传热学第三章稳态导热
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
第三章-传热学数值计算方法
取左端及右端的前三项，并进行相加或相减，便可得中心差 分的近似式：
剩余项的最低阶导数前系数的次数
d i 1 i 1 O h2 2h dx i d i 1 i O h h dx i
*
d 2 i 1 2i i 1 O h2 2 dx i h2
x0 x, a bx
x0为点i, n的x坐标，为方便起见，令 x0 0
于是有：
in1 a bx a
n i
b
i 1 i
x
i 在点i, n 的向前差分为： b i 1 x x x
P
e E x W w P e E x
阶梯式分布
分段线性分布
阶梯式分布:一个节点处的 值代表它周围整个控制容积的
值。它虽然简单，但不能用来计算变量在控制容积界面处的梯 度值。故一般只用于源项、物性参数和变量在时域上的分布。
*
太 原 理 工 大 学
19 /38
Thermal
分段线性分布:变量在网格节点间呈线性分布，可以用来计
??????112111221222nniininnnniiiininibxabxcxacxabxcxa?????????????????????????????????????????????????????解之得xbxninix????????2110?????21122220xcxnininix?????????????主要用来处理对流项的高阶格式及边界条件
1 /38
§3.1 数值方法的本质
§3.1-1 任务
Thermal
1. 什么是微分方程的数值解？
它是由一组可以构成因变量分布的数组成的集合，即 用一组数字表示待定变量在定义域内的分布。类似于 在实验室中进行的实验，仪器的读数构成了所研究区 域内被测物理量的分布（有限个离散点的值的集合）。
传热学稳态导热
单位长度管道上旳总热阻：
Rl
1
h1d1
1
21
ln
d2 d1
1
2ins
ln
dx d2
1
h2d x
dx
ln d d 1
x 2
h2dx
16
外径增大使导热热阻增长而换热热阻减小，总热阻到 达极小值时旳热绝缘层外径为临界热绝缘直径dc
若d2< dc ，当dx在d2与d3范围内时，管道向外旳散
热量比无绝缘层时更大，d x d3 ql
解：设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。
将导热系数大旳放在里面：
qL
t1 t2
1 ln d3 1 ln d4
1
t ln 2＋
1
ln 3
3t ;
0.11969
22 d2 23 d3 2 23
23 2
20
将导热系数大旳包在外面：
qL
t1 t 2 1 ln 2 1
tw t(x)
导热微分方程:
d 2t 0
1
tw
dx 2
2
o
x
3
两个边界均为第一类边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
直接积分，得通解：
dt dx
c1
t c1x c2
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
tw2 tw1
x
tw1
（线性分布）
4
热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
线要比外壁面陡。
tw1 r1
tw2
r2
13
热流量
传热学-稳态导热例题
专题二 稳态热传导
【解】
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】29 （北京科技大学2012） 【计算题】考察一管长6m, 内、外径分别为7.4cm、
8.0cm，导热系数为14W/(m·℃)的压缩空气管道。管的外表 面由总功率为300W的电阻带均匀加热，外包绝热层，通过 绝热层的散热损失为15％。管内空气的平均温度为−10℃ ， 管道内表面的对流换热系数为30 W/(m2·℃)。试：
专题二 稳态热传导
温度场分布：
r=r2 处有最高温度：
t2
tf
q h
t2
150 ℃ 1.05105 3 500
q 2 (t1 t2 ) 2
t1
q 2 2
t2
186.30C
燃料层控制方程： 料层边界条件：
燃料层温度分布：
t
Φ
21
1
2
2
x2
t1
燃料层最高温度：
t0
t1
1 22
21
196.8℃
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
①写出微分方程和边界条件 ②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程:
边界条件:
第一次积分:
第二次积分:
x L,
tL
Φ 2λ
L2
c2
tf
L ; h
c2 =t f
L h
Φ 2λ
L2
温度分布: 当x=0时，取得最大温度:
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】 25（北京科技大学2011） 【计算题】考察一功率为800W的家用电熨斗
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
传热学 每章知识重点与难点汇总
