第三章费米分布及玻耳兹曼分布
半导体物理第3章载流子的统计分布
非热平衡状态下的载流子浓度
01
在非热平衡状态下，载流子浓度不再由费米分布函数
决定，而是受到外部因素的影响，如光照、电场等。
02
光照条件下，光子激发电子从价带跃迁到导带，产生
光生载流子，导致载流子浓度增加。
03
电场作用下，载流子将受到电场力的作用，产生漂移
运动，导致载流子浓度和分布发生变化。
温度对载流子浓度的影响
N型半导体中的载流子浓度
N型半导体中，多数载流子是电子，其 浓度远高于空穴。
电子浓度主要由掺杂浓度决定，通常通过引 入施主杂质实现。
在绝对零度以上，由于热激发，会 有少量空穴产生。
P型半导体中的载流子浓度
P型半导体中，多数载流子是空穴，其浓度远高于电子。 空穴浓度主要由掺杂浓度决定，通常通过引入受主杂质实现。 在绝对零度以上，由于热激发，会有少量电子产生。
半导体物理第3章载流子的统计分 布
目 录
• 引言 • 载流子种类 • 载流子分布函数 • 载流子浓度与温度的关系 • 载流子浓度与掺杂的关系 • 结论
01 引言
主题概述
载流子
在半导体中，载流子是指能够导电的粒子，通常为电 子和空穴。
统计分布
载流子的统计分布是指载流子在不同能态上的分布情 况，它决定了半导体的导电性能。
新材料
半导体物理的发展也促进了新材料的发现和应用，如石墨烯、氮化镓 等新型半导体材料在电子器件领域具有广阔的应用前景。
02 载流子种类
电子
01
电子是带负电的粒子，是半导体的主要载流子之一。
02
在半导体中，电子可以在价带和导带之间跃迁，形成导电电 流。
03
电子的浓度和行为受温度、掺杂等因素影响。
半导体物理学(第7版)第三章习题和答案
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。
解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c z la z y t a y x t a xz ty x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。
玻尔兹曼分布与费米狄拉克分布的统一
p 2 c2
+
m
2 e
c4.
为了简化,
把所有的能量以
m e c2
为单位, 动量以 m e c为单位, 上式化为
ne = 8KP3e Q]1
1+
E E2 - 1 exp [ (E - Le - 1)
/kT ]
dE,
( 7)
Ke = h /m e c为电子的 Com pton波长.
如果要计算电子处在 E 1和 E 2之间的几率 f2, 则需要
0. 3109 0. 1230 2. 5286 0. 5722 0. 0347 16. 4914
0. 3109 0. 1707 1. 8217 0. 5722 0. 0483 11. 8537
2
0. 3109 0. 2353 1. 3215 0. 5722 0. 0716 7. 9958
1
0. 3109 0. 2829 1. 0991 0. 5722 0. 0983 5. 8221
后左右调一点但是值不变就是它合理的上限.
3 数值结果和分析 [ 4- 8]
表 1给出了在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和 费米 ) 狄拉克分布的比较. 其中左列为温度 kT= 0. 5M eV, 电子动能 0. 5- 1M eV的几率; 右列为 kT = 0. 05M eV, 电子 动能 0. 05- 0. 5M eV 的几率. f1 和 f2 分别代表玻尔兹曼分 布和费米 ) 狄拉克分布的结果. 由于玻尔兹曼分布不受化 学势的影响, 故化学势变化保持恒值; 费米 ) 狄拉克分布 的值随化学势减小而变大. 当温度较高, 如左列, 在化学势 很小时, 它们的分布几率是相差不大的. 但随温度降低, 如 右列, 它们偏离会增加. 随着 kT 值的增大, 物态越接近于 理想气体, 故两种分布几率越接近.
