7 2向量的方向余弦及投影
向量的方向余弦及投影
向量的模与方向余弦的坐标表示式.
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a
0
|
ar ar
|
(|aarx
|
,
|aarx
|
,
|aary
) |
{cos, cos , cos }.
例1 已uAu知Buv 两的点模A，（方2向,2,余2弦）和,B方(1,向3,0角),。求向量
解：
uuuv uuuv uuuv AB OB OA (1,3, 0) (2, 2, 2) (1,1, 2) uuuv AB 11 2 4 2
(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
uuur 例7 设点A位于第I卦限，其向径的模 AB ＝6，
uuur 且向径OA与x轴、y轴的夹角依次为
一条棱为OA，且 OA a,
uuur uuuur
uuur
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
方向余弦坐标变换
方向余弦坐标变换方向余弦坐标变换是在三维空间中描述点或向量位置的一种方法。
它利用方向余弦的概念，将一个坐标系中的点或向量转换为另一个坐标系中的表示。
本文将介绍方向余弦坐标变换的原理与应用。
一、方向余弦的定义与性质方向余弦是指一个向量在坐标系中的投影与坐标轴之间的夹角余弦值。
在三维空间中，我们可以使用方向余弦来描述一个向量在三个坐标轴上的投影比例。
以直角坐标系为例，设一个点或向量在X、Y、Z轴上的投影分别为x、y、z，则该点或向量在X轴上的方向余弦为cosα=x/√(x²+y²+z²)，在Y轴上的方向余弦为cosβ=y/√(x²+y²+z²)，在Z轴上的方向余弦为cosγ=z/√(x²+y²+z²)。
方向余弦的取值范围在-1到1之间。
方向余弦坐标变换是将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程。
假设我们有两个坐标系，分别为A和B，其中A的坐标轴为Xa、Ya、Za，B的坐标轴为Xb、Yb、Zb。
现在要将一个点或向量在A坐标系中的表示转换到B坐标系中的表示，就需要用到方向余弦坐标变换。
具体步骤如下：1. 计算A坐标系中点或向量在Xa、Ya、Za轴上的方向余弦，即cosαa、cosβa、cosγa。
2. 利用方向余弦的定义，将A坐标系中的表示转换为B坐标系中的表示。
点或向量在B坐标系中的表示为x' = cosαa*x + cosβa*y + cosγa*z，y' = cosαa*x' + cosβa*y +cosγa*z，z' = cosαa*x' + cosβa*y + cosγa*z。
3. 得到点或向量在B坐标系中的表示。
三、方向余弦坐标变换的应用方向余弦坐标变换在多个领域中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 机器人运动学在机器人运动学中，方向余弦坐标变换用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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铃
四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
高等数学(本科)第七章课后习题解答
习题7.11.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-；()2,3,1--M 到x 轴的距离为()132322=-+；()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-.3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3； ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()25534222=+-+；()5,3,4-A 到x 轴的距离为()345322=+-；()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()53422=-+.6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即()()()()=-+-+--22270230y ()()()()22270130--+-+-y解得 23=y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()103321017222=-+-+-==AB c ；AC 边长()()()()3312311222=-+-+--=b ； BC 边长()()()()1173110371222=-+-+--=a .由余弦定理知cos ∠BAC ()010321171032222222<⨯⨯-+=-+=bc a c b ，所以，∠BAC 为钝角.8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等. 【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即()()()()=-+--+-2225011y x ()()()222443-+-+-z y x()()()222164-+-+-=z y x解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D习题7.21.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示DA CD BC AB ,,,.【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .()b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=-==2121212121；同理可求出，()b a a b OC BO BC +=+=+=212121；()a b AB CD -=-=21；()b a BC DA +-=-=21.2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()n m n m n m 733232-=+--=.3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示EF DE CD BC ,,,.【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；a BA BA AO DE -=-===；().b a BC EF +-=-=5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有什么有何特征？ 【解】（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；（2）因为a 垂直于xoy 面，故a 平行于z 轴，从而a ∥{}1,0,0=k ，所以，0==y x a a . （3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a . 6.已知向量{}7,4,4-=AB ，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标. 【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x AB ----=7,1,2，根据已知条件，有77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为 ()0,3,2-A .7.已知向量{}1,1,6-=a ，{}0,2,1=b .求 （1）向量b a c 2-=； （2）向量c 的方向余弦； （3）向量c 的单位向量. 【解】（1）c {}{}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.（2()()26134222=-+-+=.故，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==261,263,2640c c ，所以，向量c 的方向余弦为.261cos ,263cos ,264cos -=-==γβα（3）.向量c 的单位向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--±261,263,264.8.试确定m 和n 的值，使向量k n j i a ++-=32和k j i m b 26+-=平行. 【解】因为a ∥b ，所以2632nm =-=-，解得 .1,4-==n m9.已知向量{}12,9,8-=b 及点()7,1,2-=A ，由点A 作向量AM 34=， 且AM 与b 的方向相同.求向量AM 的坐标表达式及点M 的坐标.【解】设()z y x M ,,，则{}7,1,2-+-=z y x AM .据题意知AM ∥b 且与b 同向，因此有λ=--=+=-1279182z y x ，① 且 0>λ. ② 由①式得 λλλ127,91,82=-++=-z y x . 又已知34=，故有 ()()()341298222=++λλλ. ③③式化简得4115628922=⇒=λλ，解得 2=λ或2-=λ（舍）.所以，.17,17,18-===z y x因此AM {}24,18,16-=，()17,17,18-=M . 10.已知点()4,2,1--A 和点()z B ,2,6-9=，求z 的值. 【解】()(){}{}4,4,74,22,16+-=------=z z AB .9=，得()()9447222=++-+z ，化简得082=+z z ，解之，得 0=z 或.8-=z11.已知点()1,2,41M 和点()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 【解】{}{}1,2,112,20,4321--=---=M M ；()()2121222=+-+-=. 因为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=--==21,22,211,2,12121021M M M M .所以21M M 的方向余弦是.21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα 方向角为.3cos ,43,32πγπβπα===12.