2014年中考数学总复习提能训练课件专题九_圆
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中考数学总复习 专题九 圆提能训练课件
第十七页，共18页。
名师点评：解题的关键在于运用运动和变化的眼光(yǎnguāng)，去观 察和研究问题，关注运动与变化中的不变量、不变关系、特殊 关系或范围．
第十八页，共18页。
图Z9-9
S 随 n 的增大而增大，∠MON 取最大值时，S 扇形 MON 最大．
第十六页，共18页。
过O 点作OK⊥MN 于 K，
∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK.
在Rt△ONK 中，sin∠NOK＝
NOKN＝
NK 2
，
∴∠NOK 随NK 的增大(zēnɡ dà)而增大(zēnɡ dà)，∠MON 随 MN 的增大(zēnɡ dà)而增大
((23))求如△图AOZB 9的-面4，积；Q是反比例函数(háns1hx2ù()xy＞＝0)图象(tú xiànɡ)上异于点 的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C，D.求证：DO·OC＝BO·OA.
第七页，共18页。
图 Z9-3
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证
第十页，共18页。
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数(hánshù)系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
第十一页，共18页。
与圆有关(yǒuguān)的动态题
例3：(2013 年湖北宜昌)半径(bànjìng)为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm
第六页，共18页。
圆与函数图象的综合 例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，
2014年中考数学专项训练《圆》的综合精选与解析
2014年中考数学专项训练《圆》的综合精选与解析一【例题精讲】【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。
所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，A∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.∴ DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵ D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=12，∴EC=4tanDEC. （三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB 中，BD=tan DC C ⋅= BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【例2】已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D . （1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.FC【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。
2014届中考数学总复习课件(重庆专用)： 第16节 圆
命题预测
预计2014年对圆的基本性质有可能考查，且难度 不大，此外也要对垂径定理及其推论引起重视， 对于与圆有关的位置关系可能会考查切线与圆有 关的计算，难度不会太大，出现在选择或填空题 中，而与圆的有关计算这是重点，2014年对本节 内容的考查会加大综合性，继续考查阴影部分的 面积，特别是弓形的面积。
考纲解读
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的 关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆 与圆的位置关系 ②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、 直径所对圆周角的特征，了解弦与垂直直径 及弧之间的关系 ③了解三角形的内心和外心 ④了解切线的概念，切线与过切点的半径之间 的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过 圆上一点画圆的切线 ⑤会计算弧长及扇形面积，会计算圆锥的侧面 积和全面积
2、如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与 ⊙O交于点C，若 ,则 的度数为 A.40° B.50° C.65° D.75°
3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=20°， 则∠A= °．
课堂小结
通过本节课的学习: 你学到了什么？ 你学会了什么？ 你没学会的是什么？ 我们大家一起来谈谈收获！
命题规律
近几年重庆对圆的考查分为三部分： 第一部分：圆的基本性质，这部分都比较简单，除了2013年 没有考查本节知识，2008-2012年对本节内容均是考查圆周角 定理及其推论，且命题形式比较单一，主要是考查圆周角与圆 心角的关系。 第二部分：与圆有关的位置关系，2008年和2010年分别考查 了点与圆，直线与圆，圆与圆之间的位置关系判断，而2011 年、2012年没有考查，2013年则考查了切线的性质。 第三部分：与圆有关的计算，2008-2010没有考查 ，2011年 和2012年仅仅单纯的考查了弧长及扇形面积的计算，而在 2013年对本节内容的命题难度较之前有所提高，涉及阴影部 分的面积的计算，多数是求弓形，出现在填空题中。
【一线名师整理】2014中考数学(人教版)总复习课件：圆的有关计算(2010-2013年真题集锦,共32张PPT)
n r ( 其中 r 是圆的半径) ; 当然有时可以根据弧所对的圆心角占 180
第 二 十 八 讲
已知正六边形的边长为 1 cm , 分别以它的三个不相 cm ( 结果保留π) .
