算法设计与分析-第七章随机算法及计算复杂性

7.3 随机数发生器
产生随机数的公式：
d0 dn
d bdn1c
an dn/65536
n1,2,
产生0~65535的随机数 a1,a2, 序列，
b、c、d为正整数，称为所产生的随机序列的种子。
常数b、c，对所产生的随机序列的随机性能有很大的 关系，b通常取一素数。
7.3 随机数发生器
#define MULTIPLIER 0x015A4E35L;
7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法
一、一般概念 拉斯维加斯算法有时运行成功，有时失败，需 要反复运行同一实例，直到成功为止。
BOOL las_vegas()：解问题的某个实例的代码段。 运行成功返回true，否则返回false。
拉斯维加斯算法反复地运行下面的代码段： while(!las_vegas(P(x))) ; 直到运行成功返回为止。
7.2 随机算法的类型
3、拉斯维加斯（Las Vegas）算法：要么给 出问题的正确答案，要么得不到答案。反复求 解多次，可使失效的概率任意小。
4、蒙特卡罗（Monte Carlo）算法：总能得到 问题的答案，偶然产生不正确的答案。重复运 行，每一次都进行随机选择，可使不正确答案 的概率变得任意小。
7.2 随机算法的类型
数值概率算法 拉斯维加斯（Las Vegas）算法 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法 舍伍德（Sherwood）算法。
7.2 随机算法的类型
1、数值概率算法：用于数值问题的求解。所 得到的解几乎都是近似解，近似解的精度随着 计算时间的增加而不断地提高。
2、舍伍德（Sherwood）算法：很多具有很好 的平均运行时间的确定性算法，在最坏的情况 下性能很坏。引入随机性加以改造，可以消除 或减少一般情况和最坏情况的差别。
例：快速排序算法 当输入数据均匀分布时，运行时间是 (nlogn)。 当输入数据按递增或递减顺序排列时，算法的运行时
间变坏
7.5 舍伍德(Sherwood)算法
二、舍伍德算法的基本思想
– 消除不同输入实例对算法性能的影响，使随机算法对 规模为的每一个实例，都有：T B(x)TA(n)s(n)
7.7 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法
蒙特卡罗算法则在一般情况下可以保证对问题 的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常 无法判定一个具体解是否正确。
设p是一个实数，且1/2<Байду номын сангаас<1。如果一个蒙特 卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概 率不小于p，则称该蒙特卡罗算法是p正确的， 且称p-1/2是该算法的优势。
8.1 随机算法引言
随机算法的优点：
– 1、执行时间和空间，小于同一问题的已知最好的确定性算法； – 2、实现比较简单，容易理解。
很多确定性的算法，其性能很坏。可用随机选择的方 法来改善算法的性能。
某些方面可能不正确，对特定的输入，算法的每一次 运行不一定得到相同结果。出现这种不正确的可能性 很小，以致可以安全地不予理睬。
if (k>n/2) {x = A[i]; return TRUE;} else return FALSE; }
7.7 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法
2、如果存在主元素，以大于1/2的概率返回 true，小于1/2的概率返回false。
连续运行k次，返回的概率减少为2-k，算法错 误的概率为2-k 。
– int RepeatedElement(Type a[],int n){
while (1){ int i=random()%n+1; int j= random()%n+1; if((i!=j)&&(a[i]==a[j])) return(i); }
–}
7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法
random_seed(0); s = log(1/e);
for (t=1;t<=s;t++) {
i = random(0,n-1) ; k = 0;
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i]==A[j])
k++;
if (k>n/2) { x = A[i]; flag = TRUE; break; }
确定性的算法 ：
– 算法的每一个计算步骤都是确定的， – 对于相同的输出，每一次执行过程都会产生相同的
输出。
随机算法：非形式描述
– 随机算法为使用随机函数产生器的算法。算法中的 一些判定依赖于随机函数产生器的输出。
– 随机算法对于相同的输入，在不同的运行过程中会 得到不同的输出。
– 对于相同的输入，随机算法的执行时间也可能随不 同的运行过程而不同。
