排队论公式

六、标准的M / M / c (c ≥ 2)模型 (1)差分方程组和稳态概率pn 1o 差分方程组 ⎧λ pn −1 − (λ + nμ ) pn + (n + 1) μ pn +1 = 0,1 ≤ n ≤ c, (10.44) ⎪ ⎨λ pn −1 − (λ + cμ ) pn + cμ pn +1 = 0, n ≥ c, (10.45) ⎪ −λ p + μ p = 0(10.46) 0 1 ⎩ o 2 稳态概率 ⎡ c −1 1 ⎤ ρc p0 = ⎢ ∑ ρ k = ⎥ , ρ c < 1, (10.47) c ！（1 − ρ c） ⎣ k =0 k！ ⎦ ⎧1 n ρ p0 ,1 ≤ n < c, ⎪ ⎪ n! pn = ⎨ (10.48) 1 n ⎪ • ρ • p , n ≥ c, 0 ⎪ ⎩ c !c n − c 其中ρ =
2o 平均等待队长Lq为
c Lq = Ls − c = pc，（10.51) 2 （1 − ρ c）
ρ
其中c = ρ为系统平均繁忙的服务台数. 3o 顾客的平均逗留时间Wq为 Ws = Ls 1 1
λ
=
λ cμ (1 − ) 2 cμ
1 = 1 cμ (1 −
pc +
μ
;(10.52)
4o 顾客的平均等待时间Wq为 Wq = Ws −
LS =
N =0
∑ np
∞
n
=
ρ
1− ρ
=
λ μ −λ
,0 < ρ < 1; (10.14)
20 系统中等待的平均顾客数 Lq 为
Lq = ∑ (n − 1) p n =
n =1 ∞
ρ2 ρλ ; (10.15) = 1− ρ μ − λ
30 顾客在系统中的逗留时间 W 的分布及平均逗留时间 WS 为
10
20 系统中有 n 个客户的概率为
⎧ (1 − ρ ) ρ n , ρ ≠ 1,1 ≤ n ≤ N , ⎪ ⎪1 − ρ N + 1 n pn = ρ p0 = ⎨ (10.25 ) ⎪ 1 , ρ = 1; ⎪ ⎩ N +1
其中 ρ = λ / μ , 此处p < 1 的条件可以取消。 不过，若ρ > 1时系统的损失率pn (或表示被拒绝的平均数Dpn )将是很大的。 （2）系统的运算指标
⎧ ρn Ρ0 , ⎪ n ! ⎪ n ⎪ ρ Ρn = ⎨ n −c Ρ0 , ⎪ c!c 0, ⎪ ⎪ ⎩
1 ≤ n < c, c ≤ n ≤ N, n > N.
(2)系统的有效到达率λe和服务台的平均繁忙台数为 1。 2。
λe = λ （ 1 − Ρ N）， λ λ . c = e = （1 − Ρ N） μ μ
⎧ ρ N ρ N +1 − , ρ ≠ 1, 1 ⎪ ⎪ μ (1 − ρ ) λ (1 − ρ N ) Wq = W − = ⎨ (10.31) μ ⎪ N −1 , ρ = 1, ⎪ ⎩ 2λ
(3)系统的有效到达率λe 对于容量有限制的系统，λ是在系统中有空闲等待空间时的平均到达率， 当系统已满（即n = N）时，则到达率为零，需要求出有效到达率λe = λ (1 − pN ), 故 ⎧ λ (1 − p N ) , ρ ≠ 1, ⎪ ⎪ 1 − ρ N +1 λe = ⎨ (10.32) ⎪ Nλ , ρ = 1 ⎪ ⎩ N +1 五、顾客源有限（设为m）的M / M /1模型 − Palm机器维修模型
pc = (
ρn
ρk
(2)系统的有效到达率λe为
λe = λ (1 − Ρ c )
(3)系统的运行指标为 Lq = 0, Wq = 0. Ls = ∑ nΡ n = ρ (1 − Ρ c ),
n =1 c
(10.71)
(10.72) (10.73) (10.74)
Ws =
λe
Ls
=
ρ (1 − ρc ) 1 = λ (1 − Ρ c ) μ
−1
(3)系统的运行指标 1o 系统中的平均顾客数Ls , 即 LS = m −
λe μ = m − (1 − p0 ), (10.39) λ λ
1 (λ + μ )(1 − p0 ), (10.40)
2o 系统中等待队列的平均顾客数LS，即 Lq = L − (1 − p0 ) = m −
λ
3o 顾客在系统中的平均逗留时间Ws，即 Ws =
F (ω ) = 1 − e − (μ −λ )ω , ω ≥ 0, (10.16 ) Wq = E [ω ] = 1 ; (10.17 ) μ −λ
4 0 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间 Wq 为
Fq (ω ) = 1 − ρe − ( μ −λ )ω , ω ≥ 0, (10.18) Wq = W s −
λe为 （）系统的有效到达率 1 λe = λ (m − Ls )(10.33)
