江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分

解析几何
1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。

解
2226x y +=上点(,
)x y 到4x y +=的距离1
d (,)4
2
x y x y =+-，()2
21d (,)42
x y x y =
+-。

令()()2
2214262
F x y x y λ=
+-++-， ()()''
'22420440260x y F x y x F x y x F x y λ
λλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得2
1
x y =±⎧⎨
=±⎩
17d(2,1),d(2,1),22=
--=所以71maxd ,mind 22
==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：
(,)(,)
(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-。

证 问题为求2
2201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最
值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，
则由111122221211211221222()0
2()02()02()0
x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩
得
1212112212121122(,)(,)(,)(,)
x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==
-，若2
0u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最
值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有
1
2
1
2
(,)(,)
(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-，即(,
)(,)(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-，证毕。

3.椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。

求 （1）1S 及2S 的方程； （2）1S 与2S 之间的立体体积
解 （1）椭圆22
:143
x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222
143
x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。

Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是0
'0
(,)0
34x y x y y =-
，相应的切线方程是 00
000
3()4x x y x x y y =
-- 将4,0x y ==代入上式得22
00043
x y x +=。

又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程22
00143
x y +=， 总和以上条件有003
1,2
x y ==±。

只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1
(4)2
y x =--。

于是2S 的方程为2
2
21
(4)4
y z x +=
-。

（2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组
成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为22
2
214x y z ⎛⎫
+≤- ⎪⎝
⎭。

于是2Ω的体积为22
2
21
1()
5
3144D x x V dx dydz dx ππ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰
⎰⎰⎰。

按锥体的体积公式，得1Ω的体积2
1139
3324
V ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭。

因此，12V V V π=-=。

4.可微函数(,)f x y 满足0(,)(,),(1,2,2)
f tx ty tf x y P =-是曲面(,)Z f x y =上一点，且'(1,2)4x f -=，求曲面(,)Z f x y =在0P 处的切平面方程。

解 ''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += 令1t =，则
''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += ''12(1,2)(1,2)(2)(1,2)f f f -+--=-，
'2(1,2)1f -=
{4,1,1}n =-
切平面：4(1)(2)(2)0x y z -++--=。

5.在第一卦限内做椭球面222
2221x y z a b c
++=的切平面，使得切平面与坐标平面所围城的四面
体的体积最小，并求切点坐标。

解 用拉格朗日乘数法。

切点,,333a b c ⎛⎫
⎪
⎝⎭。

切平面1333x y z a b c ++=。

6.将边长为6的正方形ABCD 用平行于AB 的线段,EF GH 分成三等分，沿,EF GH 将正方形（如图61）折成三棱柱（如图62），使,BA CD 与Oz 轴重合，点,B C 与原点O 重合，
EF 在zOx 坐标面上，HG 在第一卦限，此时正方形的对角线BD 被折成空间折线
BP PQ QA --。

（1）求线段PQ 在直角坐标系中绕Oz 轴旋转所形成的旋转曲面的方程。

（2）过点,P Q 分别作平行于xOy 坐标面的两平面，求此两平面与题（1）的旋转曲面所围城的立体的体积。

解 （1）点,P Q 在直角坐标系中的坐标为(2,0,2)P 、(1,3,4)Q ，过,P Q 两点的空间直线的参量方程为
2,3,22x t y t z t =-==+
线段PQ 绕Oz 轴旋转所得旋转曲面上的点(,,)M x y z 满足
2222
(2)322x y t t z t
⎧+=-+⎨
=+⎩ 消去参量t ，得2
2
2
(3)3x y z +--=（单叶双曲面）。

（2）4
4
2322
1203(3)3(3)33V z dz z z πππ⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰。

7.在曲面22
4z x y =+上求点，使曲面在点的切平面经过点(5,2,1)且与直线
123
214
x y z ---==平行。

解 曲面2
2
4z x y =+上点(,,)x y z 的切平面法向量{2,8,1}n x y =---，由题意 {2,8,1}{2,1,4}0x y --⋅= （1） 向量{5,2,1}x y z ---在切平面内，故
{5,2,1}{2,8,1}0x y z x y ---⋅--= （2） 又 2
2
4z x y =+ （3）
联立（1），（2），（3）解得(1,1,5)--或(3,1,13)--是所求的点。

