121PF PE PF PE AC PF PE OA PF OD PE OA +⨯⨯=+⨯=+=⋅+⋅=G,试问，PE+PF 与AG 有什么关系？ 证明你的结论。
解析几何面积新高度
解析几何面积新高度在解析几何的奇妙世界里呀，面积这个概念可真是有着独特的魅力呢。
一、基础回顾。
咱们先来说说解析几何里那些和面积有关的基本元素。
比如说三角形，在平面直角坐标系里，三角形的顶点坐标要是知道了，那求它的面积就有好多有趣的办法。
最常见的一种就是用行列式来求啦。
假如有个三角形，三个顶点坐标分别是(x_1,y_1)，(x_2,y_2)，(x_3,y_3)，那它的面积S就可以用这个行列式的绝对值的一半来表示：S = (1)/(2)begin{vmatrix}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{vmatrix}。
这个方法就像是一把神奇的小钥匙，一下子就把三角形的面积和坐标联系起来了。
还有一种就是用向量的叉乘来求三角形面积。
如果有两个向量→AB和→AC，那三角形ABC的面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|。
这感觉就像是在向量的海洋里找到了一片和面积有关的小岛屿呢。
二、曲线围成的面积。
再说说曲线围成的面积。
像椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1，要求它的面积，咱们就得用积分这个厉害的工具啦。
根据椭圆的对称性，咱们只需要算出第一象限的面积，然后乘以4就好啦。
通过定积分S = 4∫_0^ay dx，把y = b√(1 - frac{x^2){a^2}}代进去，经过一番计算，就能得到椭圆的面积是π ab。
这个过程就像是一场小冒险，在积分的道路上一步步探索，最后找到宝藏——椭圆的面积。
还有抛物线y = ax^2+bx + c 和直线围成的面积，也是用定积分来求解。
先求出它们的交点坐标，然后确定积分的上下限，再对(ax^2+bx + c - mx - n)（这里y = mx + n是直线方程）进行积分，就能算出面积啦。
这就像是在曲线和直线交织的迷宫里找到出口一样，算出面积的时候可开心啦。
三、面积的拓展应用。
在实际的问题里，解析几何中的面积问题也是超有用的呢。
比如说在建筑设计里，如果要设计一个特殊形状的建筑，这个建筑的平面图可能是由一些曲线和直线组成的不规则图形。
2021-2022年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积,共线,向量结合的问题教学案理
2021年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的问题教学案理1解析几何中的面积问题解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一.例1【西南名校联盟高三xx年元月考试】已知抛物线上的两个动点，的横坐标，线段的中点坐标为，直线与线段的垂直平分线相交于点.（1）求点的坐标；（2）求的面积的最大值.思路分析：（1）根据题设条件可求出线段的斜率，进而求出线段的垂直平分线方程，联立直线与线段的垂直平分线方程，即可求出点的坐标；（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段的长，再求出点到直线的距离，即可求出的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.设， ()232561625616h t t t t =⨯+--， 则 ， 令得 (舍去)， ，由于时， ， 单调递增，时， ， 单调递减，∴当时， 取得最大值，即的面积取得最大值， 23116161625616256164333⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围2解析几何中的共线问题解析几何中的共线问题的处理方法，常利用向量共线定理来证，即先设出向量的坐标，利用题中给出的关系，证明坐标交叉积的差等于零即可. 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题转化为向量问题.三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了.例2已知点的坐标为是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且.（1）求证: 点共线;（2）若，当时，求动点的轨迹方程.思路分析：(1)要证三点共线，只要证即可，设()()()2211221212,,,,,0,0A t t B t t t t t t ≠≠≠ ，由可得，代入两向量平行的条件即可证；(2) 设动点,则()(),,1,OQ x y CQ x y ==-，由即列出方程即可.点评：本题考查向量的坐标运算与数量积、抛物线的标准方程与几何性质与轨迹方程的求法，属中档题；求轨迹方程有直接法、相关点法、定义法、参数法等多种方法，当题目给出等量关系时，可用直接法，本题就是用直接法求解的.3解析几何中的与向量结合问题平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点.基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力.由于向量既能体现"形"的直观位置特征，又具有"数"的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.例3【西藏拉萨市xx 届第一次模拟】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若的顶点、在椭圆上，所在的直线斜率为，所在的直线斜率为，若，求的最大值．思路分析：(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程，再根据椭圆过已知点列出一个方程，解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA和OB的斜率乘积为定值，因此OA的斜率为，则OB的斜率可表示为，分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立，求出A、B两点的横坐标，得出两点的横坐标的积，根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标的积，从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.