光的衍射讲义

加电场、磁场射线不改变方向 不是带电粒子流，是电磁波！
波长如何确定？
一、劳厄实验（1912）
劳厄斑
二、布拉格实验（1913）
上下两层原子相干加强的条件：
光程差 m 2d sin m
布拉格公式
d
波长为0.11nm的X射线射向岩盐晶面，测得一级亮 条纹的掠入射角为11.5°，求（1）岩盐晶体这一方 向上的晶格常数d；（2）当换另外一个波长的X射线 时，一级亮纹出现在掠入射角为17.5 °的方向上，求 该射线的波长。
泊松亮斑
实际的杨氏双缝干涉图样
实验与理论结果的区别？
实理 验论
光是电磁波，波会发生衍射 当障碍物的线度接近光的波长时，衍射现象尤其显著。 可见光：a < 0.1mm时会有明显衍射现象
衍射现象限制了几何光学，当狭缝小到一定程度， 光不再是直线传播，并且光束的线度不能无限缩小。
解释不了光强的明暗分布！
---0.0050I0
单缝衍射
如图所示，用波长 的平行单色光进行单缝夫琅禾费
衍射实验，已知缝宽a 5 ，透镜焦距 f 4.0m ，
x 分别求出中央明条纹和第2级明条纹的宽度。
解：（1）中央明条纹的角宽度 0 21
由暗纹公式 a sin1
中央明条纹宽度
x0 2x1 2 f tan1 2 f sin1
d cosmd md
Dm
d d
m
d cosm
日晕
d Dm
m cosm Dm
月晕
光栅光谱仪
2. 半角宽度
d sinm m
d
sin(m
)
m
1 N
1
sin(m ) sinm cos cosm sin
sinm cosm
d sinm
d
c os m
m
N
Nd cos m
同简谐振动的叠加，相位差 ，
累计ΔФ = 2β。
2、O点振幅：E0 N E0 R 2
3、p点振幅： E p
4、p点光强：
2R sin
E0
sin
Ip
1 2
Ep2
1 ( E0 sin )2
2
Ip
I
0
(
sin
)2
a sin
四、光强分布精确结果
I
p
(
)
I0
(
sin
)2
a sin
解：（1）由光栅方程 d sinm m
d m / sinm 3500 / 0.5 3000(nm)
d （2）因缺第4级： 4
a
a d 750(nm) 4
（3） m
2
m d
md 6
m 0, 1, 2, 3, 5
谱线总数共9条。
二、光栅光谱 1. 角色散Dm
d sinm m
d、m 确定，波长不同 →衍射角不同
目决定了该衍射方向的
光强。
2
二、夫琅禾费单缝衍射
1. 暗纹条件
相邻2个半波带上各对应点在P点干涉相消。
1 2
当 N a sin 2k （k =1，2，3，…） 2
3 1
P点为暗！
2 3
2
k 2
0 21
x xk
一级暗纹中心 a
中心亮条纹张角
a sink k
s in k
tan
xk
k
sin 0
1. 主极大——G有极大值的位置
当 m (m 0, 1, 2,...)
lim
m
sin N sin
N
I I单缝N 2 光强极大
I
I单缝
sin N sin
2
G sin N sin
d sin m
d sin m 光栅公式
(m 0, 1, 2,...)