求与下列向量a 同方向的单位向量0a . （1）{}1,4,2-=a ；（2）k j i a ++-=32.【解】（1()21142222=+-+=，所以{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-==211,214,2121,4,22110a a .（2()14132222=++-=，所以.141,143,1421410⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a a 习题7.31.设向量k j i a 23--=，k j i b -+=2.求：（1）b a .；（2）b a ⨯；（3）()()b a 32⨯-；（4）()b a 2⨯；（5）向量b a ,的夹角. 【解】（1）()()()3122113.=-⨯-+⨯-+⨯=b a ；（2）k j i j b a 7521++=-=⨯；（3）()()()1836.63.2-=⨯-=-=-b a b a ；（4）()()k j i b a b a 1421022++=⨯=⨯；（5）()()14213222=-+-+=()6121222=-++=，故21236143.,cos =⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a b a ，所以向量b a ,的夹角为 .2123arccos ,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a 2.设向量a ，b ，c 为单位向量，且满足0=++c b a ①.求：a c c b b a ...++. 【解】由①式得()0.=++c b a a ；()0.=++c b a b ；()0.=++c b a c .即 0..=++c a b a ； ②0..=+c b a b ； ③0..=++b c a c ； ④ 将②、③、④相加得()03...2=+++a c c b b a所以，.23...-=++a c c b b a3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求： （1）同时与AB 及AC 垂直的单位向量； （2）ABC ∆的面积. 【解】（1）AB AC ⨯{}16,12,151612153405=++=--=k j i kj .25161215222=++=. 所以，同时与AB 及AC 垂直的单位向量为 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=⨯±2516,2512,25116,12,15251AC AB .（2）ABC ∆的面积225==. 4.设{}2,5,3-=a ，{}4,1,2=b ，则当实数λ与μ有什么关系时，能使b a μλ+与z 轴垂直？【解】{}μλμλμλμλ42,5,23+-++=+b a .要使b a μλ+与z 轴垂直，只须b a μλ+与{}1,0,0=k 垂直，于是有()042.=+-=+μλμλk b a ，即 .2μλ=5.设质量为100kg 的物体从点()8,1,31M 沿直线移动到点()2,4,1M ，计算重力所做的功.【解】{}6,3,21--==M M s ，{}{}980,0,01008.9,0,0=⨯-=F .所以，{}{}58806,3,2.980,0,0.=---==s F W （焦耳）.6.已知{}3,2,1-=a ，{}1,4,2-=b ，{}0,2,4=c ，b a ⨯是否与c 平行？【解】{}0,5,1005104221--=+--=--=⨯k j i j i b a ；因为c b a 52-=⨯，所以，b a ⨯与c 平行.7.求一个单位向量使其同时垂直向量{}0,1,1=a 和{}1,1,0=b .【解】{}1,1,111-=+-==⨯k j i j b a .()3111222=+-+=. 所以同时垂直向量a 和b 向量的单位向量为 {}1,1,131-±=⨯±b .习题7.41.求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.【解】已经平面的法向量为{}5,7,3-=n .据题意知，所求平面的法向量可也取作n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0150733=--+---z y x . 化简得 04573=-+-z y x .2.求过点()6,9,20-M 且与连接坐标原点O 及0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作{}6,9,20-==OM n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0669922=----+-z y x . 化简得 0121692=--+z y x .3.求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-三点的平面方程. 【解】据平面的三点式方程，所求平面为()()()0121111121212111=---------------z y x . 即 ()()()0161913=++-+--z y x . 化简得 023=--z y x .4.求平面0522:=++-z y x π与坐标面xoy 、yoz 及zox 的夹角的余弦. 【解】平面π的法向量为{}1,2,2-=n ；xoy 面的法向量为{}1,0,0=k .由公式，平面π与xoy31=； 同理， 平面π与yoz32=； 平面π与zox32-=.5.求点()1,2,1平面01022:=-++z y x π的距离. 【解】12211012221222=++-⨯+⨯+=d .6.求两平行平面0:11=+++D Cz By Ax π与0:22=+++D Cz By Ax π之间的距离.【解】在1π上任取一点()1111,,z y x M ，则1M 到2π的距离d 就是所求1π与2π之间的距离.由点到平面的距离公式得 2222111CB A D Cz By Ax d +++++=. ①又11π∈M ，故有 0:11111=+++D Cz By Ax π，即1D Cz By Ax -=++. ②将②代入①，立得 22212CB A D D d ++-=.7.一平面通过()1,1,11M 和()11,02-M 两点，且垂直于平面0=++z y x .求该平面方程.【解】已知平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,1=n ，{}2,0,121--=M M .据题意，可取所求平面的法向量为{}1,1,2211120121--=--=--=⨯k j i kj i n M M . 所以，所求平面方程为()()()011.11.2=-----z y x ，即 02=--z y x . 8.求满足下列条件的平面方程： （1）过点()2,1,3--和z 轴；（2）过点()2,0,4-及()7,1,5且平行于x 轴； （3）过点()3,5,2-，且平行于zox 面；（4）过点()1,0,1-且同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=. 【解】（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+By Ax π. ① 又将点()2,1,3--的坐标代入①，得03=+-B A ，即 A B 3=. 因此，所求平面π为.03=+Ay Ax ②注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以A ，得到 03:=+y x π.（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=++D Cz By π. ①又将点()2,0,4-及()7,1,5的坐标分别代入①，得⎩⎨⎧=++=+-.07,02D C B D C ，故⎩⎨⎧-==.9,2C B C D . 因此，所求平面π为.029=++-C Cz Cy ②注意到0≠C （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以C ，得到 029:=++-z y π.（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+D By π. ① 又将点()3,5,2-的坐标代入①，得05=+-D B ，即 B D 5=. 因此，所求平面π为.05=+B By ②注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以B ，得到 05:=+y π.（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=. 将点()1,0,1-的坐标代入①，得0=+-D C A . ② 又因为π同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=，故n 同时垂直于向量k j i a ++=2，j i b -=，于是有.02=++C B A ③ .0=-B A ④ ②、③、④联立得到A D A C AB 4,3,-=-== 因此①成为043:=--+A Az Ay Ax π . ⑤注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以A ，得到 043:=--+z y x π.9.平面在y 、z 轴上的截距分别为30，10，且与{}3,1,2=r 平行，求该平面方程. 【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.因为π在y 、z 轴上的截距分别为30，10，故π过点()0,30,0及(),10,0,0.将此两点坐标代入①得030=+D B . ② 及 010=+D C . ③ 又已知π与{}3,1,2=r 平行，故n 垂直于向量r ，于是有 032=++C B A . ④ ②、③、④联立得到B A BC BD 5,3,30-==-=. 因此①成为03035:=-++-B Bz By Bx π. ⑤注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以B ，得到 03035:=-++-z y x π. 10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面. （1）013=-x ； （2）012=-+z y ； （3）02=+z x ； （4）135=-+z y x .