基本初等函数的导数
8个基本初等函数的导数公式
8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。
五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
导数的基本初等函数运算
导数的基本初等函数运算导数的基本初等函数运算主要涉及一些常见的初等函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面列举一些基本初等函数的导数运算规则：1.多项式函数：对于多项式函数f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，其导数为f'(x) = n a_n*x^{n-1} + (n-1)*a_{n-1}*x^{n-2} + ... + a_1。
2.指数函数：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
对于一般的指数函数f(x) = a^x（a > 0, a ≠ 1），其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
3.对数函数：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x（x > 0）。
对于一般的对数函数f(x) = log_a(x)（a > 0, a ≠ 1），其导数为f'(x) =1/(x*ln(a))（x > 0）。
4.三角函数：对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
对于余弦函数f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，其导数为f'(x) = sec^2(x)。
对于余切函数f(x) = cot(x)，其导数为f'(x) = -csc^2(x)。
5.反三角函数：对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)（-1 ≤ x ≤ 1）。
对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)（-1 ≤ x ≤ 1）。
对于反正切函数f(x) = arctan(x)，其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
的函数.
如果把y与u的关系记作y fu,u和x的关系记作 u gx,那么这个"复合"过程可表示为 y fu fgx lnx 2.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数.
由复合函数求导法则有
y'x
y
' u
u'x
sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
若设u x 2x 2,则y lnu.从而y lnx 2 可以看成是由y lnu和u x 2x 2经过"复
1321,
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率
基本初等函数的导数公式及导数
基本初等函数的导数公式及导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数变化的速率。
在基本初等函数中，我们可以通过一些公式来求得其导数。
下面将介绍基本初等函数的导数公式及导数。
1.常数函数的导数公式及导数：对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，它的导数为f'(x)=0。
即常数函数的导数始终为0。
2.幂函数的导数公式及导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为实数，它的导数为 f'(x) =nx^(n-1)。
即幂函数的导数是幂次减1乘以系数。
特别地，对于任意实数a，常数函数f(x)=a的导数为f'(x)=0。
3.指数函数的导数公式及导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为正实数且a ≠ 1，它的导数为 f'(x) = a^x * ln(a)。
即指数函数的导数与函数本身成比例，比例常数为 ln(a)。
4.对数函数的导数公式及导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其中 x > 0，它的导数为 f'(x) =1/x。
即对数函数的导数恒为 1/x。
5.三角函数的导数公式及导数：(1) 正弦函数的导数公式及导数：f(x) = sin(x) 的导数为 f'(x) = cos(x)。
(2) 余弦函数的导数公式及导数：f(x) = cos(x) 的导数为 f'(x) = -sin(x)。
(3) 正切函数的导数公式及导数：f(x) = tan(x) 的导数为 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 余切函数的导数公式及导数：f(x) = cot(x) 的导数为 f'(x) = -csc^2(x)。
6.反三角函数的导数公式及导数：(1) 反正弦函数的导数公式及导数：f(x) = arcsin(x) 的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 反余弦函数的导数公式及导数：f(x) = arccos(x) 的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
基本初等函数的导数ppt课件
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
ks5u精品课件
ks5u精品课件
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
ks5u精品课件
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
ks5u精品课件
思考如何求下列函数的导数：
