某大学概率论和数理统计期末考试试题答案1
概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解:由题意可得:P(AB+AB)=0.3,即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB),所以P(AB)=0.1,P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X≤1)=4P(X=2),则P(X=3)=1/e6.解答:由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4,即λ=ln2,所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6,又因为P(X≤1)=4P(X=2),所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2),即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ),解得λ=ln2,故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2,0<y<4;其它为0.解答:设Y的分布函数为F_Y(y),X的分布函数为F_X(x),密度为f_X(x),则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2),所以F_X(0)=0,F_X(y)=y/2,故F_Y(y)=y/2,所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2,0<y<4;其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,P(X>1)=e^(-λ),则λ=2,P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答:因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ),所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布,所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。
参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。
参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。
2020-2021某大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷合集(含答案)
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2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A适用专业:信计 考试日期:试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一.填空题(每题2分,共10分)1.设事件B A ,互不相容,若()(),5.0,3.0==B P A P 则()AB P 为__________. 设事件B A ,相互独立,若()(),5.0,3.0==B P A P 则()AB P 为__________.2.设n ξξξ,,21 为取自母体服从正态分布()2,σμN 的子样,ξ为子样均值,2nS为子样方差。
则ξ服从的分布为____________,()nS n 1--μξ服从的分布为_____________.A3. 设n ξξξ,,21 为取自母体服从正态分布()1,0N 的子样,则∑=ni i12ξ服从的分布为_____________.4. 设ξ与η相互独立,分别是服从自由度为n 及m 的2x 分布的随机变量,则mn ηξς=服从的分布为_____________.5. 将一枚硬币重复掷N 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于__________.二、选择题(每小题2分共10分)1.设B A ,为互不相容事件,且()(),0,0>>B P A P 则结论正确的有( ) (A )()0>B A P (B )())(A P B A P > (C) ()0=B A P (D) ()()()B P A P B A P = 2、设随机变量ξ的概率密度函数为()x ϕ,且有()x ϕ()x -=ϕ,()x F 是ξ的分布函数,则对任意实数a ,有( ) (A )()()dx x a F a⎰-=-01ϕ (B )()()dx x a F a⎰-=-021ϕ (C)()()a F a F =- (D)()()12-=-a F a F3、设随机变量X 服从正态分布()2,σμN ,则随着σ的增大,()σμ<-X P ( )(A )单调增大 (B )单调减少 (C )保持不变 (D )增减不定4、任一连续型随机变量的概率密度函数()x ϕ一定满足( )(A )()10≤≤x ϕ;(B )定义域内单调不减;(C )()1=⎰+∞∞-dx x ϕ;(D )()1lim =+∞→x x ϕ。
概率论与数理统计期末考试试题(答案)
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概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题,每小题5分,满分30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一把所选项前的字母填在题后的括号内)(每道选择题选对满分,选错分)。
事件表达式A B 的意思是 ( ) ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 发生但事件B 不发生) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ,根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( )) 是不可能事件 (B ) 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) A) 自由度为1的χ2分布 (B ) 自由度为2的χ2分布 ) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布选B ,因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B ) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D ) +Y ~N (0,3)C ,因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布,而E (X +Y )=E (X )+E (Y )D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B )1233X X X ++是μ的无偏估计) 22X 是σ2的无偏估计(D ) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计,其它三项都不成立。
《概率论与数理统计A》期末习题一答案
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《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分,共含6小题,每小题5分)1、设A ,B 为随机事件,A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,求()P AB 。
解:32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。
(5分)2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ,求常数c 的值。
解:121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ,因此2=c 。
(5分) 3、 已知随机变量)4,1(~N X ,求}21{<<X P 。
解:()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P (3分) 1915.05.06915.0=-=。
