大学数学高数微积分第四章矩阵第六节课堂讲义

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矩阵讲义全

本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。

要大胆猜想，小心证明！）矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等；二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组；三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵；四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。

§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。

④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。

即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。

记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量，负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。

高等数学第四章课件-矩阵的概念

§4.1 矩阵的概念11112211211222221122n n n n s s sn n s a a x x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1. 线性方程组的解取决于()1,,,1,,,ij a i s j n ==⋯⋯系数()1,2,,i b i s =⋯常数项一、矩阵概念的引入11121121222212n n s s sn s a a a b a a b a a a a b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表二、矩阵的概念111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋮⋮⋮⋯().ij s n A a ×=简记为数称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.定义由数域　上个数排成的行列的数表s n ×s n P 称为数域　上一个矩阵,s n ×P注意：矩阵与行列式有本质的区别行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值.而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.三、矩阵的相等1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,,列数相等时列数相等时,,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛9348314736521与为同型矩阵.(),(),ij m n ij k l A a B b ××==2.设矩阵若(1) A 与B 是同型矩阵;,1,,,1,,ij ij a b i m j n ===⋯⋯(2)则称矩阵A 与B 相等，记作 A ＝B ．称为矩阵A的行列式(2)只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).。

大学数学矩阵ppt课件

，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、牛顿法等，这些方法可以通过矩阵运算实现并行计算，提高求解效率。

高等数学第四章课件- 分块矩阵

例5
A、B为 n 级方阵，证明:若AB = 0，则 R( A) + R( B ) ≤ n .
证： AB = 0,
⇒ A ( B1 , B2 ,⋯ , Bn ) = 0, Bi 为 B 的列向量，
⇒ ( AB1 , AB2 ,⋯ , ABn ) = 0, ⇒ ABi = 0, i = 1, 2,⋯ , n, 即B的每一列向量皆为齐次线性方程组 AX = 0 的解向量 .
⎛a ⎜ ⎜0 A=⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛a ⎜ ⎜0 A=⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎝
1 a 0
0⎞ ⎟ ⎛ B1 ⎞ 0⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ B2 ⎟ , 1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ B3 ⎠ ⎟ 1 1 b⎠ 0 0 b 1 0⎞ ⎟ ⎛B1⎞ 0⎟ ⎜ ⎟ = ⎜B2 ⎟ ⎟ 1 ⎜B ⎟ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎟ b⎠
x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n = β .
⎛ α1 ⎞ ⎜α ⎟ 2 ⎟ ⎜ ∈ P m×n , B = ( β 1 β 2 ⋯ β s ) ∈ P n×s , 例4 设 A = ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝αm ⎠ 则 AB = A( β 1 β 2 ⋯ β s ) = ( Aβ 1 Aβ 2 ⋯ Aβ s ) ⎛ α1 ⎞ ⎛ α1 B ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α α B AB = ⎜ 2 ⎟ B = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ αm ⎠ ⎝αmB ⎠
0⎞ a 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ a 0⎟ ⎜ A4 ),其中 ( = A A A A2 =⎜ ⎟ ⋯ ⋯ 1 2 3 1 4 3 ⎟ 1 0 1 b ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 b⎠ 1 b 0 ⎝ ⎠
常用的特殊分法
设矩阵 A = (a ij ) s×n ,

《高等数学》课件高等数学第四章

例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0，) 求该曲线的方程．
解由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
y 2xd x x2 C，
又知曲线通过坐标原点(0，0，) 将条件y x0 0代入上式，得C 0．于是所求曲
这种方法称为直接积分法．
例7 求不定积分 x (x2 5)d． x
5
1
5
1
解 x (x2 5)d x (x2 5x2 )d x x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
7
3
7
x 10 x x C.
1 3 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第 17 页
例4
求
1
2
x x
2
d ． x
解 2x d x 1 d(x2 ) 1 d(1 x2 ) ln |1 x2 | C ln(1 x2 ) C.
1 x2
1 x2
1 x2
2 换元积分法
高等数学第四章. 第二节
第 26 页
常用凑微分公式：
（1）d x 1 d (a x) 1 d(ax b)
3
3
x2 d x 1 x3 C．
3
例2 求不定积分 sin xd． x
解因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．

高等数学第四章课件-初等矩阵

类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施行初等列变换，即对 2n × n 矩阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵倍法矩阵)
( 3 )以数 k 乘某行 ( 列 )加到另一行 ( 列 )上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，

《微积分》(上册) 第四章

二、拉格朗日中值定理
推论1
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数.
证在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，在区间［x1,x2］上应用拉格朗日中值定理，由式(4-1)
f(x1)－f(x2)=f′(ξ)(x1－x2)(x1<ξ<x2), 由假设f′(ξ)=0 f(x1)=f(x2) 再由x1,x2的任意性知，f(x)在区间I上任意点处的函数值都相等，即f(x)在区间I上是一个常数. 推论1表明，导数为零的函数就是常数函数.这一结论在以后的积分学中将会用到.由推论1立即可得下面的推论2.
三、其他类型的未定式
解法2利用洛必达法则来解.
三、其他类型的未定式
注
(1)对比两种解法发现洛必达法则简单些.洛必达法则是求未定式的一种简便有效的法则，在使用时，可以与其他求极限的方法综合使用，这样能达到事半功倍的效果.例如，能化简的首先要尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.
第一节
微分中值定理
第一节微分中值定理
微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的基础.微分中值定理包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位.
一、罗尔定理
如图4-1所示，函数 y=f(x)(x∈［a，b］)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于 x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线. 如果用数学语言把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔中值定理(简称罗尔定理).
b2f(b)－a2f(a)－(b－a)［2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)］=0 .

