初中数学 第8章二元一次方程 教案及试题

第八章二元一次方程组基础知识通关8.1二元一次方程组1.二元一次方程：含有未知数，并且未知数的指数都是，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b ≠0)。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

8.2消元——解二元一次方程组3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

5.消元：将未知数的个数、逐一解决的思想，叫做消元思想。

6.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别或，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

8.3实际问题与二元一次方程组8.二元一次方程和方程组的应用：（1）解实际问题的一般步骤：①审题，分析题目中的已知和未知；②找等量关系(画图法或列表法等)；③设未知数，列方程（组）；④求解方程（组）；⑤检验(包括代入原方程（组）检验和是否符合题意的检验)；⑥写出答案.（2）基本等量关系考察有：经济问题、行程问题、工程问题、几何问题等.①经济问题基本公式：利润=售价-进价=进价×利润率利润率= 利润100%售价进价100%进价进价②行程问题基本公式：路程=速度×时间总路程=平均速度×总时间；行程问题的基本类型：相遇追及、火车问题、流水行船等.流水行船问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速−水速.\ 1 /③工程问题涉及的基本量有：工作总量，工作效率，工作时间.它们之间的关系为：全部工作量=各部分工作量之和=1；工作总量=工作效率×工作时间.8.4三元一次方程组的解法9.三元一次方程组：把三个方程合在一起，这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