Chapter 1 Thermodynamics and Heat Transfer第一章热力学与传热学1．传热学研究内容（温差=>传热）；Heat Transfer Research (Temperature Difference=> Heat Transfer) 2.三种基本传热方式的机理和基本公式；The Mechanisms and Basic Formulas of Three Basic Modes of Heat Transfer.3.传热过程、传热方程式；Heat Transfer Process，Heat Transfer Equation4.导热系数、对流换热系数、传热系数的物理涵义、单位、基本数量级、影响因素和变化规律；Physical meanings ,units, fundamental orders,influencing factors and changes in laws of heat conduction coefficient，convection heat transfer coefficient，heat transfer coefficient.5.热阻与热流网络图；Thermal resistance and heat transfer network6,单位与单位制；Unit and system of unitsChapter 2 Heat Conduction Equation第二章导热方程式1.导热问题的求解目标（物体内部的温度场与热流场）；Determine Target of Heat Conduction(temperature field and heatfield in the internal objects)2.温度场（稳态、非稳态、均匀、一维、二维、三维）；Temperature field （steady,transient,uniform,one-dimensional,two-dimensional,three-dimensional）3.等温面、等温线、热流线的性质及相互关系；Properties of isothermal surface, isotherm,heat flow and therelationship among them4.方向导数、梯度的数学概念及相互关系；Mathematical concept of directional derivative , gradient and therelationship between them5.Fourier 定律；Fourier Law6.推导导热微分方程式的理论基础、简化假设及方程各项（内能、导热、内热源、导温系数、）的物理涵义；Theoretical bases of concluding heat conduction differentialequation,simplified assumption and physical meanings of each termin the equation (Internal energy, heat conduction, internal heatsource,temperature transfer coefficient, )7.定解条件【几何、物理、时间、边界（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）】Conditions of determining the solution【geometry,physics,time,boundary(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)】8.导热问题的求解方法（解析解、数值解）。
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
15
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
d dt 0
dx dx
0 1 bt
分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：
0
t
b 2
t2
m
tw2
tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2 w1
式中：
m
0
1
tw1
tw2 2
b
为平壁平均温度下的导热系数
16
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
0
t
b 2
t2
m
tw2 tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2w1
这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，
平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性
主要由温度系数b的正负决定。
利用傅里叶定律分析表明：
——b>0时，温度分布曲线的开口向下；
——b<0时曲线开口向上
17
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替
19
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁 ❖ 由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量
积分的分析方法得到平壁内的温度分布 ❖ 作为练习，请大家自行推导
20
3.1.4 第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
❖ 当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2） 的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类 边界条件
态 稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可