点评：求椭圆的标准方程一般采用待定系数法,列方程组解方程求出a,b;(2) 本题为斜率乘积为，是一种常见的典型考题，根据OA和OB的斜率乘积为定值，可以减元，用OA的斜率表示OB的斜率，分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立，求出A、B两点的横坐标，根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标，从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示.综合以上三类问题，平面解析几何中计算多边形的面积的方法是把多边形分为若干三角形.计算出每一个三角形的面积而后加起来.有规则的图形和不规则的图形,常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解. 研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求.解析几何中平行、共线问题，求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.利用向量夹角的坐标形式解题，求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解.向量数量积，求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，将向量形式转化为代数形式.垂直向量，求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题.。
高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题
高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题平面几何作为高考数学中的重点考点，其涉及的知识点十分广泛，其中面积和体积相关问题也是不可避免的。
不少同学在平面几何的学习中常常会遇到很多不理解的问题，如何理解面积和体积相关问题就成为了他们面临的一大难题。
本文将从理论和实际的角度出发，结合具体的例子，详细探讨高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题。
一、面积问题平面图形的面积是平面几何中最为基本和核心的概念之一，其在高中数学中占据了至关重要的地位。
我们可以通过几何学的方法来计算图形的面积，也可以通过重心的概念来计算一些简单形状的面积。
但对于一些复杂的图形，就需要运用积分的方法求解。
例如，对于弧形图形的面积，我们可以通过将其分割成若干条扇形弧来进行积分，即：$$S= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^{2} d\theta $$其中，$S$为弧形的面积，$\alpha$和$\beta$分别为弧形的起始角度和终止角度，$r$为弧形所在的圆的半径，$\theta$为弧形的角度。
此外，还有一些特殊的图形，如三角形、矩形等，它们的面积计算比较简单。
对于三角形而言，其面积可以通过底边长度和高的乘积除以二来计算，即：$$S=\frac{1}{2}bh$$其中，$S$为三角形的面积，$b$为三角形的底边长度，$h$为三角形的高。
对于矩形而言，其面积可以通过长和宽的乘积来计算，即：$$S=lw$$其中，$S$为矩形的面积，$l$为矩形的长，$w$为矩形的宽。
总的来说，在高考数学中，我们需要掌握各种平面图形的面积计算方法，并灵活运用它们，以便对各种类型的题目进行解答。
二、体积问题在立体几何中，体积问题是最为基础和核心的概念之一。
一个立体图形的体积是指这个图形内部的空间大小，其计算方法也是非常繁琐的。
通常情况下，我们可以通过截断法、旋转法、切片法等方法来解决这个问题，对于一些简单的图形，我们也可以直接计算其体积。
解析几何长度、面积
解析几何中的长度、面积问题近几年解析几何中的“长度与面积问题”在全国各地的高考试卷中频频出现，此类问题有综合性强、运算量大、思想方法多、思维能力要求高等特点.对这类问题，要采取恰当的处理方法，才能快速、有效地找到解题，少走弯路。
那么如何计算和处理线段长度(包括弦长、两点间的距离)，我总结了以下几条途径：一、与圆相关的线段长度的计算和处理，应借助于圆心和半径．必要时利用平面几何的某些结论，比如大家熟悉的圆的弦长、切线长的计算。
例 (2016·淮阴中学)已知圆M ：x 2+y -4 2=4，点P 是直线l ：x -2y =0上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)当切线P A 的长度为23 时，求点P 的坐标.(2)若△P AM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB 长度的最小值.【解答】(1) P (0，0)或P 165 ,85 .(2)定点(0，4)，85 ,45 .(3)因为圆N 方程为x -b 2+y -b +42 =4b 2+(b -4)24，即x 2+y 2-2bx -(b +4)y +4b =0， ①圆M ：x 2+(y -4)2=4，即x 2+y 2-8y +12=0， ②，②-①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在的直线方程为2bx +(b -4)y +12-4b =0，点M 到直线AB 的距离d =45b 2-8b +16 ，相交弦长即AB =24-d 2 =41-45b 2-8b +16 =41-45b -45 2+645，当b =45 时，AB 有最小值11 .练1、已知在平面直角坐标系中，点A (2，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有___3__条．2、若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ax +2ay -9=0(a >0)相交，公共弦的长为2，则a =102 .3、已知圆C 1：(x -2)2+(y -3)2=1，圆C 2：(x -3)2+(y -4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM +PN 的最小值为52 -4．