邻的顶点为圆心, 1 cm 长为半径画弧( 如图 , 则所得到的三 条弧的长度之和为 【思路点拨】 因正六边形内角是扇形的圆心角, 扇形的 半径是正六边形的边长, 易得每段弧的弧长. 【自主解答】∵多边形是正六边形, ∴它的每一个内角是 120°, ∵正六 边形的边长为 1 cm , ∴每一段弧长为 ∴三段弧长的和为 2π cm . 【答案】 2π
(2)由 AB 是☉O 的直径, 得∠AC B = 90°, 然后利用勾股定理可求 AC . (3)用割补法求弓形面积. 【自主解答】 (1)∵O D ⊥B C , BC= 6 3 , ∴B E =
第 二 十 八 讲
第 二 十 九 讲
➡特别提示:判定一个多边形是否是正多边形时, 要从两个角度去思考, 其一 是要注意判断多边形的各条边是否相等; 其二是要注意判断多边形的各个角是 否相等. 以上两个条件必须同时具备, 否则多边形就不一定是正多边形.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
二、圆中的弧长与扇形面积 1. 半径为 R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l的计算公式为 l = 2. 扇形面积: ( 1) 半径为 R 的圆中, 圆心角为 n°的扇形面积为: S 扇形= ( 2) 半径为 R , 弧长为 l的扇形面积为: S 扇形= 3. 弓形面积: ( 1) 当弓形所含的弧是劣弧时: 如图( 1) 所示, S 弓形= 的弧是优弧时: 如图( 2) 所示, S 弓形= . ( 3) 当弓形所含的弧是半圆时: 如图( 3) 所示, S 弓形= . . ( 2) 当弓形所含 .
第 二 十 八 讲
已知正六边形的边长为 1 cm , 分别以它的三个不相 cm ( 结果保留π) .
邻的顶点为圆心, 1 cm 长为半径画弧( 如图 , 则所得到的三 条弧的长度之和为 【思路点拨】 因正六边形内角是扇形的圆心角, 扇形的 半径是正六边形的边长, 易得每段弧的弧长. 【自主解答】∵多边形是正六边形, ∴它的每一个内角是 120°, ∵正六 边形的边长为 1 cm , ∴每一段弧长为 ∴三段弧长的和为 2π cm . 【答案】 2π
(2)由 AB 是☉O 的直径, 得∠AC B = 90°, 然后利用勾股定理可求 AC . (3)用割补法求弓形面积. 【自主解答】 (1)∵O D ⊥B C , BC= 6 3 , ∴B E =
第 二 十 八 讲
第 二 十 九 讲
➡特别提示:判定一个多边形是否是正多边形时, 要从两个角度去思考, 其一 是要注意判断多边形的各条边是否相等; 其二是要注意判断多边形的各个角是 否相等. 以上两个条件必须同时具备, 否则多边形就不一定是正多边形.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
二、圆中的弧长与扇形面积 1. 半径为 R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l的计算公式为 l = 2. 扇形面积: ( 1) 半径为 R 的圆中, 圆心角为 n°的扇形面积为: S 扇形= ( 2) 半径为 R , 弧长为 l的扇形面积为: S 扇形= 3. 弓形面积: ( 1) 当弓形所含的弧是劣弧时: 如图( 1) 所示, S 弓形= 的弧是优弧时: 如图( 2) 所示, S 弓形= . ( 3) 当弓形所含的弧是半圆时: 如图( 3) 所示, S 弓形= . . ( 2) 当弓形所含 .
【2014】(包头专版)中考数学复习方案专题课件_第14单元圆【新课标人教版】
∵OD⊥BE， ∴OD 是 BE 的中垂线， ∴∠1＝∠2， 5 ∴BD＝ED＝ . 2 ∵OD⊥EB， ∴FE＝FB， 1 1 5 1 ∴OF＝ AE＝ x，DF＝OD－OF＝ － x. 2 2 4 2
考点聚焦 包考探究
第1节┃包考探究
解 析
5 1 2 － x 4 2 .
切线长 定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心 平分 两条切线的夹角 和这一点的连线________
基本图 形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B， AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO，∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP， ∠CAP＝∠CBP
考点聚焦
包考探究
第2节┃包考探究
解 析 (1)证明：连接 OA. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO＝90°. ∵OA＝OB，OP⊥AB 于 C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB 为⊙O 的切线． (2)连接 AD. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°. 由(1)知∠BCO＝90°，
图14－3－1
考点聚焦 包考探究
第3节┃包考探究
解 析 分两种情况讨论：①⊙O与⊙P外切时，OP＝3，此时 a＝±3；②⊙O与⊙P内切时，OP＝1，此时a＝±1.