以去掉方程中的非稳态项
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
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由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
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传热学第三章稳态导热
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通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
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传热学第三章稳态导热
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一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
传热学_3
o o o R T1 T1 Q 20 C (69.2W)(0. 08333 C/W) 14.2 C conv,1
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
3-2 接触热阻
Tint erface
h AT Q c int erface
[W / m 2 o C ]
单位面积接触热阻
1 Tint erface Rc hc Q A [m 2 o C / W ]
接触热阻
Rc
A
Tint erface 1 hc A Q
[ oC / W ]
Tw1 Tw 2 Tw1 Tw 2 L1 L L 1 L2 Rc 2 k1 k2 k1 k 2
Heat Transfer
传热过程&
1 L 1 Rtotal Rconv,1 Rwall Rconv, 2 ( oC / W ) h1 A kA h2 A 1 Q UA(T1 T 2 ) UAT ( ) AT (W ) 1 L 1 h1 k h2 U: 总传热系数 (W/m2.K)
Rwall: 热阻 [OC/W] or [K/W]
cond,wall q
T1 T2 T1 T2 L RA,wall k
RA,wall: 单位热阻 [m2.OC/W]
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
等效热路图
•
•
串联:
并联:
Rtotal Ri
其中
Tsurr T
2
hcombined hconv hrad (W / m K )
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
传热学--常考名词解释
传热过程：热量从壁一侧的高温流体通过壁传给另一侧的低温流体的过程。
导热系数：物体中单位温度降单位时间通过单位面积的导热量。
热对流：只依靠流体的宏观运动传递热量的现象称为热对流。
表面传热系数：单位面积上，流体与壁面之间在单位温差下与单位时间内所能传递的能量。
保温材料：国家标准规定，凡平均温度不高于350度导热系数不大于0.12w/（m.k ）的材料。
温度场：指某一时刻空间所有各点温度的总称。
热扩散率：a=cρλ 表示物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向均匀一致的能力。
临界热绝缘直径c d ：对应于总热阻l R 为极小值的保温层外径称为临界热绝缘直径。
集中参数法：当1.0B i 时，可以近似的认为物体的温度是均匀的，这种忽略物体内部导热热阻，认为物体温度均匀的分析方法。
辐射力：单位时间内，物体的每单位面积向半球空间所发射全波长的总能量。
单色辐射力：单位时间内，物体的每单位面积，在波长λ附近的单位波长间隔内，向半球空间发射的能量。
定向辐射力：单位时间内，物体的每单位面积，向半球空间的某给定辐射方向上，在单位立体角内所发射全波长的能量。
单色定向辐射力：单位时间内，物体的每单位面积，向半球空间的某给定辐射方向上，在单位立体角内所发射在波长λ附近的单位波长间隔内的能量。
辐射强度：单位时间内，在某给定辐射方向上，物体在与发射方向垂直的方向上的每单位投影面积，在单位立体角内所发射全波长的能量称为该方向的辐射强度。
有效辐射：单位时间离开单位面积表面的总辐射能。
辐射隔热：为减少表面间辐射换热而采用高反射比的表面涂层，或在表面加设遮热板，这类措施称为辐射隔热。
黑体：能全部吸收外来射线，即1=α的物体。
白体：能全部反射外来射线，即1=ρ的物体，不论是镜面反射或漫反射。
透明体：能被外来射线全部透射，即1=τ的物体。
热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量。
肋片效率：衡量肋片散热有效程度的指标，定义为在肋片表面平均温度m t 下，肋片的实际散热量φ与假定整个肋片表面处在肋基温度o t 时的理想散热量o φ的比值。
第三章传热学
3.稳态导热3.1 知识结构1．一维导热问题（平壁、圆桶壁、球壁）分析解（导热公式、热阻形式）；2．温度分布与导热系数和热流的关系；3．变导热系数及变截面问题的解题方法及其对温度分布的影响；4．伸展体导热的微元段分析（一维假设条件、微分方程及系数m的组成）；5．三种细长杆（无限高、有限高端部散热、有限高端部绝热）的边界条件、分析解、散热量计算公式，工程计算中的简化方法；6．系数m对温度分布的影响⇒杆内热应力的影响；7．肋片与肋效率（定义、肋效率的影响因素、等截面直肋的肋效率公式）；8．接触热阻及其治理方法；9．具有内热源的导热及多维导热。