其中λ为每台机器单位运转时间内发生故障的概率或平均次数。 （2）生灭过程差分方程组与稳态概率pn 1o 差分方程组 ⎧ μ p1 = mλ p0 ⎪ μ p + (m − n + 1)λ p (10.34) n −1 ⎪ n +1 ⎨ ⎪= [ (m − n)λ + μ ] pn ,1 ≤ n ≤ m − 1, (10.35) ⎪ μ p = λ p , (10.36) m −1 ⎩ m o 2 稳态概率p0和pn (1 ≤ n ≤ m)为 ⎡ m m! λ n ⎤ ( ) ⎥ , (10.37) p0 = ⎢ ∑ ⎣ i =0 (m − i )! μ ⎦ λ m! ( ) n • p0 , (10.38) pn = (m − n)! μ
二、 Ls , Lq ,Ws 和Wq的关系为
(
)
10 Ls = λW ; (10.20 ) 20 Lq = λWq ; (10.21) 30 Ws = Wq + 1 ; (10.22 )
μ λ 40 Ls = Lq + . (10.23) μ
上述四个式子称为Littie公式。 三、标准的 M/M/1 模型 （1）系统在稳定状态下处于状态 n 的概率 p 0 = 1 − ρ , p n = ρ n (1 − ρ ), n ≥ 1, ρ < 1, (10.13) 其中 ρ = λ / μ ，它是系统的平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度或称为 话务强度。 （2）系统的运行指标 １ 0 系统中的平均顾客数 L S 为
(10.61) (10.62)
(3)系统的运行指标 1。 平均队长Ls为 Ls = Ρ 0
ρ c +1
2 ！（ c c 1 − ρc）
[1 − ρcn −c − （N − c）（1 − ρ c）ρcN −c ] + ρ （ 1 − ρ N）；（ 10.63)
2。 平均等待队长Lq为 Lq = Ls −
N −1 n
⎧ N +1 , ρ = 1, ⎪ ⎪ 2λ Ws = ⎨ (10.29) N +1 ⎪ 1 − Nρ , ρ ≠ 1; N ⎪ ⎩ μ − λ λ (1 − ρ )
4o 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间Wq , 即 Fq ( w) = 1 − ∑
N −1
ρ n (1 − ρ ) n −1 ( μ w) j − μ w ρ , w ≥ 0, (10.30) N ∑ j! n =1 1 − ρ j =0
λe
Ls
=
m 1 − (10.41) μ （1 − p0） λ 1 m 1 1 − − (10.42) μ （1 − p0） λ μ
4o 顾客在系统中的平均等待时间Wq，即 Wq = W −
μ
=
5o 正在正常运转的平均机器台数a, 即 a = m − Ls =
μ (1 − p0 )(10.43) λ
排队论主要公式
一、状态平衡方程
⎧λ n −1 p n −1 − λ n + μ n p n + μ n +1 p n +1 = 0,1 ≤ n < k , (10.10) ⎪ ⎨λ0 p0 − μ1 p1 = 0, (10.11) ⎪λ p − μ p = 0, (10.12) k k ⎩ k −1 k −1 当系统状态为可数状态时，将上述第一个式子的 k 换成 ∞ ，而将第三式去掉。
1
μ
=
λ ρ .(10.19) = μ (μ − λ ) μ − λ
四、系统容量有限制（设为N）的M / M /1模型
（1）系统在稳态下处于状态 n 的概率
⎧ 1− ρ , ρ ≠ 1; ⎪ ⎪1 − ρ N +1 系统空闲的概率为 p 0 = ⎨ (10.24) 1 ⎪ , ρ = 1. ⎪ ⎩N +1
n =1 N
⎧ N ( N − 1) ⎪ 2( N + 1) , ρ = 1, ⎪ =⎨ 2 (10.27) N +1 ⎪ ρ − ( N + ρ ) ρ , ρ ≠ 1; ⎪ 1 − ρ N +1 ⎩1 − ρ
3o 顾客在系统中的逗留时间w的分布及平均逗留时间Ws为 1− ρ F （w） = 1− ρ N ⎧ ( μ w) 2 ( μ w) n ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ −μw ⎡ ρ ⎨1 − e ⎢1 + μ w + +…+ ⎬ , w ≥ 0;(10.28) ∑ ⎥ 2! n! ⎦ ⎪ n=0 ⎪ ⎣ ⎩ ⎭
八、 N = c时的损失制M / M / c模型 (1) 统计平衡下的稳态概率为 1
。
⎛ c ρk ⎞ Ρ0 = ⎜ ∑ ⎟ ; ⎝ k =0 K ! ⎠
pn =
−1
(10.68)
2。 3。
ρn
n!
