江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科三级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561)434lim 4x x x 。
2.=+++→∞433321lim n n n 。
3.=?→x x tdtt x x 32030sin sin lim 。
4.),1ln(x y -=则=)(n y 。
5.?=xdx x arctan 2 。
6. =?dx xx 211arccos 。
7. 函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??yz x z 。
8.交换积分次序??x dy y x f dx cos 2040),(π 。
二、(每小题6分，共12分)(1)求))(13(lim 31223∑=→∞+-i n i n n n 。
(2)设)(x f 在0=x 处二阶可导，且,2)0(='f 求20)()1(lim x x f e f x x --→。
三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明。
(1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" f="" p="" 严格减少，)(lim="" 时，)(x=""> x f x →存在，且)0(f 是)(x f 极小值。
(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ,)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四、(12分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值2，且)0,2(是曲线)(x P y =的拐点。
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。
8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
全国高中数学联赛江苏赛区试卷(8)含解析
江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.答：[B] 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2an m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B. 2.答：[D]解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D. 3.答：[A]解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 答：[B] 解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则 212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B.5.答： [D]解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6. 解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P .8. 解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=， 亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab .所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即)122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-.n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12. 证 （Ⅰ）设点A 的坐标为)sin ,cos (θθr r ，B 的坐标为)sin ,cos (θθ''''r r ，则r =，r ='A 在双曲线上，则19sin 4cos 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθr .所以9sin 4cos 1222θθ-=r . …5分 由0=⋅得⊥，所以θθ22sin cos ='，θθ'=22sin cos .同理，9cos 4sin 9sin 4cos 122222θθθθ-='-'='r ，3659141'11||||2222=-=+=+r r OB OA . ……10分=，所以==⎪⎭⎫⨯.1365914111=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯. 于是，5362=OP . 即P 在以O 为圆心、556为半径的定圆上. ……15分 13.解 在平面M 中，过A 作DA 的垂线，交射线DB 于B 点；在平面N 中，过A 作DA 的垂线，交射线DC 于C 点.设DA=1，则βtan =AB ，βcos 1=DB ，γtan =AC ，γcos 1=DC ，…5分并且ϕ=∠BAC 就是二面角N l M --平面角. ……10分在ABC DBC ∆∆与中，利用余弦定理，可得等式ϕγβγβαγβγβcos tan tan 2tan tan cos cos cos 2cos 1cos 122222-+=-+=BC ， 所以，αγβγβγβϕγβcos cos cos 2cos 1cos 1tan tan cos tan tan 22222+--+= =γβγβαcos cos )cos cos (cos 2-，……15分故得到γβγβαϕsin sin cos cos cos cos -=. ……20分14. 解（Ⅰ）不能. ……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211+++++=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以. ……15分 如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ……20分36 2 248 12 18 6724。
江苏省第十四届高等数学(本科四级)竞赛试题
2017年江苏省普通高等学校非理科专业第十四届高等数学（本科四级）竞赛试题解答题：作答时给出相应解题步骤，计算或证明过程（共11小题，总计100分）1.（10分）求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n n 2222211lim ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→2222222211lim n n n n n n . 2.（5分）已知函数f (x )在x=2处连续，42)(lim 2=--→x x x f x ，试证函数f (x )在x=2处可导，并求f′(2). 3.（5分）设[x ]表示实数x 的整数部分，试求定积分x xx d ][412⎰. 4.（5分）设,21;102)(2≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 交换二次积分⎰⎰-+10112d )(d y y x x f y 的次序，并求此二次积分的值. 5.（10分）判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明，若判断不成立，则举一反例，并加以证明其不成立.命题1：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆不连续（a ∈R ），则f (x )+g (x )在x=a 处不连续；命题2：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆连续（a ∈R ），但不可导，则f (x )+g (x )在x=a 处不可导；6.（13分）已知曲线)1(22x x y -=， （1）求单调区间与极值；（2）求凹凸区间；（3）求渐近线；（4）画出此曲线的简图.7.（8分）已知()n n n x n 2)1ln(2)1ln(2-+++=，试判别数列{x n }的单调性.8.（10分）设n ∈N*，⎰=20d sin 2sin πx xnx I n ， （1）求I n -I n-1（n ≥2）； （2）试求定积分⎰=203d sin 6sin πx xx I . 9.（10分）若直线L 通过点P (2,3,12)，与已知直线L 1：⎩⎨⎧=-+=--002z y x z y x 垂直且相交，试求直线L 的方程，并求点P 到直线L 1的距离.10.（12分）求函数332263)(9),(y x y x x y y x f ++-+-=的极值.11.（12分）设{}420),(22≤+≤+≤=y x y x y x D ，，试求二重积分σ⎰⎰++D y x y x d 22.。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏数学竞赛试题及答案
江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。
1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。
3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。
4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。
5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。
6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。
【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。
【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。
1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。
2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。
