四、渐开线与摆线
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人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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24
归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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10
2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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22
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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23
[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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12
4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
第二讲 四渐开线与摆线
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解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ， 即 y＝3.
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
利用向量来建立摆线的参数方程． 解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时 定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A， 定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5． 已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝ 时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
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解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)， 它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝ ＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由 于 圆 的 半 径 是 6 ， 所 以 可 得 摆 线 方 程 是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ， 得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的 摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．
20-21版：四 渐开线与摆线（步步高）
(φ是参数) .
2 题型探究
PART TWO
一、圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
反思 感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练1
已知圆的渐开线方程为
x＝cos
φsin
30°＋φsin
φsin
30°，
本课结束
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φ， φ
(φ 为参数). ∴基圆半径 r＝12.
当 φ＝π 时，x＝－12，y＝π2，∴A 的直角坐标为－12，π2.
二、平摆线
例 2 已知一个圆的参数方程为x＝3cos φ， (φ 为参数)，那么此圆的摆线参数方程 y＝3sin φ
中参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
已知一个圆的摆线的参数方程是
x＝3φ－3sin
φ， (φ为参数)，则该摆线
y＝3－3cos φ
一个拱的高度是__6__；一个拱的跨度为__6_π__.
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高； 当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
3 随堂演练
PART THREE
1.圆
第二讲 参数方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 渐开线
1.圆的渐开线的定义 把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切， 外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 定圆 叫做渐开线的基圆. 2.圆的渐开线的参数方程 设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线
探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图 形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不 同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实 质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立 平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实 际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线 的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆 叫做渐开线的基圆.
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
渐开线与摆线
(x－rcosφ, y－ sin φ)= （rφ）（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
10
15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
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15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
渐开线与摆线 课件
【分析】 已知摆线过定点(2,0)，代入摆线的参数方程
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ为参数)，可求出φ，进一步求得r，这样就可
以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【解】 由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，得
cosφ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)＝2，得r＝k1π(k∈Z)．
【例1】
典例剖析 给出某渐开线的参数方程xy＝＝33csionsφφ－＋33φφcsoinsφφ， (φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，且当参数φ取
π 2
时，对应的曲线上的点的坐标是
________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
【解】 将φ＝2π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ2＋2πsin2π＝π2， y＝sin2π－π2cos2π＝1.
∴A(2π，1)．
将φ＝π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，
y＝sinπ－πcosπ＝π.
(φ为参数)进行对照可知．
【解析】
由条件知r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝
π 2
分别
代入渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
(φ为参数)，可得
x＝32π， 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3 32π，3
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半 径最大时，该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线方程．
参数方程四渐开线与摆线 课件
因此OM ＝OB＋ BM ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为 A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧 AM 的 长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．来自又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径， 字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心 的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
圆的摆线的参数方程 [例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开 始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单 位)为参数)
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端
系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的__渐__开__线___，相应的定圆 叫做__基__圆__．__
高考数学平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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2018年高中数学人教版选修4-4课件：渐开线与摆线
, .
是参数
方程 .
在机械工业中 轮传递动力 的齿轮磨损少 安装方便 用这种齿轮
, 广泛地使用齿 .由 于 渐 开 线 齿 形 , 传动平稳 , 制造
,因 此 大 多 数 齿 轮 采 , 设计加工这种齿 程.
轮 , 需要借助圆的渐开线方
欣赏在上述几何条件下 M 形成轨迹的过程 .
四
渐开线与摆线
图 2 17
根据动点满足的几何条 我们以基圆圆心
件,
O 为原点 ,
直线 OA 为 x 轴 , 建立平面直 角坐标系
图 2 18 .
r , 绳子外
设基圆的半径为 端 M 的坐标为
x , y .显然
.
,
图 2 18
点 M 由角 惟一确定
取 为参数 , 则点 B 的坐标为 从而 BM
O
M D
B C
A
x
图 2 20
设开始时定点 于点 A , 圆心在点 垂足分别是
M 在原点 , 圆滚动 角后与 x 轴相切 B .从点 M 分别作 AB , x 轴的垂线 ,
C , D . 设点 M 的坐标为
,有
x , y , 取 为参
数 , 根据点 M 满足的几何条件
x OD OA DA OA MC r r sin ,
MA 的 长 , 即 OA
M 在 圆 B 沿直线滚动过 .我们把点 M 的轨迹叫做 .
, 又叫
下面我们求摆线的参 数方程 .
y
根据点 M 满足的几何 条件 , 我们取直线为 轴 , 定点 M 滚动时落在 定直 线 上的一个位置 为原点 , 建立直角坐标系 (图 2 20 ), 设圆的半径为 r. x
高中数学4 课件2.4平摆线和渐开线
一二
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2.渐开线的参数方程 半径为r的圆的渐开线的参数方程是 ������ = ������(cos������ + ������sin������), ������ = ������(sin������-������cos������) (其中 φ 为参数).
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做一做2 半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )
A.
������ ������
= =
���1���--scions������������,(θ 为参数)
B.
������ ������
= =
������ = ������(������-sin������), 为 ������ = ������(1-cos������) (-∞<α<∞).