二、圆锥曲线上涉及到焦点的距离，可以考虑圆锥曲线的定义和统一定义，从而实现从难到易、化繁为简的目的．21．（重庆2015理，21）如图，椭圆x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点，且PQ ⊥PF 1（1）若PF 1 =2+2 ,PF 2 =2-2 ，求椭圆的标准方程（2）若PF 1 =PQ ,求椭圆的离心率e .(2)解法一:如图(21)图， 设点P (xo ,yo )在椭圆上，且PF 1⏊PF 2，则x 02a 2 +y 02b 2 =1,x 02+y 02=c 2求得x 0=±c a a 2-2b 2 ,y 0=±b 2c由PF 2>PF 2 ,得x 0>0,从而PF 1 2=c a a 2-2b 2 +c 2+b 2c=2(a 2-b 2)+2a a 2-2b 2 =(a +a 2-2b 2 )2由椭圆的定义，PF 1 +PF 2 =2a ,QF 1 +QF 2 =2a ,从而由PF 1 =PQ =PF 2 +QF 2 ,QF 1 =4a -2PF 1又由PF 1⏊PF 2,PF 1 =PQ 1 知QF 1 =2 PF 1 , 因此2+2 PF 1 =4a 于是2+2 (a +a 2-2b 2 )=4a 解得e =12 1+42+2 -12 =6 -3 解法二：如图（21）图由椭圆的定义，PF 1 +PF 2 =2a ,QF 1 +QF 2 =2a ,从而由PF 1 =PQ =PF 2 +QF 2 ,有QF 1 =4a -2PF 1又由PF 1⏊PF 2,PF 1 =PQ 知 QF 1 =2 PF 1 ,因此4a -2PF 1 =2 PF 1 ,PF 1 =2(2-2 )a ,从而PF 2 =2a -PF 1 =2a -(2-2 )a =2(2 -1)a由PF 1⏊PF 2,知PF 1 2+PF 2 2=(2c )2=4c 2,因此e =c a =PF 1 2+PF 2 2 2a =(2-2 )2+(2 -1)2 =9-62 =6 -3 练（1）(2016·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 13 ,+∞ .(2)已知双曲线x 2a 2 -y 2b2 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且BC =CF 2，则双曲线的渐近线方程为y =±(3+1)x ．（3）已知定点A (1,-1),F 为椭圆x 24 +y 23=1的右焦点，点P 为椭圆上的动点，则P A +2PF 的最小值为 3三、分量法水平线段和竖直线段的长度计算，比起一般线段长度的计算要简单的多，因此，设法把斜线段的长转化为水平(或竖直)线段的长可以起到从难到易、化繁为简的效果，特别对于线段长度的比例运算，更是有立竿见影的作用．例：(2016·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2 +y 2b2 =1(a >b >0)的离心率e =12 ，左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .(1)求椭圆C 的方程.(2)已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD +AE OM的最小值. 【解答】(1) x 216 +y 212=1.(2) Q 的坐标为(-3，0)(3)因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y =kx ，由x 216 +y 212 =1y =kx得点M 的横坐标为x M =±43 4k 2+3 ，由OM ∥l ，得AD +AE OM =x D -x A +x B -x A x M =x D -2x A x M =-16k 2+124k 2+3 +843 4k 2+3 =13 ⋅4k 2+94k 2+3 =13 (4k 2+3 +64k 2+3 )≥22 ，当且仅当4k 2+3 =64k 2+3 ，即k =±3 2 时取等号，所以当k =±3 2 时，AD +AE OM 取得最小值为22 .例：（四川2015理，20）如图，椭圆E ：x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率是2 2 ，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22 .(1)求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =P A PB恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 24 +y 22=1；（2）存在，Q 点的坐标为Q (0,2).(2)当直线ι与x 轴平行时，设直线ι与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则QC QD =PC PD=1,即QC =QD 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,n ),当直线1与x 轴垂直时，设直线1与椭圆相交于M 、N 两点则QM QN =PM PN ,有y 0-2 y 0+2=2 -12 +1 ,解得y 0=1,或y 0=2所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,,2)下面证明:对任意的直线ι，均有QA QB =P A PB当直线ι的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线ι的斜率存在时，可设直线ι的方程为y =kx +1, A B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2联立x 24 +y 22 =1y =kx +1,得 2k 2+1 x 2+4kx -2=0其判别式△16k 2+8(2k 2+1)>0所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1 ,x 1x 2=-22k 2+1 因此1x 1 +1x 2=x 1+x 2x 1x 2 =2k 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2)又kQA =kQB ,即Q ,A ,B 三点共线所以QA QB =QA QB =x 1 x 2 =P A PB 故存在与P 不同的定点Q (0,2),使得QA QB =P A PB恒成立四、向量法，解析几何的“长度问题”如果能与向量结合，利用向量知识与方法可将长度问题向量化，就能收到事半功倍的解题效果。