8.过椭圆2221ax by cz ++=外一定点(,,)αβγ做其切平面。

再过椭圆中心作切平面的垂线，求垂足的轨迹方程。

解 设切平面为 l x m y n z p ++= （1）
自中心作切平面的垂线为
x y z
l m n
== （2） 因切平面过(,,)αβγ，故l m n p αβγ++= （3）
又
0000000001
ax by cz ax by cz l m n lx my nz p
++====++ （3*）
又2
2
2
0001l m n ax by cz a b c ap bp cp ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得 222
2l m n p a b c
++= （4） 由式（1），（2），（3*），（4）联立消去,,,l m n p ，得
2
222
()()()0()x x y y z z x y z x y z a
b c αβγαβγ-+-+-=⎧⎪⎨++=++⎪⎩ 即为所求的轨迹方程。

9.过椭圆2
2
3231x xy y ++=上任意点作椭圆的切线，试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值。

解 设(,)M ξη为椭圆上任一点，则过此点的切线方程为
3()3Y X ξη
ηξξη
+-=-
-+，
它与坐标轴的交点为11,0,0,33A B ξηξη⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，于是切线与坐标轴所围成三角形面积
11
2(3)(3)
S ξηξη=
++，
利用条件极值，设
22(,,)(3)(3)(3231)F x y x y x y x xy y λλ=+++++-，
令
610(62)0F
x y x y x
λ∂=+++=∂ 106(26)0F
x y x y y
λ∂=+++=∂ 解得22
,,44
x y x y =±=±
=±
， min 1
4
S =。

10.求椭球面2221x y z xy ++-=在坐标面Oyx 上的投影（即通过椭球面上每一点向平面
Oyx 做垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。

解 2221y z +=。

11.有一张边长为4π的正方形纸（如图45），,C D 分别为','AA BB 的中点，E 为'DB 的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与'A 重合，B 与'B 重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，
且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上，此时，求： （1）通过,C E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2）此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直与于轴的平面所围成的立体体积。

解 圆柱面为2
2
:{(,,z)|(2)4,04}S x y x y z π+-=≤≤，
D 点坐标为(0,4,0)，
E 点坐标可取为(2,2,0)，
（1）C 点坐标为(0,4,4)π，过,C E 两点的直线方程为22224x y z
π
--==- ，故旋转曲面方程为2
2
22
182x y z π+=+。

（2）旋转曲面在垂直于z 轴方向的截面是一个半径为22
182z π+
的圆，
所以所求体积V 为4222013283223V z dz πππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
⎰。

12.求λ的值，使两曲面：xyz λ=与222
2221x y z a b c
++=在第一卦限内相切，并求出在切点处
两曲面的公共切平面方程。

解 曲面xyz λ=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为{}1,,n yz zx xy =。

曲面2222221x y z a b c ++=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为2222,,x y z n a b c ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭。

欲使两曲面在点(,,)x y z 处相切，必须12//n n ，即
222x y z
t a yz b zx c xy
===。

由0,0,0x y z >>>，得222
2223x y z t a b c λλλ++=，即31t λ=。

于是有2222221
3x y z a b c ===，解得,,,33333
a b c abc x y z λ====。

公共切平面方程为
0333333bc a ac b ab c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，化简得3x y z
a b c
++=。

13.在曲面22
4z x y =+上求点，使曲面在此点的切平面经过点(5,2,1)，且与直线
123
214
x y z ---==平行。

解 设所求切点为000(,,)x y z ，则曲面在此点的切平面方程为
00028x x y y z z +-=
又点(5,2,1)在切平面上，故
（1）
由切平面与已知平面平行，有向量{}{}002,8,12,1,4x y -⊥，即
004840x y +-= （2） 及切点满足曲面方程，得
2
2
00040x y z +-= （3） 联立（1），（2），（3）解得所求点为(1,1,5)--和(3,1,13)--。