(2分)4、设随机变量X 和Y 相互独立,)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。
解:()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ; (2分)()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。
(3分) 5、 已知10个产品中有3个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。
解:设X :所取得3个产品中次品的个数,则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X (2分)1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P (3分) 6、设随机变量X 、Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则Z(同时要写出分布的参数) ?~(1)t 。
(5分)二、(本题满分10分) 编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台。
(1) 求此台仪器正在工作的概率;(2) 已知选到的仪器正在工作,求它编号为2的概率。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc
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《概率论与数理统计》期末考试试题及解答一、填空题(每小题3分,共15分)1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)?P(B)?0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为__________.答案:0.3解:P(A?B)?0.3即0.3?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)所以P(AB)?0.1P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X?1)?4P(X?2),则P(X?3)?______.答案:1?1e6解答:P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??????2?? 由P(X?1)?4P(X?2) 知e??e?2?e2 即2????1?0 解得??1,故P(X?3)?1?1e 623.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________.答案:0?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?解答:设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x),密度为fX(x)则FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?y?)yX)Xy? ?)y 因为X~U(0,2),所以FX(?0,即FY(y)?FX故10?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?另解在(0,2)上函数y?x2严格单调,反函数为h(y)?所以0?y?4,fY(y)?fX? ?0,其它.?24.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为?的指数分布,P(X?1)?e,则??_________,P{min(X,Y)?1}=_________.答案:??2,P{min(X,Y)?1}?1?e-4解答:P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2,故??2P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)?1?e?4.5.设总体X的概率密度为???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1. ?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本,则未知参数?的极大似然估计量为_________.答案:???11nlnxi?ni?1?1解答:似然函数为L(x1,?,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,?,xn)?i?1nlnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni解似然方程得?的极大似然估计为dlnLn???lnxi?0 d???1i?12?? ?11n?lnxini?1?1.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是(A)若P(C)?1,则AC与BC也独立.(B)若P(C)?1,则A?C与B也独立.(C)若P(C)?0,则A?C与B也独立.(D)若C?B,则A与C也独立. ()答案:(D).解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D).事实上由图可见A与C不独立.2.设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x),则P(|X|?2)的值为(A)2[1??(2)]. (B)2?(2)?1.(C)2??(2). (D)1?2?(2). ()答案:(A)解答:X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??1]?2?[1 ? 应选(A).3.设随机变量X和Y不相关,则下列结论中正确的是(A)X与Y独立. (B)D(X?Y)?DX?DY.(C)D(X?Y)?DX?DY. (D)D(XY)?DXDY. () 3答案:(B)解答:由不相关的等价条件知,?xy?0?cov(x,y)?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov (x,y)应选(B).4.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P111169183??若X,Y独立,则?,?的值为(A)??29,??19. (A)??129,??9.(C)??16,??16 (D)??518,??118.4 )(答案:(A)解答:若X,Y独立则有??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) 1121 ?(????)(??)?(??) 393921 ???,??99 故应选(A).5.设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则下列结论中正确的是(A)X1是?的无偏估计量. (B)X1是?的极大似然估计量.(C)X1是?的相合(一致)估计量. (D)X1不是?的估计量. ()答案:(A)解答:EX1??,所以X1是?的无偏估计,应选(A).三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解:设A?‘任取一产品,经检验认为是合格品’B?‘任取一产品确是合格品’则(1)P(A)?P(B)P(A|B)?P()P(A|)?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.(2)P(B|A)?四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.5 P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857解:X的概率分布为P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.X即X的分布函数为P02712515412523612538 125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?117 2?x?3,?125,?x?3.?1,?26EX?3??,552318DX?3???.5525五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;(2)Z?X?Y的分布函数与概率密度.