方法点析
注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行
讨论．
考点聚焦
包考探究
第4 节
例2．如图14－2－2，P为⊙O外一点，PA、PB、CD都是⊙O 的切线，切点分别为A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两 点．若⊙O的半径为5，OP＝10，则△PCD的周长为 ________ 10 3 ．
2014最新人教版九年级数学上册_圆的复习课件_人教新课标版
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
点与圆的位置关系
●
C
r
●
●
B d
●
O
A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与 圆的半径r之间关系
O
1
A
O2 B
∴ O1O2是AB的垂直平分线
9. ⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的 半径分别为2和 ，公共弦AB长为2， 则(1)∠O1AO2=_____. 2 (2)两圆的圆心距= .
已知 O的半径为2，弦AB=2 3 ， 弦AC=2 2 ，则BAC=
（六）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦 心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说 法或等式： ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
d﹥r d=r d﹤r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
练 习
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5， AB=13,则△ABC的外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过 网格点A，B，C， 其中B点坐标(4,4)， 则该圆弧所在圆的 圆心坐标为 。
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
F O
B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所的两条弧.
C
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
点与圆的位置关系
●
C
r
●
●
B d
●
O
A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与 圆的半径r之间关系
O
1
A
O2 B
∴ O1O2是AB的垂直平分线
9. ⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的 半径分别为2和 ，公共弦AB长为2， 则(1)∠O1AO2=_____. 2 (2)两圆的圆心距= .
已知 O的半径为2，弦AB=2 3 ， 弦AC=2 2 ，则BAC=
（六）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦 心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说 法或等式： ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
d﹥r d=r d﹤r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
练 习
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5， AB=13,则△ABC的外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过 网格点A，B，C， 其中B点坐标(4,4)， 则该圆弧所在圆的 圆心坐标为 。
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
F O
B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所的两条弧.
C
中考数学总复习 专题九 圆提能训练课件
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确． ④∵NQ＝ 23DQ＝ 23QC，故④错误．
答案：①②③ 图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE. ∴OOAE＝OOEB.∴OE2＝OA·OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA， ∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°. ∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°. ∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°， ∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN. 又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ， ∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
△COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径．
(2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)，
∵点P是反比例函数y＝1—x2(x＞0)图象上一点，
2014年中考数学总复习课件_第1部分教材知识梳理(第6单元圆)
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中考考点清单
（4）圆心角：顶点在圆心，并且两边都与圆相交 的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交 的角叫做圆周角．
如图①，在圆 O 中，O A 为半径，A E 为 弦，E F 为直径，������������为劣弧， ������������������为优弧， ∠A O F 叫做������������所对的圆心角， ∠A E F 为圆周 角.
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第六单元
圆
类型二
垂径定理的运用
例2 （’13梧州）如图，AB是⊙O的 直径，AB垂直于弦CD， ∠BOC=70° ，则∠ABD=（ C ）
A. B. C. D.
20° 46° 55° 70°
例2题图
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第六单元
圆
【解析】连接 BC，∵OC=OB，∴∠OBC= ∠OCB=
图①
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第六单元
圆
2．圆的性质 （１）圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意 角度，都能与自身重合．特别地，圆是中心对称 图形，⑤ 圆心 是它的对称中心． （２）圆是⑥ 轴对称 图形，任意一条直径所在 的直线都是它的对称轴．
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第六单元
圆
考点2
垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦ 平分 这条弦 . 温馨提示 ◆垂直于弦的直径⑧ 平分 弦所对的弧； ◆平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并 且平分弦所对的弧；3.圆的两条平行弦所夹 的弧⑨相等 .
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第六单元
圆
2．垂径定理的应用类型 （1）如图②，基于圆的对称性，下列五 个结论： ①������������=������������； ②������������=������������； ③AE＝BE； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径，只要满足其中的 两个，另外三个结论一定成立．
2014年中考复习讲义：圆
毅帆教育学科培训师辅导讲义讲义编号：__________________如图，D30,则∠B=，劣弧的弧长为30,D为BC BOC D是菱形30ADE=，求4.（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．5.（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．是的中点，则下列结论不成立9.（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．10. （2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F。
求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．11.（2013•天津）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．正好扫到水平线B，交。
2014中考数学复习方案——圆(2013年中考真题为例)
︵ ︵ ︵ ︵ 2．如图 27－5，已知在⊙O 中，AB＝BC，且AB∶AMC＝3∶4， 则∠AOC＝
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第27课时┃ 圆的有关性质
【归纳总结】 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧 弦心距 相等 .