while循环则任何一次迭代中退出的概率为
p=
n 2
(n 2
1)
.当n
≥
10时，
p
≥
1/5,则不退出的
n2
概率≤ 4/5。
算法在前calogn(c为固定常数)次迭代内不退出的 概率<(4/5) calogn=n-calog(4/5),若取c ≥ 1/log(5/4),则 其值< n-a,
因此，算法在calogn次迭代以内终止的概率≥ 1n-a。每次迭代花费O(1)的时间，算法的执行时间 为O(logn)。
#define
INCREMENT 1;
static unsigned long seed;
void random_seed(unsigned long d)
{
if (d==0)
seed = time(0);
else
seed = d;
}
unsigned int random(unsigned long low,unsigned long high)
算法9.7 求数组A的主元素 输入：n个元素的数组A[] 输出：数组A的主元素
BOOL majority(Type A[],Type &x,int n) { int i,j,k;
random_seed(0); i = random(0,n-1) ; k = 0;
for (j=0;j<n;j++) if (A[i]==A[j]) k++;
7.5 舍伍德(Sherwood)算法
1. void r_quicksort(Type A[],int low,int high)
2. {
3. int k;
4. if (low<high) {
5. k = random(low,high);/* 产生low到high之间的随机数k */
6. swap(A[low],A[k]);/* 把元素A[k]交换到数组的第一个位置*/
例：识别重复元素 考虑一个有n个数字的数组a[]，其中有n/2个不
同的元素，其余元素是另一个元素的拷贝，即 数组中共有（n/2）+1个不同的元素。问题是 要识别重复的元素。 确定性算法：
至少需要（n/2）+2个时间步。
7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法
拉斯维加斯（Las Vegas）算法
}
return 4*k/(double)n;
}
7.5 舍伍德(Sherwood)算法
一、确定性算法的平均运行时间 TA(x) ：确定性算法对输入实例的运行时间。 Xn ：规模为的所有输入实例全体。
算法的平均运行时间：TA(n) TA(x)/|Xn|
存在实例 x Xn，TA(x)TA(n)x Xn。
7. k = split(A,low,high); /* 按元素A[low]把数组划分为两个 */
8. r_quicksort(A,low,k-1);
/* 排序第一个子数组 */
9. r_quicksort(A,k+1,high); /* 排序第二个子数组 */
10. }
11. }
算法的期望运行时间是 (nlogn) 。
}
return flag;
}
算法的错误概率小于所给参数e。算法的运行时间为O(nlog(1/e)) 。
7.7 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法
素数测试 一、一般方法
– 被测试的数除以2到 n 的数，余数为0，是合数， 否则是素数。
二、蒙特卡罗算法
素数测试
Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件
是(n-1)! -1(mod n)。
费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则ap-1(mod p)。
二次探测定理：如果p是一个算素法数p，ri且m0e<是x<一p个，偏则假方3程/4x正2确1(的mo蒙d p)
的解为x=1，p-1。
特卡罗算法。通过多次重复调用错
int power(int a, int p, int n)
7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法
p(x)：对输入实例成功地运行las_vegas的概 率
若存在常数δ>0，使得对的所有实例p，都有 p(x)>= δ ，则失败的概率小于1- δ 。
连续运行k次，失败的概率降低为(1- δ )k。 k充分大， (1- δ )k趋于0。
7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法
第七章 随机算法及NP完全问题
7.1 随机算法引言 7.2 随机算法的类型 7.3 随机数发生器 7.4 数值概率算法 7.5 舍伍德(Sherwood)算法 7.6 拉斯维加斯（Las Vegas）算法 7.7 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法 7.8 NP完全问题
7.1 随机算法引言
二、一般方法
每个元素和其它元素比较，并计数。如果计数值大 于n /2，该元素就是的主元素。