高等数学无穷级数
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当 0p1时发散，当 p >1 时收敛.
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
1.正项级数收敛的基本定理； 2.比较判别法； 3.积分判别法； 4.比值判别法与根值判别法。
本节必须熟练掌握的内容（注意，这里讨论的仅限于 正项级数）： 基本定理-正项数列收敛当且仅当部分和数列{Sn}nN有界。
( 1 ) 简单的大小比较； 1.比较判别法： ( 2 ) 比较法的极限形式；
( 3 ) 与积分的比较。
注：熟悉并积累收敛和发散级数的例子很重要！
以下两种判别法，本质上是间接与等比级数比 较2.）比。值判别法（达朗贝尔判别法）。 3.根值判别法（柯西判别法）。
1.正项级数收敛的基本定理-部分和数列 {Sn }有界。 正项级数敛散性的判定，就是单调递增非负数列
（级数的部分和数列）是否收敛的判定。
除了某些较为简单的的情况，探讨具体级数的敛 散性，基本的方法，往往是与某些已知敛散性的级 数进行比较得出结论。这就是所谓的比较判别法。
2.比较判别法
（1）定理9-3与推论9-2
设有两个正项级数 n1un 与
n1
v
n
，如果存在某
个正整数 N， 当 nN 时，有 un vn ，那么
如果
n1un
收敛，则
rn uk 称为级数 u k 的余级数（或余和）。
kn1
k1
这里的 rn仅具有形式符号的意义，并不代表数。
（3）主要的问题
（i）级数和的存在问题-收敛和发散的判定。 （这也是与有限运算最大的区别）
（ii）由以上问题派生出来的问题有限加法运算法则（如结合律，交换律）在级数
求和中是否依然成立？ 如果不是，那么使用这些运算律的条件是什么？
（4）级数收敛的一个必要条件-通项趋近于0.
【例9-4】判断级数
n1
(1
1 1
)
n
的敛散性.
n
但是（4）中所述条件不是充分的。讨论一个重要 的例子：调和级数的敛散性。方法很多，举一例， 可以考虑如下两个定积分之间的比较：
1
dx x
与 1f(x)dx
其中函数
yf(x)取值为
x[n,n1)f(x)1 n
在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的 分类。所要讨论的级数有两大类：
1.数项级数；2函数项级数。
数项级数本身是有意义的，但是函数项级数才是更 重要的。而了解数项级数，是探讨函数项级数的基础。
1
数项级数： 2
3
正项级数； 交错级数； 其它的一般项级数。
1
函数项级数： 2
3
一般函数项级数的基本理论； 幂级数； 三角级数。
（搞清楚无穷运算与初等运算的区别）
（iii）某些收敛级数和的计算问题。 也是求极限的问题，往往需要大量的积累和技巧。
（4）简单的例题 【例9-2】讨论等比级数（几何级数）
an qa a q an q (a 0 )
n 0
的敛散性.
注：尽管等比级数简单，但关于它的敛散性，却是建立 级数敛散性判据的基石。
（2）数项级数的相关概念
（i）数项级数；项，一般项（通项）； （ii）部分和；部分和数列；
（iii）数项级数和的定义-级数收敛与发散。
（iv）收敛级数的余和。 注：教材中用余和概念给出的必要条件（余和趋 近于0）有逻辑问题-因为余和存在，已经意味着 级数收敛了。如果不收敛，也没有余和。
如果在逻辑上严谨些，应该用余级数概念，或者 就将这个余级数称为余和，即记
v
n
发散；
如果
n1
v
n
收敛，则
n1un
收敛。
如果
n1un
收敛，则
n1
v
n
收敛；
（iii）(l )如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
尽管给出了上面两个定理以及一些推论，如果没有
可供参与比较的级数，这些定理也仅仅有理论推导的 意义，较难具体应用。
经常用来作为比较的，最重要的基本级数是p级数 和等比级数。
【例9-3】证明级数
Байду номын сангаас
n
2n
n1
收敛，并求其和.