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C.6 m
D.8 m
第27课时┃ 圆的有关性质
【归纳总结】 圆是
轴
对称图形，在圆中：①过圆心；② 平分
弦；
③ 垂直 于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，若 一条直线具备这五项中的任意两项，则必得出另外三项.
相等 ⇔弦相⇔
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第27课时┃ 圆的有关性质
考点3 圆周角定理
1．如图 27－6，点 A，B，C 在⊙O 上， ∠BOC＝140°，则∠BAC 等于( B ) A.60° C.120° B.70° D.140°
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第27课时┃ 圆的有关性质
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
1．如图 27－4，已知：AB 是⊙O 的直径，C，D 是弧 BE 上的 三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C ) A.40° B.60° C.80° D.120°
第27课时┃ 圆的有关性质
豫 考 探 究
► 热考 圆周角
例 [2012· 深圳] 如图27－8，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A、 点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三 ︵ 象限内OB上一点，∠BMO＝120°， 则⊙C的半径长为( C ) A.6 C.3
2014年中考总复习提能训练课件_第五章 第1讲圆的基本性质
第五章
圆
第1讲
圆的基本性质
1．理解圆及其有关概念、了解弧、弦、圆心角的关系． 2．了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
考点1
圆的有关概念及性质
1．圆．
定点 定长 的所有点组 (1) 平面上到__________ 的距离等于________
成的图形叫做圆．
轴 对称图形，也是__________ 中心 对称图形． (2)圆是________ 三点 可确定一个圆． (3)不共线的________
)
A．10
B．4 30
C．10 或 4 30
D．10 或 2 165
解析：如图 22，连接 OA，OC.作直线 EF⊥CD 于 E，交 AB
1 于 F，则 EF⊥AB.∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF＝2AB＝12，CE 1 ＝2CD.在 Rt△AOF 中，根据勾股定理，得 OF＝ 132－122＝5.
OA，CE⊥OB，点 D，E 分别是垂足，试判断 CD，CE 的大小
关系，并证明你的结论．
解：CD＝CE.理由：连接 CO.
∵C 是弧 AB 的中点，
，∴∠COD＝∠COE. AC ＝ BC ∴
图5-1-4
∵CD⊥AO，CE⊥BO，∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 又∵CO＝CO，∴△COD≌△COE. ∴CD＝CE.
题用它最常见．
1．如图 5-1-1，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD⊥
AB 于 E，则下列结论不成立的是( D )
A．∠A＝∠D
B．CE＝DE
C. ∠ACB＝90°
D．BD＝CE
图 5-1-1
2．如图 5-1-2，⊙O 的弦AB垂直平分半径OC，若 AB＝ 则⊙O 的半径为( A )
圆
第1讲
圆的基本性质
1．理解圆及其有关概念、了解弧、弦、圆心角的关系． 2．了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
考点1
圆的有关概念及性质
1．圆．
定点 定长 的所有点组 (1) 平面上到__________ 的距离等于________
成的图形叫做圆．
轴 对称图形，也是__________ 中心 对称图形． (2)圆是________ 三点 可确定一个圆． (3)不共线的________
)
A．10
B．4 30
C．10 或 4 30
D．10 或 2 165
解析：如图 22，连接 OA，OC.作直线 EF⊥CD 于 E，交 AB
1 于 F，则 EF⊥AB.∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF＝2AB＝12，CE 1 ＝2CD.在 Rt△AOF 中，根据勾股定理，得 OF＝ 132－122＝5.
OA，CE⊥OB，点 D，E 分别是垂足，试判断 CD，CE 的大小
关系，并证明你的结论．
解：CD＝CE.理由：连接 CO.
∵C 是弧 AB 的中点，
，∴∠COD＝∠COE. AC ＝ BC ∴
图5-1-4
∵CD⊥AO，CE⊥BO，∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 又∵CO＝CO，∴△COD≌△COE. ∴CD＝CE.