00010161x y z +-=
14.设曲面S 的方程2244z x y =
++，平面π的方程是222x y z ++=，试在曲面S 上
求一个点的坐标，使该点与平面π的距离最近，并求此最近距离。

解 S 上任取一点22
(,,44)P x y x y ++，与平面π的距离为
221
224423d x y x y ⎡⎤=++++-⎣
⎦，
从而22
1210344d x
x x y ⎛⎫∂=+
= ⎪ ⎪∂++⎝
⎭ 22
2410344d y y x y ⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂++⎝
⎭
解得唯一驻点2
2,,222
x y z =-=-
=。

其最近距离为 min 2
(21)3
d =
-。

15.求抛物面22
1z x y =++上任一点000(,)P x y 处的切平面与抛物面2
2
z x y =+所围成的立体的体积。

解 抛物面22
1z x y =++在点000(,)P x y 处的切平面为220000221z x x y y x y =+--+， 2222
0000221
z x y
z x x y y x y ⎧=+⎪⎨=+--+⎪⎩ ，求得投影区域2200:()()1D x x y y -+-≤。

所围成的立体的体积
()22220000221D
V x x y y x y x y dxdy =+--+--⎰⎰
22
001()()2
D
x x y y dxdy π
⎡⎤=----=⎣⎦⎰⎰。

16.求常数c b a ,,的值，使函数2
3
2
),,(z cx byz axy z y x f ++=在点)1,2,1(-M 处沿z 轴正方向的方向导数有最大值64.
解 (1,2,1){43,4,2g r a d f a c a b b c
-=+--。

由题意有(1,2,1)//{0,0,1}gradf -且(1,2,1)64gradf -=，故有
43040220a c b a b c +=⎧⎪
-=⎨⎪->⎩
，且()
2
2264b c -=，解得6,24,8a b c ===-。

17.求通过点(1,1)的曲线方程()
y f x =()()0f x >使曲线在[1,]x 上所形成的曲边梯形面
积的值等于曲线终点的横坐标x 与纵坐标y 之比的2倍减去2，其中1x ≥。

解 由题意得11
22|1x
x x ydx y y =⎧=-⎪⎨⎪=⎩⎰ ，对方程两边求导得
2
2(')
y xy y y
-=
整理得
2(2)20y y dx xdy -+=
分离变量得
2
0(2)2dy dx
y y x
+=- 2
111
0222y dy dx y y x
⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭ 两边积分得
21
ln 2ln ln ln 2
y y x C --+= 由1|1x y ==，得1C =，故所求曲线方程为222
2y x y =-。

考虑到函数在1x =处有定义，
且()0f x >，曲线方程为2
21x y x
=+。

18.证明曲线2x y +
=上任一点的切线的横截距与纵截距之和等于2。

证 设0(,)o x y 为曲线上的任意一点，则002x y +=。

曲线方程两边对x 求导，得 11'022y x
y
+
=，
解出','y y y x
=-。

曲线在点0(,)o x y 处的切线斜率00
y k x =-
，切线方程为
0000
()y y y x x x -=-
-
令0y =，得切线的横截距为000x x y +；令0x =，得切线的纵截距为000y x y +。

所以，切线的横截距与纵截距之和为
()()(
)
2
0000000
2x x y y x y x y +
++=
+=
19.从已知ABC ∆的内部的点P 向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置。

解 设三边的长分别为,,a b c ，从P 所作的垂线长分别为,,,x y z ABC ∆的面积为S ，于是令
(,,),2f x y z xyz ax by cz S =++=
设()(,,)2F x y z xyz ax by cz S λ=+++-，令
'0'0'02x y
z F yz a F xz b F xy c ax by cz S λλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨
=+=⎪⎪++=⎩
解得222,,333S S S x y z a b c
===。

由问题的实际意义，f 确有最大值，故当P 到长为,,a b c 的边的距离分别为222,,333S S S x y z a b c
===时，三垂线长的乘积达到最大。

