高数下册第七章微分方程一、二、三节
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高等数学第七章资料
ln y ln( x 2) lnC 所以方程的通解为
y C( x 2)
例1 求方程 ( x 2) dy y dx
解2 方程改写为
的通解
y C e P( x)dx
dy 1 y 0 dx x 2
所以
p( x) 1 x2
由公式得通解
y
y2 C(1 x2 ) 1
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐（显）式通解.
作业 P304习题7-2 1(1)(3)(7)(8)， 2(1)(2)
第三节 齐次方程
一、齐次方程
定义1 可化为形如 dy f ( y ) 的一阶微分方程称为 dx x 齐次方程.
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
y' 2x
①
由①得
y x1 2
② (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2, 问
（1）开始制动后多少时间列车才能停住？ （2）在这段时间内列车行驶了多少路程？
解 分离变量
两边积分
ey ex C
即 (ex C )ey 1 0 ( C < 0 )
2、 求微分方程 dy 1 x y2 xy2 的通解 dx
解 方程可化为 分离变量,得 两边积分,得 得通解
dy (1 x)(1 y2 ) dx
dy 1 y2
y C1C2e x e2x是否 y 3 y 2 y 0的通解?
高数下册 第七章 微分方程习题课 (一)(二)
dy y (3) = dx 2( ln y − x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) + x y − x3 y3 = 0 dx z = y−2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy − x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + =0 x2 + y2 提示: 提示 为全微分方程 , 通解
B = −417
原方程通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 原方程通解为 思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 提示 特解设法有何变化 ?
故 y * = Acos 2x + Bsin 2x + D
24
′′ − a y′2 = 0 y P327 题4(2) 求解 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q Q = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
7
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
dp dp = f ( x, p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 x2 y′′ + px y′ + qy = f (x) d t 令 x = e ,D= dt [D(D −1) + pD+ q] y = f (et ) 练习题: P327 题 2 练习题
高数下册 第七章 第六、七节 高阶微分方程
利用 y
t 0
y l y y l arccos l l , 得 C 2 0, 因此有
2
13
d2 y kmM m 2 , 2 dt y
y l
R
o
由于 y = R 时 由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
y R
1 l ( l R R 2 l arccos R 2g
d x
C1 x C 2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
2
例1.
解: y e 2 x cos x d x C1
1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 8
1 p2 1 e 2 y C 1 2 2 利用初始条件, 得 C1 0, 根据 p y 0 y x 0 1 0, 得 dy p ey dx 积分得 e y x C 2 , 再由 y x 0 0, 得 C 2 1
积分得 故所求特解为
a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x )
f ( x ) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x ) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P ( x ) y Q( x ) P ( x )d x P ( x )d x P ( x )d x d x e 通解: y C e Q( x ) e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
高数(第七版)第7章讲稿
y Q(x)e P(x)dxdx C1 e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C1e P(x)dx
这表明:一阶非齐次线性方程的通解等于对应于它 的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.
例1.(P316,例1)求方程 dy 2 y (x 1)5/2的通解. dx x 1
从而 dy u x du ,方程 1变为u x du (u)
dx
dx
dx
即 du (u) u ,这是可分离变量方程,求出它的
dx
x
通解,再将u y 代入得1的通解.
x
例1P310?解方程 y2 x2 dy xy dy .
dx dx
解:先化为标准形式
(xy x2 ) dy y2 dx
解法 : 作换元,令 y p, y dp dx
原方程变为 dp f (x, p) 一阶方程 dx
设其通解为: p (x,C1),C1是任意常数 即 y (x,C1)
y (x,C1)dx C2 , (C1, C2是任意常数)
只表示一个原函数
例2.(P323,例3)求(1 x2) y 2xy的通解,并求满足初始
y C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1)
代入原方程,得
C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 x 1
(x 1)5/2
C(x)(x 1)2 (x 1)5/2
C(x) (x 1)1/2
C(x)
(x
1)1/2 dx
2 3
(x
1)3/ 2
C1
y C(x)(x 1)2
过点(x0 , y0 )的那条积分曲线.