【解】（1）因方程中z y ,前面的系数为零，故平面013=-x 平行于yoz 面； （2）因方程中x 前面的系数为零，故平面012=-+z y 平行于x 轴；（3）因方程中没有常数项，且y 前面的系数为零，故平面02=+z x 通过y 轴；012=-+z y 02=+z x ；（4）135=-+z y x 可化为113151=-++z y x ，故135=-+z y x 是在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为51、31和1-的平面.习题7.51.用点向式方程及参数式方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-.42,1:z y x z y x L【解】任取方程组的一组解⎪⎩⎪⎨⎧===.1,1,1z y x 则有，L 过点()1,,1,10M .可取直线的方向为{}3,1,232121121-=++-=-=⨯k j i j in n . 所以，所求直线L 的点向式方程为311121-=-=--z y x . 进一步，L 的参数式方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=.31,1,21t z t y t x2.求过()1,2,31-P 、()2,0,12-P 两点的直线方程. 【解】可取直线的方向为 {}1,2,421-==P P s . 故所求直线为.112243-=+=--z y x 3.求过点()3,1,4-且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}5,1,2=s .故所求直线为.531124-=+=-z y x 4.求过()1,32-且垂直于平面0132=+++z y x 的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,3,2=s . 故所求直线为.113322-=+=-z y x 5.求过点()2,1,00M 且与直线21111zy x =--=-垂直相交的直线方程.【解】 过点()2,1,0且与直线21111zy x =--=-垂直的平面π为()()()02210.1:=-+---z y x π.即 032:=-+-z y x π . ① 化直线21111zy x =--=-为参数式得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.2,1,1t z t y t x ②将②代入①，有()()()032211=-+--+t t t . ③ 解得 21=t . 故直线21111z y x =--=-与平面π的交点为⎪⎭⎫⎝⎛1,21,231M . 因此所求直线的方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==1,21,2310M M s ∥{}2,1,3-.故所求直线为.221130-=-=--z y x 6. 过点()0,2,10-M 向平面012=+-+z y x 作垂线，求垂足坐标. 【解】 过点()0,2,10-M 且与平面012=+-+z y x 垂直的直线L 为.12211:--=-=+z y x L ① 化直线L 为参数式得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=.,22,1t z t y t x ②将②代入平面012=+-+z y x 方程中，得()()()012221=+--+++-t t t . ③解得 32-=t .故垂足坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-32,32,351M .7.求直线⎩⎨⎧=-+-=-+-,0123,09335:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=-++=+-+.01383,02322:2z y x z y x L 的夹角θ.【解】1L 的方向为{}1,4,34323351-=-+=--=k j i j is ； 2L 的方向为{}10,5,101051083222-=+-==k j i j is ∥{}2,1,2-. 因为()()0211423.21=⨯-+-⨯+⨯=s s ，所以1L 与2L 垂直，从而2πθ=.8.求直线21121:+=-=-z y x L 与平面02:=+-z y x π的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}2,1,2-=s ，平面π的法向量为{}2,1,1-=n . ()()7221112.=⨯+-⨯-+⨯=n s .()3212222=+-+=.()6211222=+-+=.故637sin ⨯==θ，所以，637arcsin⨯=θ.9.求过点()2,0,10-M 且垂直于平面032:=+-z y x π的直线方程. 【解】根据题意知，所求直线L 的方向向量即为平面π之法向量，即 {}3,12-=s .所以，由点向式方程知，所求直线为321021:+=--=-z y x L . 10.设平面π过直线130211:1--=-=-z y x L ，且平行于直线11122:2zy x L =-=+，求平面π的方程.【解】显然面π过点()3,,2,10M .可取面π的法向量为{}1,3,13120121-=+-==⨯=k j i j is s n . 所以，平面π的方程为()()()03.12.31.1=-+---z y x . 化简得023:=++-z y x π.11.求过点()1,2,10P 和直线⎩⎨⎧=--=-.032,6:z y x z x L 的平面π的方程.【解】直线L 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==.6,9,:x z x y x x L显然L 过点()6,9,01-P ，且L 的方向为{}1,11-=s . 根据题意，可取平面π的法向量为{}6,6,0660117110--=--=--=⨯=k j i j i s P P n ∥{}1,1,0. 所以，平面π的方程为()()()01.12.11.0=-+-+-z y x . 化简得03:=-+z y π.习题7.61.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.（1）1=-y x ；（2）x y 22=；（3）122=-y x ；（4）1222=+y x . 【解】（1）1=-y x 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于z 轴的平面；（2）x y 22=在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；（4）1222=+y x 在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几何中表示一张椭圆柱面.2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程. （1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周； （2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周； （3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周. 【解】（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周得到的曲面是 ()x zy 5222=+±，即x z y 522=+.（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周得到的曲面是 ()36942222=-+±yz x ，即36494222=+-z y x .（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周而得到的曲面是 ()013222=+-+±z y x ，即()()222134-=+z y x .3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ； 【解】（1）1994222=++z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422y z x 绕x 轴旋转一周而形成. （2）14222=+-z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422z y x 绕y 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422x y z 绕y 轴旋转一周而形成. （3）1222=--z y x 由曲线⎩⎨⎧==-,0,122z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎩⎨⎧==-,0,122y z x 绕x 轴旋转一周而形成. 4.指出下列各方程所表示的曲面.（1）14416916222=++z y x ；（2）144944222=+-z y x ；（3）z y x 729422=-； （4）16922=+z y ；（5）22z y x --=；（6）224y z x =+； （7）36249222=++z y x ；（8）444222=-+x y z . 【解】（1）原方程可化为()1169222=++y z x. 所以，原方程表示的是旋转椭球面.（2）原方程可化为1163838222=+-z y x . 所以，原方程表示的是双叶双曲面.（3）原方程可化为81822y x z -= 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（4）原方程可化为11691622=+z y . 所以，原方程表示的是椭圆柱面. （5）原方程可化为()22z y x +-=. 所以，原方程表示的是旋转抛物面. （6）原方程可化为4122z y x -=.所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （7）原方程可化为11894222=++z y x . 所以，原方程表示的是椭球面.