半导体物理_第三章
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取 mn*=m0，则当T=300K时， NC=2.5X1019cm-3， 对于大多数半导体材料来说，室温下NC确实是在 1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5X1019cm-3 。
这个积分函数随着变量ηF的变化关系如下图。
费米－狄拉克积分函数随着归一化费米能级的变化：
ηF>0时，意味着费米能级已经进入到导带中。
与此类似，热平衡状态下的空穴浓度也可以表 示为：
η’F>0，意味着费米能级已经进入到价带中。
4. 简并半导体与非简并半导体 在前面关于非本征半导体材料的讨论中， 实际上假设了半导体材料中的掺杂浓度通常都 是远远低于其本体原子密度的,通常把这种类 型的半导体材料称为非简并半导体。此时，在 N型半导体材料中，施主能态之间不存在相互 作用，同样，在P型半导体材料中，受主能态 之间也不存在相互作用，
而当半导体材 料中掺入受主 杂质后，空穴 浓度将大于电 子浓度，其费 米能级的位置 也将由禁带中 心附近向价带 顶部下移
在前面导出的有关本征半导体材料在热平 衡状态下的载流子浓度公式同样也适用于非本 征的半导体材料，只是这时半导体材料中费米 能级EF的位置随着掺杂情况的不同而发生相应 的改变。因此电子和空穴的浓度也将会发生相 应的变化，且二者一般不再相等。即：
其中gV(E)是价带中的量子态密度， 1−fF(E) 反映的是价带中的量子态未被电子填充的几率。 p(E)的单位也是cm-3eV-1。价带中总的空穴浓度 p则由上式对整个价带的能量区间进行积分即可 求得，p的单位是cm-3，即单位体积内的空穴数 量。
费米能级EF的位置的确定
半导体物理学复习讲义 引论~第三章
1.3晶向和晶面
晶体各向异性 将布拉维格子看成互相平行等距的直线族 每一直线族定义一个方向，称为晶向 如沿晶向的最短格矢为
l1a1 l2a2 l3a3
该晶向可记为：
l1, l2 , l3
1.3晶向和晶面
将布拉维格子看成互相平行等距的平面族，也称为晶面 如某平面族将基矢分成
1. 恒量 2. V为正空间体积
考虑自旋，k空间态密度：
状态密度定义
单位能量间隔内的状态数目：
考虑自旋，k空间态密度：
E-k 关系
能量空间状态密度
能量变化 dE
k状态变化 dk
k空间体积变化 dΩ
状态数变化 dZ
球形等能面状态密度求解
导带E- k关系：
k k0
E E dE
k k dk
1.1半导体的晶格结构和结合性质 1.2半导体中的电子状态和能带 1.3半导体中电子的运动
有效质量 空穴
1.4本征半导体的导电机构
1.5回旋共振
1.6硅和锗的能带结构 1.10宽禁带半导体
1.1.1金刚石结构和共价键
特点：
每个原子和周围的4个最近邻原子形成一个正四面体
顶角原子和中心原子形成共价键
1.2半导体中的电子状态和能带
1.2.1原子的能级和晶体的能带
电子壳层：1s,2s,2p,3s,3p,3d,4s
……
电子的共有化运动
最外层电子的共有化运动最为显著
公有化运动导致简并能级出现分裂
由于原子数量巨大，分裂后能级之间差距微小，形
成能带，称为允带
S:非简并态， P:三重简并
1.2.1原子的能级和晶体的能带 几个名词：
三、原子结合类型
第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e
Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
玻尔兹曼分布与费米—狄拉克分布的统一
如果要计算电子处在 和 之间 的几率 ， 则需要
先算 出 Ｅ 到 的积分 ， 出之间的粒子数密度 ， 得 再除 以 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总的 数密度 ， 即
．
Ｆ
Ｅ
一１
－
— —
Ｊ Ｚ
， Ｉ
—
－
－ Ｉｅ
—
：
—
（ ｔ ）ｋ ｘ ［ Ｅ－ ｅ １ ／ ｒ］ ｐ＂ ｉ ，—一 —— ＿ ＝ ； —
ｅ 璃４ 一 Ｔ ｄ ｒ 口
统计、 玻色统计和费米一狄拉克统计． 尔兹曼统计主要 玻
研究定 域系统 和满足 经典 极 限条 件 的近 独立 粒 子 系统 的
（） １ 式其实就是麦克斯韦速率分布， 以有时将玻尔兹曼 所
能 量分布 又叫麦玻 能量 分布． 了更 清楚 的看 到玻 尔兹 曼 为
玻尔兹曼根据平衡时各态概率均等原理和概率归一 化条件， 运用经典力学的观点把能量看成是可连续变化的
・
能） 是 Ｂｈｍ ｎ 常数． ， ｏｚ ａｎ 如果现在我们将其在 ０～∞区域 进行积分 ， ３ 式变为 （） 。
收稿 日期 ：０ ０— ５—２ ２１ ０ ８
基金项 目： 国家 自 然科 学基金 资助 项 目（０７７９ ； １７８１） 四川省教 育厅青 年基金资助 项 目（９ Ｂ８ ， ７ Ｂ８ ） 西华师 范 ０Ｚ ０７ ０ Ｚ０９ ；
第２ ０卷 ５期
Ｖｏ ． Ｏ Ｎｏ ５ １２ ．
四川 文理 学院学 报
Ｓｃ ｕ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｆＡｒｓ ａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ Ｊ ｕ ｎ ｌ ｉｈ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｙ
２１ ０ ０ ０年 ９月
Ｓ ｐ． ０ ０ ｅ ２ １
(完整版)第三章习题和答案
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E 之间单位体积中的量子态数。
解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c Cn lm h E C nlm E C nn c n c）（）（单位体积内的量子态数）（2222222111'''2222'''''12''3'~()2(),(),()()()2,()x y z C t la a a xx y y z zt t lc c x y z at t l a Si Ge E k k k k h E k E m m m m m k k k k k k m m m h E k E k k k m k m m m k g k V m k• 证明：、半导体的（k ）关系为（）令则：在系中等能面仍为球形等能面在系中的态密度3. 当E-E F 为1.5k 0T ，4k 0T, 10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