初值问题 3的几何意义:求微分方程 y f (x, y, y)
高数下册笔记精
第七章微分方程§ 1 微分方程的基本概念 一. 基本概念 :1. 微分方程 ; 凡表示未知函数 , 未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2. 常微分方程 ; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3. 偏微分方程 ;如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4. 微分方程的阶 ; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5. 微分方程的解 ; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6. 微分方程的通解 : 如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7. 微分方程的初始条件与特解 .8. 微分方程的积分曲线 : 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析P263． 5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程 :例 1．曲线在点处( x, y)的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为yf (x) , 则由题意得 : y ' x 2 .--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例 2．曲线上点P( x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分 .解：设该曲线的方程为yf (x) , 且设曲线在点 P 处的法线记为 L ，则其斜率为1/ y' ；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为 M ( X ,Y) ，进而得法线Ｌ的方程为：Y y k( X x) 且 k1/ y '即Y y (Xx) / y ' ；则易求得：X Q x y y ' 且 Y A yx / y ' ．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：X Q X P 2X A 且 Y Q Y P 2Y A ．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2xy y ' --------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§ 2．可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！ ）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：F (x, y, y') 0对称形式：P( x, y)dx Q ( x, y)dy 0二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：P(x, y) dx Q(x, y)dy 0 ，可等价地转化为f (x)dx g( y)dy 0 的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x ， dx 与因变量 y ， dy 的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解． §３．一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！ ）一．一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方程也即原方程形如：dy f ( x y ) 中，如果方程右边的函数 f ( x, y) 可写成 y的函数式即 f ( x y )( y ) ， ,,dxxx dy ( y) ，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．dxx二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法 ―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令uy，则 y ux,dyu xdu，代入原一阶齐次微分方程x dx dx du dx 第二步，进行变量 u 与 x 的左右分离得：u；(u) xdy( y ) 得： u x du(u) ；dxx dx第三步，两边求不定积分即可得其解． ．．．三．例题分析参见Ｐ 271．例１．又如．Ｐ 276 ．１．（ 4）．求方程(x 3 y 3 )dx3xy 2 dy 0 的通解．解：原方程可转化为 3dyx 3y 3x 2y，作变量代换令 uy，则 y ux,dyu xdu；dxxy 2 y 2x x dxdx则原方程转化为：3(uxdu) 1 u （注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！ ）dx u 2紧接着就进行自变量与因变量的左右分离§４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义：x du1 2uu 2dudx．最后两边作不定积分即可． ．．dx u 21 2uxP x y Qx ) 的方程为一阶线性微分方程．称形如：dy( )(dx（注：因为方程的左边对未知函数y 及其导数 y ' 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（ i ）. 当 Q (x)0 时，则称dyP( x) y 0 为一阶线性齐次微分方程．dx（ ii ） . 当 Q ( x)0 时，则称dyP(x) y Q ( x) 为一阶线性非齐次微分方程．dx二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中， 将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数u(x) 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解， 代回原非齐次方程中去确定那个待定函数 u( x) 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）dyP( x) y Q (x) 的通解公式如下： y ep ( x )dxQ( x) ep( x) dxc] ―――请牢记！２．一阶线性微分方程：[ dxdx三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！ ）１．伯努利方程的定义我们称形如：dyP( x) y Q ( x) y n ．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂ n 级伯努利方程＂） ．dx２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令z y1n ，则dz (1 n) y1 ndy，将其代入原 n 级伯努利方程（＊）可得dzdxdxn) p( x) z (1 n) Q (x) ----- 这是一个一阶线性非齐次方程 !