1-4概率论与数理统计
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6
构成边长为 24的正方形， 的正方形， 的正方形 显然这是一个几何概率问题。 显然这是一个几何概率问题。 o
8 24
x
他们能见面的充要条件是 0≤ x – y <8 ， 0≤ y – x <6因此， 因此， 因此 242-0.5(182+162) A 的面积 p = ————— = —--------— = 0.4965。 。 2Biblioteka Baidu2 S 的面积
1.3.2.2 几何概率
古典概型的本质特征： 古典概型的本质特征： 样本空间中样本点个数有限， 样本空间中样本点个数有限， 每一个样本点都是等可能发生的。 每一个样本点都是等可能发生的。 分钟发一班车， 问题 1 . 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达 车站， 车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 问题 2 . 已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 千 平方公里的海域， 平方公里的海域，调查人员每次出海搜索的区域面积 平方公里， 为 50 平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？ 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？
这种概率称为主观概率， 这种概率称为主观概率，表示对某事件发生与否的相 主观概率 信程度。 信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 批评： 如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率 如果概率是人的主观信念的数量度量， 批评： 论就很象心理学的一个分支， 论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释 最终将导致唯心论。 最终将导致唯心论。 辩解： 客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事 辩解： 决策人通过主观概率把自己的以数据、 件，决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为 依据的判断表示为数量形式， 依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率的整套数学 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 的概率，它的实际意义就是： 随机事件 A 的概率，它的实际意义就是： 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。
1.3.3. 1
关于主观概率
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 自然地， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。 的极限来作为概率的定义。 然而实际上， 然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。 无法去定义它们的频率。 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 1. 公司认为明年的利润将增长 10% 的可能性为 ％。 的可能性为80％。 2. 期末考试时，有70％的把握概率课成绩合格。 期末考试时， ％的把握概率课成绩合格。 3. 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是 ％。 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是90％。
关于“测度” 关于“测度”( measure )的理解 的理解 1. . “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的 测度” 是一个数学概念， 测度 “度量” 概念的数学抽象 。 度量” 2. . 3. 4. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 长度 等等 样本点个数” 也是一种测度。 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。 概率” 的定义就是一种测度定义。 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
例
分钟发一班车， 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机
到达车站， 到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 解. 以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S， ， ， 乘客随机地到达， 乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是 分钟， 包含的样本点， 图中 A 包含的样本点， 0← S A →10
3 A 的长度 p = ————— = —— = 0.3 。 10 S 的长度
例 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 24 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到， 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到，需停 小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8 靠6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8小时后 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率 的概率。 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率。 y 点为坐标原点， 解. 以 0 点为坐标原点， 24 S 小时为单位。 ， 小时为单位。x，y 分别表示 A 两船到达的时间， ， 两船到达的时间，( x，y )
几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω 几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω随 机投点， 落入Ω内任一处都是“等可能的” 机投点，意指点M落入Ω内任一处都是“等可能的”， A M. 则可求点M落入 内的某一部分A的概率 的概率。 则可求点 落入 内的某一部分 的概率。 Ω 把古典概率模型中“ 的条件去掉， 把古典概率模型中“ 样本点个数有限 ”的条件去掉，仍 然 保留“ 保留“ 样本点等可能发生 ” 。 此时， 此时，不需要再给出每个样本点发生的概率 几何概率的计算公式 随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ——————————————— 样本空间 包含的样本点测度
构成边长为 24的正方形， 的正方形， 的正方形 显然这是一个几何概率问题。 显然这是一个几何概率问题。 o
8 24
x
他们能见面的充要条件是 0≤ x – y <8 ， 0≤ y – x <6因此， 因此， 因此 242-0.5(182+162) A 的面积 p = ————— = —--------— = 0.4965。 。 2Biblioteka Baidu2 S 的面积
1.3.2.2 几何概率
古典概型的本质特征： 古典概型的本质特征： 样本空间中样本点个数有限， 样本空间中样本点个数有限， 每一个样本点都是等可能发生的。 每一个样本点都是等可能发生的。 分钟发一班车， 问题 1 . 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达 车站， 车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 问题 2 . 已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 千 平方公里的海域， 平方公里的海域，调查人员每次出海搜索的区域面积 平方公里， 为 50 平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？ 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？
这种概率称为主观概率， 这种概率称为主观概率，表示对某事件发生与否的相 主观概率 信程度。 信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 批评： 如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率 如果概率是人的主观信念的数量度量， 批评： 论就很象心理学的一个分支， 论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释 最终将导致唯心论。 最终将导致唯心论。 辩解： 客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事 辩解： 决策人通过主观概率把自己的以数据、 件，决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为 依据的判断表示为数量形式， 依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率的整套数学 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 的概率，它的实际意义就是： 随机事件 A 的概率，它的实际意义就是： 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。
1.3.3. 1
关于主观概率
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 自然地， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。 的极限来作为概率的定义。 然而实际上， 然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。 无法去定义它们的频率。 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 1. 公司认为明年的利润将增长 10% 的可能性为 ％。 的可能性为80％。 2. 期末考试时，有70％的把握概率课成绩合格。 期末考试时， ％的把握概率课成绩合格。 3. 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是 ％。 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是90％。
关于“测度” 关于“测度”( measure )的理解 的理解 1. . “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的 测度” 是一个数学概念， 测度 “度量” 概念的数学抽象 。 度量” 2. . 3. 4. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 长度 等等 样本点个数” 也是一种测度。 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。 概率” 的定义就是一种测度定义。 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
例
分钟发一班车， 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机
到达车站， 到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 解. 以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S， ， ， 乘客随机地到达， 乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是 分钟， 包含的样本点， 图中 A 包含的样本点， 0← S A →10
3 A 的长度 p = ————— = —— = 0.3 。 10 S 的长度
例 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 24 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到， 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到，需停 小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8 靠6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8小时后 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率 的概率。 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率。 y 点为坐标原点， 解. 以 0 点为坐标原点， 24 S 小时为单位。 ， 小时为单位。x，y 分别表示 A 两船到达的时间， ， 两船到达的时间，( x，y )
几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω 几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω随 机投点， 落入Ω内任一处都是“等可能的” 机投点，意指点M落入Ω内任一处都是“等可能的”， A M. 则可求点M落入 内的某一部分A的概率 的概率。 则可求点 落入 内的某一部分 的概率。 Ω 把古典概率模型中“ 的条件去掉， 把古典概率模型中“ 样本点个数有限 ”的条件去掉，仍 然 保留“ 保留“ 样本点等可能发生 ” 。 此时， 此时，不需要再给出每个样本点发生的概率 几何概率的计算公式 随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ——————————————— 样本空间 包含的样本点测度