第7章1 静力平衡

W c W0
A a b
B x
解：1.选起重机整体为研究对， 进行受力分析，作受力图如图所 示。这是平面平行力系，有两个 独立的平衡方程，可以计算两个 约束力
c W W1 A a FA B b FB x
W0
M A 0,
FBb W1a Wc W0 ( x b) 0 W0 ( x b) W1a Wc FB b
F a z a F y F3 F2 y1 F6 x F1 F4 F5
解：以水平板为研究对象，作受力图。这是空间任意 力系，有六个独立的平衡方程。适当地选择平衡方程， 以提高计算效率。
b
注意到除F4外，各力皆与z轴平行或相交，所以选择
M z 0,
F4 y a 0
F4 0
又注意到除F5外，各力皆与x轴垂直，所以选择
7.1.1 平衡条件
把作用在物体上的所有主动力与约束力作为一 个力系，如果物体在这个力系的作用下处于静 力平衡状态，则称该力系为静力平衡力系，简 称平衡力系。
空间任意力系为平衡力系的充分必要条件是该
力系的主矢和对任一点O的主矩均为零，即
FR 0
且
MO 0
空间任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0 M x 0 M y 0
M z 0
一个受空间任意力系作用的刚体 有且只有六个独立的平衡方程。 这是空间任意力系平衡方程的基
本形式，还可以等价转变为由二个
力投影方程与四个力矩投影方程组
成的四矩式，或由一个力投影方程
与五个力矩投影方程组成的五矩式， 甚至全部是力矩方程的六矩式。
例7-1 传动轴AB上，斜齿轮C节圆半径r=60mm，压力 角a=20°，螺旋角b=15°；带轮D半径R=100mm，胶 带紧边水平，松边与水平成角q=30°，胶带拉力 T1=2T2=1300N；又a=b=100mm，c=150mm。轴匀速转 动，不计轮与轴的重量，求斜齿轮所受的圆周力与轴 承A、B的约束力。
Fx 0 Fy 0
6.平面平行力系的平衡方程 设各力的力线均在Oxy面，且各力均与x轴平行，
则各力皆与y轴垂直，所以方程 Fy 0 自动满足。
因此平面平行力系的平衡方程为
等价的二矩式为
Fx 0 M O 0
M A 0 M B 0
z
FAz 305N
T1 T2
q
FAx、FBy、FBz为负值， 表明力FAx、FBy、FBz 的方向与图示方向相 反。
Pr Pa C r a
ab
FAz A F Ax x
P
FBz B F By D
y R
F Bx c b
例7-2 图示六根杆支撑一个正方形水平板，在板的 一角作用铅直力F。设板与杆的自重不计，求各 杆所受的力。
F
FBx 2175N
x
0,
0,
FAx FBx P T1 T2 cosq 0,
Pr a Pa r FBz (a c) T2 sin q (a c b) 0,
M
FAx 1395N
x
FBz 222N FAz Pr FBz T2 sinq 0, Fz 0,
矩心位置的限制条件是：A、B的 连线不能与各力平行。
7.平面力偶系的平衡方程 设各力偶的作用面均在Oxy面，即各力偶矩矢皆与Oxy 面垂直，因此主矩矢只有一个z轴的分量，所以平衡方 程只有一个，为
M 0
对于以上各种特殊力系，不但要掌握它们的独立 平衡方程的形式，而且要掌握独立平衡方程的数目。
x
F2 F1 O
Fn y
4.空间力偶系的平衡方程 力偶系的主矢为零，所以三个 力的投影方程自动满足。空间力偶 系的平衡方程为
M x 0 M y 0
M z 0
5.平面汇交力系的平衡方程 设各力的力线均在Oxy面，取力线的汇交点为坐标系 的原点，在平面任意力系的平衡方程中去除自动满足 的方程 M O 0，得到平面汇交力系的平衡方程为
Fx 0,
F5 x 0
F5 0
z F y F3 F2 y1 F6 x F1 F4 F5
在y轴方向有分力的只有F4、 F5、F6三个力，而其中二个 力已经求出，所以选择
Fy 0,
F6 0
F4 y F5 y F6 y 0
再取过F1与F3作用点的y1轴为矩轴，有
FAb
FBC
FT1
x
例7-5 建筑工地上的移动起重机如图所示，两轨道的 间距b=3m，不包含平衡重物的机身自重为 W=500kN，重心离左轨道A的距离c=1.5m。起重机 的最大起重量W1=250kN，吊臂前端距左轨道A的距 离为a=10m。欲使起重机 在满载与空载时均不倾倒，
求平衡重块的最小重量W0 以及平衡重块到右轨道B 的最大距离x。