(1 dx进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解, 这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ 282． 9．（ 1）．dy (x y)2dx解：可令 ux y ，则原方程转化为 dydu 1 u 2du u 2 1dudx 两边积分就可得其解． ．．．．dxdxdxu 2 1例２．Ｐ 282.9. （ 3）解方程 xy ' y y(ln x ln y)解：可令uln x ln yln xy xy e u两边关于自变量Ｘ求导得 y xy ' eudu代入原方程得：du ，dudu dx两边积分就可得其解．．．．．dxue u x 1e u ux 1dxdxux§６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法）一．y (n)f (x) 型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分 n 次，就可得其通解．二． y ''f ( x, y ') 型微分方程首先此方程 y '' f ( x, y ') 的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则d 2 y dpdx dx 2，dx进而原方程转化为：dpf ( x, p) ―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx解法去求解．．．．．得其通解设为p( x, c 1 ) 又 pdy ，也即有dy ( x, c 1 )dy(x,c 1) dx ，最后只要两边再作dx dx一次积分，就可得原二阶显微分方程的解．三．y '' f ( y, y ')型微分方程首先方程 y ''f ( y, y ') 的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂． 此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则 d 2y dp dp dypdp，进而原方dxdx 2dx dy dxdy程转化为pdpf ( y, p) ――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去dy求解．．．设得其通解为 p( y,c 1 ) 又 pdydy dy，也即有( y, c 1 )dx，最后只要两边再作一次积分，dx dx( y, c 1 )就可得原二阶显微分方程的解．四．例题分析Ｐ 292． 1．（ 5）求解方程：y'' y ' x解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量y ，即 y'' f (x, y ') 型．接着可令pdy d 2 y dp dp x p ．―――这是一阶线性非齐次方程dp ，则dx 2dx，进而原方程转化为：p x ．dxdxdxp 1dxx e1dxc] e x [ xe x dx c] x e2 x ce x；由一阶线性非齐次方程的通解公式知： e [ dx进而知：p dy x e2x ce x dy (e2 x ce x x)dx ，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．．dx五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画．即将微分方程的自变量 x 与因变量 y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．例如：Ｐ 292 ．1．（4）求解方程：y '' 1 y '2 ．解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和y，它同属 y '' f ( x, y ') 与 y '' f ( y, y ') 型；所以解法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设p dy ，则 d 2 y dp．进而原方程转化为：dp 1 p21dp dx1dp dx．dx dx2 dx dx p2 p2 x arctan p c1―――这就求得了自变量x 关于参数p的函数式；以下再来求出因变量y 关于参数 p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．由p dy dy pdx1 pdp ，所以y1ln(1 p2 ) c2；dx p2 2x arctan p c1从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：1 p2 ) ．y ln(1 c22注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292 ．１．（ 8）；（9）；（10）．§７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！）一．二阶线性微分方程的定义：称形如： y '' P( x) y ' Q (x) y f ( x) ．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．（注：方程的左边对未知函数y 及其导数y ', y ''这三者来说，是一次线性组合形式！）（ i ）. 当f (x) 0 时，则称 y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 为二阶线性齐次微分方程．（ ii ） . 当f ( x) 0 时，则称 y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 为二阶线性非齐次微分方程．二．二阶线性微分方程的解的结构１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂定理１：设y1 (x) 与 y2 (x) 都是二阶线性齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x) y 0 的解，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) 也是此二阶线性齐次微分方程的解．―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂．２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296 从略）特别地，两个函数y1 ( x) 与 y2 (x) 在区间Ｉ上线性相关y1 (x)常数，x Ｉ．y2 (x)３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构定理２：设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 的解，且 y1 (x) 与 y2 (x) 线性无关，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2y2 ( x) 就是原二阶线性齐次微分方程的通解．―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构定理３：设y* ( x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y' Q (x) y f ( x) ．．．