江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题
江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=----→3431)1()1)(1)(1(lim x x x x x 。
2.),1ln(2x y -=则=)(n y 。
3.=?208sin πxdx 。
4.=?∞+dx xx 131arccos 1。
5.函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??y z x z 。
6.设,:222z z y x ≤++Ω则=++Ωdxdydz z y x 2)( 。
7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为。
8.级数∑∞=-+-1)1()1(n n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。
二、(每小题6分，共12分)(1)求n nn n 1)1(321lim +∞→-+-+- 。
(2)设)(x f 在0=x 处三阶可导，且,3)0(,0)0(=''='f f 求30)()1(lim xx f e f x x --→。
三、(每小题6分，共12分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明。
(1)函数)(x f 在0=x 处可导，但在0=x 的某去心邻域内处处不可导。
(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点Q P ,的坐标分别为),(b a P ，),(y x Q ，求证：在线段PQ 上存在点),(ηξM ，使得))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x-'+-'+=ηξηξ。
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。
在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。
评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。
本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。
试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。
试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。
选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。
应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。
评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。
试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。
满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。
对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。
如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。
填空题亦是如此。
对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。
对于应用题，情况稍有不同。
应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。
如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。
如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。
本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。
试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。
评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。
通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。
2016年江苏省第十三届高等数学竞赛试题（本科一级）讲解
2016年江苏省第⼗三届⾼等数学竞赛试题（本科⼀级）讲解江西省南昌市2015-2016学年度第⼀学期期末试卷（江西师⼤附中使⽤）⾼三理科数学分析⼀、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考⽣熟悉的基础知识⼊⼿，多⾓度、多层次地考查了学⽣的数学理性思维能⼒及对数学本质的理解能⼒，⽴⾜基础，先易后难，难易适中，强调应⽤，不偏不怪，达到了“考基础、考能⼒、考素质”的⽬标。
试卷所涉及的知识内容都在考试⼤纲的范围内，⼏乎覆盖了⾼中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的⼤部分知识点均有涉及，其中应⽤题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学⽣感受到了数学的育才价值，所有这些题⽬的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题⽬难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较⼤，学⽣不仅要有较强的分析问题和解决问题的能⼒，以及扎实深厚的数学基本功，⽽且还要掌握必须的数学思想与⽅法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全⾯，着重数学⽅法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选⼀问题中，试卷均对⾼中数学中的重点内容进⾏了反复考查。
包括函数，三⾓函数，数列、⽴体⼏何、概率统计、解析⼏何、导数等⼏⼤版块问题。
这些问题都是以知识为载体，⽴意于能⼒，让数学思想⽅法和数学思维⽅式贯穿于整个试题的解答过程之中。
⼆、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满⾜AB AC →→=，则A BA C →→的最⼩值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查⽅向】本题主要考查了平⾯向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三⾓的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确⽤OA ，OB，OC 表⽰其它向量。
全国高中数学联赛江苏赛区试卷(9)含解析
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知函数2sin y x =，则 答：[ ]（A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π（C ）有最小正周期2π （D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 答：[ ]（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是 答：[ ]（A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C（C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 答：[ ]（A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为 答：[ ]（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个6. 已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 答：[ ]（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b +等于 .9. 已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .10.30x y -+=的离心率是 .11. 在ABC ∆中，已知tan B =，sin 3C =，AC =ABC ∆的面积为 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩， 表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y += 和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准 B 1B A 1C 1 A C一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ） 有最小正周期为π2 （B ） 有最小正周期为π（C ） 有最小正周期为2π （D ） 无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ C ）.（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式 22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）．4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）.（A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当 α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）．5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+= 7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种.于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）．