题用它最常见．
1．如图 5-1-1，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD⊥
AB 于 E，则下列结论不成立的是( D )
A．∠A＝∠D
B．CE＝DE
C. ∠ACB＝90°
D．BD＝CE
图 5-1-1
2．如图 5-1-2，⊙O 的弦AB垂直平分半径OC，若 AB＝ 则⊙O 的半径为( A )
2014年中考复习提能训练课件_第五章 第3讲与圆有关的计算
r · 360° ________. l
1 Cl πrl 2 (2)圆锥的侧面积：S侧＝________ ＝________. πr2＋πrl (3)圆锥的全面积：S全＝__________.
考点2
正多边形．
正多边形与圆
相等 ，各角________ 相等 的多边形叫做 1．正多边形：各边________ 2．圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆 中心 ，外接圆的半径叫做正多边形的 心叫做这个正多边形的______ 中心角， _____ 半径 ；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的_______ 边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________. (n－2)×180° 3．正多边形的内角和＝____________ ；正多边形的每个内 (n－2)×180° n 角＝______________ ；正多边形的周长＝边长×边数；正多边 1 ×周长×边心距 2 形的面积＝_______________ .
A．6,3 C．6,3
2
B．3 D．6
2，3 2，3 2
6．(2013 年四川绵阳)如图 5-3-5，要拧开一个边长为 a＝ 6 cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b 至少为( A．6 2 mm
B．12 mm C．6 D．4 3 mm 3 mm
)
图 5-3-5
解析：连接 AC，过 B 作 BD⊥AC 于 D(如图 30)．∵AB＝ BC，∴△ABC 是等腰三角形．∴AD＝CD.∵此多边形为正六边 形 ， ∴∠ ABC ＝ 120° . ∴ ∠ ABD ＝ 60° . ∴∠ BAD ＝ 30° ， AD ＝ 3 AB· cos30° ＝6× 2 ＝3 答案：C 3.∴b＝2AD＝6 3.故选 C.
数学中考复习通用课件圆的整章复习
01
详细描述：圆的重要定理是解决圆的 相关问题的关键，要求考生能够理解
并运用这些定理。
02
例题：在圆O中，弦AB的长为10cm， 圆心O到AB的距离为8cm，则圆O的半
径为（）。
03
06
答案：8cm
05
例题：在圆O中，直径AB的长为10cm ，弦CD的长为6cm，则A、C两点间的 距离为（）。
04
答案：9cm
例题：一个圆的半径是3cm，那么它的直径是（）。
详细描述：圆的基本性质是中考数学中常见的考点，要 求考生能够明确圆心、半径、弦、直径等基本概念，并 能够利用这些性质解决实际问题。
答案：6cm
例题：一个圆的半径是4cm，那么它的弦长是（）。
答案：4\sqrt{3}cm
与圆的重要定理相关的中考题
总结词：理解并能够运用圆的重要定 理，如垂径定理、圆周角定理等。
圆与直线的相离
了解圆与直线的相离的定义和判定方法，以及如 何运用圆与直线的相离的性质解决实际问题。
圆与直线的相交
了解圆与直线的相交的定义和判定方法，以及如 何运用圆与直线的相交的性质解决实际问题。
熟悉圆与圆的位置关系的判定方法
外离
了解两个圆外离的定义和判定方法，以及如何运用两个圆外离的 性质解决实际问题。
解题技巧总结
05
熟练掌握圆的基本性质
圆心和半径
掌握圆心和半径的定义， 以及如何确定一个圆的圆 心和半径。
直径和弦
了解直径和弦的定义，以 及它们在圆中的性质和特 点。
弧和圆心角
掌握弧和圆心角的概念， 以及它们在圆中的关系和 特点。
灵活运用圆的重要定理
垂径定理
掌握垂径定理的内容和证明方法 ，以及如何运用垂径定理解决实
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过点 B 作⊙O 的一条切线 BE，E 为切点，
①填空：如图 Z9-6，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是
________； ②如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段
OA 的长；
(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，
由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，
∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n. 1 1 ∴S△AOB＝2BO· OA＝2×2n×2m＝2mn＝2×12＝24. 12 (3)证明： 若点 Q 为反比例函数 y＝ x (x＞0)图象上异于点 P 的另一点， 1 参照(2)，同理可得 S△COD＝2DO· CO＝24. 1 1 则有 S△COD＝S△AOB＝24，即2BO· OA＝2DO· CO. ∴DO· OC＝BO· OA.
专题九
圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容．
它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极
强的综合性，思维能力要求较高．这类试题通常借助圆的对称
性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其
是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、
圆锥等)的计算、作图、证明与探究．
答案：①②③
图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
圆与函数图象的综合
又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ，
∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确．
3 3 ④∵NQ＝ 2 DQ＝ 2 QC，故④错误．
∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形．
∴DA⊥AO.
