相似三角形的判定-平行线法
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
相似三角形的判定1
∴
AD AE AB AC
∵AC=4，EC=1， ∴AE=3.
∴
AD 3 3 4
∴AD=2.25， ∴BD=0.75.
当堂训练
A B O E C F D
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3 对相似三角形. 图中共有____
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
相似三角形：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. A A′
C
C
B ∽ 记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC___ △A′B′C′
B′
′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
A′
A
B
C
B′ C′
定义，即是性质，也是判定.
你能用几何语言表述相似三角形性质吗？
如图，在△ABC与△A′B′C′中， ∵ △ABC∽△A′B′C′
(2)
△ADE∽△ABC
1.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,
叫做相似三角形.
2.△ABC与△DEF相似,记作:△ABC∽△DEF.
3. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似比就是它们的对应边的比.
4、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 5、平行线分线段成比例定理的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应 线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
l
A
l
l1
E
l
A
D
l
l1 l2 l2
D
B
E C
l2
相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意． 故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（ ）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（ ）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝ ． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ， 故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（ ）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题． 【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（ ）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ． 【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ， 在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似． 故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似， 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽， 即824816t t -=， 解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=， 解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°， 在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8， 故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可． 【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''． 求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD ∽△CBE ； （2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证； （2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证； （3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求． 【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ， 如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(平行线法)教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和测量，学生可以直观地感受相似三角形的性质。
在讲授过程中，我尽力用清晰的图示和实际的例题来解释同位角、内错角等概念，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然是一个难点。我意识到，可能需要通过更多的互动和实际操作来加强他们的理解。在未来的教学中，我打算引入更多的实物模型或互动软件，让学生能够更直观地感受这些几何关系。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果比我预期的要好，大家积极参与，热烈讨论。我观察到他们在解决问题的过程中能够运用所学的知识，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，这可能是因为他们对问题的理解不够深入。在接下来的教学中，我需要更明确地设定讨论的主题和目标，引导学生们更加聚焦。
在小组讨论环节，我发现学生们对于相似三角形在实际生活中的应用有很多自己的想法，这是一个很好的现象。通过分享和交流，他们能够从不同的角度理解相似三角形的应用。但同时，我也注意到有些学生在讨论中比较沉默，可能是因为他们不够自信或者没有被充分地激发思考。我需要在这方面多做一些工作，鼓励每个学生都参与到讨论中来，提高他们的参与度和自信心。
-强调：在讲解过程中，教师要着重强调这些判定条件的逻辑关系，以及如何从已知条件出发，逐步推导出相似关系。
2.教学难点
-难点内容：本节课的难点在于学生对于平行线法的理解和应用，尤其是在实际问题中的运用。
23.3相似三角形(1)平行线判定三角形相似
又∵DF∥AC CF AD BC AB 而CF=DE
又∵
AD AE AB AC
F
DE AD AE BC AB AC
而∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC
Hale Waihona Puke DE AD BC AB
问题2
如图，DE∥BC, △ADE与 （课本63思考） △ABC是否相似？
【解】 ∵点D是边AB三等分点
AD 1 AB 3
∵DE∥BC ∴△ADE∽ △ABC（ 平行于三角形一边的直线， 和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似 ）
DE AD 1 ， BC AB 3
∴BC=3DE=15
对应练习1 课本P64练习
如图，在△ABC中，点D是边AB四等分 点，DE∥AC,DF ∥ BC,AC=8，BC=12. 求四边形DECF的周长。 A D F
相似比，通常用字母k表示。
如图，
ABC ∽ A ' B ' C '
A
A'
AB BC AC ( 或 或 ) 则相似比k= A ' B ' B 'C ' A 'C '
C
B
B'
C'
注意
相似比是由顺序的。如果 ABC ∽
A ' B ' C '
的
的相似比k=
相似比 k '
A' B ' 1 AB k
设较大三角形的其余两边分别为x、y,由相似三角形的
5 12 13 1 从而可求解。 性质，可得比例式_________________, x y 39 3
相似三角形的判定与性质
汇报人：XX
感谢观看
地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
用平行线判定三角形相似
B．2个
C．1个
D．0个
3 如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( D ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4 【2016·盐城】如图，点F在平行四边形ABCD的边 AB上，射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助 线的情况下，与△AEF相似的三角形有( C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
∴△AEF∽△CDF.