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切线的方程为 y x 2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数导数公式大全
基本初等函数导数公式大全基本初等函数是指常见的代数函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及其组合。
这些函数在数学中起着重要的作用，我们经常需要求它们的导数以解决各种问题。
下面是基本初等函数的导数公式大全：1. 多项式函数：多项式函数是由若干个幂函数组成的函数。
对于多项式函数y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中a₀, a₁, ..., aₙ是常数，n是非负整数，则其导数为y' =n*aₙxⁿ⁻¹ + (n-1)*aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁。
2. 指数函数：指数函数是以底数为常数e的幂函数，其中e ≈ 2.71828。
对于指数函数y = aᵢe^(bᵢx)（其中aᵢ, bᵢ为常数），其导数为y' = bᵢaᵢe^(bᵢx)。
3. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数。
对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1，则其导数为y' = 1/(xlna)。
4. 正弦函数与余弦函数：正弦函数y = sin(x)的导数为y' = cos(x)。
余弦函数y = cos(x)的导数为y' = -sin(x)。
5. 正切函数与余切函数：正切函数y = tan(x)的导数为y' = sec²(x)。
余切函数y = cot(x)的导数为y' = -csc²(x)。
6. 反正弦函数、反余弦函数与反正切函数：反正弦函数y = arcsin(x)的导数为y' = 1/√(1-x²)。
反余弦函数y = arccos(x)的导数为y' = -1/√(1-x²)。
反正切函数y = arctan(x)的导数为y' = 1/(1+x²)。
7. 双曲正弦函数与双曲余弦函数：双曲正弦函数y = sinh(x)的导数为y' = cosh(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) (2) y 2 sin cos 2 x 1 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例3:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
16基本初等函数的导数公式
16个基本初等函数的求导公式（y：原函数；y'：导函数）1、y=c，y'=0(c为常数) 。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0) 。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x 。
4、y=logax，y'=1/(xlna)(a>0且a≠1)；y=lnx，y'=1/x 。
5、y=sinx，y'=cosx 。
6、y=cosx，y'=-sinx 。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2 。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2 。
9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2) 。
10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2) 。
11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2) 。
12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2) 。
13、y=shx，y'=ch x 。
14、y=chx，y'=sh x 。
15、y=thx，y'=1/(chx)^2 。
16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2) 。
二、基本初等函数包括什么(1)常数函数y = c( c 为常数)(2)幂函数y = x^a( a 为常数)(3)指数函数y = a^x(a>0. a≠1)(4)对数函数y =log(a) x(a>0. a≠1.真数x>0)(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y =arcsin x等)基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。
基本初等函数的导数公式
(1x)3
1）ytanx （2）y xtanx（3）y sinx 1cosx
（4）y sinx (5) y x
log2 x
1x2
例4 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％， 物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关
系 p(t)p0(15%t )
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么 在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是 多少（精确到0.01）?
( A )0 ,3 [] ( B )3 [ ,) ( C )0 ,[) (,3 ] ( D )0 ,[] [ 3 ,)
44
224 24
例6:用求导的方法求和:
(1)P n(x)12x3x2 nn x1(x1); (2)Sn1223x (n1)nn x2(x1).
对(1)由求导公式 (xn)nxn1, 可联想到它是另一个和式 x+x2+x3+…+xn的导数.
基本初等函数的导数公 式
二、导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数． 求 y＝x3＋sinx+log2x 的导数．
练习 1. 求 y＝x4－x2－x＋3 的导数．