\ 2 /单元检测一.选择题(共10 小题)1.下列各式中，属于二元一次方程的个数是( )①xy+2x-y=7；②4x+1=x-y；③+y=5；④x=y；⑤x2-y2=2；⑥6x-2y；⑦x+y+z=1⑧y(y-1)=2y2-y2+x.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.4x a+2b-4-2y3a-b-2=8 是二元一次方程，那么a-b 的值是( )A.0.5B.0.25C.1D.-3.已知二元一次方程5x+(k-1)y-7=0 的一个解是，求k 的值( )A. B.C. D. 4.对于二元一次方程y-2x=7，用含y 的方程表示x 为( )A.x=B.x=C.x=7+2yD.x=7-y5.方程x-2y=-3 和2x+3y=1 的公共解是( )A. B. C. D.6.下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )A. B.C. D.7.若关于x，y 的方程组的解也是二元一次方程x-2y=1 的解，则m 的值为( )A. B. C. D.18.已知关于x、y 的二元一次方程组的解是，则a+b 的值是( )A.1B.2C.-1D.09.在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=0 时，y=2；当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=12，则 a+b+c=( )A.4B.5C.6D.810.小明与哥哥的年龄和是 24 岁，小明对哥哥说：”当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是 24 岁，”如果现在小明的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，下列方程组正确的是( )A. B.C. D.\ 3 /二.填空题(共 10 小题)11.若x|2m-3|+(m-2)y=6 是关于x、y 的二元一次方程，则m= .12.若单项式2x a+3b y5 与-2x7y2a+3b 是同类项，则a b= .13.已知方程ax+by=10 的两个解是，，则a= ，b= .14.已知是方程组的解，则3m+n= .15.以方程组的解为坐标的点(y，x)在第象限.16.定义一种新的运算“*”，规定：x*y=ax2+by，其中a、b 为常数，已知2*3=-1，1*2=1，则a*b= .17.古代算筹图用图1 表示方程组：，请写出图2 所表示的二元一次方程组.18.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是16cm，则小长方形的面积是cm 2.19.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面长为8，宽为7 的长方形盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是.第17 题图第18 题图第19 题图20.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加1 小桶共盛斛米.(注：斛是古代一种容量单位)三.解答题(共5 小题)21.解下列方程组(1)7䇅+ 3y = 5䇅+䇅䇅 3䇅+ 䇅y =䇅䇅+4(2) .\ 4 /22.已知关于x，y 二元一次方程组.如果该方程组的解互为相反数，求 n 的值及方程组的解；23.解方程组，由于甲看错了方程(1)得到方程组的解为由于乙看错了方程(2)得到方程的组解为，求原方程组的正确的解.24.2017 年某企业按餐厨垃圾处理费 25 元/吨，建筑垃圾处理费 16 元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费 7300 元，从 2018 年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费 100 元/吨，建筑垃圾处理费 30 元/吨.若该企业 2018 年处理的这两种垃圾数量与 2017 年相比没有变化，但要支付垃圾处理费 19000 元，求该企业 2017 年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？\ 5 /25.某公园的门票价格如下表所示：购票人数1~50 人51~100 人100 人以上每人门票价20 元17 元14 元人，但是不超过 100 人.如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1912 元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付 1456 元(1)列方程或方程组求出两个班各有多少学生？(2)若(1)班全员参加，(2)班有 20 人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由.四、附加题(共 2 小题)26.阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即 2(2x+5y)+y=5③，把方程①代入③得：2×3+y=5，y=-1 把y=-1 代入方程①得：x=4，所以，方程组的解为请你解决以下问题：(可直接写出答案)(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组(2)已知x，y 满足方程组模仿小军的“整体代换”法(i)求x2+4y2 的值. (ii)求3xy 的值.\ 6 /27.解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组.下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组小曹同学的部分解答过程如下：解：+ ，得3x+4y=10，④+ ，得 5x+y=11，⑤与联立，得方程组(1)请你在横线中补全小曹同学的解答过程：(2)若m、n、p、q 满足方程组，则m+n-2p+q= .\ 7 /1. 两个，15.由多化少6.消元7.相加，相减一.选择题(共10 小题) 基础知识通关答案单元检测答案1.【分析】利用二元一次方程的定义判断即可.【解答】解：①xy+2x-y=7，不是；②4x+1=x-y，是；③+y=5，不是；④x=y，是；⑤x2-y2=2，不是；⑥6x-2y，不是；⑦x+y+z=1，不是；⑧y(y-1)=2y2-y2+x，是. 故选：C【知识点】12.【分析】根据二元一次方程的定义即可得到 x、y 的次数都是 1，则得到关于 a，b 的方程组求得a，b 的值，则代数式的值即可求得.【解答】解：∵4x a+2b-4-2y3a-b-2=8 是二元一次方程∴，解得：，∴a-b=- =-故选：D【知识点】1，73.【分析】直接利用方程的解的定义把已知数解代入方程得出答案.【解答】解：∵二元一次方程 5x+(k-1)y-7=0 的一个解是1∴5×1-3(k-1)-7=0，解得：k=3故选：A【知识点】34.【分析】首先根据 y-2x=7，可得：2x=y-7；然后两边同时除以 2，用含 y 的方程表示 x 多少即可.【解答】解：∵y-2x=7，∴2x=y-7，∴x=故选：A【知识点】65.【分析】联立两方程组成方程组，求出解即可.【解答】解：联立得：②-①×2 得：7y=7，解得：y=1 把 y=1 代入①得：x=-1则方程组的解为故选：D【知识点】4，7\ 8 /6.【分析】根据二元一次方程组定义分析各个选项，选出属于二元一次方程组的选项即可. 【解答】解：A：符合二元一次方程组的定义，A 项正确，B：属于分式方程，该方程组不符合二元一次方程组的定义，B 项错误【知识点】2 C：xy=5 属于二元二次方程，该方程组不符合二元一次方程组的定义，C 项错误D：有三个未知数，该方程组不符合二元一次方程组的定义，D 项错误故选：A7.【分析】联立不含 m 的方程求出 x 与 y 的值，进而求出 m 的值即可.【解答】解：联立得：①+②×2 得：5x=10，解得：x=2 把x=2 代入①得：y=把x=2，y= 代入得：2m+ (2m-1)=7解得：m=故选：A【知识点】3，4，78.【分析】将代入即可求出a 与b 的值【解答】解：将代入得：∴a+b=2故选：B【知识点】49.