(1)(X,Y)的概率密度为?2,(x,y)?Df(x,y)??0,其它.?fX(x)?(2)利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??0,其它??f(x,z?x)dx?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??0,其它??0,其它.当z?0或z?1时fZ(z)?0 0?z?1时fZ(z)?2?z0dx?2x0?2zz6故Z的概率密度为??2z,0?z?1,fZ(z)????0,其它.Z的分布函数为fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,?z??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1, 0??1,z?1.?z?1??1,或利用分布函数法?z?0,?0,?FZ(z)?P(Z?z z1,)?P(X?Y?)z,y0??????2dxd?D1?1,z?1.??0,?2, ??z?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.fZ(z)?FZ?(z)??六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立,且均服从N(0,2)分布. 求(1)命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率;(2)命中点到目标中心距离Z?1)P{X,Y)?D}?222.??f(x,y)dxdyD???2??4D?x2?y28dxdy? 18?r282??2?21e?r28rdrd??(2)EZ?E? ?21e?r28d(?)??e 82??e?e;1?18?12 ?? ??r28 ????1e?04 ???1e8??x2?y28dxdy?18???2???0re?rdrd??r28r2dr7??rer2?8????0??0e?r28dr??????r28dr?.七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm)X~N(?,?2),今抽取容量为16的样本,测得样本均值?10,样本方差s2?0.16. (1)求?的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设H0:?2?0.1(显著性水平为0.05).(附注)t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,解:(1)?的置信度为1??下的置信区间为(?t?/2(n?222?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488. ?t?/2(n??10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132所以?的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)2 (2)H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).15S22?15?1.6?24,?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为?2?24?24.996??0.05(15),所以接受H0.2《概率论与数理统计》期末考试试题(A)专业、班级:姓名:学号:一、单项选择题(每题3分共18分)891011121314151617《概率论与数理统计》课程期末考试试题(B)专业、班级:姓名:学号:181920212223242526272829共8页30。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
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大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分,共 30分)在显著性检验中,若要使犯两类错误的概率同时变小,则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差,则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数,则概率= 0 . 设的分布律为,,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书,其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设,则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则= . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N (3,4)14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本,,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解:用,分别表示三人译出该份密码,所求概率为 (2分)由概率公式 (4分)(2分) 2、(8分) 设随机变量,求数学期望与方差.解:(1) = (3分) (2) (3分) (2分)(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只,它们的寿命相互独立,记,用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C ()P A B C P ABC P A P B P C ()=1-()=1-()()()1-1-1-p q r =1-()()()()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y ()+()=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解: (3分) (5分)(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度; (2) 求概率.解: (1) (1分)A 卷第2页共4页(2分)(2分)概率密度函数 (2分)(2) . (3分) (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2()=100,()=100,()=1600,()=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ(0.8)X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩,,其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时()=0,时()=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=()=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<()=0,其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311()-(-1)=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数; (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) (2分)由(2分) 可得 (1分)(2), , (3分) (2分) 由可知与不独立 (1分) 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立(4分) ,(4分),p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=,即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+,,1p q ==EX 1()=2E Y 1()=-3E XY 1()=-6,-CovX Y E XY E X E Y ()=()()()=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解:似然函数 (4分)由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量,为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解: (2分)检验统计量,拒绝域 (2分)而 (1分)因而拒绝域,即不认为总体的均值仍为4.55 (2分)A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