3.2 重点内容剖析3.2.1 典型稳态导热问题分析解稳态导热问题的主要特征是物体中各点温度不随时间发生变化，只是空间坐标的函数，热流也具有同样性质。
温度在空间坐标上的分布决定导热问题的维数，同样的问题选择不同的坐标系会有不同的维数，维数越多问题越复杂，所以应对具体问题具体分析，从主要因数着手，忽略次要因数，进行适当简化。
一.无限大平壁的分析解（如图3-1）厚度方向传递，亦即温度只在厚度方向变化，→一维导热问题）1.问题（1）均质、单层无限大平壁（一维常物性）（2）无内热源稳态导热（3）平壁两面保持均匀而一定的温度，且t w1>t w2（4）求解平壁内的温度分布t（x）和通过平壁的热流密度。
2.描述问题的数学表达式：微分方程（一维稳态）02222==∂∂dx td x t （3-1） 定解条件：（稳态——无初始条件） 边界条件（第一类）：21,,0w w t t x t t x ====δ （3-2）3. 求解对（3-1）两次积分得通解 ：21c x c t += （3-3） （3-2）代入（3-3）得待定常数 δ12112,w w w t t c t c -== （3-4）（3-4）代入（3-3）得温度分布（直线） X xt t t t t x t t t w w w w w w =Θ⇒=--+-=δδ121112或（3-5）（无量纲温度与无量纲尺度相等）热流密度： δλδλλ2112w w w w t t t t dx dtq -=--=-= （3-6） （虽然上式就是绪论中的平壁导热公式，但已从感性上升到了理性）二. 多层平壁的导热问题工程中的传热壁面常常是由多层平壁组成的，如表层要考虑外观、防腐、抗老化、防水等因素，内层要考虑耐温、与所接触的介质相容等因素，整个壁面还要考虑强度、能耗、制造成本等问题。
3传热学-一维稳态导热
L
1 + h 1 ⋅ 2 π r1
∑
n
i =1
3 通过空心球壁的导热
Heat conduction through a spherical shell
第一类边界条件
Constant surface temperature
热导率λ=C, 圆筒内径r1, 外径r2, 无内热源
•微分方程
Heat equation
• 热流密度
Heat flux
t w1 − t w 2 dt 1 q = −λ =λ ⋅ 2 = f (r ) dr 1 / r1 − 1 / r2 r t w1 − t w 2 1 1 1 − 4πλ r1 r2
• 热流量
Heat rate Φ = − λ A dt = dr
• 热流量
Heat rate
材料热导率随温度而变
λ= λ0(1+bt) •微分方程
Heat equation
d dx t t
dt λ =0 dx = t w1 = tw2
• 边界条件
Boundary condition
x=0 x =δ
• 温度分布
Temperature distribution
t A − tB Rc = q
7 延伸体的导热
Heat conduction from extended surfaces
Fin configurations
延伸体的种类
Straight Fins of uniform cross section
7.1 等截面直肋
假设(Assumptions)
r = r1
r = r1 → r 2
传热学
• 通过平壁的导热 • 通过圆筒壁的导热 • 通过肋片的导热
• 肋效率 • 1、 定义：实际散热量/假设整个肋表面 处于肋基温度下的散热量。 • 2、 物理意义：表征肋片散热有效程度 的指标。
• 非稳态导热 • 定义：物体的温度随时间而变化的导热 过程称非稳态导热 • 非稳态导热过程中，在与热流量方向相 垂直的不同截面上热流量不相等，这是 非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。
传热过程分析和换热器计算
传热过程分析
• 通过平壁的传热 • 通过圆筒壁的传热 • 临界热绝缘直径
• 在传热表面加上保温层能够起到减少传 热的作用。但是在圆筒壁面上增加保温 层却有可能导致传热量的增大。 • 传热过程的总热阻会存在一个极小值,这 就对应着一个传热量的最大值。那么， 在对应总热阻极小值的外直径被称为临 界热绝缘直径
• 、相似原理 物理量相似的性质 • （1）用相同形式且具有相同内容的微分 方程时所描述的现象为同类现象，只有 同类现象才能谈相似。 • （2）彼此相似的现象，其同名准则数必 定相等。 • （3）彼此相似的现象，其有关的物理量 场分别相似
• 努塞尔数，标志对流换热的相对强弱程 度； • 雷诺数，表征流体在强制对流时，惯 性力和粘性力的相对大小； • 普朗特数，反映流体动量扩散能力与 热扩散能力相对大小； • 格拉晓夫数，反映自然对流换热过程 中浮力与粘性力的大小。
• ⑴在一定温度下，黑体在不同波长范围 内辐射能量各不相同。 • ⑵维恩位移定律：随着温度T增高，最大 单 色 辐 射 力 Ebλ,max 所 对 应 的 峰 值 波 长 λmax 逐 渐 向 短 波 方 向 移 动 。 λmaxT=2897.6μK。 • ⑶常温下，实际物体的辐射主要是红外 辐射。
• 1、热扩散率的物理意义 • 由热扩散率的定义：ɑ=可知： • 1）是物体的导热系数，越大，在相同温度梯 度下，可以传导更多的热量。 • 2)是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。 越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以 剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温 度更快的随界面温度升高而升高。由此可见ɑ 物理意义： • ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度 扯平的能力越大。 • ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
