7 2向量的方向余弦及投影

例 7 设 点位A 于 第 I卦 限 ， 其 向 径 的 模 AB ＝6，
且
向
径
OA与 x轴
、
y轴 的
夹角
依
次为
?
3
和，?
4
求 点的A 坐 标 。
解 ? = ? ， ? = ? ,由关系式 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
3
4
得 cos 2 ?＝1 ? ( 1 )2 ? ( 2 ) 2 ? 1 ,
O A'＝ λe , λ为向量OA在u轴上 的投影
? 向量投影的性质
(a)u=|a|cos? , (Prjua=|a|cos ? );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
2
2
4
由点 A在第一卦限，知 cos ?＝ 1 .
2
于是
OA
＝（6
1 2
，2 2
，1 2
）＝（
3， 3
2， 3），
也就是点 A的坐标。
例8 设立方体的一条对角线为OM， 一条棱为OA，且 OA ? a,
求 OA在 OM方 向 上 的 投 影 Prj OA OM
解
记? MOA=? ,则
cos? ? OA ? 1 OM 3
AB ?? 1 1? 2 ? 42?
cos? ? ? 1 , cos ? ? 1 , cos ? ? ? 2
2
2
2
? ? 2 ??, ? 1 ??, ? 3 ? .
3
3
4
五 向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
?A
过点 A 作轴u 的垂直
A?
u 平面，交点A?即为点
A 在轴u 上的投影.
OA‘为OA在轴u上的分向量
o
y
x
弦余向方的量向
z
由图分析可知
RHale Waihona Puke ?M1? ?P
o
?
? M2
Q
y
ax ay az
?| ?| ?|
aaa???||| cccooosss???
x 方向余弦通常用来表示向量的方向 .
M 1 M 2 ? M 1P 2 ? M 1Q 2 ? M 1 R 2
? | a |?
ax 2 ? ay 2 ? az 2 向量模长的坐标表示式
第七章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的方向余弦及投影
四、方向角和方向余弦 五、向量在轴上的投影
四、向量的模与方向余弦的坐标表示式
空间两向量的夹角的概念：
?
?? ??
b
a ?? 0, b ?? 0,
??
向量a 与向量b 的夹角
a
?
?
?? (a,b) ?
?? (b,a)
(0 ? ? ? ? )
则Prj OA＝ OA cos?＝ a .
OM
3
四、小结
向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 .
（注意分向量与向量的坐标的 区别）
向量的模与方向余弦的坐标表示式 .
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0 ? a ? ( ax , ax , ay )
|a| |a| |a| |a|
? ? ? ? {cos , cos , cos }.
例1 已知两点A（2,2, 2）,B(1,3,0),求向量 AB 的模，方向余弦和方向角。
解：
AB ? OB ? OA ? (1,3, 0) ? (2, 2, 2) ? (? 1,1, ? 2)
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax 2 ? a y2 ? az 2 ? 0 时，
cos ? ? cos? ?
ax
,
ax2 ? ay2 ? az2
ay
,
ax2 ? ay2 ? az2
cos ? ?
az
.
ax2 ? ay2 ? az2
方向余弦的特征
? ? ? cos2 ? cos2 ? cos2 ? 1
类似地，可定义 向量与一轴 或空间两轴 的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在 0与 ? 之间任意取值 .
? 非零向量 a 的方向角：? 、? 、?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .
z
0? ? ? ?,
?
? M2
M1? ? ?
0? ? ? ?, 0? ? ? ?.