概率论与数理统计期末考试试卷答案
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概率论与数理统计期末考试试卷答案《概率论与数理统计》试卷一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则AU B =A 、AB B 、ABC 、ABD 、AJB 2、设A , B, C 表示三个事件,则 ABC 表示A 、 A ,B, C 中有一个发生B 、 A ,B,C 中恰有两个发生C 、 A ,B, C 中不多于一个发生D 、A ,B ,C 都不发生3、 A B 为两事件,若 P(A U B)=0.8 , P(A) =0.2 , P(B) =0.4,贝U成立A 、P(AB)=0.32B 、P(AB) =0.2C 、P(B —A)=0.4D 、P(B A)= 4、设A , B 为任二事件,则A 、P(A-B) =P(A)-P(B)B 、P(AUB)=P(A) P(B)C 、P(AB)二P(A)P(B)D 、P(A)二 P(AB) P(AB) 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是A 、A 与B 独立 B 、A 与 B 独立C 、P(AB)二 P(A)P(B)D 6、设离散型随机变量 X 的分布列为A 、0B 、0.3C 、0.8D 、1「ex 47、设离散型随机变量 X 的密度函数为f (X )= 10,A 、-B 、-C 、4D 、554X0 1 2P 0.3 0.5 0.2其分布函数为F(x),贝U F(3)=8、设X ?N(0,1),密度函数 (x)二,^U ;:(x)的最大值是A 、0B 、1C 1 ■-2■:9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2, -,其概率分布为 P (k ;3)二-e^,^011121|l| k!,则下式成立的是0.48定互斥x其它它,1],则常数c=1A 、EX = DX =3B 、EX = DX 二一3 11 C 、EX =3, DX D 、EX , DX =933设X 服从二项分布B(n,p),则有A 、E(2X_1)=2np B 、D(2X1)=4np(1_p) 1 C 、E(2X 1)=4np1D 、D(2X_1)=4np(1 _ p)独立随机变量 X , Y ,若X ?N(1,4) , 丫?N(3,16),下式中不成立的是 A 、E X Y =4 B 、E XY =3 C 、D X -Y =12 D 、E Y 2 =161 1A 、0B 、1C 、D 、44设X ?N(0,1),又常数c 满足 P :X _c .; = P 〈X :心,则c 等于 1A 、1C 、D 、-12已知 EX - -1, DX =3 ,则 E 3 X 2 -2=A 、9B 、6C 、30D 、36当X 服从() 分布时,EX 二DX 。
概率论与数理统计期末试卷(一)答案
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⇒ A =1
(2) P ( ξ <
ห้องสมุดไป่ตู้
--------------2 分
3 3 3 3 2 4 2 3 ) = ∫ 3 3 f ( x)dx = ∫ 3 3 dx arctan | = x 0 = ------------4 分 2 − − 3 π (1 + x ) π 3 3 3
0 , x ≤ −1 ⎧ ⎪2 1 ⎪ (3) F ( x) = ⎨ arctan x + , −1 < x < 1 ----------------6 分 2 ⎪π 1 , x ≥1 ⎪ ⎩
F0.975 (15,19) =
1 1 = ; F0.025 (15,19) = 2.6171 F0.025 (19,15) 2.7559 1 } 2.7559
所以拒绝域 C
= {F > 2.6171} U {F <
= (0.025) 2 (0.02) 2 =
由样本观测值,得 F
625 = 1.5625 ;---------------5 分 400
n ⎛ ⎡m 2 2⎤⎞ 1 X X Yi − Y ) ⎥ ⎟ = σ 2 ----------------3 分 ⇒ E⎜ − + ( ) ( ⎢ ∑ ∑ i ⎜ m + n − 2 i =1 ⎟ j =1 ⎣ ⎦⎠ ⎝
n ⎡m 2 2⎤ 1 X X Yi − Y ) ⎥ 是 σ 2 的无偏估计。-----------4 分 − + ( ) ( ∑ ⎢∑ i m + n − 2 ⎣ i =1 j =1 ⎦
(4) EX =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx =0
+∞
安徽大学2020-2021第一学期概率论与数理统计论与数理统计A期末考试卷及参考答案
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安徽大学2020—2021学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准一、填空题(每小题3分,共15分) 1.0.8; 2.011122Y⎛⎫⎪⎪⎝⎭; 3.12;4.22σμ+; 5.1.65二、选择题(每小题3分,共15分)6.C ; 7.B ; 8.C ; 9.A ; 10.D三、计算题(每小题10分,共60分) 11.解:(1) 由121d )(02==−⎰k x x kααα 2 =⇒k ,................... 4分(2) 22 0 02()()d , 0 1 x x x x F x f t t x x αααα−∞<⎧⎪⎪==−≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰,................... 10分12.解:(1) Z 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤−=其他 , 022 , 4/1)(z z f ,,41}1{}1,1{}1,1{=−≤=≤−≤=−=−=Z P Z Z P Y X P,0}1,1{}1,1{=>−≤==−=Z Z P Y X P,21}11{}1,1{}1,1{=≤<−=≤−>=−==Z P Z Z P Y X P,41}1{}1,1{}1,1{=>=>−>===Z P Z Z P Y X P所以X................... 5分(2) ,324321}1{}1,1{}1|1{===−====−=X P Y X P X Y P.31}1{}1,1{}1|1{=======X P Y X P X Y P................... 10分13.解:此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为2510e d e 51)10(−−∞+==>⎰x X P x, 故 )e ,5(~2−B Y .................... 5分他一周内至少有一次步行上班的概率为52)e 1(1)1(−−−=≥Y P .................... 10分14.解:(1)),(Y X 的联合密度为⎩⎨⎧∈=其他 , 0),( , 1),(Dy x y x f , 所以X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅==⎰⎰−∞+∞−其它, 0 10 , 2d 1d ),()(x x y y y x f x f x x X ,................... 5分(2)32d 210=⋅=⎰x x x EX ,21d 21022=⋅=⎰x x x EX ,181)(22=−=EX EX DX , 所以92)(4)12(==+X D X D .................... 10分15.解:⎰∞+∞−−=x x z x f z f Z d ),()(,⎩⎨⎧<−<<<−−−=−其他,010,10),(2),(x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<−=其他,01,10,2xz x x z , ................... 4分当0≤z 或2≥z 时, 0)(=z f Z ;当10<<z 时, ⎰−=zZ x z z f 0d )2()()2(z z −=;当21<≤z 时, ⎰−−=11d )2()(z Z x z z f 2)2(z −=;故Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−=其他 ,021 ,)2(10 ,2)(22z z z z z z f Z .................... 10分16.解:(1)⎰−⋅=1d 11)(θθx x X E 21θ+=,由1)(2−=X E θ, 所以θ的矩估计量为 12ˆ−=X θ,其中∑==ni i X n X 11。