（8）原方程可化为1141222=-+x z y . 所以，原方程表示的是单叶双曲面.习题7.71.求球心在()3,2,1，半径为3的球面与平面5=z 的交线方程（写出一般式方程和参数式方程），并求出该曲线绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程.【解】（一）球心在()23,1，半径为3的球面方程为 ()()()9321222=-+-+-z y x .故球面与平面5=z 的交线的一般式方程为()()()⎩⎨⎧==-+-+-Γ.5,9321:222z z y x即()()⎩⎨⎧==-+-Γ.5,521:22z y x化为参数式方程为[]π2,0.5,sin 52,cos 51:∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=Γt z t y t x .（二）利用公式()()()()()[][]()πθβαθθ2,0,,.,sin ,cos 2222∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=t t z z t y t x y t y t x x . Γ绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 [][]()πθπθθ2,0,2,0.5,sin sin 54cos 5210,cos sin 54cos 5210∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=t z t t y t t x .2.分别求出母线平行于x 轴、y 轴且通过曲线()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++Γ2,01,162:222222z y x z y x 的柱面方程.【解】 （一）（1）、（2）联立消去x ，得 16322=-z y .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为16322=-z y . （二）（1）、（2）联立消去y ，得 162322=+z x .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为162322=+z x . 3.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+. 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=. 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21=.所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== 5.画出下列各曲面所围立体的图形. （1）0,22==z x y 及1224=++zy x ；（2）0,,222==+=z y x y x z 及1=x . 【解】略.6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 7.写出圆锥面22:y x z S +=的参数方程.【解】().20,0.,sin ,cos πθθθ≤≤+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===r r z r y r x习题7.81.设向量值函数()k t j t i t t r ++=sin cos ，求()t r t 4lim π→. 【解】()t r t 4lim π→k j i k t j t i t t t t 42222lim sin lim cos lim 444ππππ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→. 2.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-='t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±='r 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|1,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x s '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,sin cos 2,cos |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .6.已知(){}t t t t r 2,1,12-+=表示空间一质点在时刻t 的位置，求质点在时刻t 的速度和加速度向量，并求质点在指定时刻1=t 的速率和运动方向.【解】（一）时刻t 的速度向量为()()()()(){}2,2,12,1,12t t t t t r t v =⎭⎬⎫⎩⎨⎧''-'+='=； 时刻t 的加速度向量为()()()()(){}{}0,2,02,2,1='''=''=t t r t a .（二）1=t 的速度为(){}2,2,11=v )32211222=++=. 1=t 的速度为(){}2,2,11=v()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=32,32,311.复习题71.填空题（1）设b a ,为非零向量，若0.=b a ，则必有a ⊥b .（2）设b a ,为非零向量，若0=⨯b a ，则必有a ∥b .（3）若直线l 的方向向量s 与平面π的法向量n 互相平行，则直线l 与平面π必 垂直.（4）点()1,5,3P 到平面07623=+++z y x 的距离732.（5）若动()z y x M ,,到定点()5,0,0的距离等于它到x 轴的距离，则该动点的轨迹方程为25102-=-z x .（6）直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=.31,1,2t z t y t x 与平面0765=-+-z y x 的位置关系是相交但不垂直.【解】直线l 的方向向量为{}3,1,1-=s .平面的法向量为{}6,5,1-=n .因为024.≠=n s ，且s 与n s .的坐标分量不成比例， 所以直线l 与平面π相交. 2.判断题.（1）若c a b a ..=，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （2）若c a b a ⨯=⨯，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （3）若c a b a ..= ① 且c a b a ⨯=⨯ ② ，则必有c b =.（⨯）【解】取0=a ，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 .【书后答案有误】. 【注意：如果假定c b a ,,均为非零向量，则上述命题是正确的，其理由如下：由①式得 ()0.=-c b a ，说明a 与c b -垂直； 由②式得 ()0=-⨯c b a ，说明a 与c b -平行.因为a 为非零向量，故c b -必为零向量，从而c b =. （4）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ..=.（√） （5）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ⨯=⨯..（⨯）3.已知直线⎩⎨⎧=+--=+++.03102,0123:z y x z y x l 平面024:=+-z y x π，则直线l 与平面π的位置关系为（B ）A. 平行于平面π C. 在平面π上B. 垂直于平面π D. 与平面π斜交.【解】在直线l 上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-0,71,7100M .直线l 的方向向量为k j i j i n n s 71428123121-+-=-=⨯=∥{}1,2,4-. 平面的法向量为{}1,2,4-=n .因为s ∥n ，所以直线l 与平面π垂直.4.设c b a u 2+-=，c b a v ---=3，试用c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()c b a 22+-=()c b a ----33c b a 775++=.5.设点C 为线段AB 上一点，且AC CB 2=，O 为AB 外一点，记OA a =，OB b =，OC c =，试用b a ,来表示c .【解】由题意知，a b OA OB AB -=-=，a b AB AC 313131-==. 所以，a b a a b OA AC AO AC c 32313131+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=.6.已知k j i a +-=32，k j i b 3+-=，j i c 2-=.计算： （1）()()b c a c b a ..-； （2）()()c b b a +⨯+. 【解】（1）()()8311312.=⨯+-⨯-+⨯=b a ； ()()8302312.=⨯+-⨯-+⨯=c a .所以，()()()()k j k j b c b c b c a c b a 24838888..--=--=-=-=-.（2）k j i j ib a +--=--=⨯581132；k j i j ic a -+=--=⨯22132；k j i j ic b -+=--=⨯362111. 所以，()()c b b b c a b a c b b a ⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+()k j i +--=58 ()k j i -++2 ()k j i -++36 k j --=. 【或者这样做：k j i b a 443+-=+，k j i c b 332+-=+. 所以()()c b b a +⨯+.3243k j j i--=--=】 7.已知{}2,1,2=a ，{}10,1,4-=b ，a b c λ-=，且a ⊥c ，求实数λ. 【解】{}λλλλ210,1,24----=-=a b c .因为a ⊥c ，所以 ()()()λλλ210211242.0-⨯+--⨯+-⨯==c a ，即 0927=-λ .