等比级数与等差级数逐项相乘所得级数的求和，
有例行方法，qSnSn 与等比级数的部分和相近， 可计算。
2. 常数项级数的基本性质 简单而基本的性质，必须特别熟悉。
（1）收敛级数关于线性运算封闭，并且级数求和 与线性运算可交换；发散级数对于非0的数乘也封 闭（性质1、2与推论9-1）。
第九章 无穷级数
1.常数项级数 2.正项级数敛散性判别法 3.任意项级数敛散性判别法 4.函数项级数及其收敛性（！！） 5.幂级数 6.傅里叶级数
1.关于常数项级数的基本概念
（1）引言 高等数学与初等数学最本质的区别之一，是无限与 有限的区别。级数理论十分清楚的反映了这种区别。 所谓无穷级数（简称为级数），就是用加号将无限 多项常数或者函数依次连接起来的式子。 我们知道怎样求有限个数（或函数）的和。但是， 从可操作性讲，人们是无法完成无限多次加法计算的。 那么，无限多个数怎样做和呢？或者说，什么是无 穷级数的和呢？ 接下来的问题是：级数和总能存在吗？ 有限加法运算的运算法则（性质）可以推广到无穷 加法运算吗？或者需要什么条件可以运用那些法则？
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
1.正项级数收敛的基本定理； 2.比较判别法； 3.积分判别法； 4.比值判别法与根值判别法。
本节必须熟练掌握的内容（注意，这里讨论的仅限于 正项级数）： 基本定理-正项数列收敛当且仅当部分和数列{Sn}nN有界。
( 1 ) 简单的大小比较； 1.比较判别法： ( 2 ) 比较法的极限形式；
( 3 ) 与积分的比较。
注：熟悉并积累收敛和发散级数的例子很重要！
以下两种判别法，本质上是间接与等比级数比 较2.）比。值判别法（达朗贝尔判别法）。 3.根值判别法（柯西判别法）。
1.正项级数收敛的基本定理-部分和数列 {Sn }有界。 正项级数敛散性的判定，就是单调递增非负数列
（级数的部分和数列）是否收敛的判定。
除了某些较为简单的的情况，探讨具体级数的敛 散性，基本的方法，往往是与某些已知敛散性的级 数进行比较得出结论。这就是所谓的比较判别法。
2.比较判别法
（1）定理9-3与推论9-2
设有两个正项级数 n1un 与
n1
v
n
，如果存在某
个正整数 N， 当 nN 时，有 un vn ，那么
如果
n1un
收敛，则
rn uk 称为级数 u k 的余级数（或余和）。
kn1
k1
这里的 rn仅具有形式符号的意义，并不代表数。
（3）主要的问题
（i）级数和的存在问题-收敛和发散的判定。 （这也是与有限运算最大的区别）
（ii）由以上问题派生出来的问题有限加法运算法则（如结合律，交换律）在级数
求和中是否依然成立？ 如果不是，那么使用这些运算律的条件是什么？
（4）级数收敛的一个必要条件-通项趋近于0.
【例9-4】判断级数
n1
(1
1 1
)
n
的敛散性.
n
但是（4）中所述条件不是充分的。讨论一个重要 的例子：调和级数的敛散性。方法很多，举一例， 可以考虑如下两个定积分之间的比较：
1
dx x
与 1f(x)dx
其中函数
yf(x)取值为
x[n,n1)f(x)1 n
在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的 分类。所要讨论的级数有两大类：
1.数项级数；2函数项级数。
数项级数本身是有意义的，但是函数项级数才是更 重要的。而了解数项级数，是探讨函数项级数的基础。
1
数项级数： 2
3
正项级数； 交错级数； 其它的一般项级数。
1
函数项级数： 2
3
一般函数项级数的基本理论； 幂级数； 三角级数。
（搞清楚无穷运算与初等运算的区别）
（iii）某些收敛级数和的计算问题。 也是求极限的问题，往往需要大量的积累和技巧。
（4）简单的例题 【例9-2】讨论等比级数（几何级数）
an qa a q an q (a 0 )
n 0
的敛散性.
注：尽管等比级数简单，但关于它的敛散性，却是建立 级数敛散性判据的基石。
（2）数项级数的相关概念
（i）数项级数；项，一般项（通项）； （ii）部分和；部分和数列；
（iii）数项级数和的定义-级数收敛与发散。
（iv）收敛级数的余和。 注：教材中用余和概念给出的必要条件（余和趋 近于0）有逻辑问题-因为余和存在，已经意味着 级数收敛了。如果不收敛，也没有余和。
如果在逻辑上严谨些，应该用余级数概念，或者 就将这个余级数称为余和，即记
v
n
发散；
如果
n1
v
n
收敛，则
n1un
收敛。
如果
n1un
收敛，则
n1
v
n
收敛；
（iii）(l )如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
尽管给出了上面两个定理以及一些推论，如果没有
可供参与比较的级数，这些定理也仅仅有理论推导的 意义，较难具体应用。
经常用来作为比较的，最重要的基本级数是p级数 和等比级数。
【例9-3】证明级数
Байду номын сангаас
n
2n
n1
收敛，并求其和.
等比级数与等差级数逐项相乘所得级数的求和，
有例行方法，qSnSn 与等比级数的部分和相近， 可计算。
2. 常数项级数的基本性质 简单而基本的性质，必须特别熟悉。
（1）收敛级数关于线性运算封闭，并且级数求和 与线性运算可交换；发散级数对于非0的数乘也封 闭（性质1、2与推论9-1）。
第九章 无穷级数
1.常数项级数 2.正项级数敛散性判别法 3.任意项级数敛散性判别法 4.函数项级数及其收敛性（！！） 5.幂级数 6.傅里叶级数
1.关于常数项级数的基本概念
（1）引言 高等数学与初等数学最本质的区别之一，是无限与 有限的区别。级数理论十分清楚的反映了这种区别。 所谓无穷级数（简称为级数），就是用加号将无限 多项常数或者函数依次连接起来的式子。 我们知道怎样求有限个数（或函数）的和。但是， 从可操作性讲，人们是无法完成无限多次加法计算的。 那么，无限多个数怎样做和呢？或者说，什么是无 穷级数的和呢？ 接下来的问题是：级数和总能存在吗？ 有限加法运算的运算法则（性质）可以推广到无穷 加法运算吗？或者需要什么条件可以运用那些法则？