概率论与数理统计期末考试试卷答案
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概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列事件中,不可能事件是()A. 抛掷一枚硬币,正面朝上B. 抛掷一枚硬币,正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子,出现7点D. 抛掷一枚骰子,出现1点答案:C2. 设A、B为两个事件,若P(A-B)=0,则下列选项正确的是()A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案:B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p),则下列结论正确的是()A. 当n增加时,X的期望值增加B. 当p增加时,X的期望值增加C. 当n增加时,X的方差增加D. 当p增加时,X的方差减少答案:B4. 设X~N(μ, σ^2),下列选项中错误的是()A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时,X的概率密度函数的峰值减小答案:D5. 在假设检验中,显著性水平α表示()A. 原假设为真的情况下,接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下,接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下,拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下,拒绝原假设的概率答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A、B为两个事件,P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(A∩B) = 0.3,则P(A-B) = _______。
答案:0.27. 设随机变量X服从泊松分布,已知P(X=1) = 0.2,P(X=2) = 0.3,则λ = _______。
答案:1.58. 设随机变量X~N(μ, σ^2),若P(X<10) = 0.2,P(X<15) = 0.8,则μ = _______。
答案:12.59. 在假设检验中,若原假设H0为μ=10,备择假设H1为μ≠10,显著性水平α=0.05,则接受原假设的临界值是_______。
答案:9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量,若X与Y相互独立,则下列选项正确的是()A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案:D三、解答题(每题25分,共100分)11. 设某班有50名学生,其中有20名男生,30名女生。
《概率论与数理统计》期末考试题(附答案)

《概率论与数理统计》期末考试题(附答案)三、(6分)设随机变量X ,Y 的概率密度分别为:=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤其它 ,0,10 ,32x x ,=)(y f Y ⎩⎨⎧≤≤其它 ,0,10 ,2y y ,且随机变量X ,Y 相互独立(1)求(X ,Y )的联合概率密度为:),(y x f(2)计算概率值{}X Y p 2≤。
解:(1) X ,Y 的边缘密度分别为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-其他,,其他,, 010 26)()(010 36)()(1021022y y ydx x dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y XX ,Y 相互独立,可见(X ,Y )的联合概率密度为)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=, ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 ,010,10 ,6),(2y x y x y x f 2’ ⎰⎰⎰⎰===<<10122220196),()2(y x y ydx x dy dxdy Y x f X Y P 4 四、(8分) 从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为25的一个样本,样本均值和样本方差分别是:9,802==S X , 36.39)24(,4.12)24(,0639.2)24(2025.02975.0025.0===x x t求u 的置信度为0.95的置信区间和2σ 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,,1315.2)1(025.0=t9,802==S X 由此u 的置信水平为0.95的置信区间为:)0639.225380(⨯±, 即)238.180(± 4’(2) n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,36.39)24(,4.12)24(2025.02975.0==x x92=S 由此2σ的置信水平为0.95的置信区间为:)42.17,49.5())24(924,)24(924(2975.02025.0=⨯⨯χχ 4’五 、(10分)设总体X 服从u u N ,),,(22已知σσ未知。
概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题(每空2分,共20分)1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ).5、已知随机变量X ~N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题(每题12分,共48分)1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解:(1)由归一性:λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以(2)⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x(3)⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=,求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解:(1)14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E (2)24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E(3)112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ~N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解:(1)E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ(2)D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题(12分)设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解:提出假设检验问题:H 0: μ=70, H 1 :μ≠70,nS X t /70-=-~t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题(每小题4分,共20分) 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为:32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ;)2(()X f x , )(y f Y ;)3( X 与Y 是否相互独立?)