''''2'31231'2231'2221223~().().42()()4()1001112()()4()()t t l c n c ntl E E dE k dZ g k k g k k dk m m m dZ g E E E V dE h i m g E sg E E E V hm sm m在空间的状态数等于空间所包含的状态数。
第三章 半导体中载流子的统计分布 布置作业解答
第三章作业题解答1、 计算能量在C E E =到2*2100(/8)C n E E h m L =+之间单位体积的量子态数。
解：导带底C E 附近每单位能量间隔内的量子态数为：13/223(2*)()()2n C C m V g E E E π=-则在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的量子态数为()C g E dE 。
在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的单位体积的量子态数为()C g E dEV。
故能量在C E E =到22*2100(/2)C n E E m L π=+ 之间单位体积的量子态数为：22*222*2100(/2)13/2100(/2)233()(2*)()21000/3C n CC n CE m L C E E m L n C E g E dEZ Vm V E E dE L ππππ++⋅==-=⎰⎰2、试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为3/23(2*)()4()n C C m g E V E E h π=-(没有布置这一题)证明：Si 、Ge 在导带底附近的等能面为沿主轴方向的旋转椭球面，设其极值为C E ,则()E k k 关系为：2222312()()2C t lk k k h E k E m m +=++与椭球的标准方程：2223122221k k k a b c++= 比较得：1/222()[]t C m E E a b h -==，1/222()[]l C m E E c h-= ,,a b c k 即空间等能面（旋转椭球）的三个半径，故椭球体积为：1/23/2344(8)()33l t C V abc m m E E hππ==-对应能量为E E dE →+范围内两椭球壳之间体积为：dVdV dE dE=即 21/21/232(8)()l t C dV m m E E dE hπ=- 设晶体体积为V ，则其量子态密度为2V （考虑自旋），故在能量空间dV 体积内的量子态数为：21/21/2322(8)()l t C dZ V m m E E dE hπ=⨯- 因为导带极值在k 空间有S 个，所以状态密度为：21/21/23(8)()4()l t C C m m dZg E S V E E dE hπ==⨯- 又2/321/3*()n dn l t m m S m m ==所以 3/21/23(2*)()4()n C C m g E V E E hπ=-3、 当F E E -为0001.5,4,10k T k T k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
第3章-半导体中载流子的统计分布
3.1 状态密度
• 1、k空间量子态的分布 • 2、状态密度
1.5 载流子的运动 载流子 参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。
载流子的产生 本征激发 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴 杂质电离 当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；
当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴
载流子数目增加
(3-27)
所以，导带底附近的状态密度为:
gC
(E)
dZ dE
4V
2mn 3/ 2
h3
E EC 1/ 2
此式表明，状态密度随电子的能量呈抛物线关系。
对于等能面为椭球面的情况，仍选极值能量为
Ec,E(k)与k的关系：
E(k)
Ec
h2 2
k12
k
2 2
mt
k
2 3
ml
考虑到晶体的对称性，导带底极值附近对应椭球不止
能量为E的空穴状态密度 mp* 空穴的有效质量 EV 价带顶
有效质量
晶体中的电子除了受到外力作用外，还受到晶格原子和 其他电子的作用，为了把这些作用等效为晶体中的电子质 量，所以引入有效质量的概念。（当电子在外力作用下运 动时，它一方面受到外电场力的作用，同时还和半导体内 部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内 部势场和外电场作用的综合效果。但是要找出内部势场的 具体形式并且求出加速度遇到一定的困难，引进有效质量 后可使问题变得简单，直接把外力和电子的加速度联系起 来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。特别是有 效质量可以直接由试验测定，因而可以很方便地解决电子 的运动规律。）
对于P型半导体，随着受主杂质浓度的增加，费 米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近。
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。
玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。
根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。
玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。
费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。
三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。
当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。
而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。
综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。
第三章 费米分布及玻耳兹曼分布[详版课资]
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此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