6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a fa -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤的解集为3322a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a ab b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩， 解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4. 9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以 ()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即= 2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=．解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC C AB B⋅==． 因为︒>60322arcsin ，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=±．故sin 2ABC AC AB S A ∆⋅==． 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ． 三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩， 表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线 l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率. 解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点为(,)P x y2=，即 224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为 y 24－x 24＝设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即 12AB x x =+． ① 因为直线AB 过点F (22，0)， 当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)． 代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得， k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点， 所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1． 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|， 化简得：k 4＋2k 2－1＝0， 解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）． 由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－ 33．所以k ＝－2－114. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1 B A 1C 1A C证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D .因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥．（2） 由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的 距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯， 所以1C DBABC S h S ∆∆=．又 1C D BD =，且2211==⨯=∆BD BD D C S DB C 设ABC ∆的高为AE ，则2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分 15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=.由22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. 于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以a 2007=2007． 易知数列11a =，22a =，，n a n = 符合本题要求． 注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左（第14题） A 1 A k A 2 B 1B 2 B m右端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点．因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾．再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边. k A 与m B 不重合，线段 k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10 个圆都相交．。
2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题
费马到成功江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）2004~2012年2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）目录2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 3~7 2010年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 8~11 2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）9~15 2006年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 16~20 2004年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 21~262012年江苏省高等数学第十一届竞赛试题（专科考生）1． 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.2． 2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；3． 定积分11e Inx dx x+⎰=________4． 极限：21lim(1)x x x →∞-= ；311lim x x x -→= ；21lim()21xx x x →∞+=-______________.5． 通过)5,3,2(-A 且平行于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03230723z y x z y x 的直线方程为_________________6． 设)(x y y =由方程组sin (sin cos )ttx e t y e t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩确定,则22d y dx =____________________7． 不定积分2ln cos cos xdx x ⎰=________8． 若(1)(2)(2008)()(1)(2)(2008)x x x f x x x x ---=+++ ，则'(1)f =__________．9． 设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 22=x x y 。
江苏省数学竞赛试题及答案
江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。
13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。
14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。
15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。
16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。
17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂ 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且110()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点 的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。
2016年江苏省数学竞赛解析几何试题的研究
2016年 第 11期
中学数学月刊
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2 0 1 6 年江苏省数学竞赛解祈几何试敬的研究
蔡 玉 书 （ 江苏省苏州市第一中学 2016年江苏省数学竞赛复赛有一道解析几 何试题： 在 平 面 直 角 坐 标 系 ^〇： y 中， 已 知 点 P (2 ，1) 狓2 狔 2 在椭圆C : y + 狔 = 1上 ， 不 经 过 坐 标 原 点 O 的直 6 3 线 / 与椭圆C 交于A ， B 两点， 且 线 段 A B 的中点 为D ， 直 线 O D 的 斜 率 为 1.记 直 线 P A ， 的斜 率分别为々 1， ^ 2 ,求 证 ： 1々 2 为定值. 经研究得到： 在平面直角坐标系狓O 狔中， 已 知 点 P (狓。 ， 2 狔 2 狔 。 ）在 椭 圆 C : 1 上， 不经过坐标原点O 犪 ^犫 2 的直线/ 与椭圆C 交于A ， B 两点， 且线段A B 的 b 2狓0 中点为D ， 直线O D 的 斜 率 为 记 直 线 PA 犪狔。 .犫 2 P B 的斜率分别为々 1， 々 2 ,则々1々 2 为定值犪 证 法 1 利 用 椭 圆 的 参 数 方 程 (狓= acos S ■ ’ 设 P (acos 心 ， 犫 sin^ 0)， A (acos沒 1， 狔= 犫 sin S ■ 犫 sinS1) ， B (acosS2 ， 犫 sinS2) ， 则直线 P A 的斜率