Fy 0,
z FAz A F Ax x
FBy Pa 0,
Pr Pa C r a F Bx c b
ab
FBy 290N
T1
P
FBz B F By D
T2
q
y R
M
z
0,
Pa FBx (a c) (T1 T2 cosq )(a c b) 0
y q A 2a M B C P 4a F Ay A F Ax q M FB B 2a C P 4a x
解：选梁AB为研究对象。进行受力分析，作出受力 图如图。这是平面任意力系，有三个独立的平衡方 程，可解支座A、B的三个未知力。选用平衡方程 0, F 0 F为
x Ax
M A 0,
空载时W1=0，起重机不倾倒的条件是 FA 0
W (c b) W0 x FA 0 b
3250 2250 3 W0 W0
W (c b) 2250 x W0 W0
W0 333.3kN
2250 x 6.75m W0
z FAz A F Ax x a Pa C r F Bx c b T1 Pr
ab
P
FBz B F By D
T2
q
y R
解：
（1）研究对象:取传动轴及其上安装的斜齿轮和带轮 整体为研究对象。建立坐标系Axyz。
（2）受力分析：进行受力分析，作受力图。 （3）建立方程：这是空间任意力系，有六个独立的 平衡方程，未知量为五个约束力与一个斜齿轮圆周力， 可解。适当地选择平衡方程计算：
FAB FT2
60
Fx 0,
FBC
FBC FT 1 cos 30 FT 2 cos 60 0 1 3 G 27.3kN 2
FAB FT 1 sin 30 FT 2 sin 60 0 1 3 G 0.73kN 2
B
Fy 0,
对于具体问题，方程的形式可以因需要而变化，但独
立平衡方程的数目不可改变；而且独立平衡方程的数 目还是判断平衡问题是否可解的重要依据。
例7-3 图示水平简支梁AB，A端为固定铰支座，B端 为滚动支座。梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点 C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段 上受力偶作用，力偶矩M=Pa。求A和B处的支座约 束力。
FB 4a M P 2a q 2a a 0,
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0,
FAx
Байду номын сангаас
FAy q 2a P FB 0, P 3 qa 4 2
F Ay A F Ax q M FB B 2a C P 4a x
例7-4 图示起重装置中，已知物体重G=20kN，不计杆、 绳和滑轮B的重量及滑轮B的尺寸，求平衡时AB和 BC杆的受力。
第7章
7.1 静力平衡方程
平衡方程方法
物体相对惯性系的静止或匀速直线平移状态称为
静力平衡状态，简称平衡状态。
此时，所有的加速度都等于零，没有非惯性系惯
性力，也没有达朗贝尔惯性力，只要研究主动力 与约束力的关系。这种关系用静力平衡方程计算。 刚化原理：变形体在力系作用下发生变形并已处 于平衡时，若将它刚体化，则其平衡状态不变。
A
y
D B 60
FAB B
FT2
60 30
FBC
FT1
C
G
解：选滑轮B为研究对象，进行受力分析，设AB和BC 杆均受拉力。因不计滑轮的尺寸，作用于其上的力可 视为作用在B点的平面汇交力系，作受力图。
x
FT 1 FT 2 G
由滑轮的平衡知，滑轮两边绳的张力大小相等， 即 FT 1 FT 2 G 。因此，该平面汇交力系只有两个未 知力，可用两个平衡方程求解。为计算方便，取坐标 轴的方向如图。
第四编 建立方程
在力学模型的基础上利用力学理论建立有关的方 程，这些方程也称为问题的数学模型。本篇介绍 理论力学中建立方程的主要方法。 通常把理论力学的研究内容分为静力学、运动学 与动力学三部分。 静力学研究受力分析、力系简化，物体的平衡条件。 运动学研究物体机械运动的几何性质。 动力学研究物体的机械运动与其受力之间的关系。
7.1.2 特殊力系的平衡方程
对于某种特殊力系，从这些方程中去掉那些由 于力线的特殊位置而自动满足的方程，余下的就是 该特殊力系的平衡方程。 1.平面任意力系的平衡方程
z
Fx 0 Fy 0
M O 0
x
O F1
F2
y
二矩式平衡方程为
Fx 0 M A 0 M 0 B
M y1 0,
2 2 F2 aF a0 2 2 F2 F