E
EF kT
－1
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBE
exp
E EF k0T
23
课堂优质
23
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1 此时,空穴的费米分布函数近似为
先考虑导带:
E E+dE内的量子态数: dZ=gc(E)dE; 电子占据能量为E的量子态的概率: f(E); 则E E+dE内的所有量子态上的电子数为: dN=f(E)gc(E)dE
课堂优质
29
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对旋转椭球形等能面:
gc (E)
4V
(2mn )3/ 2 h3
15
3.1.3 状（能）态密度的总结
课堂优质
16
3.2 费米能级和载流子的统计分布
课堂优质
17
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
37
3.2.4 载流子浓度乘积
讨论
1. 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关，也与掺杂无关， 取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量。
2. 在特定温度下，对于确定的半导体材料，热平衡下载流 子浓度的乘积保持恒定。
课堂优质
38
3.3 本征半导体的载流子浓度
现代物理化学电子教案：三种统计的最概然分布
费米(4) 费米-狄拉克统计
P10～11） （费米子的最概然分布 P10～11）
ni =
e
− ( α+βε i )
gi
+1
1.2.4 三种统计分布的比较
ni = e
− ( α+βε i )
gi
◎共同点：β表达一致 共同点： 表达一致
−1
1 β=− kT
ni =
e
− α−βεi
gi
◎异同点：描述不同体系 异同点：
∗ = N = eα Ni N eβ∈i
∑
i
β∈i e
( 从1.12式 )
i ∴ eα =
∑
i
或α = ln N − ln
∑
i
eβ∈i
Neβ∈i 代入(1.12)式: N* = (1.13) i eβ∈i
∑
i
1 可证明： β = − k BT
玻兹曼的最概然分布公式
N =N
* i
e
i
β ∈i β ∈i
ni =
e
− ( α+βε i )
gi
−1
ni =
e
− α−βε i
gi
◎ 联系： 联系： 当温度不太低， 当温度不太低，密度不太 高，粒子质量不太小时， 粒子质量不太小时，
−α
ni =
e
− ( αFD分布可转化为 分布和 分布可转化为MB分布 >> 1， BE分布和 分布可转化为 分布
非定位体系分布的微观状态数
（3）无简并度定位体系的最概然分布 无简并度定位体系的最概然分布
能级: 能级: ∈1 某分布（X） : N1 某分布（
Ω=
费米分布函数和玻尔兹曼函数的区别
费米分布函数和玻尔兹曼函数的区别费米分布函数和玻尔兹曼函数是描述粒子统计行为的两个重要数学工具。
它们在统计物理学和量子力学中扮演着不可或缺的角色。
费米分布函数描述了处于热平衡态下的费米子（如电子、中子）的能级分布情况，而玻尔兹曼函数则描述了玻色子（如光子、声子）的能级分布情况。
虽然两者都涉及能级分布，但它们有明显的区别。
首先，费米分布函数和玻尔兹曼函数的推导基于不同的统计假设。
费米-狄拉克统计假设认为费米子具有自旋1/2，并遵循泡利不相容原理，即每个量子态最多只能有一个粒子占据。
根据这一假设，可以推导出费米分布函数的表达式。
而玻色-爱因斯坦统计假设认为玻色子具有整数自旋，并允许多个粒子占据同一个量子态。
根据这一假设，可以推导出玻尔兹曼函数的表达式。
其次，费米分布函数和玻尔兹曼函数的表达式具有不同的形式。
费米分布函数表示了处于热平衡态下的费米子能级的占有概率，其表达式为：f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) + 1)其中，E为能级，μ为化学势，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
费米分布函数的特点是在低温下，占据概率逐渐趋于1，近乎于全满，并且在化学势附近有一个陡峭的跃迁区域。
而在高温下，概率逐渐趋于0，近乎于全空。
玻尔兹曼函数表示了处于热平衡态下的玻色子能级的占有概率，其表达式为：f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) - 1)玻尔兹曼函数的特点是在低温下，占据概率趋近于0，近乎于全空，并且在化学势附近有一个陡峭的跃迁区域。
而在高温下，概率逐渐趋近于1，近乎于全满。
此外，费米分布函数和玻尔兹曼函数的物理意义也有所不同。
费米分布函数描述了费米子在系统中的分布情况，它决定了费米子填充能级的方式，从而影响了材料的导电性、磁性和热疏导性等性质。
费米分布函数还能够解释费米面、费米能级和众多金属、半导体、绝缘体材料的电子性质。
而玻尔兹曼函数描述了玻色子的分布情况，它决定了玻色子在系统中的占据概率，从而影响了光子的发射和吸收过程、声子的传播和散射过程。
第三章-热平衡时非简并半导体载流子浓度
温度不很高时: 能量大于 EF 的量子态基本没有被电子占据 能量小于 EF 的量子态基本为电子所占据 电子占据 EF 的概率在各种温度下总是 1/2
(2)f(E)与 EF 有关 EF↑，f(E)↑，能带中的电子占有几率增加
EF EF
EF
EF E
E
1 f (E) e kT Be kT
E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占
有几率下降，即电子填充水平增高。
服从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统
相应的半导体 非简并半导体
满足：E EF kT
或EF E kT
服从Fermi分布的电子系统
简并系统
相应的半导体 简并半导体
(EF )本征 Ei (Ei为禁带中心能级）
Eg 1.12ev
Ec EF Ec Ei 0.56ev
在室温时，kT=0.026eV
0.56/0.026=21.6＞＞5
所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。
2.空穴的玻氏分布
1
f (E)
1
EEF
e kT
1
1
EF E
e kT
1
当 EF－E＞＞kT 时，
2
EV
E(k) 1/2
E
1
Ec
gc(E)
状态密度与能量的关系
Ev
gv(E)
2
对Si、Ge、GaAs材料：
gv(E)=gvh(E)+gvl(E)
4V
(
