数列中通项恒成立专题

利用通项恒等式 求通项公式专题

◎ 利用常见恒等式)2(1≥-=-n S S a n n n 求n

a

【练习步步高】

1、求下列数列的通项公式：

（1）n n S n 322-= （2）23S n -=n

54-=n a n )

1(1)

2(331{=≥--=n n n n n a

2、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都满足12+=n n a S ，求n a 。

12-=n a n

4、 设数列{}n a 的前n 项和n S =2

214--

-n n a ，求n a 。

解析：由n S =2

214--

-n n a ，得1+n S =1

1214-+-

-n n a ，

∴ 1+n a =1+n S －n S =n a －1+n a +（-

-2

2

1n 1

2

1-n ）

∴ 1+n a =

n a 21+n 2

1

，两边同乘以12+n ，得12+n 1+n a =n 2n a +2， ∴ {

}

n n

a 2是首项为1公差为2的等差数列， ∴ n

2n a =2+2)1(⋅-n =n 2， ∴ n a =

1

2

-n n

5、已知数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S 与通项n a 满足n n n n a S a S -=222

）且（∙∈≥N n n 2, 求n a 。

)

32)(12(2

2,11---

=≥==n n a n a n n n 时，时

◎利用其它恒等式求通项

例1、已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式)(2

(2222)

1+∈+++=Z n b b b a n n n 求{}n b 的前n 项和。

【练习步步高】

1、（2014湛江二模） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2514,,a a a 分别是等比数列{}n b 的2b ，3b ，4b 。

(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2) 设数列{}n c 对任意正整数n 均有12

112

n

n n

c c c a b b b ++++

=成立，求122014

c c c +++的值。

解：（1）1(1)22 1.n a n n =+-⋅=-

113,1,3.n n q b b -===

（2）∵

12

112n

n n

c c c a b b b +++=， ① ∴

1

21

c a b =，即1123c b a ==， 又

1

12

12

1

(2)n n n c c c a n b b b --++=≥， ② ①-②得

12n

n n n

c a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥，∴1

3

(1)23(2)

n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩， 则12201411220143232323c c c -++

+=+⋅+⋅+

+⋅ 12201332(333)=+⋅++

+

201320143(13)

323.13

-=+⨯

=-

2、2010广东文（本小题满分14分）

已知数列

{}

n a 满足对任意的*

n ∈N

，都有0n a >，且

()2

33

3

1212

n n a a a a a a ++

+=++

+．

（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设数列21n n a a +⎧

⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n

S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．