【分析】先把 x=0 时，y=2；x=-1 时，y=0；x=2 时，y=12 分别代入 y=ax2+bx+c，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出 a，b，c 的值，进而求得结果.【解答】解：把 x=0 时，y=2；x=-1 时，y=0；x=2 时，y=12 分别代入 y=ax2+bx+c，得，解得：，∴ a+b+c=1+3+2=6故选：C【知识点】6，910.【分析】由弟弟的年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，根据年龄和为 24 得出：x+y=24；哥哥与弟弟的年龄差不变得出 24-y=y-x，列出方程组即可.【解答】解：设现在弟弟的年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，由题意得故选：D【知识点】8\ 9 /二.填空题(共 10 小题)11.【分析】利用二元一次方程的定义判断即可.【解答】解：∵x|2m-3|+(m-2)y=6 是关于 x、y 的二元一次方程∴|2m-3|=1，m-2≠0，解得：m=1 故答案为：1【知识点】112.【分析】根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出 a，b 的值，再代入代数式计算即可.【解答】解：∵2x a+3b y5 与-2x7y2a+3b 是同类项∴，解得：，∴a b=(-2)3=-8 故答案为：-8【知识点】4，713.【分析】把方程的解代入方程，得到含有未知数 a，b 的二元一次方程组，从而求出 a，b 的值.【解答】解：把和分别代入方程ax+by=10得，解得【知识点】3，6，7解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 a 和 b 为未知数的方程，再求解.14.【分析】把x 与y 代入方程组计算即可求出所求.【解答】解：把代入方程组得：①+②得：3m+n=4故答案为：4【知识点】4，715.【分析】求出方程组的解，即可作出判断，注意坐标为(y，x).【解答】解：②-①得：3x+3=0，解得：x=-1把 x=-1 代入②得：y=5-1=4则(4，-1)在第四象限故答案为：四【知识点】4，716.【分析】根据“定义一种新的运算”*“，规定：x*y=ax2+by，其中 a、b 为常数，已知 2*3=-1，1*2=1“，得到关于 a 和b 的二元一次方程组，解之，求出 a，b 的值，代入 x*y，得到 x 和y 的关系式，再把 a 和b 的值代入即可得到答案.【解答】解：根据题意得：，解得：则 x*y=-x2+ya*b=-1*1=-(-1)2+1=0故答案为：0【知识点】7\ 10 /17.【分析】仿照图 1 写方程组的方法，确定出图 2 表示的方程组即可.【解答】解：根据题意得：故答案为：【知识点】218.【分析】设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出 x、y 的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论.【解答】解：设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm根据题意得：，解得：∴小长方形的面积为 3×1=3(cm 2)故答案为：3【知识点】7，819.【分析】先设小长方形卡片的长为 m，宽为 n，再结合图形得出两部分的阴影周长加起来即可求出答案.【解答】解：设小长方形卡片的长为 m，宽为 n则右上小长方形周长为 2×(7-m+2n)=14-2m+4n左下小长方形周长为 2×(8-2n+7-2n)=30-8n∴两块阴影部分周长和=44-2(m+2n)∵8=m+2n∴两块阴影部分周长和=44-16=28 故答案为：28【知识点】6，820.【分析】直接利用 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛米 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛米 2 斛，分别得出等式组成方程组求出答案.【解答】解：设 1 个大桶可以盛米 x 斛，1 个小桶可以盛米 y斛则故 5x+x+y+5y=5，则 x+y=答：1 大桶加1 小桶共盛斛米.故答案为：【知识点】7，8三.解答题(共 5 小题)21.【分析】(1)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.【解答】解：(1)方程组整理得：①-②×2 得：y=0把y=0 代入①得：x=1 则方程组的解为(2)方程组整理得：①×2+②得：11m=44，解得：m=4把 m=4 代入①得：n=0则方程组的解为【知识点】722.【分析】由方程组的解互为相反数，得到 x+y=0，可得出 n=0，代入方程组计算即可求出解；【解答】解：依题意得 x+y=0，所以 n=0，解得：【知识点】6，723.【分析】由题意可求出 a 与b 的值，然后代回原方程组中即可求出方程组的解.【解答】解：根据题意可知把代入（2），把代入（1）得：，解得把a=-1，b=10 分别代入原方程组得，解得【知识点】4，724.【分析】设该企业 2017 年处理餐厨垃圾 x 吨，处理建筑垃圾 y 吨，根据总费用=餐厨垃圾处理费×处理的数量+建筑垃圾处理费×处理的数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.【解答】解：设该企业 2017 年处理餐厨垃圾 x 吨，处理建筑垃圾 y吨依题意，得：解得：答：该企业 2017 年处理餐厨垃圾 100 吨，处理建筑垃圾 300 吨.【知识点】825.【分析】(1)由两班人数之和为整数可得出初一(1)(2)两个班的人数之和大于 100，设初一(1)班有x 人，初一(2)班有 y 人，根据总价=单价×数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)求出参加活动的人数，利用总价=单价×数量，分别求出购买 84 张门票及 101 张门票所需钱数，比较后即可得出结论；(3)设m 人与 n 人买票钱数相等(51≤m≤100，n≥101)，根据总价=单价×数量且总价相等，即可得出关于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 为正整数及其范围，即可求出 m，n 的值.【解答】解：(1)∵1456÷17=85(人)……11(元)∴初一(1)(2)两个班的人数之和大于 100设初一(1)班有x 人，初一(2)班有y人依题意，得：，解得：答：初一(1)班有 48 人，初一(2)班有 56 人(2)48+(56-20)=84(人)两个班联合起来买 84 张门票所需钱数为 84×17=1428(元)两个班联合起来买 101 张门票所需钱数为 101×14=1414(元)∵1414<1428∴两个班联合起来买 101 张门票最省钱【知识点】8四、附加题(共 2 小题)26.【分析】模仿小军的”整体代换”法，求出方程组的解即可；【解答】解：(1)把方程②变形：3(3x-2y)+2y=19③把①代入③得：15+2y=19，即y=2 把y=2 代入①得：x=3则方程组的解为(2)(i)由①得：3(x2+4y2)=47+2xy，即x2+4y2= ③把③代入②得：2×=36-xy，解得：xy=2将 xy=2 代入③得：x2+4y2=17(ii)由(i)知 xy=2，则3xy=6【知识点】627.【分析】(1)根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出 x 和 y，再代回原方程组求 z.(2)把(m+n)看作整体，解关于(m+n)、p、q 的三元一次方程组.【解答】解：(1)方程组小曹同学的部分解答过程如下：解：①+②，得 3x+4y=10 ④②+③，得 5x+y=11 ⑤⑤与④联立，得方程组解得：把代入①得：2+1+z=2，解得：z=-1∴原方程组的解是故答案为：①，②，②，③，⑤，④(2)②-①×2 得：p-3q=8④③-①×3 得：-5p-2q=-6⑤由④与⑤组成方程组解得：代入①得：m+n=4∴m+n-2p+q=-2故答案为：-2.【知识点】7。