复合函数与反函数

已给函数
y = ln ( x3 + 1 )
f: x
ln (x3 + 1 ) = y
对任意的 x( - 1 , + )，对应唯一一个y。
反之，给定一个y ( - , + ) ，通过上述的对应 关系，也对应唯一一个 x：
y
x = (ey – 1)1/3
这个对应关系确定了( - , + ) 上的一个函数。
（3） 指数函数 y = a x ( a > 0, a 1 )
（4） 对数函数 y = loga x ( a > 0, a 1 )
（5） 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x
（6） 反三角函数 y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x
sh x
h (x)= (f) (x)=f [ (x)] xG
y
中间变量
z = ln y , y =1+ex
z = ln (1+ex)
可推广到若干个函数构成的复合函数：
y = ln u , u =1+ev, v = sin x
y=ln (1+esinx)
u,v
中间变量
** （1）一般地，对两个函数 f 、g，有
f ( f (x))，g(g(x))
解：f (g(x)) f (x 1) x 13
g( f (x)) g(x3) x3 1 f ( f (x)) f (x3) (x3 )3 x9 g(g(x)) g(x 1) (x 1) 1 x 2
二、反函数
双曲正弦 sh x ex ex ,
2
双曲余弦 ch x ex ex ,
2
双曲正切
th x sh x , ch x

ex ex

ex ex
,
双曲正割 sech x 1 ,
ch x
双曲余切
cth x ch x , sh x

ex ex

ex ex
,
双曲余割 csch x 1 .
对每一个基本初等函数，要了解它们的定义 域、性质、图象。
2。初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算 而成的函数, 称为初等函数。
y x3 5x2 1
x 1 y x2 x 1
y ex ex
y 3 x2
y sin x 1 cos x2 1 sin 2 x
（3）函数 y = f (x)与函数 y = f -1(x)的图象关于直 线 y = x 对称。
y
M(a,b)
yx
y f (x)
M’(b,a) y f 1(x)
O
x
三、初等函数 1。基本初等函数
以下六种简单函数称为基本初等函数 （1） 常数函数 y = C ( C 为常数 )
（2） 幂函数 y = x ( R 为常数 )
G={x| xA , (x)B}≠
xG，按照对应关系 ,对应唯一一个yB ,再按照对
应关系f 对应唯一一个zR. 这样，对 xG，都有唯
一的 z 与之对应。
x
f y= ( x )
z=f(y)= f[ ( x )]
于是在G上定义了一个函数h，表为f ，称为函数y = ( x )与z = f ( y ) 的复合函数。即：
都是初等函数.
1,
y
Hale Waihona Puke Baidu
sgn
x


0,
1,
x0 x0 x0
1 , x 为有理数 y D(x)
0 , x 为无理数
y [x]
都不是初等函数
x, x0 y x , x 0
x2
都是初等函数
1
y xx
1 ln x
ex
双曲函数
fg≠gf
（2）对任意函数 f、g、h，有
（f g）h = f（g h）
例1.函数 y sin ln(x2 1) 是由哪些函数复合而成的？ 解： y sin u u v v ln w w x2 1
** 以上过程称为对复合函数的分解
例2.已知: f (x) x3, g(x) x 1, 求: f (g(x))，g( f (x))，
§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数 y=sinu , u=x2+1
y=sin(x2+1)
y=sin(x2+1) 是由 y=sinu , u=x2+1 复合而成的复合函数。
或者说 y=sin(x2+1) 是 y=sinu 与 u=x2+1 的复合函数。
u
中间变量
定义 设函数 z = f ( y ) 定义在数集B上 , 函数 y = ( x ) 定义在数集 A 上 , G是 A 中使 y = ( x ) B 的 x 的非 空子集，即
称为函数 y = ln (x3 + 1)的反函数。
** 不是每一个函数都有反函数。 什么函数才有反函数？ 对应关系是一一对应的函数才会有反函数。 单调函数有反函数。
函数 y = x2在区间（- ，+ ）上没有反函数
函数 y = x2在区间（0，+ ）上有反函数 x y 函数 y = x2在区间（- ，0）上有反函数x y
定义 （略）
例。求函数 y=ex+1的反函数 解： y=ex+1
ex = y-1 x =ln(y-1)
** （1）函数 y = f (x)与函数 x = f -1(y)互为反函数。
（2）函数 y = f (x) 的反函数x = f -1(y)一般记为y = f -1(x)
如: 函数 y=ex+1的反函数为y=ln(x-1)