高等数学第四章

1 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第 10 页
三、不定积分的几何意义
例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0， ) 求该曲线的方程．
解由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
3
3
x2 d x 1 x3 C． 3
例2 求不定积分 sin xd． x
解因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．
性质1还可以推广到有限个函数的代数和的积分，即
1 f1 (x) f2 (x) fn (x)d x f1 (x)d x f2 (x)d x fn (x)d． x 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第 13 页
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即
高等数学第四章. 第一节
第4 页
一、原函数的概念定义1 设已知函数f (x)在某区间上有定义，若存
在函数F (x， ) 对于该区间内任意一点x都有F (x) f (x) 或dF (x) f (x)d x，则称F (x)是f (x)在区间(a，b)内的一
个原函数．
1 不定积分的概念与性质
一般地，若F (x)是f (x)的一个原函数，那么在几何上y F (x)所表示的曲线称为f (x)一条积分曲线．由于

高等数学第四章课件.ppt

例3 求 lim x x . x0
e 解原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节函数的单调性
一、函数单调性的判定方法二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值；（ 2 ）若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即

6-4 矩阵的微分

称 F( X )为矩阵值函数
例3
ξ1 ξ2 x= M ξn
∂xT ∂ξ1 ∂xT dxT = ∂ξ2 dx M ∂xT ∂ξn
In dxT dx =? =? T dx dx T T T F(x) = xT = ( e1 x e2 x L en x)
a1 a2 a= a 3 a 4
x11 x12 X = x21 x22
x13 x14 x23 x24
T e1 Xa
T e2 Xa
( f11(X )
F(X ) = ( Xa) =
T
f12 ( X ))
(∑
0)
4
k =1 1k k
x a
x11 X = M x m1
为函数对矩阵变量的导数
Department of Mathematics
例1
a1 a2 a= M an
ξ1 ξ2 x= M ξn
f ( x) = a x = x a
T T
′ A′(t) = (aij (t))m×n
Department of Mathematics
d d A(t) = ( aij (t))m×n dt dt
二,(函数矩阵的求导法则函数)矩阵的求导法则函数高等数学中函数的和、乘积、高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的微分
d d = A(t ) B(t ) + A(t ) B(t ) dt dt
Department of Mathematics
当A−1(t)亦可微时，有亦可微时，

《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分

x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx

f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F (x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
二、基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx k x C
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
m
m
m
目录上页下页返回结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求
由
知
x
x x(t)
x0 x(0)
O
x(t)
(g
t

v0
)d
t

1 2
g
t
2

v0t

C2
由x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)

1 2
g
t
2

v0t

定理1. 存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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高等数学微积分教材第四章

高等数学微积分教材第四章第一节：导数的定义与基本性质微积分是现代数学中一门重要的学科，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

在高等数学中，微积分是一个不可或缺的章节。

本文将重点讨论高等数学微积分教材第四章的内容，即导数的定义与基本性质。

导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在第四章中，我们将学习如何准确定义导数，并探索导数的基本性质。

首先，我们来回顾导数的定义。

对于函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，可以用以下极限的形式来定义：\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]导数的几何意义是函数在该点处切线的斜率。

通过导数的定义，我们可以求解函数在某一点处的切线斜率，进而研究函数的变化情况。

接下来，我们将介绍导数的基本性质。

这些性质对于我们研究函数的变化趋势和性质非常重要。

1. 导数的线性性质：设有函数f(x)和g(x)，以及常数k，那么有以下性质成立：\[k \cdot f'(x) = (k \cdot f(x))'\]\[f(x) \pm g(x) = f'(x) \pm g'(x)\]2. 导数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积使用以下公式计算导数：\[(f \cdot g)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]3. 导数的链式法则：考虑复合函数h(x) = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数。

那么复合函数h(x)的导数计算如下：\[h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]这些是导数的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解和分析函数的变化规律。

第二节：高阶导数与隐函数求导除了导数的定义与基本性质，高等数学微积分教材第四章还涉及高阶导数以及隐函数求导的内容。

高数(一)微积分第4章

第四章微分中值定理和导数的应用4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。

2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。

例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。

解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。

注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。

2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。

拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。

推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

例4（教材162页习题4.1，4题）、证明证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。

4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。

例如,2、定理设（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；（3）存在（或为无穷大）；那么。

高等代数讲义第四章

⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念二、矩阵的相等三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜

大学数学高数微积分第四章矩阵第六节课件课堂讲解

第i列第j列
1
P(i, j(k))
1k
第i 行
1
第j行
1
二、初等矩阵的性质
引理设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次
初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.
A = Q1 Q2 … Qm .
(2)
由此即得
推论 1 两个 s n 矩阵 A，B 等价的充分必
要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级矩阵 Q 使
A = PBQ .
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行
变换化成单位矩阵.
证明设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使
A1
.
例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A , 判断其是否
可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 .
单
击
这
里
解
开
5/ 33 1/ 66 17/ 66 7 / 22
始
所以
A1
10 14 16 /
/ 33 / 33 33
35/ 66 8/ 33 23/ 66
1/ 66 4/ 33 5/ 66
ai1 a11
( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的
a1 j
( j = 2, 3, … , s ) 倍.
然后，用
a11 1 乘第一行，A a11
就变成
1 0 0
0
0
A1
.
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.