传热学基础(第二版)第三章教学课件 稳态导热讲义
图中肋片高度为H，肋片厚
度为，肋片宽度为b，肋片
b
根部（肋基）的温度为t0，
Φc
环境温度为t，环境与肋片 之间的换热系数为h。肋片 δ 0 Φx Φ x+dx
x
的横截面积为Af及截面周边
dx
长度为U。导热系数和换热
系数均为常数。
H
24/40
由于肋片的作用是为了
增大传热，故肋片材料
b
的导热性能都比较好，
1、通过单层圆筒壁的导热
导热微分方程:
d r dt 0 r r1,t t1
dr dr
r r2 ,t t2
t1
r1 t2
积分上面的微分方程两次得r
到其通解为 : t c1nr c2
r2
得出圆筒壁的温度分布为:
n r
t t1
r1
t 2 t1 n r2
13/40
r1
圆筒壁内的温度分布是 一条对数曲线。
截面积Af＝4.65cm2，周长U＝12.2cm，导热系数
＝22W/ (m℃）。燃气有效温度Tge=1140K，叶根 温度Tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h＝390W/ (m2℃）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分
布和通过叶根的热流。解：
m hU 68.2,
Af
由＝o
chmH x
chmH
6150.0295W / m
2 r1 50 15
17/40
再由圆筒壁的温度分布
r
n
t t1
r1
t2 t1 n r2
r1
代入已知数据有
t 40 nr n0.015
20
n 25
15
18/40
《传热学》2版 辅导资料 思考题参考答案
回答：导热系数等于常数的一维导热方程是（3-1-15），于是温度梯度可以写作(dt/dr) =c/r。可见，温度梯度与径向坐标成反比，即半径小的圆筒壁内侧的温度梯度一定大于外侧的温度梯度。所以附图(b)是正确的。
回答：非稳态导热问题遵循两个基本规律，一个是能量守恒定律，一个是傅里叶定律。在对物体内的任意微元体积做热平衡分析时，切记傅里叶定律中的热流密度和温度梯度均代表瞬时值，傅里叶定律的规律仍成立。
3．应用傅里叶定律时有哪些限制？
回答：限制条件是：（1）纯导热物体（非纯导热物体以当量或表观导热系数描述之）；（2）各向同性（各向异性物体须在导热主轴坐标系中运用傅里叶定律）；（3）非超短时间、超大热流密度或超低温度的导热问题。
3．凸状轴呈对称图形，如果侧面绝热且导热系数为常数，其一维稳态温度分布呈什么？
回答：在一维、稳态、无内热源且常物性条件下，热流量为常数，即A(x)dt/dx=常数。这表明导热的截面积A与温度梯度成反比。只有在等截面情况下，温度梯度才是常量。
回答：导热系数随温度变化时，函数关系一般是写作=0（1＋b t）的形式。但是一般来说0却并不代表0℃时该材料的导热系数。参见附图，这是因为0实际上是该式适用温度区间内近似线性关系的延长线与纵轴的交点。它一般不会正好与=f（t）曲线在0℃时的数值相等。
写为=0＋bt时，0未变，而b相当于原式中的0b。
8．已知某个确定的热流场q=f(x, y)，能否由此唯一地确定物体的温度场？或者还需要补充什么条件？反过来，从温度场能否唯一地确定热流场？
回答：导热问题中若全部边界条件都是第二类（包括绝热），将无法唯一地得到温度场的确定解。而对给定的温度场，却可以根据傅里叶定律唯一地确定热流场。因为一个物体若均匀地提升相同温度，其热流场将不会发生任何改变。即一个热流场可以对应无穷多个温度场。所以，导热问题必须至少具有一个温度参考点，才能唯一地确定其解。
《传热学》课后习题答案-第三章
第三章思考题1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。
如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置()和边界条件(Bi 数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。
这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是： 这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。
你是否同意这种看法,说明你的理由。
答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。
这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
6. 试说明Bi 数的物理意义。
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
d dr
r
dt dr
0
对方程积分两次，可得通解为：
t c1 ln r c2
积分常数c1和c2由边界条件确定，
c1
tw1
ln r2
tw2
r1
c2
tw1
tw1
tw2
ln r1
ln r2 r1
圆筒壁的温度分布为：
t
tw1
tw1
tw
2
ln r ln r2
r1 r1
51
3.2.2 第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁
t x tw2