专题解析几何中面积问题的研究与拓展样本
专题7.22: 解析几何中面积问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究1: 如图, 设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点, 过原点O 作直线交线段AB 于点M ( 异于点A , B ) , 交椭圆于C , D 两点( 点C 在第一象限内) , ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．( 1) 若M 是线段AB 的中点, 直线OM 的方程为13y x =, 求椭圆的离心率; ( 2) 当点M 在线段AB 上运动时, 求12S S 的最大值． 解: ( 1) 232=e ; (2)设),(),,(0000y x D y x C --,( 0,000>>y x )abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t +=1: 三角换元: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ),当且仅当2=t 时( 此时4πθ=时等号成立) ,21S S 可取得最大值223-2: 基本不等式的应用: 222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行; 且在该交点处, 此时21,S S ,21S S 都是最大的.探究2: 如图, 椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32, x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C 1的长半轴长 ( 1) 求C 1, C 2的方程;( 2) 设C 2与y 轴的焦点为M, 过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C 1相交与D,E ．( I) 证明: MD ⊥ME;( II) 记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问: 是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.解: ( 1) 由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a a c e 解得又从而 故C 1, C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x( 2) ( i) 由题意知, 直线l 的斜率存在, 设为k, 则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根, 于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为( 0, —1) , 因此2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB, 即MD ⊥ME.( ii) 设直线MA 的斜率为k 1, 则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或, 则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -,同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或, 则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k1-, 同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++由题意知,2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或 又由点A 、 B 的坐标可知,21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在, 且有两条, 其方程分别为.2323x y x y -==和 探究3: 如图, 已知椭圆22143x y +=的左焦点为F , 过点F 的直线交椭圆于,A B 两点, 线段AB 的中点为G , AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点． ( 1) 若点G 的横坐标为14-, 求直线AB( 2) 记△GFD 的面积为1S , △OED ( O 积为2S ．试问: 是否存在直线AB , 使得1S =解: ( 1) 21±=k ( 2) 不存在, 计算可得892-=k探究4: 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =, 12,A A 分别是椭圆E 的左、 右两个顶点, 圆2A 的半径为a , 过点1A 作圆2A 的切线, 切点为P , 在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ( 1) 求直线OP 的方程; ( 2) 求1PQ QA 的值;Py xNMBAO解: ( 1) 连结2A P , 则21A P A P ⊥, 且2A P a =, 又122A A a =, 因此1260A A P ∠=. 因此260POA ∠=, 因此直线OP 的方程为3y =.⑵由⑴知, 直线2A P 的方程为3()y x a =--, 1A P 的方程为3)y x a +, 解得2P ax =. 因为3e , 即3c a =因此2234c a =, 2214b a =, 故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由22223),341,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-, 因此1()3274()7a aPQ a QA a --==---．⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>,联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22()1414B k k ++, 因此22114k OB a k +=+用1k -代替上面的k , 得2214k OC ak +=+．同理可得, 21OM k=+, 21ON k=+．因此4122214(14)(4)S S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=++．因为22221115(14)(4)4()17k k k k++++,当且仅当1k =时等号成立, 因此12S S ⋅的最大值为45a探究5: 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C : 22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-, 6( 1) 求椭圆C的方程;( 2) 设点B是点A关于原点O的对称点, P是椭圆C上的动点( 不同于A, B) , 直线AP, BP分别与直线3x=交于点M, N, 问: 是否存在点P使得PAB∆和PMN∆的面积相等? 若存在, 求出点P的坐标, 若不存在, 说明理由．解: ( 1) 由题意得22222 111,,6,a ba b ccea⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分解得2244,3a b==．………………… 4分∴椭圆C的方程为223144x y+=．………………… 5分( 2) 如图, B点坐标为(1,1)-, 假设存在这样的点P00(,)x y,则直线AP的方程为011(1)1yy xx--=++,探究6: 已知点M是圆C: 22(1)8x y++=上的动点, 定点D( 1, 0) , 点P在直线DM 上, 点N在直线CM上, 且满足2DM DP=, NP DM⋅=0, 动点N的轨迹为曲线E。
小学数学的解析几何形的面积与周长解析
小学数学的解析几何形的面积与周长解析解析几何形是数学中的一门重要分支，通过运用坐标系和代数方法来研究几何问题。
在小学阶段，数学教育也开始引入解析几何的概念，帮助学生更好地理解几何形的性质。
本文将重点讨论小学数学中解析几何形的面积与周长的解析方法。
一、直线段的长度在解析几何中，直线段是最基本的几何元素之一。
在二维平面坐标系中，给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，AB之间的距离则可以通过如下公式计算：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，√表示平方根，(x₂ - x₁)²表示x₂ - x₁的平方。
二、矩形的面积与周长矩形是小学数学中常见的几何形。
对于一个矩形，它有四条边，分别为长方形的长和宽。
假设矩形的左上角顶点为A(x₁, y₁)，右下角顶点为B(x₂, y₂)。
那么矩形的长为|x₂ - x₁|，宽为|y₂ - y₁|。
因此，矩形的面积可以计算为：面积 = 长 ×宽 = |x₂ - x₁| × |y₂ - y₁|矩形的周长则是四条边之和，由于矩形相邻边的长度相等，因此可以计算为：周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|)三、三角形的面积与周长三角形是解析几何中另一个重要的几何形。
给定三角形的三个顶点A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，我们可以通过以下步骤计算三角形的面积和周长。
1. 计算边长通过计算AB、AC和BC的长度，可以得到三角形的边长。
根据直线段长度的计算公式，我们有：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)2. 计算周长三角形的周长为三条边之和，即：周长 = AB + AC + BC3. 计算面积对于任意给定的三角形ABC，可以利用海伦公式计算其面积。
专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展
专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率； （2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值． 解：（1）232=e ； （2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t += 1：三角换元：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ)，当且仅当2=t 时（此时4πθ=时等号成立），21S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时21,S S ,21S S 都是最大的.探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长 （1）求C 1，C 2的方程；（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E ．（I ）证明：MD ⊥ME;（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732S S =？请说明理由.解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和 探究3：如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（1）若点G的横坐标为14-，求直线AB的斜率；（2）记△GFD的面积为1S，△OED（O为原点）的面积为2S．试问：是否存在直线AB，使得12S S=？说明理由．解：（1）21±=k（2）不存在，计算可得892-=k探究4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率3e=，12,A A分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆2A的半径为a，过点1A作圆2A的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求1PQQA的值；解：（1）连结2A P，则21A P A P⊥，且2A P a=，又122A A a=，所以1260A A P∠=o.