一道试题的解法探究

一道试题的解法探究

题目（2015届湖北省部分重点中学高三起点考试理科第13题）已知函数f（x）=12x2-bx+1（b∈R），若方程f（x）=x在区间（-1，1）上有解，求实数b的取值范围.

点评本题的处理方法一般是利用实根分布的知识解决二次方程在区间上有解的方法，但若只是顾及问题的表面，解完之后缺乏反思，就没有有效挖掘本题所蕴含的一系列数学思想方法，应该说就错失了一次绝佳锻炼思维的机会.为说明问题，下面给出几种思路，供参考：

解法一（分类讨论的思想）由方程f（x）=x12x2-（b+1）x+1=0，记函数h（x）=12x2-（b+1）x+1，考虑h（0）=1>0，对称轴x=b+1的不确定，于是b+1与定义域区间（-1，1）的位置关系生成讨论的标准：①若-1≤b+1≤1即-2≤b≤0时，此时上述方程中Δ=（b+1）2-21即b>0时，要函数h （x）在（-1，1）上有零点，则只须h（1）12；③若b+112.

评析一般的在涉及二次函数在区间上有零点或最值的问题上，通常研究的方法都是利用其对称轴与定义域区间的位置关系生成分类讨论的标准，然后再逐步依据题目的要求将问题予以解决.此种做法易想能做，但解题过程繁杂，能否找到有效回避分类讨论的处理方法呢？

解法二：（正繁则反补集法）考虑到h（0）=1>0，问题的对立面为方程f（x）=x在区间（-1，1）上无解，也即是函数h（x）=12x2-（b+1）x+1在区间（-1，1）上无零点，则只须h（1）≥0

h（-1）≥0-52≤b≤12，则原题有解b的范围为b12.

评析一个数学问题通常都具有两面性，当一方较为繁琐的时候，往往其对立面一般就会稍显简单，上述处理正是有效利用这一点，使解题过程得到了简化.以上两种做法都绕不开利用二次方程在区间上有实根的相关知识来解题的，那么本题能否另辟蹊径呢？

解法三：（等价转换的思想）由方程f（x）=x在（-1，1）上有解，可得bx=12x2-x+1.若x=0时，上述方程显然不成立，即方程的解一定不为0，于是可得b=x2+1x-1（x≠0），也即对x∈（-1，0）∪（0，1）时总存在唯一实数b让方程成立，于是参数b可看作是以x为自变量的函数，即求b的范围等价于求右侧函数的值域了.易求上述函数的值域为（-∞，-52）∪（12，+∞），也即为b的取值范围.

评析将方程有解问题转化为求函数值域问题，为常规的解题寻找到全新的视角，凸显了等价转换思想的重要意途.然而纵观上述三种处理无一例外都是从代数层面来进行求解的，那么本题是否可以从“形”的一面来介入呢？

解法四：（数形结合的思想）由解法三知方程

bx=12x2-x+1在（-1，1）上有解，从“形”的角度可看作是直线y=bx与二次函数y=12x2-x+1的图象在x∈（-1，1）上有交点，考虑到参数b的几何意义为直线的斜率，分别作出两者的图象，易求斜率b的取值范围为b12.

评析上述解法化代数的抽象为几何的直观，通过挖掘参数的几何意义，用直线的倾斜程度清晰呈现了方程的解即为两图象有交点，此时斜率b的取值范围也一目了然，解题过程得到了大大简化.

数学讲思想，登高好望远，任何一个数学问题的给出，通常都对应着一种较为自然的常规处理，然而当将一般的做法处理完毕，特别是常规的处理较为繁琐时，是否能够在其基础之上，循着数学思想方法的引领，做多样性的有益尝试，这样不断坚持，数学解题的能力才会不断得到提高.使这些错题能够成为今后数学学习的镜鉴，让一次错误酿造出十分收获，并在此过程中增加学生思维的深刻性与严密性.如上面所讲，在教学实践中，能够发现出现错误的原因主要是由于知识体系的不够完善，为了填补知识上的漏洞，督促学生整理错题无疑是最佳选择途径.为了达到监督学生正确记录错题的目标，可以按照下述过程进行教学.首先是指导学生进行错题分类，依错题的种类（如填空、选择、计算等；依数形结合、化归思想应用等）或者依错误出现的原因（如技巧不足、计算失误、概念应用不当等），把错题进行分门别

类的收纳整理.这样处理错题可以使学生对于易错点的查找更加方便，给接下来的复习带来方便.其次是给学生提供科学的记录手段.事实证明，最恰当的记录手段不是直接记录正确解法，而是记录错误解法，并用不同颜色的笔在出现错误的位置标记出来，只标记位置，但是不记录原因，等到一段时间之后（如一个星期）再根据错误记录给出正确答案，这样才是追求数学意识与数学真理的好办法.第三是要注意对错题记录的补充.教师要督促学生对于典型例题的时常回顾，查找有关资料，找到与该题类似的问题，并作出独立解答，防止一次错误的再次出现.

在高中数学课堂教学中纠错环节，教师应当掌握科学的方法，善于把错题变成教学的法宝，用正确的态度看待学生已经出现、可能出现的各类错误，并采取有效的办法利用好错误资源.当然，本文中提到的错题解决策略展开方法并非可以应用到所有教学场景，教师也并非能够全程带领学生处理所有错题，最终还是要由学生独立根据自身情况进行错题整理，从而达到减少错误、提高效率的目标.