2(m
* p
)
h
4V
(
2(mh2p* h2
)l
)3/ 2 )3/ 2
半导体物理第三章习题参考答案
NA
解得：
p
NA 2
1
1
4ni2
N
2 A
1
2
1 叶良修，半导体物理学（第二版），上册，129 页。
(1) T 300K 时，硼原子全部电离，此时本征载流子浓度 ni 1.51010cm-3 有：
NA ，
p
NA
1014 cm-3 ， n
ni2 p
2.3106 cm-3 ；
(2) T 400K 时，此时本征载流子浓度23 ni 1.31014 cm-3 NA ，本征激发已不 能忽略，有：
答：当T 300K 时，有：
3
3
NC
2
2 mnkT h2
2
2.509 1019
mn m0
2
cm-3
3
3
NV
2
2
mp h2
kT
2
2.509
1019
mp m0
2
cm-3
ni
NC NV
1
2
exp
Eg 2kT
代入数据得到：
Si GaAs
NC cm-3 2.7581019 4.351017
由波尔兹曼分布近似：
n NA ND nD
n
NC
exp
EC EF kT
以及施主能级上的电子的分布规律：
有：
nD
ND
1 gD
exp
EF ED kT
1
1 gD
exp
EF ED kT
n NA n n ND nD
ND NA n
nD
n
ND nD
1
n
1 gD
exp
第三章半导体 重点知识
价带顶态密度
1 V （ 2m ） gV ( E ) = （ EV E） 2 2 2π
3 * 2 p 3
结论：导带底和价带顶附近， 结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大， 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大，即 能量越大，状态密度越大。 能量越大，状态密度越大。
3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数f(E) 费米分布函数f(E) 热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统 计分布规律性 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布
f (E) =
1 1+ e
E EF k 0T
f(E)表示能量为E f(E)表示能量为E的一个量子态被一个电子占据 的概率。E 的概率。EF表示平衡状态的参数称为费米能级
2 2 C * n
得到K的表达式，并求导，得到KdK关于dE的表达式 5. 代入步骤3的结果，得到dZ与dE关系式
* dZ V ( 2mn )3 / 2 6. 根据定义 g ( E ) = = ( E EC )1/ 2 dE 2π 2 3
结论
3.1状态密度 3.1状态密度
3 * 2 n 3
1 V （2m ） 2 （E EC） 导带底态密度 g c ( E ) = 2 2π
1 f (E) = e
EF E k 0T
3.2 费米能级和载流子的统计分布
3。简并半导体和非简并半导体 。
简并半导体：掺杂浓度高，对于 型半导体 其费米能级E 型半导体， 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级 F 接近导带或进入导带中； 型半导体， 接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级 F 型半导体 其费米能级E 接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级 半导体 n型半导体 型半导体 非简并 弱简并 简 并
半导体物理学(第7版)第三章知识题和答案解析
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。
解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a x z t y x C C e E E m k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。
半导体物理学第三章习题和答案
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。
解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c Cn lm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a xz t y x C C e E E m hk V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：3. 当E-E F 为1.5k 0T ，4k 0T, 10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
4. 画出-78o C 、室温（27 o C ）、500 o C 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比较。
5. 利用表3-2中的m *n ，m *p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C , N V 以及本征载[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n cn c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。
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E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
26
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
低掺杂半导体中， 载流子统计分布 通常遵顺玻耳兹 曼统计分布。这 种电子系统称为 非简并性系统。
27
高掺杂半导体， 载流子服从费米 统计，这样的电 子系统称为简并 性系统。
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
电子按量子态分 布(费米或玻耳兹 曼分布)
第三章 半导体中载流子的统计分布
1
本章要点