所以260POA∠=o，所以直线OP的方程为3y=.⑵由⑴知，直线2A P的方程为3()y x a=--，1A P的方程为3)y x a=+，解得2Pax=. 因为3e，即3ca=2234c a=，2214b a=，故椭圆E的方程为222241x ya a=+.由22223),341,y x ax ya a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Qax=-，所以1()3274()7a aPQaQA a--==---．⑶不妨设OM的方程为(0)y kx k=>，x联立方程组2222,41,y kx x y a a =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B，所以OB = 用1k -代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．因为15，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a探究5：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-，离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点B 是点A 关于原点O 的对称点，P 是椭圆C上的动点（不同于A ，B ），直线AP ，BP 分别与直线x =，N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）由题22222111,,a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分 解得2244,3a b ==． ………………… 4分 ∴椭圆C 的方程为223144x y +=． ………………… 5分 （2）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 00(,)x y ，则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，探究6：已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u ur u u u u r =0，动点N 的轨迹为曲线E 。
中数学微课题研究性精品教程专题5.3：区域面积问题的研究与拓展.docx
桑水专题5.3：区域面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中，已知平面区域()(){}0,0,1,≥≥≤+=y x y x y x A ，则平面区域()()(){}A y x y x y x B ∈-+=,,的面积为________ 1变式1：x x x f 2)(2-=，则满足条件⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点()y x ,所形成的区域面积为__________.变式2：已知函数2)(2-=x x f ，若)()(b f a f ≥，且b a ≤≤0，则满足条件的的点()b a ,所围成的面积为______2π 解 易知f (x )在[0,2]上为减函数，在[2,)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在(2,)+∞．若0≤a ≤b ≤2，则2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①； 若0≤a ≤2≤b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π．探究2：如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个 零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 2+4π2 2 2 Oab ② 图7①桑水探究3：直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤，(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤， 点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积__________.变式1：两个正实数b a ,满足3≤+b a ，若当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时，恒有2)()(22≥-+-b y a x ，则以b a ,为坐标的点),(b a 所形成的平面区域的面积等于________. 22π-解：两个面积为1的三角形减去两个(半径为根号2的圆的1/8）变式2： A ＝}0,2,|),{(≥≤≤y x x y y x ，B ＝}42,64|),{(≤≤≤≤y x y x ，设M ＝,2|),{(21x x x y x +=}),(,),(,2221121B y x A y x y y y ∈∈+=，则点集M 所形成图形的面积为 ．探究3：在直角坐标系平面上的点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=y x x y y x M 11),(， {}2),(22<+=y x y x N ，则集合N M ⋂所表示的图形的面积是_________________变式1：若将集合N 改为{}1),(22<+=y x y x N ，结论如何？变式2：若将集合N 改为{}4),(22<+=y xy x N ，结论如何？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
解析几何中面积问题的总结探究——以椭圆问题为例
解析几何中面积问题的总结探究——以椭圆问题为例
赵玉秋
【期刊名称】《数理天地:高中版》
【年(卷),期】2022()16
【摘要】解析几何中的面积问题十分常见,类型也较为众多,如求三角形、平行四边形等不规则图形的面积,同时也有特殊视角下求面积最值、面积定值、面积取值范围等.该类问题往往需要经历模型构建、变形转化、运算推导等过程,下面举例探究椭圆中面积问题.