解之得 .3=λ8.设{}1,2,3-=a ，{}2,1,1-=b ，求：（1）()()b a 72⨯；（2）i a ⨯. 【解】（1） k j i j i b a 5731123--=-=⨯{}5,7,3--=. 所以，()()b a 72⨯()b a ⨯=14{}{}70,98,425,7,314--=--=.（2）{}2,1,020001123--=--=-=⨯k j i kji i a .9.3=1=，6π=，计算：（1）b a +与b a -之间的夹角；（2）以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积.【解】232313,.cos .=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧b a b a . ①（1+()71232322=+⨯+===；-()11232322=+⨯-===； ()()().213 (2)2=-=-=-+b b a a b a b a设b a +与b a -之间的夹角为θ，则有()(72172cos =⨯==θ，所以72arccos =θ.（2+()1314234322=⨯+⨯+===；-()319236322=⨯+⨯-===； ()()().2916233.6..3.222-=⨯--=--=-+b b b a a a b a b a设b a 2+与b a 3-之间的夹角为θ，则有()(39293132932cos -=⨯-==b a b a θ，故 2613539291cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=θθ. 所以由三角形的面积公式知，以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积为.32526135313sin 2=⨯⨯=⎥⎦⎤⨯-+=θS10.已知点()0,0,1A 及()1,2,0B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. 【解】过点()0,0,1A 及()1,2,0B 直线l 的方向即为{}1,2,1-==AB s .l 的方程为 1211:zy x l ==--. 设点()z C ,0,0，则{}2,1,22101---=--=⨯z z ji s AC . 点C 距l 的距离为()()()6212222-+-+-==z z d 65245152+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z明显地，当51=z 时，d 取到最小值55254=. 所以，ABC ∆的面积最小值为 53055262155221=⨯⨯==∆S ABC . 所求点.51,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C11.求过点()2,1,3--且与平面01235=-+-z y x 平行的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量与已知平面相同，即为{}3,5,1-=n . 所以，所求平面方程为()()()0231.53.1=+++--z y x ，即 .0235=-+-z y x12.求过点()1,2,1且垂直于平面0=+y x 和05=+z y 的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量为k j i j in n n 5501121+-==⨯=. 所以，所求平面方程为()()()0152.11.1=-+---z y x ，即 .045=-+-z y x 13.求满足下列条件的平面方程.（1）过点()2,1,1--M 和()1,1,3N 且垂直于平面0532:=-+-z y x π； （2）过点()3,3,2-M 且平行于xoy 面. 【解】（1）可取所求平面的法向量为k j i j is MN n 63122122--=-=⨯=∥{}2,1,4--. 所以，所求平面方程为()()()02.21.11.4=+-+--z y x ，即 .0924=---z y x（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 .0=+D Cz将点()3,3,2-M 的坐标代入平面方程得.03=+D C 即 ()03≠-=C C D . 所以，所求平面为.03=-C Cz 化简得.03=-z14.求过点()3,0,2-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.01253,0742:z y x z y x l 垂直的平面方程.【解】直线l 的方向为k j i j in n s 111416532121++-=-=⨯=. 所以，所求平面方程为()()()03.110142.16=++-+--z y x ，即.065111416=+++-z y x15.求过点()1,3,20-M 和直线⎩⎨⎧=+-=--.062,0165:z y y x l 的平面方程. 【解】化直线l 的为参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=.62,,165:y z y y y x l .因此直线l 过点()6,0,161M .可取所求平面的法向量为{}1,3,131531410--=--==⨯=k j i j is M M n . 所以，所求平面方程为 ()()()01.13.32.1=--+--z y x ，即.0103=---z y x 【书后答案有误】.16.求过点()1,1,1M 且与直线42135:-=+=-z y x l 平行的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}4,2,3-=s .所以，所求直线为412131--=-=-z y x . 17.求过点()4,2,00M 且与两平面12:1=+z x π和23:2=-z y π都平行的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}1,3,232100121-=++-==⨯=k j i j in n s . 所以，所求直线为143220-=-=--z y x . 18.求下列旋转曲面方程.（1）⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周； （2）⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周.【解】（1）由公式，知⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周生成曲面 ()y z x 2222=+±，即 222z x y += ，为椭圆抛物面.（2）由公式，知⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周生成曲面 ()142222=++±z y x ，即 14222=++z y x ，为椭球面. 19.指出下列各方程所表示的是何种曲面.（1）11694222=++z y x ； （2）94322y x z +=； （3）64416222=-+z y x ； （4）3694222-=+-z y x .【解】（1）表示椭球面； （2）表示椭圆抛物面；（3）可化为164164222=-+z y x ，故（3）表示单叶双曲面； （4）可化为14369222-=-+z y x ，故（4）表示双叶双曲面. 20.求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=Γ.,1,1:2t z t t y t t x ① 对应于1=t 处的切线方程. 【解】将1=t 代入① ，得切点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2,21. 又切向量为()|12,1,1=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t s ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==2,1,412,1,11|122t t t t ∥{}8,4,1-.所以，曲线Γ对应于1=t 处的切线方程为8142121-=--=-z y x .。
1-向量的模 方向角 投影
1 2 1 6 , , 2 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
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3. 向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定一条u轴, 任给向量a,
作OM=a,
过点M 作u轴垂直的平面交u轴于点M'
φ O e
M
设OM'=λe,
向量的模、方向角、投影
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1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有
r OM
R
z
M Q y
ON OP OQ NM OR
O
由勾股定理得
r OM
P
x2 y 2 z 2
x
N
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
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x x2 y2 z 2 y x y z z
2 2 2
z
O
r
x
y
x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
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例. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
9
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
思考: 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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向量及其代数运算
离的点 .