（＊）的一个特解，且Y( x)是对应的二阶线性齐次方程y '' P( x) y 'Q( x) y 0 的通解，则y A Y( x) y* ( x) 就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的通解．―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y ＝齐次通解Y ＋非齐次特解y * ．５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297定理４）定理４：设有二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y 'Q ( x) y f (x) ，（其中 f ( x) f1( x) f 2 ( x) ．）而 y1 (x) 是 y '' P( x) y ' Q(x) y f1( x) 的特解，且y2 ( x) 是y '' P(x) y ' Q( x) y f 2 ( x) 的特解则 Y (x) A y1 ( x) y2 ( x) 就是原二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 的一个特解．―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！６．定理５：设y1 (x) 与y2 (x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x)yf ( x) ．．．（＊）的两个不相等的特解，则 Y( x) A y2 (x) y1 (x) 是对应的二阶线性齐次方程y ''P( x) y ' Q ( x) y 0 的一个非零特解．―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！７．例题分析Ｐ326. １． (4) ．已知y1 1, y2 x, y3 x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为y'' P( x) y 'Q( x) y f ( x) ．．．．（＊），则由定理３知：非齐次通解 y ＝齐次通解 Y ＋非齐次特解y *，现由题意知＂非齐次特解y *＂可取y1 1, y2 x, y3 x2 之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y ＂来即可．再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：Y( x) c1 Y1( x) c2 Y2 ( x) （其中Y1 (x), Y2 (x) 是两个线性无关的齐次特解）．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！由＂定理５＂知，可令：Y1 (x) @y2 ( x) y1 (x) x1 且 Y2 ( x) @y3 ( x) y1( x) x2 1 ，且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为y Y ( x) y1 ( x) c1 Y1 (x) c2 Y2 ( x) y1( x) c1 (x 1) c2 (x 2 1) 1．三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式１．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂．为了求解二阶线性非齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程；第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y 0 ．．．（２）的两个线性无关特解y1( x) 与 y2 ( x) ，则由定理２知： y A c1 y1( x) c2 y2 ( x) ．．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解；第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为 y A u( x) y1 (x) v( x)y2 (x) ．．．(４) （其中 u( x), v(x) 是两个待定的未知函数）；第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出u(x), v(x) ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法．２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式定理６．设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次方程y '' P( x) y' Q (x) y0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．．．（２）记 Wy1'y1'有通解公式：y y2 f y1 dx y1 fy2dx．W W§８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！）一．二阶线性常系数微分方程的定义：在二阶线性微分方程：y '' P(x) y' Q (x) y 0 ．．．．（１）之中，(i) ．如果 y ', y 的系数 p(x), Q( x) 都是常数，即（１）式成为y '' py ' qy 0 （其中p, q为常数），则称其为二阶线性常系数微分方程；(ii) ．如果 p,q 不全为常数，则称y '' py ' qy 0 为二阶线性变系数微分方程．二．二阶常系数齐线性微分方程y'' py ' qy 0 的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）第一步，写出原微分方程的特征方程r 2 pr q 0 ，并求出此方程的二个特征根r1, r2；第二步，根据特征根r1, r2的不同情形，原方程y '' py ' qy 0 的通解公式如下：(i)．若特征根 r1 , r2不相等，则原方程的通解为：y c1e r1x c2 e r2x；(ii) ．若特征根r1, r2为相等，则原方程的通解为：y (c1 c2 x)e r1x；(iii) ．若特征根r1 ,r2为一对共轭复根 r1,2 i ，则原方程的通解为：y e x (c1 cos x c2 sin x) ．三．二阶常系数齐次线性微分方程y '' py ' qy 0 的求解举例：参见教材Ｐ304--305 例１ ; 例２ ; 例３等．§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！）一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程y'' py ' qy f ( x) （其中p,q为常数）有如下结论：定理６＇：设y1( x) 与 y2 ( x) 是二阶线性常系数非齐次微分方程 y '' py ' qy 0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' py ' qy f (x) ．．．．．（２）记Wy1'y1'有通解公式： y y f y1dx y f y2 dx ―――请记牢！