理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件，及费米函数的性质。 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程。 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系。 掌握本征、杂质半导体中载流子浓度的计算。 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算。 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式。
E
EF kT
－1
ห้องสมุดไป่ตู้
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBE
exp
E EF k0T
23
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1 此时,空穴的费米分布函数近似为
T=0K： 若E<EF，则 f(E)=1； 若E>EF，则 f(E)=0。 T>0K： 若E= EF ， 则f(E) =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；
费米分布函数与温度的关系
19
3.2.1 费米分布函数
温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。 E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
对硅， 导带底共有6个对称状态，m dn 1.08m0; 对锗，s 8，m dn 0.56m0
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.2 费米能级和载流子的统计分布
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
－1
f
V F
E
1＋exp
EF k
T
E
exp(- EF - E ) kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
f
V B
E
exp
EF k0T
E
24
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
非简并系统和简并系统
通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而 必须用费米分布描述的系统称为简并系统。
gc (E)
dZ dE
4V
s(8mxm*ym*z )1/ 2 (E h3
EC )1/ 2
若等能面为旋转椭球面，即 m*x m*y mt ; m*z ml
并令： mn* mdn s2/3 (ml mt2 )1/3
则：
gc (E)
4V
(2mn )3/ 2 h3
(E
EC )1/ 2
mdn : 导带底电子状态密度有 效质量。
2
引言
热平衡状态: 在一定的温度下，给定的半导体中载 流子的产生和复合同时存在，最后达到一动态平 衡。
热平衡载流子浓度：当半导体处于热平衡状态时， 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定 的值，这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流 子浓度。
3
3.1 状态密度
4
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
假定有s个相同椭球，可得到状态密度：
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fnE
1
EEF
电子的费米分布函数
1 e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
3.2.1 费米分布函数
它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子系统）中 属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率。
20
3.2.1 费米分布函数
空穴的费米分布函数：
f
V
(E)
1－f
E
1＋exp
EF k0T
E
－1
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
21
3.2.1 费米分布函数
费米能级在能带中的位置： 对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费 米能级位置在导带中。
对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足: E-EF>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率， 此时的电子系统是非简并的； 对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足: EF-E>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 ，此时的空穴系统是非简并的。
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
意义：当粒子系统中的微粒子非常稀少时，粒子必须遵守的泡 利不相容原理自动失去意义。即系统中每一个量子态不存在多 于一个粒子占据的可能性。
除去在EF附近的几个kT处的量子态 外，在 E EF kT 处，量子态为 电子占据的几率很小。即在 E EF kT 的条件下，泡里不相容原理失去作 用，费米分布和波耳兹曼分布这两 种统计的结果是相同的。
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是 空的，费米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂 质浓度以及温度的不同而改变。
22
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
1. 电子的玻耳兹曼分布函数 E EF kT时, exp [(E-EF )/kT] 1
此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
可见，温度主要影响费米能级附近的电子状态。
关于费米能级的几个要点： 1、一般可以认为，在温度不太高时，能量大于EF 的电子态基本 上没有被电子占据；能量小于EF 的电子态，基本上被电子所占据， 而电子占据E=EF能态的几率在各种温度下总是1/2；
2、EF 标志了电子填充能级的水平， EF位置越高，则填充在较高 能级上的电子就越多。