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
提示:
(1) 设动点为
利用
得
(2) 设动点为
利用
得
且
五、向量的模、方向角、投影
设P点坐标为
所求点为
五、向量的模、方向角、投影
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
⑴空间两向量的夹角的概念:
2、方向角与方向余弦
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
五、向量的模、方向角、投影
非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.
⑵方向角
显然有
⑶方向余弦
由图分析可知
方向余弦通常用来表示向量的方向.
模长为1的向量.
模长为0 的向量.
| |
⑶向量的模：
向量的大小.
或
或
或
1、概念
⑷单位向量：
⑸零向量
⑹自由向量：
不考虑起点位置的向量.
⑺相等向量：
大小相等且方向相同的向量.
⑻负向量：
大小相等但方向相反的向量.
⑼向径：
空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.
一、向量的概念
两非零向量的关系 相等： 平行或共线： 垂直： 共面： 向量的夹角
二、向量的线性运算
两个向量的平行关系 【证】 充分性显然； 下面证明必要性 两式相减，得
【注】此定理是建立数轴的理论依据.
三、空间直角坐标系
横轴
纵轴
竖轴
定点
空间直角坐标系Oxyz坐标系 或[O;i,j,k]坐标系
向量代数
CB × CA = a ⋅ b ⋅ sin C
2012年2月28日星期二 18
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七*、向量的混合积
（The Mixed Product of Vectors）
1．向量的混合积的定义（P16）
已知三个向量 a 、 b 、 c ，向量 a × b 与向量 c 的 记为 [abc ] ． 数量积 (a × b) ⋅ c 称为这三个向量的混合积，
= a x bx ( i × i ) + a x b y ( i × j ) + a x bz ( i × k ) + a y bx ( j × i ) + a y b y ( j × j ) + a y b z ( j × k ) + a z bx ( k × i ) + a z b y ( k × j ) + a z bz ( k × k ) = ( a y bz − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y bx ) k
b
性质 2
a ⋅a = a ；
2
θ
a
性质 3 两个向量 a 与 b 垂直的充 要条件是 a ⋅ b = 0 ．
a ≠ 0, b ≠ 0 则 a ⋅b = 0
( a , b) =
π
2
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2012年2月28日星期二
3
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3．数量积的坐标表示式和运算规律
数量积的坐标表示式
设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , 则
平面向量的方向角和方向余弦
平面向量的方向角和方向余弦平面向量是在平面上具有大小和方向的矢量。
在解决许多物理和数学问题时，了解平面向量的方向角和方向余弦是非常重要的。
本文将介绍平面向量的方向角和方向余弦的概念、计算方法以及其应用。
一、平面向量的方向角和方向余弦的概念平面向量的方向角是指与某一固定方向之间的夹角，以及相对于坐标轴的夹角。
方向余弦是指平面向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
方向角和方向余弦可以帮助我们准确地描述向量在平面上的朝向。
二、计算平面向量的方向角和方向余弦的方法1. 方向角的计算：要计算平面向量的方向角，可以使用以下公式：θ = arctan(y/x) (1)其中，(x,y)为平面向量的坐标。
2. 方向余弦的计算：设平面向量为A = (a,b)，则相对于x轴和y轴的方向余弦分别为：cosα = a/│A│ (2)cosβ = b/│A│ (3)其中，α和β为平面向量相对于x轴和y轴的方向余弦。
三、平面向量方向角和方向余弦的应用平面向量的方向角和方向余弦在很多实际问题中具有重要的应用价值，下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 坐标变换：平面向量的方向角和方向余弦可以帮助我们在不同坐标系之间进行转换。
通过计算不同坐标系下的方向角和方向余弦，可以将一个向量在不同的坐标系中进行准确描述和比较。
2. 向量的投影：通过计算平面向量的方向角和方向余弦，可以方便地确定向量在特定方向上的分量。
这对于解决许多问题非常有用，如力的分解和合成、平面上的运动等。
3. 三角形的面积计算：当我们知道三角形的两边和它们夹角的余弦值时，可以利用平面向量的方向余弦计算三角形的面积。
这是解决几何问题时常用的方法之一。
4. 向量夹角的计算：平面向量的方向角和方向余弦也可以用于计算向量之间的夹角。
通过计算两个向量的方向余弦，可以求解向量夹角的余弦值。
这对于解决两个向量之间的关系、求解向量的夹角等问题非常有帮助。
在物理学和工程学等领域，平面向量的方向角和方向余弦是一些基本概念。
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用向量是几何中非常重要的工具，在解决几何问题和描述几何现象时起到了至关重要的作用。
本文将介绍几个向量在几何中的常见应用。
1. 向量作为几何图形的表示向量可以用来表示几何图形，通过向量的起点和终点来描述图形的位置和方向。
例如，我们可以用一个向量来表示线段的方向和长度，或者用两个向量来表示一个平面的位置和方向。
2. 向量的加法与减法向量的加法与减法在几何中经常用到。
通过向量的加法和减法，我们可以确定线段之间的关系，比如两个线段的和是否等于一条折线的长度，或者两个线段的差是否等于另一条线段的长度。
3. 向量的点乘与叉乘向量的点乘与叉乘是几何中常见的运算。
点乘可以用来计算两个向量之间的夹角和判断两个向量是否垂直。
叉乘可以用来计算两个向量所在平面的法向量和计算平面的面积。
4. 向量的投影向量的投影在几何中有着广泛的应用。
通过向量的投影，我们可以将一个向量分解为与某个方向垂直和平行的两个分量，从而方便地进行计算和分析。
向量的投影可以用来求解直线与平面的交点、求解线段与平面的距离等问题。
5. 向量的方向余弦向量的方向余弦可以用来表示向量与坐标轴之间的夹角，从而方便地描述向量的方向。
通过向量的方向余弦，我们可以计算向量在各个坐标轴上的分量，进而进行向量的分解和计算。
6. 向量的线性相关和线性无关向量的线性相关和线性无关性质在几何中具有重要意义。
通过判断向量的线性相关性，我们可以确定几何图形的各个向量是否关联，进而进行逻辑推理和问题解决。
通过以上几个方面的讨论，我们可以看到向量在几何中的应用是多样且广泛的。
向量的概念和运算可以帮助我们更好地理解和分析几何图形，在解决几何问题和探索几何现象时提供了便捷而有效的工具。
因此，掌握向量的相关知识和运用技巧对于学习和应用几何学都具有重要意义。
总之，向量在几何中扮演着重要的角色，其应用不仅仅局限于上述几个方面，实际上在几何学的各个领域都有其具体的应用。
通过深入学习和应用向量的相关知识，我们可以更好地理解几何学的本质和应用，提升解决几何问题的能力。
向量的模、方向角与方向余弦
P1 Pi
——3 =+1 —2 -
n z = 4, z = 2,
2
P2的坐标为（2,72,4）, （2,很,2）.