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ; )5( )(X D ,)(Y D . 附:Φ(1.96)=0.975; Φ(1)=0.84; Φ(2)=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t , 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =, 0.025(35) 2.0301t = 解:(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时,当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题(每题10分,共70分)1、设P (A )=1/3,P (B )=1/4,P (A ∪B )=1/2.求P (AB )、P (A-B ).解:P (AB )= P (A )+P (B )- P (A ∪B )=1/12P (A-B )= P (A )-P (AB )=1/42、设有甲乙两袋,甲袋中装有3只白球、2只红球,乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取两球,问两球都为白球的概率是多少?解:用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”, B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
《概率论与数理统计》期末试题一答案

1、 设A 与B 为互不相容的两个事件,0)B (P >,则=)|(B A P 0 。
2、 事件A 与B 相互独立,,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。
3、 设离散型随机变量X 的分布函数为 0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ,则=a61 =b , 65。
4、 某人投篮命中率为54,直到投中为止,所用投球数为4的概率为___6254________。
5、 设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从“0-1”分布,4.0=p ;Y 服从2=λ的泊松分布)2(π,则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、 已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、 设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
8、 设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数,从总体X 中抽取容量为16的样本,样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____(4.51,5.49)____。
(96.1975.0=u )9、 若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X 与Y 相互独立,则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
一、 计算题(每小题10分,共60分)1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽样。
求下列事件的概率:(1)一只是正品,一只是次品;(2)第二次才取得次品;(3)第二次取出的是次品。
2021年大学必修概率论与数理统计期末考试卷及答案(完整版)

2021年大学必修概率论与数理统计期末考试卷及答案(完整版)一、单选题1、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数,则下列各式中正确的是 A )F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C2、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本,2(),()E X D X μσ==,12211()n i i i C XX θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C =(A )1/n (B )1/1n - (C ) 1/2(1)n - (D ) 1/2n - 【答案】C3、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则 2()E Y =A )1.B )9.C )10.D )6. 【答案】C4、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是(A )22111()1n i i S X X n ==--∑(B )22211()n i i S X X n ==-∑(C )221S X + (D )222S X + 【答案】D5、已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩(λ>0,A 为常数),则概率P{X<+a λλ<}(a>0)的值A )与a 无关,随λ的增大而增大B )与a 无关,随λ的增大而减小C )与λ无关,随a 的增大而增大D )与λ无关,随a 的增大而减小 【答案】C6、设X 的密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,且)()(x f x f -=。
那么对任意给定的a 都有A )()1()af a f x dx-=-⎰ B )01()()2a F a f x dx -=-⎰C ))()(a F a F -=D ) 1)(2)(-=-a F a F 【答案】B7、设X ~2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是 A )123X X X ++ B )123max{,,}X X X C )2321i i X σ=∑ D )1X μ-【答案】C8、设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D)(1,1)F m n -- 【答案】C9、设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n -- 【答案】C10、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立,则A ) 9/1,9/2==βαB ) 9/2,9/1==βαC ) 6/1,6/1==βαD ) 18/1,15/8==βα 【答案】A 二、填空题1、θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θˆ是比βˆ有效的估计。
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出-1 0 10 Nhomakorabea1
0
0
0
………….4分
(2)因为
所以 与 不相互独立
…………8分
七、(8分)设二维随机变量 的联合密度函数为
求:(1) ;(2)求 的边缘密度。
解:(1) …………..2分
=
=[ ] ………….4分
(2) …………..6分
……………..8分
1. 2. , 3. 4.
(1)如果 ,则 .
(2)设随机变量 的分布函数为
则 的密度函数 , .
(3)
(4) 设总体 和 相互独立,且都服从 , 是来自总体 的
样本, 是来自总体 的样本,则统计量
服从分布(要求给出自由度)。
三、(6分)设 相互独立, , ,求 .
解:0.88=
= (因为 相互独立)……..2分
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解:因为 是单调可导的,故可用公式法计算………….1分
当 时, ………….2分
由 ,得 …………4分
从而 的密度函数为 …………..5分
= …………..6分
六、(8分)已知随机变量 和 的概率分布为
而且 .
(1)求随机变量 和 的联合分布;
(2)判断 与 是否相互独立?