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE.
的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点
C，D.求证：DO· OC＝BO· OA.
图 Z9-3 明 AB 是⊙P 的直径；
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证 (2)将△AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易 计算出结果； (3)对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的 △COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，
∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°.
∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°.
∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°，
∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN.
向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，
N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积的
取值范围．
图 Z9-6
图 Z9-7
图 Z9-8
解：(1)①如图Z9-6，∵切线BE 是⊙O 的切线， ∴OE⊥BE 于E. 又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°. ②如图Z9-7，∵直线l 与⊙O 相切于F， ∴∠OFD＝90°. ∵在正方形ADCB 中，∠ADC＝90°，.∴OF∥AD.
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径． (2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)， 12 ∵点P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上一点， x
∴mn＝12.
如图Z9-5，过点P 作 PM⊥x 轴于点M，
图Z9-5
PN⊥y 轴于点N，则OM＝m，ON＝n.
OA OE ∴OE＝OB.∴OE2＝OA· OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
三角形，将△ABC 绕O点顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别
交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论： ①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM； ③△DNQ 周长等于 AC 的长；④NQ＝QC. 其中正确的结论是__________ (把所有正确的结论的序号都填上)． 图 Z9-1
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角
形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决．
与圆有关的计算、操作题
例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，△ABC 是⊙O 内接正
例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，
12 O为坐标原点，P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上任意一点， x 以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B. (1)求证：线段 AB 为⊙P 的直径；
(2)求△AOB 的面积；
(3)如图Z9-4，Q是反比例函数y＝ 12 (x＞0)图象上异于点 P x
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
与圆有关的动态题 例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切于点 F，
①填空：如图 Z9-6，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是
________； ②如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段
OA 的长；
(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，
由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，
∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n. 1 1 ∴S△AOB＝2BO· OA＝2×2n×2m＝2mn＝2×12＝24. 12 (3)证明： 若点 Q 为反比例函数 y＝ x (x＞0)图象上异于点 P 的另一点， 1 参照(2)，同理可得 S△COD＝2DO· CO＝24. 1 1 则有 S△COD＝S△AOB＝24，即2BO· OA＝2DO· CO. ∴DO· OC＝BO· OA.
专题九
圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容．
它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极
强的综合性，思维能力要求较高．这类试题通常借助圆的对称
性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其
是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、
圆锥等)的计算、作图、证明与探究．
答案：①②③
图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
圆与函数图象的综合
又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ，
∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确．
3 3 ④∵NQ＝ 2 DQ＝ 2 QC，故④错误．
∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形．
∴DA⊥AO.
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE.
的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点
C，D.求证：DO· OC＝BO· OA.
图 Z9-3 明 AB 是⊙P 的直径；
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证 (2)将△AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易 计算出结果； (3)对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的 △COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，
∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°.
∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°.
∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°，
∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN.
向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，
N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积的
取值范围．
图 Z9-6
图 Z9-7
图 Z9-8
解：(1)①如图Z9-6，∵切线BE 是⊙O 的切线， ∴OE⊥BE 于E. 又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°. ②如图Z9-7，∵直线l 与⊙O 相切于F， ∴∠OFD＝90°. ∵在正方形ADCB 中，∠ADC＝90°，.∴OF∥AD.
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径． (2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)， 12 ∵点P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上一点， x
∴mn＝12.
如图Z9-5，过点P 作 PM⊥x 轴于点M，
图Z9-5
PN⊥y 轴于点N，则OM＝m，ON＝n.
OA OE ∴OE＝OB.∴OE2＝OA· OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
三角形，将△ABC 绕O点顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别
交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论： ①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM； ③△DNQ 周长等于 AC 的长；④NQ＝QC. 其中正确的结论是__________ (把所有正确的结论的序号都填上)． 图 Z9-1
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角
形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决．
与圆有关的计算、操作题
例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，△ABC 是⊙O 内接正
例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，
12 O为坐标原点，P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上任意一点， x 以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B. (1)求证：线段 AB 为⊙P 的直径；
(2)求△AOB 的面积；
(3)如图Z9-4，Q是反比例函数y＝ 12 (x＞0)图象上异于点 P x
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
与圆有关的动态题 例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切于点 F，