例 3 设碗=3i + 5 j + 8k , n — 2i 一 4 j 一 7k , p — 5i + j 一 4k , 求向量a = 4m + 3n - p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解 ・.・ a = 4m + 3n — p
e a
a —I—a I=(cos a, cos p, cos y).
五•典型例题
例1求平行于向量a = 61 + 7 j - 6k的单位向量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与a同向，一个反向
| a |= J62 + 72 + (-6)2 = 11,
—a6- 7- 6-
・.・％= 一 = — i + — j k,
z
由图分析可知
A
M
2
Q
丿
=1
a
I cos
a
向 量
ay =| a 1 cos P 的
o
az =| a | cos/ 方
方向余弦通常用来表示向量的方向. 向
余
MM I = ^l\Mp\2+MiQl2 + MiR2
弦
| a I=^ax2 + ay2 + a2向量模长的坐标表示式
三、向量方向余弦的坐标表示式
3 2^4
2
1
•/cos a + cos P + cos y = 1, .二cosy = ±-.
冗2 = Y= 冗
设p的坐标为(x, y, z),
5.3 向量的投影、方向角与方向余弦
ax cos a a
ax a a a
2 x 2 y 2 z
,
cos b
ay a
ay a a a
2 x 2 y 2 z
,
az az cos , 2 2 2 a a x a y az
cos a cos b cos 1
2 2 2
例5-4
设向量a的两个方向角为
第3节 向量的投影、方 向角与方向余弦
一、向量的投影 二、方向角与方向余弦
一、 向量的投影
规定向量 a , b 的正方向之间不超过 180º的
夹角.设 a , b 的夹角为 , 则a cos称为向量 a在向量b上的投影,记为ab,即有
ab a cos
如下图5-8所示.类似地 ba b cos
a a
(a)
(b)
ab
b 图5-8
ab
b
二、方向角与方向余弦
那么它的终点 a 的起点放在坐标原点， 坐标A 的坐标就是(ax , ay , az). 由两点间距 离公式可知
R
2 2 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ OA a x a2 a y z .
z
A
O
P x
b a
Q y
非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 a 、b 、 (其中0 ≤a ≤ , 0 ≤ b ≤ , 0 ≤ ≤ )，称为向量 a 的方向角; 这三个角的余弦 cos a、cos b、cos 称为向量a 的方向余弦.所以
a 60 , b 30 , 求 .
解
2
由cos a cos b cos 1,
2 2 2
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
34
35
36
7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
37
38
39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学：向量及其线性运算
⾼等数学：向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓、投影两个向量的夹⾓：即间任意取值．规定它们的夹⾓可在0与?之OBAj向量的⽅向⾓：?、?、?(0??对于⾮零向量?我们可以⽤它与三条坐标轴的夹⾓向量的⽅向余弦：因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以ax?||cos?；ay?||cosb；az?||cosg；上述cos?、cos?、cos?叫做向量的⽅向余弦．向量的模的坐标表⽰：向量的⽅向余弦的坐标表⽰：当?0时，可得⽅向余弦的平⽅和：单位向量的表⽰：?{cos?，cos?，cos?}．向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A?和B?.称有向线段A?B?为定义的投影向量或射影向量.向量AB在轴u上B''BA''uA机动⽬录上页下页返回结束称向量AB在轴u上的投影，记作向量的投影性质.定理(投影定理)设向量AB与轴u的夹⾓为?则PrjuAB=|AB|·cos?B?BA?Au?B1??机动⽬录上页下页返回结束解致的单位向量．过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．⼀、向量的概念及线性运算⼆、空间直⾓坐标系三、利⽤坐标作向量的线性运算§6．1向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓及投影1、向量的概念：既有⼤⼩，⼜有⽅向的量叫做向量．在数学上，⽤⼀条有⽅向的线段(称为有向线段)来表⽰向量．有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．例如⼒、⼒矩、位移、速度、加速度等都是向量．⼀、向量的概念及线性运算以M1为起点、M2为终点的有向线段所表⽰的向量，记作．向量的符号：向量可⽤粗体字母表⽰，也可⽤上加箭头书写体字母表⽰，例如，b，i，j，k，F，M1M2由于⼀切向量的共性是它们都有⼤⼩和⽅向，所以在数学上我们只研究与起点⽆关的向量，并称这种向量为⾃由向量，简称向量．⾃由向量：因此，如果向量a和b的⼤⼩相等，且⽅向相同，则说向量a和b是相等的，记为a?b．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的⽅向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的⼤⼩叫做向量的模．向量的平⾏：零向量认为是与任何向量都平⾏．两个⾮零向量如果它们的⽅向相同或相反，就称这两个向量平⾏．向量a与b平⾏，记作a//b．2、向量的线性运算向量的加法：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，bacaABbCbbaa注意求和过程：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，cab向量的加减法向量的加法：这种作出两向量之和的⽅法叫三⾓形法则．平⾏四边形法则：AD 为边作⼀平⾏四边形ABCD，以AB、C连接对⾓线AC，当向量a与b不平⾏时，作?a，?b，那么向量等于向量a与b的和a?b．bacaABbD负向量：向量的减法：设a为⼀向量，与a的模相同⽽⽅向相反的向量叫做a的负向量，记为?a．我们规定两个向量b与a 的差为b?a?b?(?a)．即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差b?a．a-ab-abb?ab?aa三⾓不等式：由三⾓形两边之和⼤于第三边的原理，有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|，其中等号在b与a同向或反向时成⽴．a+babaa?bb向量与数的乘法向量a与实数?的乘积记作?a，规定?a是⼀个向量，它的模|?a|?|?||a|，它的⽅向当?>0时与a相同，当??0时，|?a|?0，即?a为零向量，当?<0时与a相反．向量平⾏的充分必要条件：定理1设向量a?0，那么，向量b平⾏于a的充分必要条件是：存在唯⼀的实数?