积分两次，得到通解为：
t c1x c2
10
3.1.2 第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
t c1x c2
得到平壁内的温度分布为：
t
tw2 tw1
x
tw1
根据傅立叶定律，可求得通过平壁的
热流量和热流密度
Φ A dt A tw1 tw2 A t
dx
q dt tw1 tw2 t
第3章 稳态导热的计算与分析
导热的理论基础： ——导热的基本定律 ——导热微分方程
工程中的许多问题，直接利用三维、非稳 态的导热微分方程进行求解是没有必要的
可根据具体问题的特点进行简化
1
第3章 稳态导热的计算与分析
分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设 稳态导热便是其中最重要也是最常用的简化之一 ——处于正常运行工况时的物体，可以看作处于稳定状
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
29
3.1.5 常物性、无内热源的多层平壁
❖ 由热流密度相等的原则可依 次求出各层间分界面上的温 度，即
名师讲义【中国石油大学】传热学第3章-稳态导热的计算与分析
3.1 通过平壁的一维稳态导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两 侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态 导热问题。 平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型 。
a.单层壁导热
b.多层壁导热
c. 复合壁导热
1、单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知； 无内热源
2 2 2 2
tw2
d 2t b dt dx 2 0 bt dx
2
0
x
当b>0时，曲线上凸； 当b<0时，曲线下凹； 当b=0时，为直线 。
3.2 通过圆筒壁和球壁的一维稳态导热
1、单层圆筒壁的稳态导热
稳态导热 t
0
1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) 0 柱坐标系： r r r r z z
第三章 稳态导热的计算与分析
§3-1 通过平壁的一维稳态导热 §3-2 通过圆筒壁和球壁的一维 稳态导热 §3-3 通过肋片的稳态导热 §3-4 多维稳态导热问题
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源
情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t2 t1
t2
(t1 t2 )
x1
x2
dx A( x)
当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则
t1 t2 0 a 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出
平均导热系数，就可以利用前面讲过的所
有定导热系数公式，只是需要将 换成平
均温度下的平均导热系数m。
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
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稳态导热:t 0
直角坐标系:
( t ) ( t ) ( t ) 0
x x y y z z
2020/8/29
2
1、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当 平板两侧保持均匀边界条件时，热量只在厚度方向 传递，温度只在厚度方向变化，即一维稳态导热问 题。
a.通过单层平壁的稳态导热
流相等，但内壁面积小于外壁
面积，所以内壁面热流密度总
是大于外壁面，由付立叶定律
r
可知，内壁面的温度曲线要比
外壁面陡。
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tw1 r1
tw2
r2
13
热流量
Φ
A
dt dr
2rL
tw1 tw2 ln(r2 r1)
1 r
tw1 tw2 tw1 tw2
1 ln r2
R
2 L r1
W
单位长度圆筒壁的热流量
ql
Φ L
tw1 tw2 1 ln r2
tw1 tw2 Rl
2 r1
W m
Rl
1 2
ln
r2 r1
m C W 单位长度圆筒壁 导热热阻
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14
b、通过多层圆筒壁的导热(运用串联热阻叠加原理)
带有保温层的热力管道、嵌套的金属 管道和结垢、积灰的输送管道等
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11
3、通过圆筒壁的导热
稳态导热 t 0
柱坐标系：1 (r t ) 1 ( t ) ( t ) 0
r r
r r 2 z z
当圆筒的截面尺寸相对管长很小，且管子内外壁面保持 均匀温度时，热量只在管径方向传递，通过管壁的导热 即为柱坐标系的一维问题。
a.通过单层圆筒壁的导热
（无内热源，λ为常数）
导热微分方程:
d 2t 0
dx2
t tw1 t(x)
tw2
o x
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3
两个边界均为第一类边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
