拉氏变换的基本性质.

f (at)
df (t) dt
1 F s a a
SF(s) f (0 )
积分 初值定理
t
f ( )d
F(s) f '(0 )
s
s
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (t) f () lim SF(s)
定理
t
s0
f1(t)* f2 (t)
§ 4.3 拉氏变换的基本性质
• 主要内容
•线性（叠加） •原函数的微分与积分 •延时、 S域平移 •尺度变换 •初值、终值、卷积定理
• 重点：拉氏变换的基本性质 • 难点：基本性质公式的推导
一、线性（叠加）
若 f1(t) F1(s) f2(t) F2(s)
则
C1 f1 (t) C2 f2 (t) C1F1 (s) C2F2 (s) 其中：C1,C2为任意常
0
f (t
t0 )u(t
t0 )est
dt
t0
f
(t
t0
)e st
d
t
令 t t0，则有t t0 ,d t d , 代入上式
L
f (t t0 )u(t t0 )
f ( )est0 es d
0
F (s)est0
五、S域平移
若f(t) F(s)，则 f(t)es0t F(s s0 )
则 证明：
L
L f1(t)
f1(t) f2(t
f2
)
(t
)
1
2
F1 ( s)F2 ( j F1(s)
s) F2
(
s)
L
f1 t
f2t
0
0
f1
u
f 2 t
ut
d e st
d
t
交换积分次序
L f1t
f2t
0
f1
0
f2 t
ut
e st
d t d
令x t , t x ,积分区间： 同 － 0
数
例：
f (t) cos(0t)
1
e e j0t
j0t
F s f (t)es tdt
2
0
e-at 1
sa
F(s)
1 2
s
1 j0
s
1 j0
s2
s 02
f(t)=sin(ot
)
1 2j
e e j0t
j0t
F(s)
1 2j
s
1 j0
s
1 j0
s2
0 02
二．原函数微分
dt
snF(s)
n1
s n r 1
r0
f
(r)(0 )
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设
LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
0 )2
02
六．尺度变换
若L f (t) F(s), 则
证明：
令 at，则
L f (at) 1 F s a 0
a a
L f (at) f (at)est d t 0
L
f (at)
s
f ( )e a
d
1
0
a a
0
s
f ( )e a
d
1 F s a a
证明：
根据初值定理证明时得到的公式
sF (s)
f 0
d
f
(t
) e
st
dt
0 d t
lim sF (s)
s0
f
0
lim s0
d f (t )est d t 0 d t
f
0
lim
t
f (t)
f
0
lim
t
f (t)
九．卷积
若L f1(t) F1(s)，L f2(t) F2(s)，f1(t), f2(t)为有始信号，
时移和标度变换都有时:
若L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
s
e
s
b a
a 0,b 0
a a
七．初值
若f (t)及 d f (t) 可以进行拉氏变换，且f (t) F (s),则 dt
lim
t0
f (t)
f
(0
)
lim
s
sF
(
s
)
若Fs不是真分式, 应化为真分式：
F1(s) F(s) k
f
证明： [ f(t)es0t ]estdt f(t)e(ss0 )t dt
0
0
F(s s0 )
例 求et cos(0t)的拉氏变换。
s
解： cos(0t) s2 02
et
cos0t
s
s
2
2 0
对于et sin( 0t),同样
sin(
0t
)
s2
0 02
et
sin(
0t)
(s
L f1t f2t
0
f1
e s
0
f2
x
e
sx
d
x
d
F1(s)F2(s)
小结：拉氏变换的基本性质
n
线性
ki fi (t)
i1
n
ki.LT[ f (t)]
i 1
时移
f (t t0 )u(t t0 ) est0 F (s)
频移
f (t)eat
F(s a)
尺度变换 微分
I L s Ls LiL 0
VL s
电感元件的s模型
三．原函数的积分
若L f (t) F(s)，则
L
t
f
(
)
d
F(s) s
f 1(0 ) s
证明：
t
f
d
0
f
d
t
0
f
d
① f 10 f 10
①
②
s
②
t
0 0
f
d
e
st
d
t
e st s
t 0
f
d
0
1 s
t f t est d t
若L f
(t)
F
( s), 则L
d
f d
(t t
)
sF (s)
f
(0 )
证明：
0
f t est d t
f t est
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
sf
t
e
st
d
t
推广：
f 0 sF (s)
L
d
f 2(t)
dt
sF s
f
0
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f n(t)
(0
)
lim
s
sF
(
s)
k
limsF
s
(
s)
ks
lim
t 0
f (t)
Fs中有常数项，说明f t中有 t项。
八．终值
设f (t), d f (t) 的拉氏变换存在，若L f (t) F(s)，则
dt
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
终值存在的条件:
sF s在右半平面和 j 轴 (原点除外)上无极点.
0
1 t f t est d t F s
s0
s
电容元件的s域模型
iC t C vC t
1 vC (t) C
t
ic ( )d
设LiC (t) IC (s), LvC (t) VC (s)
VC
(s)
1 C
IC (s) s
iC (1) (0 s
)
1 sC
IC (s)
1 s
vC (0 )
1
IC s sC
1 s
vC
0
VC s
1
C
iC (1) (0
)
1 C
0
iC
(
)
d
vC (0 )
电容元件的s模型
四．延时（时域平移）
若L f (t) F(s)，则
证明：
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
L
f (t t0 )u(t t0 )