排队论例题

几种典型的排队模型

（1）M/M/1/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型

系统的稳态概率n P

01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。

系统运行指标

a.系统中的平均顾客数（队长期望值）

0.s n i L n P λμλ∞===

-∑；

b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）

0(1).q n i L n P ρλμλ

∞==-=

-∑； c.系统中顾客停留时间的期望值

1[]s W E W μλ

==

-； d.队列中顾客等待时间的期望值 1q s W W ρμμλ=-

=-。

(2) M/M/1/N/∞/FCFS 单服务台排队模型

系统的稳态概率n P

011,11N P ρρρ+-=

≠-； 11,1n n N P n N ρρρ

+-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）

1

1(1)11N s N N L ρ

ρρρ+++=--- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）

0(1)q s L L P =--

c ．系统中顾客停留时间的期望值

0(1)

s s L W P μ=

- d ．队列中顾客等待时间的期望值 。1

q s W W μ=-

(3) M/M/1/∞/m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型

系统的稳态概率n P

00

1!()()!m i i P m m i λμ==-∑； 0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标

a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）

0(1)s L m P μλ=-

- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）

00()(1)(1)q s L m P L P λμλ

+=--=-- c ．系统中顾客停留时间的期望值 01(1)s m W P μλ

=-- d ．队列中顾客等待时间的期望值

1q s W W μ=-

(4) M/M/c/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型

系统的稳态概率n P 100111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c c

λμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 系统运行指标

a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）：

s q L L λμ=+

b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）： 021

()(1)!(1)c q n n c c L n P P c ρρρ∞=+=-=-∑ c ．系统中顾客停留时间的期望值：

s s L W λ

=

d ．队列中顾客等待时间的期望值： q q L W λ=

[典型例题精解]

例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。求：

(1)顾客来理发不必等待的概率；(2)理发馆内顾客平均数；

(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，

则店主将考虑增加设备及人员。问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢？

例2：某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。若来访人员按普阿松流到达，其到达速率λ=7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率μ=7.5人/小时。现在问：

(1)来访者需要在接待室逗留多久？等待多长时间？

(2)排队等待接待的人数。

(3)若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少？

例3：某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。求：

（1）顾客到达电话亭要等待的概率；

（2）等待打电话的平均顾客数；

（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？

（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？

例4：单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。当6把椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就离开。顾客平均到达率为3人/小时，理发需时平均15分钟。求系统各运行指标。

例5：某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置3个座位供顾客等候，一旦满座则后来者不再进店等候。已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔80min，平均美容时间为50min。试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。

例6：病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，对每名病人诊断时间平均6min。计算：

（1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例；

（2）求下述情况的概率

a.有一个病人；

b.有2个病人在候诊室外排队。

例7：某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。

求： (1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都出故障的概率；(3)出故障的平均台数；

(4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间；（6）平均等待修理时间；

（7）评价这些结果。

例8：一个机修工人负责3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行5天，而平均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下的各运行指标。

例9：一个工人负责照管6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为0.1h。试分析该系统的运行情况。

例10：某售票厅有三个窗口，顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟=0.9人，服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率每分钟=0.4人。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，求系统的运行指标。

例11：某商店收款台有3名收款员，顾客到达为每小时504人，每名收款员服务率为每小时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解。

例12：某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分布，试求：（1）银行内空闲时间的概率；（2）银行内顾客数为n时的稳态概率；

（3）平均队列长；（4）银行内的顾客平均数；（5）在银行内的平均逗留时间；

（6）等待服务的平均时间。

[考研真题]

例1：为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？

例2：工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数分布，平均服务时间8分钟。求：

1.工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；

2.若要求在90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时

间最多是多少？