…………4分
即为[4.801,5.199]…………5分
令 ………..5分
于是 的最大似然估计:
。……….7分
十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率 服从正态分布,均值为 ,长期以来方差 稳定为1,现随机抽取的100天的利润,样本均值为 ,试求 的置信水平为95%的置信区间。( )
2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案

2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案(完整版)一、单选题1、设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值(X1,x2,…,x n)落入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 _____________ 。
(A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25【答案】B2、对于事件人,B,下列命题正确的是(A)若A,B互不相容,则X与B也互不相容。
(B)若A,B相容,那么X与B也相容。
(C)若A,B互不相容,且概率都大于零,则A,B也相互独立。
(D)若A,B相互独立,那么X与B也相互独立。
【答案】D3、在一次假设检验中,下列说法正确的是______(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误⑻如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误。
增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误【答案】A4、若X〜t(n)那么%2〜A) F(1,n) B) F(n,1) C)殍(n) D) t(n)【答案】A5、在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有(A)样本值与样本容量(B)显著性水平a (C)检验统计量 (D)A,B,C同时成立【答案】D6、若X〜t(n)那么X2〜A) F(1,n)B) F(n,1) C) X2(n)D) t(n)【答案】A7、下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是11F (x ) = + — arctan x2兀【答案】B 8、袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是【答案】B 9、设X 〜N(从,o 2),那么当o增大时,尸{X 一四<o} =A )增大B )减少C )不变D )增减不定。
【答案】C 10、在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为。
概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分,共15分)1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解:由题意可得P(AB+AB)=0.3,即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB),所以P(AB)=0.1,P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X≤1)=4P(X=2),则P(X=3)=1-e^(-6)。
解:由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ),P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2,且P(X≤1)=4P(X=2),可得λ=1,因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.解:设Y的分布函数为F_Y(y),X的分布函数为F_X(x),密度为f_X(x),则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2),所以F_X(-y)=0,即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y),所以f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.另解:在(0,2)上函数y=x严格单调,反函数为h(y)=y,所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2,0<y<2;f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1,2<y<4;其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,P(X>1)=e^(-2),则λ=2,P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
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所以 Z ~ N ( 2,12) ,套用正态分布的密度公式 f ( x ) =
5. X , Y 相互独立
(一定有 或 未必有) X , Y 不相关。
答案: 解答:
一定有
由相互独立的定义有, X , Y 相互独立,则 P ( XY ) = P ( X ) P (Y ) ......(1)
由不相关的定义有, X , Y 不相关,则 (1)→(2),(2) ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ (1) 所以填一定有
i=n i=n ⎛ i =n ⎞ 若X i ~ N µ i , σ i2 , 则∑ ai xi ~ N ⎜ ∑ µ i , ∑ ai2σ i2 ⎟。( i = 1,2...n) i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
(
)
又设 X ~ N (0,1), 令 Y = − X − 2 ,则 Y ~ N (−2,1)
P( A1 ) = 0.94, P( A2 ) = 0.03, P( A3 ) = 0.02, P( A4 ) = 0.01
P( B | A1 ) = 0.98, P( B | A2 ) = 0.95, P( B | A3 ) = 0.9, P( B | A4 ) = 0.85 -------------------------4 分
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) = 0.74 ,
P( A | A ∪ B ) =
P[ A ∩ ( A ∪ B )] P ( A) 0.5 25 = = = P( A ∪ B ) P ( A ∪ B ) 0.74 37
4. 设 X ~ N (1,2), Y ~ N (3,4), Z = 2 X − Y + 3 ,则 Z 的概率密度函数 f ( z ) =
某大学期末考试《概率论和数理统计》试卷解答
选 择 题(6×3 分) 一、 一、选 : 1. 设0 < P ( A) < 1,0 < P ( B ) < 1, P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1, 则( )
(A)
P( A | B) = P( A)
答案:A
(B) B = A
(C) AB ≠ Φ
1 −15 1 −10 e − e ------------------------------------6 分 2 2
4. 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ⎨
⎧ Ax, 0 < x < 1,0 < y < x 其他 ⎩ 0,
求:1) A;
1 1⎞ ⎛ 2) P⎜ X < , Y < ⎟ ; 4 2⎠ ⎝
P( AB)的最小值为 ,则 P( A ∪ B) = 1 ,那么 P( AB)的最小值为0.2
19 ,则每次试验成功的 27
2. 三次独立的试验中,成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为 概率为 ;
答案:
1 3
解答: 由模型 X ~ b(3,p), 1 − P( X = 0) = 19 / 27, 则P( X = 0) = 8 / 27 = C3 P (1 − P)
i =1
1 λ
E ( X 2 ) = ... =
2 1 1 2 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = 2 − 2 = 2 , λ λ λ λ2
9. 随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯ 依概率收敛于常数 a 是指对任意 ε > 0 , 有 =1 成立.
0 0 3
容易解得 p=1/3.