练习
2.下列函数在点x=0处没有切线的是( D )
(A)y=x3+sinx
(B)y=x2-cosx
(C)y=xsinx
(D)y= x +cosx
3、商的导数
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x
5284 100 x
'
5
28
4'
1
0
0 x528 100 x2
4
1
0
0
x'
0
100 x 5284 100 x2
1
5284
100 x2
.
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元 /吨.
2因为c'98
5284
100 982
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
；微营销云控 / 爆粉 ；
情の外人忽悠得信以为真...”老板娘轻笑,“连我公爹这种心善实诚のの人都不敢打包票说她是个好人...”陆羽眉头动了一下,笑了笑,不说话.能人遭妒很正常,这老板娘和善健谈,其实内心深处也对那余文凤羡慕妒忌恨吧？否则不会这么说话.“你家住哪儿？村里边？”陆 羽岔开话题.“家住在山对面呢,这房子我
基本初等函数的导数公式推导方法
基本初等函数的导数公式推导方法基本初等函数的导数公式推导方法________________________________________基本初等函数是一类重要的数学函数，它们在数学及其应用中都有广泛的用途。
而基本初等函数的导数公式是推导基本初等函数的基础，因此，学习推导基本初等函数的导数公式是学习基本初等函数必不可少的一个步骤。
一、指数函数的导数公式1、求解指数函数$y=a^x$的导数根据指数函数的定义：$y=a^x$，可以把指数函数转化为$y=e^{ln a^x}$，将$ln a^x$展开，可得$y=e^{ln ax}=e^{xln a}$，由于$y=e^u$的导数为$y’=e^u \cdot u’$，因此，指数函数$y=a^x$的导数为：$y’=e^{xln a}\cdot (ln a)’=a^x\cdot ln a$。
2、求解指数函数$y=a^x+b$的导数根据链式法则，指数函数$y=a^x+b$的导数为：$y’=a^x \cdot ln a + 0=a^x \cdot ln a$。
二、对数函数的导数公式1、求解对数函数$y=ln x$的导数根据对数函数的定义：$y=ln x$，可以把对数函数转化为$y=ln e^x$，由于$y=e^u$的导数为$y’=e^u \cdot u’$，因此，对数函数$y=ln x$的导数为：$y’=e^x \cdot (ln x)’=(1/x) \cdot 1=1/x$。
2、求解对数函数$y=ln (ax+b)$的导数根据链式法则，对数函数$y=ln (ax+b)$的导数为：$y’=1/(ax+b) \cdot (ax+b)’=(1/ax+b) \cdot a=a/(ax+b)$。
三、三角函数的导数公式1、求解正弦函数$y=sin x$的导数根据正弦函数的定义：$y=sin x$,可以把正弦函数转化为$y=sin (cos^{-1}x)$,由于 $y=cos u$的导数为$y’=-sin u \cdot u’$,因此，正弦函数 $y=sin x$ 的导数为：$y’=-sin (cos^{-1}x)\cdot (cos^{-1}x)’=-sin (cos^{-1}x)\cdot (-1/\sqrt{1-x^2})=-cos x/\sqrt{1-x^2}$.2、求解余弦函数 $y=cos x$ 的导数根据余弦函数的定义： $y=cos x$, 可以把余弦函数转化为 $y=cos (sin^{-1}x)$, 由于 $y=sinu$ 的导数为$y’=cos u \cdot u’$, 因此，余弦函数 $y=cos x$ 的导数为：$y’=-sin (sin^{-1}x)\cdot (sin^{-1}x)’=-sin (sin^{-1}x)\cdot (1/\sqrt{1-x^2})=-sin x/\sqrt{1-x^2}$.四、反三角函数的导数公式1、求解反正弦函数 $y=sin^{-1}x$ 的导数根据反正弦函数的定义： $y=sin^{-1}x$, 可以把反正弦函数转化为 $y=cos^{-1}(sin x)$, 由于$y=cos u$ 的导数为$y’=-sin u \cdot u’$, 因此，反正弦函数 $y=sin^{-1}x$ 的导数为：$y’=-sin (cos^{-1}(sin x))\cdot (cos^{-1}(sin x))’=-sin (cos^{-1}(sin x))\cdot (-1/\sqrt{1-(sin x)^2})=-cos x/\sqrt{1-x^2}$.2、求解反余弦函数 $y=cos^{-1}x$ 的导数根据反余弦函数的定义： $y=cos^{-1}x$, 可以把反余弦函数转化为 $y=sin^{-1}(cos x)$, 由于$y=sin u$ 的导数为$y’=cos u \cdot u’$, 因此，反余弦函数 $y=cos^{-1}x$ 的导数为：$y’=-sin (sin^{-1}(cos x))\cdot (sin^{-1}(cos x))’=-sin (sin^{-1}(cos x))\cdot (1/\sqrt{1-(cos x)^2})=-sin x/\sqrt{1-x^2}$.以上就是基本初等函数的导数公式推导方法。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
1 x
B.(log
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
4
1
0
0
x'
0
100 x 5284 100 x2
1
5284
100 x2
.
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元 /吨.
2因为c'98
5284
100 982
1 u
3
3 3x 2
.
例4 求下列函数的导数
1y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3y sinπx φ其中π,φ均为常数.
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.由复合函数求导法则有
导数间的关系为y
' x
yu'
u'x.