p0 ,1 ≤ n ≤ c; )/∑
c
(10.69)
(10.70) c ! k =0 K ! 称公式10.70为Erlang 损失公式或堵塞概率.
λe = Ls − ρ (1 − Ρ N ); μ
(10.64)
3。 顾客的平均逗留时间Ws为 Ws =
λe
Ls
= Ls • λ (1 − Ρ N );
(10.65)
顾客的平均等待时间Wq为 4。 Wq Байду номын сангаас Ws − 1
μ
= λ (1 − Ρ N ) Ls −
1
μ
;
(10.66)
服务台的利用率为 5。 r= c λ = (1 − Ρ N ) = ρ c (1 − Ρ N ). c cμ (10.67)
(10.75)
九、顾客源有限(m)的M / M / c模型( Palm模型) (1)系统的稳态概率Ρ n为 1
。
2。
⎡ c −1 ⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ n m ⎛ m ⎞ k ! ⎛ λ ⎞ k ⎤ Ρ0 = ⎢∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∑ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ;(10.76) k −c ⎜ μ k =0 ⎝ k ⎠ ⎝ μ ⎠ k = c ⎝ k ⎠ c !c ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ n ⎧⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ 0 ≤ n ≤ c, ⎪⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ Ρ 0, ⎪⎝ n ⎠ ⎝ μ ⎠ (10.77) Ρn = ⎨ n ⎪ ⎛ m ⎞ n! ⎛ λ ⎞ c ≤ n ≤ m. ⎪ ⎜ n ⎟ c !c n −c ⎜ μ ⎟ Ρ 0, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Lq = Ls = Lq + Ws =
1o 系统中的平均顾客数LS 为 ⎧ ρ ( N + 1) ρ N +1 − , ρ ≠ 1, ⎪ n ⎪1 − ρ 1 − ρ N +1 LS = ∑ npn ⎨ (10.26) N n=0 ⎪ , ρ = 1; ⎪ ⎩2
2o 系统中等待的平均顾客数Lq为 Lq = ∑ (n − 1) pn = Ls − (1 − p0 )
μ
λ 2 ) cμ
pc ;(10.53)
5o 每个服务台的实际利用率r为 c ρ = = ρc , (10.54) c c 称r为系统的服务强度。 r= 七、系统容量有限制(设为N )的M / M / c的模型 (1)差分方程组和稳态概率pn 1o 差分方程组 ⎧λ pn −1 − (λ + nμ ) pn + (n + 1) μ pn +1 = 0,1 ≤ n < c, (10.55) ⎪λ p − (λ + cμ ) p + cμ p = 0, c ≤ n < N , (10.56) ⎪ n −1 n n +1 ⎨ ⎪λ pN −1 − cμ pN = 0, (10.57) ⎪ ⎩λ p0 − μ p1 = 0.(10.58) 2o 稳态概率p0和pn为 ⎧ ⎡ c −1 ρ n ρ c (1 − ρ N −c +1 ) ⎤ −1 c ⎪ ⎢∑ + , ρ c ≠ 1, n ! c !(1 − ρc ) ⎥ ⎪ ⎣ k =0 ⎦ p0 = ⎨ (10.59) −1 ⎪⎡ c −1 ρ n c c ⎤ + ( N − c + 1) ⎥ , ρ c = 1, ⎪⎢ ∑ ⎦ ⎩ ⎣ k =0 n ! c ! 其中ρ 0 = λ / μ , ρc = λ / cμ .
−1
λ λ ，ρ c = 〈1 cμ μ
∞
3o 所有服务台均被占用（即顾客需等待）的概率 P { N ≥ c} = ∑ pk =
k =c
（ ） p 0 10.49 ！（1 − ρ c） c
ρc
(2)系统的运行指标 1o 平均队长Ls为 Ls =
ρc pc + ρ ;(10.50) (1 − ρ c ) 2