【总页数】2页(P12-13)
【作者】赵玉秋
【作者单位】北京市通州区永乐店中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.以问题为导向,实施有效探究——以椭圆内接三角形面积最大值的探究为例
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专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率； （2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值． 解：（1）232=e ； （2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t += 1：三角换元：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ)，当且仅当2=t 时（此时4πθ=时等号成立），21S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时21,S S ,21S S 都是最大的.探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长 （1）求C 1，C 2的方程；（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E ．（I ）证明：MD ⊥ME;（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732S S =？请说明理由.解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和 探究3：如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,D E两点．（1）若点G的横坐标为14-，求直线AB的斜率；（2）记△GFD的面积为1S，△OED（O为原点）的面积为2S．试问：是否存在直线AB，使得12S S=？说明理由．解：（1）21±=k（2）不存在，计算可得892-=k探究4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率32e=，12,A A分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆2A的半径为a，过点1A作圆2A的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求1PQQA的值；解：（1）连结2A P，则21A P A P⊥，且2A P a=，又122A A a=，所以1260A A P∠=.所以260POA∠=，所以直线OP的方程为3y=.⑵由⑴知，直线2A P的方程为3()y x a=--，1A P的方程为3)y x a=+，解得2Pax=. 因为32e=，即32ca=，所以2234c a=，2214b a=，故椭圆E的方程为222241x ya a=+.由22223),41,y x ax ya a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Qax=-，所以1()3274()7a aPQaQA a--==---．⑶不妨设OM的方程为(0)y kx k=>，x联立方程组2222,41,y kx x y a a =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B，所以OB = 用1k -代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．因为15，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a探究5：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-，离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点B 是点A 关于原点O 的对称点，P 是椭圆C上的动点（不同于A ，B ），直线AP ，BP 分别与直线x =，N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）由题22222111,,3a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分 解得2244,3a b ==． ………………… 4分 ∴椭圆C 的方程为223144x y +=． ………………… 5分 （2）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 00(,)x y ，则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，探究6：已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =，NP DM ⋅=0，动点N 的轨迹为曲线E 。
（1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值。
探究7. 在平面直角坐标系xOy 中，过定点T （t ，0）（t 为已知常数）作一条直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A ，B 两个不同点，求△AOB 面积S 的最大值．探究8. 已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点A （0，5），B （-8，-3），C ，D 在椭圆G 上，直线CD 过坐标原点O ，且在线段AB 的右下侧．求： （1）椭圆G 的方程；（2）四边形ABCD 的面积的最大值．探究9：如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分 别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大 到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;（2）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得, 又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .探究10：平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（1）求M 的方程;（2）,C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.探究11：（2014）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =-（1）求12,C C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【解析】（1）因为123e e =，所以22223a b a b -+⋅=，即44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b ，4(3,0)F b ，于时243||31b b F F -==-，所以1b =，22a =．故12,C C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -= （2）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =- 由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(2)210m y my +--= 易知此方程的判别式大于0，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m -=+ 因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为224(,)22m M m m -++，故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2my x =-，即20mx y +=．由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得，22(2)4m x -=，所以220m ->，且222224,22m x y m m ==--，从而22224||222m PQ x y m +=+=-．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为PQ ，所以1122224d m =+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--从而 22d =又因为12||2y y m -=+2d =故四边形APBQ 的面积1||22S PQ d =⋅==而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2． 综上所述，四边形APBQ 在面积的最小值为2．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。