当 一定时对同一级主极大
N d , Dm m , Dm
3. 光栅的分辨本领
Dm
d d
中心角距离
m
d cosm
Dm
m d cos
半角宽 Nd cos
根据瑞利判据 恰好可以分辨
m d cos Nd cos
光栅的分辨本领：
m
R
N
R mN
可以分辨的最小波长差
透射光栅宽5cm，每毫米100刻线，钠光照射（双线 波长分别为589.0nm、589.6nm）。问光栅对一级谱 线能否分辨？
d m ak
（k =±1，±2，±3，…）
缺 m d k 级 （m为整数） a
当 d 3 时 a
3. d/a值的影响二（显见主极大）
d sinm m a sin1
m 1
m显
d a
a 不变 d增大
d、a为 定值
d不变 a缩小
用波长500nm的平行光垂直照射光栅，测得第3级 主极大的衍射角为30°，且第4级缺级。求：（1） 光栅常数d；（2）透光宽度a；（3）谱线总数。
1
矩孔衍射
1.22
D
六角孔衍射 八角孔衍射 圆孔衍射
二、光学仪器的分辨本领
瑞利判据： 0 恰好可以分辨
由瑞利判据：光学仪器对像的最小分辨角为
m
0
1.22
D
定义 仪器的分辨本领
A
1
D
m 1.22
D A
A
2、显微镜可分辨的最小距离 y 0.61
n sin u
N.A. nsin u
(来自百度文库)
x xk
根据题意有 1 3
将（1）式（2）式相比得：
a 1.43 0.477
a3
k 2 1
0 21
O
下图所示的是单缝夫琅禾费衍射实验测得的光强分布
曲线，已知透镜焦距f=3.0m ，狭缝宽度a=150 μm ，
求入射光波长。
I
解：从曲线中可得到一级暗纹坐标
x1 10mm
由单缝衍射暗纹条件
解： 光栅总刻痕数 N = 5000
对一级谱线的分辨本领
R mN
m 1
R1 N 5000
由光栅的分辨本领定义可求得此光栅可分辨的最小波长差
R
589.6 0.12(nm)
R 5000
钠双线波长差 0.6nm > 0.12nm
所以可以分辩。
1895年伦琴发现X射线 1901年获首届物理学“炸药奖”
近地轨道的宇航员能否看到我国的万里长城？
光源S
f
f
f
第k级亮纹宽度 xk xk1 xk a
a xk
衍射明显，但条纹对比度低
a xk
对比度增加，但衍射不明显
上下移动狭缝，不影响衍射条纹
矛盾？
光栅
a
b
d光栅常数
广义：任何能等间隔分割光波阵面的装 置都是衍射光栅。
最简单：一组平行等宽等间隔的狭缝。
I
I0
sin
2
sin N sin
2
a sin
I
I单缝
sin N sin
2
sin2 2
d sin
sin2 3 sin2 4
sin2 12
0
sin2
2
3
单缝衍射光强
缝间干涉因数G2
I
I0
sin
2
sin N sin
2
a sin
d sin
k 0, N, 2N,3N,... sin 0
(N-2)个次级大 2
级
主
背景
极 大
G 0, I 0
d sin m
3. d/a值的影响一（缺级）
I I单G2
G sin N sin
d sin m
GN
d sinm m 第m级主极大
Ip 0
a sink k 单缝衍射暗纹
数值孔径
3、照相机的最小分辨距离： y
f m
1.22
f D
相机光圈
4、望远镜的孔径： 1990年升空的哈勃太空望远镜直径2.4m，
哈勃望远镜
发现了几百亿个星系，深达130亿光年。 现欲以8m镜头取代。
天文台的反射式望远镜的通光孔径为2.5m，设星体 发射550nm的准单色光，求望远镜所能分辨的双星 的最小夹角？ 解：由瑞利判据，望远镜所能分辨的最小夹角为
1
21
xk k
2
a
f
a
1
O
f
中心0级亮纹宽度
x0
2x1
2 f
a
f
第k级亮 纹宽度
xk
xk1 xk
f
a
当衍射角较大时 sin tan
xk xk1 xk f (tank1 tank )
a sin1
sin1 / a
当a
当a
时，时所，有亮1 条纹挤2 在中一央起亮。条纹铺满整个屏幕