设 A (狓1 ， 狔 1) ， B (狓2 ， 狔 2) ， 则由韦达定理得 2狓 〇 狔 。 犿 （ 犿2 — 犫 2)狓2 狓1 十 狓2 = 72 ， 狓1狓2 = " 犫 2 犫 2
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解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
3.椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。
求 （1）1S 及2S 的方程； （2）1S 与2S 之间的立体体积解 （1）椭圆22:143x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222143x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。
Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是0'0(,)034x y x y y =-，相应的切线方程是 000003()4x x y x x y y =-- 将4,0x y ==代入上式得2200043x y x +=。
又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程2200143x y +=， 总和以上条件有0031,2x y ==±。
只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1(4)2y x =--。
于是2S 的方程为2221(4)4y z x +=-。
（2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为222214x y z ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭。
于是2Ω的体积为222211()53144D x x V dx dydz dx ππ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
按锥体的体积公式，得1Ω的体积211393324V ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭。
因此，12V V V π=-=。
4.可微函数(,)f x y 满足0(,)(,),(1,2,2)f tx ty tf x y P =-是曲面(,)Z f x y =上一点，且'(1,2)4x f -=，求曲面(,)Z f x y =在0P 处的切平面方程。
解 ''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += 令1t =，则''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += ''12(1,2)(1,2)(2)(1,2)f f f -+--=-，'2(1,2)1f -={4,1,1}n =-切平面：4(1)(2)(2)0x y z -++--=。
5.在第一卦限内做椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使得切平面与坐标平面所围城的四面体的体积最小，并求切点坐标。
解 用拉格朗日乘数法。
切点,,333a b c ⎛⎫⎪⎝⎭。
切平面1333x y z a b c ++=。
6.将边长为6的正方形ABCD 用平行于AB 的线段,EF GH 分成三等分，沿,EF GH 将正方形（如图61）折成三棱柱（如图62），使,BA CD 与Oz 轴重合，点,B C 与原点O 重合，EF 在zOx 坐标面上，HG 在第一卦限，此时正方形的对角线BD 被折成空间折线BP PQ QA --。
（1）求线段PQ 在直角坐标系中绕Oz 轴旋转所形成的旋转曲面的方程。
（2）过点,P Q 分别作平行于xOy 坐标面的两平面，求此两平面与题（1）的旋转曲面所围城的立体的体积。
解 （1）点,P Q 在直角坐标系中的坐标为(2,0,2)P 、(1,3,4)Q ，过,P Q 两点的空间直线的参量方程为2,3,22x t y t z t =-==+线段PQ 绕Oz 轴旋转所得旋转曲面上的点(,,)M x y z 满足2222(2)322x y t t z t⎧+=-+⎨=+⎩ 消去参量t ，得222(3)3x y z +--=（单叶双曲面）。
（2）4423221203(3)3(3)33V z dz z z πππ⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰。
7.在曲面224z x y =+上求点，使曲面在点的切平面经过点(5,2,1)且与直线123214x y z ---==平行。
解 曲面224z x y =+上点(,,)x y z 的切平面法向量{2,8,1}n x y =---，由题意 {2,8,1}{2,1,4}0x y --⋅= （1） 向量{5,2,1}x y z ---在切平面内，故{5,2,1}{2,8,1}0x y z x y ---⋅--= （2） 又 224z x y =+ （3）联立（1），（2），（3）解得(1,1,5)--或(3,1,13)--是所求的点。
8.过椭圆2221ax by cz ++=外一定点(,,)αβγ做其切平面。
再过椭圆中心作切平面的垂线，求垂足的轨迹方程。
解 设切平面为 l x m y n z p ++= （1）自中心作切平面的垂线为x y zl m n== （2） 因切平面过(,,)αβγ，故l m n p αβγ++= （3）又0000000001ax by cz ax by cz l m n lx my nz p++====++ （3*）又2220001l m n ax by cz a b c ap bp cp ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 2222l m n p a b c++= （4） 由式（1），（2），（3*），（4）联立消去,,,l m n p ，得2222()()()0()x x y y z z x y z x y z ab c αβγαβγ-+-+-=⎧⎪⎨++=++⎪⎩ 即为所求的轨迹方程。
9.过椭圆223231x xy y ++=上任意点作椭圆的切线，试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值。
解 设(,)M ξη为椭圆上任一点，则过此点的切线方程为3()3Y X ξηηξξη+-=--+，它与坐标轴的交点为11,0,0,33A B ξηξη⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，于是切线与坐标轴所围成三角形面积112(3)(3)S ξηξη=++，利用条件极值，设22(,,)(3)(3)(3231)F x y x y x y x xy y λλ=+++++-，令610(62)0Fx y x y xλ∂=+++=∂ 106(26)0Fx y x y yλ∂=+++=∂ 解得22,,44x y x y =±=±=±， min 14S =。
10.求椭球面2221x y z xy ++-=在坐标面Oyx 上的投影（即通过椭球面上每一点向平面Oyx 做垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。
解 2221y z +=。
11.有一张边长为4π的正方形纸（如图45），,C D 分别为','AA BB 的中点，E 为'DB 的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与'A 重合，B 与'B 重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上，此时，求： （1）通过,C E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2）此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直与于轴的平面所围成的立体体积。
解 圆柱面为22:{(,,z)|(2)4,04}S x y x y z π+-=≤≤，D 点坐标为(0,4,0)，E 点坐标可取为(2,2,0)，（1）C 点坐标为(0,4,4)π，过,C E 两点的直线方程为22224x y zπ--==- ，故旋转曲面方程为2222182x y z π+=+。
（2）旋转曲面在垂直于z 轴方向的截面是一个半径为22182z π+的圆，所以所求体积V 为4222013283223V z dz πππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰。
12.求λ的值，使两曲面：xyz λ=与2222221x y z a b c++=在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。
解 曲面xyz λ=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为{}1,,n yz zx xy =。
曲面2222221x y z a b c ++=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为2222,,x y z n a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。
欲使两曲面在点(,,)x y z 处相切，必须12//n n ，即222x y zt a yz b zx c xy===。
由0,0,0x y z >>>，得2222223x y z t a b c λλλ++=，即31t λ=。
于是有22222213x y z a b c ===，解得,,,33333a b c abc x y z λ====。
公共切平面方程为0333333bc a ac b ab c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3x y za b c++=。