20.在第一象限从曲线2
214
x y +=上找一点，使通过该点的切线与该曲线以及x 轴和y 轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。

解 设(,)u v 为所求之点，则由2214,'224x y x y x
=-=--，得到在(,)u v 处的切线方
程：
2
()24u y v x u u
-=-
--
令0x =得切线的纵截距 22
24u b v u
=
+-
令0y =得切线的横截距 22
24v u u a u
-+=
于是，所围的面积为 1()22
A u ab π=
- 即 (
)
2
2
22
221
24112
()42224u u u A u u u
u π⎡⎤
⋅-+⎛⎫⎢⎥=⋅+-- ⎪⎢
⎥-⎝⎭⎢⎥
⎣
⎦
2
42
4u u
π
=
-
-
令'()0A u =，解得2u =±。

由几何直观知2u =时，面积()A u 为最小，且
(2)22
A π
=-
因此，所找的点为22,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，所求的最小面积为22π-。

21.已知锐角三角形ABC ∆，若取点(,)P x y ，令(,)f x y AP BP CP =++（
表示线段
的长度）。

证明：在(,)f x y 取极值的点0P 处，向量000,,P A P B PC 所夹的角相等。

证 设,,A B C 三点的坐标为(,)(1,2,3)i i x y i =，极值点0P 的坐标为00(,)x y ，则
{}01010,P A x x y y =--； {}02020,P B x x y y =--； {}0
3030,PC x x y y =--， 又 ()()
()
1
3
222
1
(,)i
i
i f x y x x x y ==
-+-∑，
()
()
()()
()
()
3
112
22
3112
22
i
i i
i i
i i
i x x f
x x x y y y y f y x x y y ==-∂⎧=⎪∂⎪-+-⎪⎨-∂⎪=⎪∂-+-⎪⎩
∑∑
极值点000(,)P x y =应满足
0P P f
f x
y
∂∂=
=∂∂，即
()
()
()()
()
()()
()
()
()
()
()
3
01
01122
22
22
2
1
010
03
01
0112
2
22
22
2
1
010
0i
i i
i i
i i
i x x x x x x y y x x y y y y y y x x y y x x y y ==--⎧-=⎪⎪-+--+-⎪⎨--⎪-=⎪-+--+-⎪⎩
∑
∑
以上两式两边平方再相加，得
()
00cos ,P B P C
()()()()()()()()
020*********
02020303x x x x y y y y x x y y x x y y --+--=
-+--+-
12
=-
同理()()
00001cos ,cos ,2
P A P B P A P C ==-。

22.证明：曲面2223y z x y z x f x ⎛⎫
+
++= ⎪⎝⎭
任意点处的切平面在Oz 轴上的截距与切点到坐
标原点的距离之比为常数，并求出此常数。

解 为方便，记2
222r x y z =
++（即原点到点(,,)x y z 的距离），y u z
=
， 3(,,)()F x y z z r x f u =+-
则
2'3()'()x x
F x f u xyf u r
=
-+ 2''()y y
F x f u r =-
'1z z F r
=+
曲面在任任意点P(,,)x y z 处切平面的法线向量为
{',','}x y z F F F
所以，若设切平面的动点坐标为(,,)X Y Z ，则切平面方程为
'()'()'()0x y z F X x F Y y F Z z -+-+-=
化简得
'''2()x y z F X F Y F Z r z ++=-+
它在Oz 上的截距为
2()2()
2'1z r z r z c r z F r
-++=
=-=-+
故/2c r =-，即截距与r 之比为常数-2。

23.求曲面222(1)(1)z x z y +=--+与平面0z =所围成立体的体积。

解 2222
(1)2(1)(1)z x x z z y
+=-++++，即 22
12x y z x
++=
故令 cos sin x r y r θ
θ
=⎧⎨=⎩
则 12cos r
z θ
=
-
故2cos 2220
42
1cos 2cos 3r d rdr d π
π
θ
θθθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰
⎰ 2
1(1cos 2)(2)3d π
θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰ 3
π
=-
因此，由上述曲面与平面0z =所围的体积为
3
3
V π
π
=-
=。