3. 设 P ( A) = 0.5 , P ( B ) = 0.4 , P ( A | B ) = 0.6 ,则 P ( A | A ∪ B ) =
。
答案:
25 37
解答 由 P ( A) = 0.5 , P ( B ) = 0.4 , P ( A | B ) = 0.6 , P ( AB ) = 0.36,P ( AB ) = 0.14
3)
3) E ( X − Y ) 。
解:(1) 1 =
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
答案: lim P{|
n →∞
1 n ∑ X i −a |< ε } = 1 n i =1
解答:又是记忆类的题目,没有什么技术含量。唉。 。 。 。 。 。
由大数定理相关知识,知道依概率收敛的定义,
lim P{|
n →∞
1 n ∑ X i −a |< ε } = 1 n i =1
计算题(3×6 分+4×7 分+1×9 分) 三、 三、计算题( :
又 D ( X + Y ) = D( X − Y ) ,所以
cov ( x, y) = -cov ( x , y),即 cov ( x, y) =0
有协方差和变量之间的关系有, X 与 Y 不相关。
6. 设随机变量 X k (k = 1,2 ⋯) 相互独立,具有同一分布, EX k = 0,
DX K = σ 2 , 且EX k4 存在, k = 1,2,⋯ 对任意ε > 0, 正确地为
(D) P( AB) ≠ P( A) P( B)
P ( A | B ) = P ( AB ) / P ( B ), P ( A | B ) = P ( A B ) / P ( B ) = [1 − P ( A) − P ( B ) + P ( AB )] /[1 − P ( B )]
对 P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1, 去分母得到 P ( AB ) = P ( A) P ( B ). 将上式带入选项,显然只有 A. 2. 设 X ~ N 2,σ , 且 P (0 < X < 4) = 0.5 ,则 P ( X < 0 ) = (
4
由全概率公式,得 P ( B ) =
∑ P( A ) P( B | A ) = 0.9754
i i i =1
--------------------------------------6 分
2. 离散型随机变量 X 的分布函数
⎧ 0 ⎪0.4 ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪ 0.7 ⎪ ⎩ 1
x < −1 −1 ≤ x < 1 ,求 X 的分布列。 1≤ x < 3 x≥3
5. 如果 X , Y 满足 D ( X + Y ) = D ( X − Y ) ,则必有 (
)
(A) X 与 Y 独立 答案:B 解答 由方差的性质可以知道,
(B) X 与 Y 不相关
(C) DY = 0
(D) DX = 0
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2COV ( X , Y ),
x
当
x 1 0 1 x ≥ 0, F ( x ) = [ ∫ e t dt + ∫ e −t dt = 1 − e −t ----------------------------------------------------4 分 0 2 −∞ 2
(2) P ( −10 < X < 15) = F (15) − F ( −10) = 1 −
又 X ~ U (−1,5) ,所以求的
P=∫
7. 若 X ~ E (λ ) ,则 EX =
51 1 1 dx + ∫ dx = −1 6 4 6 2 1
, DX =
答案:第一空填
1 λ
,第二空填
1 λ2
解答:此类题为记忆型题,若实在是记不住。那就自己计算。
∞
X ~ E (λ ) , E ( X ) = ∑ X i P ( X i = K ) =
X ,Y服从正态分布
6. 若 X ~ U (−1,5) ,方程 x + 2 Xx + 5 X − 4 = 0 有实根的概率 答案:
2
。
1 2
解答: 方程 x + 2 Xx + 5 X − 4 = 0 有实根,则由根与系数的关系有
2
∆ = b 2 - 4ac = 4 x 2 - ( 4 5x - 4) = 2 x 2 - 5x + 4 ≥ 0 ⇒ x < 1 or x > 4
1 ⎛1 1⎞ G ( y ) = Fx [h( y )] h( y )′ = F ⎜ y − ⎟ 3 ⎝3 3⎠
4. 设 X ~ N (0,1), 令 Y = − X − 2 ,则 Y ~ ( (A) N (−2,−1) (B) N (0,1)
) (C) N (−2,1) (D) N (2,1)
答案:C 解答: 由正态分布的线性组合的相关定理,可以知道
(A) lim(
n →∞
(
)
1 n 2 ∑ Xk −σ 2 < ε) ≤1 n k =1 1 n Xk −σ 2 < ε) =1 ∑ n k =1
(B) lim(
n →∞
1 n 2 ∑ Xk −σ 2 < ε) =1 n k =1 1 n Xk −σ 2 < ε) = 0 ∑ n k =1
(C) lim(
解:由题意知:离散型随机变量 X 的可能取值是:-1,1,3,---------------------------------2 分
因为离散型随机变量的分布函数 F ( x) =
xi < x
∑p
i
,得-----------------------------------------------4 分
。
− 1 答案: f ( x ) = e 2 6π
( x −2)2 24
解答:
i =n i =n i =n