一二
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3.平摆线的性质 当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高 点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M, 得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为
2r .
一二
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高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
-6-
四 渐开线与摆线
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
思维辨析
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变式训练 若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
������ = 5������-5sin������,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
-12-
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
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记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上一个定点的轨迹是什么？
讲授新课
如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时，点 M 绕圆
外端展开到点 M 时，因为绳子对圆心角 (单
位是弧度)的一段弧 AB，展开后成为切线 BM， 所以切线 BM 的长就是 AB的长，这是动点(笔 尖)满足的几何条件. 我们把笔尖画出的曲 线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开 线的基圆.
B
φ
O
M A
几何画板
讲授新课
根据动点满足的几何条件: BM AB
由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动 平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助 圆的渐开线方程。
思 考： 在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到
“向量e2 (sin ， cos )与向量BM有相同方向”
这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗?
e1 e2 (cos，sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0.
y DM AC AB CB r r cos .
所以，摆线的参数方程为：
x r( sin ) y r(1 cos )
(为参数).
讲授新课
因 此, 摆 线 的 参 数 方 程 是
x y
r( sin) r(1 cos)
,
(是参数)
从而BM ( x r cos，y r sin )，| BM | r .
由于向量e1 (cos，sin )是与OB同方向的单位
向量，因而向量e2 (sin， cos )是与向量BM
同方向的单位向量，所以BM (r )e2 ( x r cos，y r sin ) (r )(sin， cos ).
四、渐开线与摆线
讲授新课
1. 渐开线
探 究： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样？能否求出它的轨 迹方程？
讲授新课
我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件. 如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点 A，当
心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 的长，即 OA=r.
这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
几何画板
摆线在它与定
y
直线的两个相邻
交点之间的部分
叫做一个拱。
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴， 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标 为(x,y).显然，点M
由角惟一确定.
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立 平面直角坐标系. 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为( x，y)，
显然，点M由角 唯一确定. 取为参数，则点B的坐标为(r cos，r sin )，
B
M
C
OD A
Ex
我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的
一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径
为r，设开始时定点M 在原点，圆滚动了 角后与
x轴相切于点A，圆心在点B，从点M 分别作AB，
x 轴的垂线，垂足分别为C，D，设点 M 的坐标为
( x，y)取为参数，根据点M满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin，
解得:
x y r(cos r Nhomakorabeasin
sin cos
) )
(为参数)
这就是圆的渐开线的参数方程.
讲授新课
圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程:
x
y
r(cos sin ) r(sin cos )
(是 参 数)
渐开线的应用：
在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.
思 考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围
是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r
(其中 r 是滚动圆的半径).
[2011·江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条 固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上一个定点的轨迹是什么？
讲授新课
如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时，点 M 绕圆
外端展开到点 M 时，因为绳子对圆心角 (单
位是弧度)的一段弧 AB，展开后成为切线 BM， 所以切线 BM 的长就是 AB的长，这是动点(笔 尖)满足的几何条件. 我们把笔尖画出的曲 线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开 线的基圆.
B
φ
O
M A
几何画板
讲授新课
根据动点满足的几何条件: BM AB
由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动 平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助 圆的渐开线方程。
思 考： 在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到
“向量e2 (sin ， cos )与向量BM有相同方向”
这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗?
e1 e2 (cos，sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0.
y DM AC AB CB r r cos .
所以，摆线的参数方程为：
x r( sin ) y r(1 cos )
(为参数).
讲授新课
因 此, 摆 线 的 参 数 方 程 是
x y
r( sin) r(1 cos)
,
(是参数)
从而BM ( x r cos，y r sin )，| BM | r .
由于向量e1 (cos，sin )是与OB同方向的单位
向量，因而向量e2 (sin， cos )是与向量BM
同方向的单位向量，所以BM (r )e2 ( x r cos，y r sin ) (r )(sin， cos ).
四、渐开线与摆线
讲授新课
1. 渐开线
探 究： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样？能否求出它的轨 迹方程？
讲授新课
我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件. 如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点 A，当
心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 的长，即 OA=r.
这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
几何画板
摆线在它与定
y
直线的两个相邻
交点之间的部分
叫做一个拱。
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴， 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标 为(x,y).显然，点M
由角惟一确定.
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立 平面直角坐标系. 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为( x，y)，
显然，点M由角 唯一确定. 取为参数，则点B的坐标为(r cos，r sin )，
B
M
C
OD A
Ex
我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的
一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径
为r，设开始时定点M 在原点，圆滚动了 角后与
x轴相切于点A，圆心在点B，从点M 分别作AB，
x 轴的垂线，垂足分别为C，D，设点 M 的坐标为
( x，y)取为参数，根据点M满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin，
解得:
x y r(cos r Nhomakorabeasin
sin cos
) )
(为参数)
这就是圆的渐开线的参数方程.
讲授新课
圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程:
x
y
r(cos sin ) r(sin cos )
(是 参 数)
渐开线的应用：
在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.
思 考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围
是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r
(其中 r 是滚动圆的半径).
[2011·江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条 固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