AE AF .
CD CF ∵AE＝EB，∴AE＝
1AB＝
1 CD.
2
2
∴CF＝2AF＝4.
总结
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角 形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并 且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通 过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相 等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段 的长．
1 【2017·眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木
于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”
这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问
题，它的题意可以由图获得，
则井深为( B )
A．1.25尺
B．57.5尺
C．6.25尺
D．56.5尺
2 【2017·哈尔滨】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，
BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
先证明两个三角形的角分别相等. 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A. ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 再证明两个三角形的边成比例. 过点E作EF//AB，交BC于点F. ∵DE//BC，EF//AB， AD = AE ，BF = AE .
5 如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对 角线AC、边AD分别交于点E和点F，过点E作 EG∥BC，交AB于点G，则图中的相似三角形有 ( B) A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
1.2.1怎样判定三角形相似(平行线分线段成比例定理)
D
2 E 4
L1
L2
F L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
（三）巩固练习：
如图（6）AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式 一定成立的是（ D ） A AC DF A、 B、 AC DF C
CE BD
BD CE
B D
E
F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
平行线分线段成比例
观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD A (1)你能推出怎样的结论？ B ∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 C
（6）
AC DF C、 AE BF
D、
AC CE BD DF
特别地，在△ABC 中，DE∥BC . 线段 AD，AB， AE，AC 成比例吗？
?
AD CF AB CB
=
DE BC
ED CB
• 推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例. • (并且与原三角形相似） ？
AC CD
EG GH
AB BC
EF FG
AC CD
BC BD
1 2 =___,
FG FH
1 BC FG BD FH 2 可得__=__ =___
问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 的线段有什么关系？ 通过计算可以得到：
22.2.1 相似三角形的判定1-平行线法
5
C
1. 如图，在△ABC中，DE // BC, S△ADE 3, S△BCE 18, 求S△BDE
12．【2016·怀化】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC 边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H 分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积．
A
DB
例3：如图已知，EF∥BC,求证: BD DC
EG GF
A E GF
F GE A
B
DC
BD
C
4. 如图，已知 AC∥EF∥BD，求证： EA1FE BE1EF 11.1 AAACCD BBDCD EF
1. 如图，AB、CD分别垂直于直线BC，AC和BD相 交于E，过点E作EF⊥BC于F．若AB=80，CD=20， 那么EF等于（ ） A. 40 B. 25 C. 20 D. 16
（来自《典中点》）
例1：如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,
BC=70cm, 求DE的长.
解: DE ∥ BC △ADE∽△ABC
DE AE BC AC
即： 50 DE 50+30 70
DE 50 70 43.75 (cm) 50+30
30 C
E
50 ?
70
40 30 ∴正方形EFGH的边长为
7 120
cm，面积为 14400
cm2.
7
49
解：(2)如图，设AD与EH交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，∴ EH AE . BC AB
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形-知识点总结
相似三角形-知识点总结第一节相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,ADaBEbCFc可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析例1：①在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③若=则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
相似三角形的判定——利用平行线课件(湘教版)
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ? △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
的位置，你的结论还成立吗?
CD CF
∵ AE ＝ EB,
∴
AE = 1 . CD 2
∴ AF = 1 .
CF 2
又 AF =2 ，∴ CF =4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用成比例线段求线段的长的方法： 对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图
形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常 考虑通过证三角形类似，再利用类似三角形的对应边 的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求 出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边 上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长 .
知1－讲
•∵ 四边形 DFCE为平行四边形，
•∴DE = FC . •∴AD AE DE .
AB AC BC
•∴ △ ADE ∽△ABC .
知1－讲
归纳
知1－讲
•由此得到如下结论： • 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的三角形与原三角形类似.
知1－讲
例1 如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找 出图中各对类似三角形，并求出相应的类似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形类似 的两种基本图形：‘A’型 和‘ X ’型”进行查找 .
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
平行线相似三角形性质和判定
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
2019/7/14
推 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 论 边的延长线)所得的线段对应成比例.
2019/7/14
平行线等分线段定理
P
G. F. E.
A
D
C
B
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他
直线上截得的线段也相等。
推论1
小结 拓展
图形的相似
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似 三角形.