，使b??a．向量的单位化：设a?0，则向量是与a同⽅向的单位向量，记为．于是a?|a|．解由于平⾏四边形的对⾓线互相平分，所以baABCDM形对⾓线的交点．⼆、空间直⾓坐标系O过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x1y1z1拇指⽅向四指转向右⼿规则三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：OzyxOzyx三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：Ozyx第⼀卦限卦限：三个坐标⾯把空间分成⼋个部分，每⼀部分叫做卦限．Ozyx第⼆卦限卦限：第三卦限Ozyx卦限：Ozyx第四卦限卦限：Ozyx第五卦限卦限：Ozyx第六卦限卦限：Ozyx第七卦限卦限：Ozyx第⼋卦限卦限：点的坐标：设M为空间⼀已知点．过点M作三个平⾯分别垂直于x轴、y轴和z轴，三个平⾯在x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、z的点M记为M(x，y，z)．OxyzPRxzyMQM1M2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)kzxyM1M2o机动⽬录上页下页返回结束设M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)为空间两点．??ax?ay?az上式称为向量按基本单位向量的分解式．=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)k向量在三个坐标轴上的投影ax、ay、az叫做向量的坐标，并记?{ax、ay、az}，此式叫做向量的坐标表⽰式．注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数ax，ay，az，⽽向量在坐标轴上的分向量是三个向量d=|M1M2|=向径：以原点O为起点，向⼀个点M引向量，OxyzMr这个向量叫做点M对于点O的向径，三、利⽤坐标作向量的线性运算：则?{ax?bx，ay?by，az?bz}．?{ax-bx，ay-by，az-bz}．?{?ax，?ay，?az}．，利⽤向量的坐标判断两个向量的平⾏：则即于是过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．。
方向向量和方向余弦的关系
方向向量和方向余弦的关系
方向向量和方向余弦之间存在密切关系。
方向向量（也称法向量）是垂直于平面的直线所指向的向量，它可以表示空间中某一点的方向信息。
方向余弦则是一个与方向向量相关的概念，它表示一个向量相对于某个坐标轴的投影比，可以用来计算该向量的长度以及它与坐标轴之间的夹角。
具体来说，方向向量的每个分量与对应的方向余弦成正比。
具体关系为：u = (cos α, cos β, cos γ) ×m，其中m为方向余弦与方向向量的比例因子。
当方向向量的模长为1时，方向向量的分量就是该向量相对于坐标轴的方向余弦。
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例 7 设 点位A 于 第 I卦 限 ， 其 向 径 的 模 AB ＝6，
且
向
径
OA与 x轴
、
y轴 的
夹角
依
次为
?
3
和，?
4
求 点的A 坐 标 。
解 ? = ? ， ? = ? ,由关系式 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
3
4
得 cos 2 ?＝1 ? ( 1 )2 ? ( 2 ) 2 ? 1 ,
O A'＝ λe , λ为向量OA在u轴上 的投影
? 向量投影的性质
(a)u=|a|cos? , (Prjua=|a|cos ? );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
2
2
4
由点 A在第一卦限，知 cos ?＝ 1 .
2
于是
OA
＝（6
1 2
，2 2
，1 2
）＝（
3， 3
2， 3），
也就是点 A的坐标。
例8 设立方体的一条对角线为OM， 一条棱为OA，且 OA ? a,
求 OA在 OM方 向 上 的 投 影 Prj OA OM
解
记? MOA=? ,则
cos? ? OA ? 1 OM 3
AB ?? 1 1? 2 ? 42?
cos? ? ? 1 , cos ? ? 1 , cos ? ? ? 2
2
2
2
? ? 2 ??, ? 1 ??, ? 3 ? .
3
3
4
五 向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
?A
过点 A 作轴u 的垂直
A?
u 平面，交点A?即为点
A 在轴u 上的投影.
OA‘为OA在轴u上的分向量
o
y
x
弦余向方的量向
z
由图分析可知
RHale Waihona Puke ?M1? ?P
o
?
? M2
Q
y
ax ay az
?| ?| ?|
aaa???||| cccooosss???
x 方向余弦通常用来表示向量的方向 .
M 1 M 2 ? M 1P 2 ? M 1Q 2 ? M 1 R 2
? | a |?
ax 2 ? ay 2 ? az 2 向量模长的坐标表示式
第七章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的方向余弦及投影
四、方向角和方向余弦 五、向量在轴上的投影
四、向量的模与方向余弦的坐标表示式
空间两向量的夹角的概念：
?
?? ??
b
a ?? 0, b ?? 0,
??
向量a 与向量b 的夹角
a
?
?
?? (a,b) ?
?? (b,a)
(0 ? ? ? ? )
则Prj OA＝ OA cos?＝ a .
OM
3
四、小结
向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 .
（注意分向量与向量的坐标的 区别）
向量的模与方向余弦的坐标表示式 .
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0 ? a ? ( ax , ax , ay )
|a| |a| |a| |a|
? ? ? ? {cos , cos , cos }.
例1 已知两点A（2,2, 2）,B(1,3,0),求向量 AB 的模，方向余弦和方向角。
解：
AB ? OB ? OA ? (1,3, 0) ? (2, 2, 2) ? (? 1,1, ? 2)
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax 2 ? a y2 ? az 2 ? 0 时，
cos ? ? cos? ?
ax
,
ax2 ? ay2 ? az2
ay
,
ax2 ? ay2 ? az2
cos ? ?
az
.
ax2 ? ay2 ? az2
方向余弦的特征
? ? ? cos2 ? cos2 ? cos2 ? 1
类似地，可定义 向量与一轴 或空间两轴 的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在 0与 ? 之间任意取值 .
? 非零向量 a 的方向角：? 、? 、?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .
z
0? ? ? ?,
?
? M2
M1? ? ?
0? ? ? ?, 0? ? ? ?.