2 W 1 W――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例例如Ｐ 313. 例２．求方程y'' 5 y ' 6y xe2x的通解．解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程y '' 5y ' 6 y 0 的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．易知齐次方程 y'' 5 y ' 6y 0 的特征方程为 r 2 5r 6 0 ，特征根 r1 2, r2 3 ．于是，齐次方程的两个线性无关的特解为y1 e2 x, y2 e3x W y1 y2 e5 x；y' y '1 1进而原非齐次方程的通解为：y y2 fy1 dx y1 f y2 dx e3x xe2 x e2 x dx e2 x xe2 x e3 x dx W W e5x e5xy e3x( xe x e x c1) e2 x ( 1x2 c2 ) d1e2x d2e3x 1 ( x2 x)e2 x．2 2三．本章杂例Ｐ 327． 7．设有可导函数( x) 满足( x)cos x 2x(t)sin tdt x 1 ，求 (x) ? 0分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解．现由( x)cos x x (t )sin tdt x 1 两边关于自变量Ｘ求导数得：2'(x)cos x ( x)sin x 2 (x)sin x 1 '(x)cos x ( x)sin x 1现记 y (x) ，则有 y 'cos x y sin x 1 y' y tan x secx ――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．y p ( x) dxQ( x) ep( x)dxc] y etan xdxsec x etan xdxc] sin x c cosx ．由通解公式得： e [ dx [ dx( x)cos x 2 x x 1 知，当x 0 时，则y (0) 1，所以c 1．又由条件(t )sin tdt综上得原方程的解为：y sin x cos x．四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）；第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后再按上面的标准步骤去解决问题．第八章空间解析几何§１向量及其线性运算一 .一些基本概念①向量与自由向量; ②单位向量与零向量; ③向量的共线与共面; ④向量的模 , 方向角 , 以及投影等 .二 .向量的加法运算与数乘运算的定义三 . 向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算．§２向量的数量积向量积混合积一．两个向量的数量积r r r r 为向量r r 之间的夹角）１．数量积的定义 a b |a | |b | cos , （其中a,bAr r r r r r２．数量积与投影之间的关系――― a b | a | Pr j a b | b | Pr j b ar r３．数量积的运算规律二．两个向量的向量积r r r rr r １．向量积的定义 a b | a | | b | sin , （其中 为向量 a,b 之间的夹角）Ar r２．向量积的模的几何意义：它表示以向量a, b 为邻边所成的平行四边形的面积． 三．三个向量的混合积r r r r r r１．混合积的定义[a,b,c] A (a b) cr r r ２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量a,b, c 为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂．r r rV ； (i) r r rr r r1．即 [ a,b, c]当 a, b, c 呈右手系时，1；(ii) 当 a,b, c 呈左手系时，§３ 曲面及其方程 一 . 曲面方程的概念r r rV 与某个三元方程 F (x, y, z) 0 的解之间能构成一一对应1.如果某曲面 S 上的点的坐标 M ( x, y, z)[ a, b, c], 则称这个三元方程F (x, y, z)0 为此曲面 S 的方程 ;2. 建立曲面方程的一般方法 : 首先在所求曲面上任取一点 M ，记其坐标为 M (x, y, z) , 然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点 M ( x, y, z) 的坐标应满足的条件式即可 !例如: 试求球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 半径为 R 的球面方程 ?uuuuuur解 : 设 M (x, y, z) 为所求球面上任意一点 , 则由 | M 0 M | Ruuuuuur(x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 )2即| M 0M |R所以 ( x x 0 )2( y y 0 )2 ( z z 0 )2R 2二 . 旋转曲面1. 旋转曲面的定义 ( 参见 P312)2.坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点:例如 : 将 yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：f ( y, z) 0 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面S z 的方程只要将平面曲线Ｃ： f ( y, z) 0 的方程中的y代换为x 2 y 2 ，即得旋转曲面 S z 的方程为 f ( x 2 y 2 , z) 0 ．又如 : 将 zox 坐标平面内的曲线Ｃ：g( x, z) 0 绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面 S x 的方程只要将平面曲线Ｃ： g ( x, z) 0的方程中的 z 代换为z 2 y 2 ，即得旋转曲面 S x 的方程为 g( x, z 2 y 2 ) 0．三. 柱面1. 柱面的定义 ( 参见 P314)2. 四种常见的柱面 :①圆柱面 x 2 y 2 2x 2 y 21; ③抛物柱面 y 22 px ; ④双曲柱面 x 2 y 21a ; ②椭圆柱面 a 2b 2 a 2 b 23. 二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面. 例如 : 方程 f (x, y)0 表示的就是一个以 xoy 坐标平面内的曲线Ｃ：f (x, y) 0 为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．四 . 二次曲面1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状2.掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;例如： 椭圆锥面：x 2y 2 z 2的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b，易知方程：x 2y 2 z 2a 2b 2a 2a 2表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线： x 2z 2xaz 绕Ｚ轴旋转来生成；进而把a 2此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩 b倍，即得椭圆锥面：x 2 y 2 z 2 的形状！