y
' x
表
示y对
x的
导
数
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
由此可得,y ln3x 2对x的导数等于y lnu对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
y
' x
y
' u
u'x
ln u' 3x
2'
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
这可以通过导数的定义来证明。
假设常数函数为f(x) = C，其中C是一个常数。
导数的定义为f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，将f(x) = C代入该式，可得f'(x) = lim(h->0) [C - C]/h = 0。
2.幂函数的导数：幂函数的导数可以使用幂函数的定义和导数的定义来推导。
假设幂函数为f(x) = x^n，其中n是一个正整数。
根据导数的定义，可以计算出f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = x^n代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n -x^n]/h。
可以采用二项式定理展开分子表达式：(x+h)^n = C(n, 0)x^n + C(n, 1)x^(n-1)h + C(n, 2)x^(n-2)h^2 + ... + C(n, n-1) xh^(n-1) + h^n其中C(n,k)表示从n中选取k个元素的组合数。
因此，分子展开为[(x+h)^n-x^n]/h=C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)h+...+C(n,n-1)h^(n-1)+h^n可以观察到，在这个表达式中，只有第一项不含h，其他项都有h的幂次方。
因此，当h趋近于0时，这些含有h的幂次方都会趋近于0，只剩下第一项C(n, 1)x^(n-1)，即f'(x) = C(n, 1)x^(n-1) = nx^(n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数的导数可以通过化简导数的定义来推导。
假设指数函数为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1、对于任意实数x和x+h，有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = a^x代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [a^(x+h)-a^x]/h。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 2因为c 98 1321 , 2 100 98 所以, 纯净度为98%时, 费用的瞬时变化率 是1321 元 / 吨.
'
函数 f x 在某点处的导数的大小 表示函数 在 此 点附近变化的快 慢 .由上 述 计算可知,
' '
c 98 25c 90 .它表示纯净度为 98% 左 右时 净 化费用的变化率 ,大 约是 纯 净 度 为 90% 左右时净化费用变化率 的 25 倍 .这说 明,水的纯净度越高 ,需要的净化费用就越多 , 而且净化费用增加的速 度也越快.
'
4 . 若 f x cos x, 则 f ' x sin x ; 5 . 若 f x a , 则 f x a ln a ;
x ' x
6 . 若 f x e x , 则 f ' x e x ;
1 7 . 若 f x log a x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8 . 若 f x ln x, 则 f x . x
例4
求下列函数的导数
2 0.05 x 1
解 1函数y 2x 3 可以看作函数 y u3和 u 2x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
2
1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sinπx φ 其中π, φ均为常数.
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公 式
1 . 若 f x c, 则 f ' x 0 ; 2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x nx n 1 ; 3 . 若 f x sin x, 则 f x cos x ;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基础知识精练
1、已知x
x f 1)(=，则f’(3)=（）A.-31 B.-9
1 C.91 D.312、已知函数2)(x x f =，g(x)=x ，若x 满足f’(x)+g’(x)=3，则x=（
）3、下列运算正确的是（
）A.5ln )'(5
5x x = B.x x 1)'(lg = C.45π5)'π(= D.2ln 1)'(log 2x x =4、已知x x f 2)(=，则=)2ln 1(
'f （）5、已知函数=)(x f )0(3<x x ，若f’(a)=12，则实数a 的值为（
）6、求下列函数的导数：
（1）2sin 2cos
22x x y =（2）x
x x y =7、曲线x e y =在点A （0,1）处的切线方程为（）
8、已知点P （a e ,）在曲线x x f ln )(=上，直线l 是以点P 为切点的切线，求过点P 且与直线l 垂直的直线方程（e 是自然对数的底数）。
9、已知P （-1,1），Q （2,4）是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2
x y =的切线方程。
能力提升训练
1、若幂函数α)(mx x f =的图像经过点A （
21,41），则它在点A 处的切线方程为（）A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.4x-4y+1=0 D.4x+4y+1=0
2、P 为曲线x y ln =上一动点，Q 为直线y=x+1上一动点，则min ||PQ =（
）A.0 B.22 C.2 D.2
3、曲线x y 2log =在点（1,0）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为（
）4、设曲线)∈(1++=N n x y n 在点
（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令n n x a lg =，则9921a a a +++ 的值为（
）5、若一直线与圆04222=++a y x y
x 和函数4
2x y =的图像相切于同一点P ，则点P 的坐标为（）6、设直线1l 与曲线x y =相切于点P ，直线2l 过点P 且垂直于1l ，若2l 交x 轴于点Q ，又
作PK 垂直于x 轴于点K ，则KQ 的长度为（
）7、若曲线21
x y =在点（21
,a a ）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数
a 的值。
8、已知两条曲线x y sin 1=，x y cos 2=，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由。
9、讨论关于x 的方程kx x =ln 的解的个数。