直接积分，得通解：
dt dx
c1
t c1x c2
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
tw2 tw1
x tw1
（线性分布）
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4
热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
dx
A
R
W
式中： R (A) C W （整个平壁的导热热组）
热流密度
q tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
A
r
W m2
式中： r
m2 C W （单位面积导热热组）
第三章 稳态导热
1、通过平壁的导热 2、通过复合平壁的导热 3、通过圆筒壁的导热 4、通过肋片的导热分析 5、通过接触面的导热 6、导热问题分析的一些技巧
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1
典型稳态导热问题分析解
稳态导热问题的主要特征是物体中各点温度不随时 间变化，只是空间坐标的函数，热流也具有同样性质。
温度在空间坐标上的分布决定导热问题的维数，维 数越多问题越复杂，所以应对具体问题具体分析，从 主要因素着手，忽略次要因素，适当简化。
t
b t2 2
(tw1
b 2
t2 w1
)
tw1
tw2
1
b 2 (tw1
tw2 ) x
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6
其抛物线的凹向取决于系数 b 的正负。当
b 0 时 ， 随着 t 的增大而增大，
即高温区的导热系数大于低温区。
t1
由 Adt / dx ，平壁两侧 b<0
热流相等，面积相等，所以高温
区的温度变化率较低温区平缓，
0
形成上凸的温度分布。当 b 0 时
情况与之相反。
λ=λ0(1+bt)
b>0 t2
δ
x
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7
热流密度计算式为 :
q
0 1
b 2
tw2
tw1
tw1 tw2
或
q
m
(tw1
tw2 )
式中 m 1 2 2 0 1 btw1 tw2 2 01 btm
从中不难看出，λm是平壁两表面温度对应的导热 系数的算术平均值，也是平壁两表面温度算术平
均值下的导热系数值。
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8
b.通过多层平壁的导热
例：房屋的墙壁由白灰内层 (1, 1) 、水泥沙浆层 (2, 2 ) 、 红砖主体层 (3, 3 ) 等组成，假设各层之间接触良好，近似地
认为接合面上温度相等。
q
t1 t2
1
t2
2
t3
t3 t4
3
1
2
3
t1
t2
t3
q
1
t1 t4
工程上，为减少管道的散热损
失，常在管道外侧覆盖热绝缘
层或称隔热保温层。
t1 t2 t2 t3 t3 t4
1 n r2
1 n r3
1 n r4
21L r1 22L r2 23L r3
1
t1 t4 3 1 n ri1
2L i1 i ri
单位管长的热流量
ql
L
1
t1 t4 3 1 n ri1
2 i1 i
ri
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15
c.临界热绝缘直径
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5
（λ随温度呈线性变化， （0 1 bt）, 0、b 为常数）
数学描述：
d dt 0
dx dx
x 0,
x
,
t t
tw1 tw2
d dx
0 (1 bt)
dt dx
0
0 (1
bt)
dt dx
c1
再积分得通解：
0
(t
b 2
t
2
)
c1x
c2
代入边界条件得其温度分布 ： （二次曲线方程）
简化处理：当组成复合平壁各种材料的导热系数相差 不大时，可近似当作一维导热问题处理
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10
两侧表 t
R
总导热热阻
B、C、D材料的导热系数相 差不大时，假设它们之间 的接触面是绝热的。
1
R
1
1
1
R A1 R B R E1 R A2 R C R E2 R A3 R D R E3
1 ＋ 2 2 ＋ 3
3
q
t4
推广到n层壁的情况:
q
t1 tn1
n i
i1
i
t1
r1
t2 r2 t3 r3
t4
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9
2.通过复合平壁的导热
工程上会遇到这样一类平壁，无论沿宽度还是厚度 方向，都是由不同材料组合而成 ，称为复合平壁。
如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。
由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的 温度场是二维或三维的。
数学描述: d r dt 0
dr dr
r r
r1, t r2 , t
t1 t2
积分两次得通解 : t c1 ln r c2
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12
代入边界条件得圆筒壁的温度分布为:
r ln t t1 r1 t2 t1 ln r2
r1
圆筒壁内的温度分布 是一条对数曲线
稳态导热时圆筒壁内外壁面热