菲涅耳补充：从同一波阵面 上各点发出的子波是相干波。
——1818年
光源S
f R
衍 射 屏
f
r
观 察 屏
同时满足 至少有一个不满足
夫琅禾费衍射 菲涅耳衍射
一、菲涅耳半波带
A
光源S
P
BC
f
光程差
狭2缝宽度
BC a sin
半波带的个数
N a sin 2
a
2
对应不同的方向传播的
a
光，狭缝波阵面可分的 半波带数不同，这个数
0.75
0.436
平行单色光进行单缝夫琅禾费衍射实验，若想将3级 暗条纹处变为第1级明条纹，不改变实验装置部件和 入射光波长，只调节狭缝宽度，问：调节后缝宽与原 来缝宽的比值为多少？
解：设原来缝宽为a，3级暗条纹衍射角 3 满足
a sin3 3
(1)
调节后缝宽为a′，1级明条纹衍射角 满1 足
asin1 1.43
k 2
2 f 1.（ 6 m）
0 21
xk
1
O
x3 xx21
a
f
（2）第2级明条纹的宽度
x2 x3 x2 f tan3 f tan2
由于衍射角较大，tan sin
由暗纹公式
x2 f tan
a
a
3
sin3 3 sin2 2 f tan2
tan 3
tan 2
1.25（ 6 m）
a sin1
s in 1
tan1
x1 f
a x1 500(nm)
f
x / mm
20 10 0 10 20
x
xk x3
k 2 1 xx21
0 21
O
f
一、夫琅禾费圆孔衍射
圆孔衍射
孔径D
第k级暗环 D sink 1.22k
（k =1，2，3，…）
s in 1
1.22
D
艾里斑的角半径 0
解：（1）由布拉格公式
2d sin m m 1
这个方向上的晶格常数
d
d 0.276(nm) 2 sin
（2）由布拉格公式有
2d sin 0.166(nm)
光栅动画1 二维光栅2
光栅动画2
二维光栅1
一、光栅衍射光强分布
1、夫琅禾费多缝干涉（了解）
E1 E2 E3 ...... EN E
I1 E
I2 I3 ...... IN
2R sin 2R
I sin
1 2
E2
2
Ep
2R sin
N
2
E
sin(N ) sin
Ip
1 2
E2 (sin N sin
)2
单缝衍射光强 缝间干涉因数G2
d
亮纹分的越开
d (sin sin0 ) m
0级主极大移到衍射角为 0 位置
2. 极小——G=0 的位置
I
I单缝
sin N sin
2
k 0 1 2 N-1… N N+1 N+2 … 2N
(N-1)个极小
(N-1)极小
G
sin
N
sin
(N-2)个次级大
当 k
背景
N
k 1, 2,... sin N sin k 0
m
0
1.22
D
2.684107 (rad)
人眼瞳孔直径3 mm，迎面开来一辆汽车，车大灯
相距1 m，发射中心波长550 nm光。求人车多远时
刚好能分辨出两盏车灯？
解：
m
0
1.22 2.24104 (rad)
D
1
L l / m 4460m
瑞利判据
目前世界上最大的天文望远镜名为“加那利大型望远镜”， 直径达10．4米，位于大西洋拉帕尔马岛的一座山峰上，2007 年7月开始正式投入使用。
2. 亮纹条件
如果N不是偶数时，多余的部分将对P点的光强有贡献
当满足
N
a sin 2
（2k 1）（k =0, 1，2，3，…）
正好多余一个半波带，沿 k 方向
光强有极大值——k级亮纹
asin1 1.43
实际明纹中心 asin2 2.46 a sin3 3.47
a
2
三、光强分布（了解） 1、将缝N等分，则p点为N个全
I0中央明条纹中心光强
1. 暗纹位置： 2k 2
sin 0且 0
2. 中央明纹（主极大）：sin 0且 =0
I p (0) I0
3. 其他明纹（次极大）：
dI p
d
0，ddIp22
0
4. 明纹光强：
asin1 1.43 asin2 2.46 a sin3 3.47
I明 I0 ---0.045I0 ---0.016I0 ---0.0083I0