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
性质定理
判定定理
平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的对应线 段成比例.
平行于三角形的一边的直线， 截其它两边所在的直线，截得 的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例.
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
相似三角形
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等（AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（HL）
相似三角形的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。
平行线等分线段定理
由①②知OODA＝OOCF，而∠FOD＝∠COA， ∴△FOD∽△COA.∴DACF＝OODA. ∴在△ABC 和△DEF 中，有DABE＝EBFC＝DACF. ∴△ABC∽△DEF.
练习 P20 9
相似三角形的判定(3)
直角三角形相似的判定定理
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应 相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对 应成比例,那么它们相似.
*用同一法解题一般有三个步骤： ①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所 作的图形符合已知条件； ②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图 形是全等的或重合的； ③从而说明已知图形符合结论．
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个
三角形的两边和另一个三角形的两边 对应成比例,并且夹角相等,那么这两 个三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, A' B' A'C'
求证: △ABC∽△ABC
AB AC
A
△ADE≌△ABC
A' B' A'C' AB AC
AD AE AB AC
B C
A
DE//BC
D
E
△ABC∽△ADE B
C
例 3 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和 BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD, ∠ECB=∠DAB.求证: △DBE∽△ABC.
BC BC
CA CA
求证: △ABC∽△A’B’C’
A
证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.
相似三角形判定1 张艳凤
×
认真选一选 1、下列命题错误的是（ B ） A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式 中一定成立的是（ D ） A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF） 3、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么 ∠C’的度数是（ ） C A.55° B.100° C.250 D.不能确定 4、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′， 下列结论不能成立的是（ ） C A.△ABC∽△A′B′C′ 1 1 B.△ABC与△A′B′C′的各对应 角相等 3 4 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 D.△ABC与△A′B′C′的 相似比为
1. EF∥AB 2.EF∥CD 3.AB∥CD
或：
O
E
F
Δ OEF∽Δ OAB
A
C
D B
三角形相似 具有传递
Δ OEF∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
性!
Δ OAB∽Δ OCD
练习：
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 BD = 2 ，求 EC 的值。 B 5 AB AC 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = ， BC = 5 BA BC 5 D
问题1
A B
2cm
D
3cm
C
E
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∴△ADE∽△ABC
.
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行于三角形一边的直线和其他 两边相交，所构成的三角形与原三角 形相似．
.
平行于三角形一边的直线与其它两边（或 两边的延长线）相交,所得的三角形与原 三角形 相似
“A字”型
“8字”型
A
D
E
B （图1）
C
A
E
c
.
B
D
针对性练习
1.已知：如图，AB∥EF∥CD，
BC=____。
A
D E F
B
.
G H I
C
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、
GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?
解：与△ABC相似的三角形有: A
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
D
B
F
G
OE
C
相似具有传递性
.
4.如图，在△ABC中， AB=3AD,DE∥BC,EF∥AB,若 AB=9,DE=2
（1）写出图中的相似三角形
（2）求线段FC的长
A
D
E
B
F
C
.
5.如图,在如图,在△ABC中,点D在边AB 上,BD=2AD, DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长 位( ) A.7.5 B.10 C.15 D.20
.
6,如图,在菱形ABCD中,EF⊥AC于点G,
分别交AD及CB的延长线于点E,F,EF交
AB于点H,AH:FB=1:2,则AG:GC的值
为______.
AE
D
HG
F
B
C
.
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上, CE,BD交于点F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则
DF=______.
A
D
EF
B
C
.
相似三角形的判定 (预备定理) ---平行法
.
1.定义：
对应角_相__等_，对应边的__比__相__等__的两个
三角形,叫做相似三角形 2.性质：相似三角形的—对——应—角—相——等,
各对应边的—比——相—等 B 如果△ABC∽△DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
A
C D
AB AC BC
图中共有__3__对相似三角形。
A
B
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD △AOB ∽△DOC
O
EF∥CD
△EOF∽△COD E
F
C
D
.
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG： 1：4
DE DF E. F
E F
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
注意顺序！
我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’k就. 是它们的相似比.
如果k=1,这两 个三角形有怎
样的关系?
.
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
.
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我 们通过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
.
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.