解析几何中面积问题的研究与拓展

专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段

AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．

（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为1

3

y x =，求椭圆的离心率； （2）当点M 在线段AB 上运动时，求

1

2

S S 的最大值． 解：（1）23

2

=

e ； （2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）

ab

ay bx ab

ab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-

=++-+=----+=000000000021

21

令00ay bx t += 1：三角换元：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

4sin 2πθt ⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,0(πθ)，

当且仅当2=

t 时（此时4

π

θ=

时等号成立），

2

1

S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：2

2

2

2

02

02

1)()(t b a ay bx ≥

=+,同理可得结果 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时21,S S ,2

1

S S 都是最大的.

探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>

的离心率为2，x 轴被曲线2

2:C y x b =- 截得的线段

长等于C 1的长半轴长 （1）求C 1，C 2的方程；

（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E ．

（I ）证明：MD ⊥ME;

（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得

1217

32

S S =？请说明理由.

解：（1）由题意知.1,2,2,2,2

3======

b a a b b a a

c e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14

222

-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.

由⎪⎩

⎪⎨⎧-==12

x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是

.1,2121-==+x x k x x

又点M 的坐标为（0，—1），所以

2

121212

212122111

)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB

MA +++=

++=+⋅+=⋅ .11

1

22-=-++-=

k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.

（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=-=1,

1,12

11x y x k y x k y 由解得 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1

,102

1k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(2

11-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11

,1(21

1--

k k

于是211111111|||||||22||

k S MA MB k k k +=⋅=-=

由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0

44,12

21y x x k y 得.08)41(12

21=-+x k x k 解得1212

12

1

8,140,141

14k x k x y k y k ⎧

=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1

-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2

121211k k k k +-+-

于是)

4)(1(||)1(32||||212

1211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此2

1122114(417).64S k S k =++ 由题意知，

2221112114171

(417),4,.64324

k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111

1

13,.12k k k k k k k k -

=

=-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2

323x y x y -==

和 探究3：如图，已知椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点