aa 2b 2§ 4 空间曲线及其方程一 . 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．设F ( x, y, z) 0 和G ( x, y, z) 0 是某两张曲面的方程，则它们的交线为F (x, y, z)G(x, y, z)；x x(t)二 . 空间曲线的参数方程yy(t) ，（有关定义参见Ｐ３２０）z z(t)三 . 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３）四 . 二个三元方程联立消元的几何意义联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程．例如：试求球面 x2y 2 z 2 9 与平面 x z 1的交线在 xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？解：即需求空间曲线x 2y 2 z 2 9x z1，向 xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ， 得x2y 2 (1 x)29 即为所需求的投影柱面的方程， 而上述空间曲线向 xoy坐标面的投影曲线的方程为x 2 y 2 (1 x) 2 9z 0．§ 5 平面及其方程r一 . 平面的点法式方程设某平面过一定点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 且以 n { A, B,C}为其法向量，则所求平面的点法式方程为：A( x x 0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0Ax ByCz D 0r{ A, B, C} 为其法向量的某一张平面）二 . 平面的一般式方程：（应知此平面是以向量 n 三 . 平面的截距式方程：xy z 1；数值 a, b,c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．a b c四 . 两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．五 . 点到面的距离公式设P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是空间中的任意一点，记其到平面：AxBy Cz D 0的距离为d，则d| Ax 0 By 0Cz 0D |．A 2B 2C 2§ 6 空间直线及其方程一 . 空间直线的一般方程A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0( 或称交线式方程 ) ：．A 2 xB 2 yC 2 zD 2 0二 . 空间直线的点向式方程 ( 或称对称式方程 ) ：xx 0 y y 0 zz0 ．m np三 . 空间直线的参数式方程x x 0 mt由空间直线的点向式方程：x x 0y y 0z z 0@t ，得 yy 0nt 此即为该直线的参数式方程；mnpz 0 ptz 四 . 空间直线的两点式方程设有直线过两点M 1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则此直线的两点式方程为x x 1 y y 1 z z 1 ．x 2 x 1 y 2 y 1z 2 z 1五 . 两直线的夹角两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．六 . 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３） 七 . 平面束的方程及其在解题中的运用１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得．A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0A 1 ,B 1,C 1 与 A 2 , B 2 , C 2 不成比例，具体地说，若设直线Ｌ的方程为A 2 xB 2 yC 2 zD 2，其中系数则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：( A 1 x B 1 y C 1zD 1)( A 2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0．（注：不同位置的平面对应于不同的参数 ,的取值．）２．平面束的概念在解题中的运用例１：参见Ｐ３３５例７．例２：Ｐ３３６．８．求过点P(3,1, 2) 且过直线Ｌ： x4 y 3z的平面方程？5 2 1x 4 y 3 z ，得直线Ｌ的一般式方程为 2x 5 y 23 0 解：由直线Ｌ的对称式：21，5y 2 z 3 0从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：(2 x 5y23) ( y 2z 3) 0 ．（其中 ,为待定系数！）．．．．．．．．（１）现由点 P(3,1,2) 在此平面上，所以应有 (2 3 5 1 23) [1 2 ( 2) 3] 0，解得 /11/ 4．最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．八．点到直线的距离公式r设 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 直 线 Ｌ 外 一 点 ， s 是 直 线 Ｌ 的 方 向 向 量 且 点 M (x, y, z) 是 直 线 Ｌ 上 任 意 一 点 ， 则 点uuuuuur r M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为： | M M s |d0 r（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！ ）| s |九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交．r r现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面 的法向量为 n ，则有如下结论：１．线在面内：２．线面平行：３．线面垂直：r rL s n 且A( x 0 , y 0 , z 0 ) L 但 A( x 0 , y 0 , z 0 ) ； L P r r s n ， A(x 0 , y 0 , z 0 ) L 且 A(x 0, y 0 , z 0 ) ；Lr r ４．线面斜交： Lr rs Pn ；不成立s Pn 不成立；十．本章有关的一些解题技巧１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些．x 2 y3 z 42xy z6 0的交点？例如：试求直线Ｌ：1 1与平面 2x t 2解：易知直线Ｌ的参数为y t3 ，将其代入平面 2x y z 6 0 的方程，z 2t 4得2(t 2) (t 3)(2t 4)6 0，解得t1 ，进而知交点的坐标为 (1,2,2) ．２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解．例如：Ｐ３３６．１３．求点P(3, 1,2) 到直线Ｌ：xy z 1 0的距离ｄ＝？2xyz 4解：直线Ｌ： x y z 1 0x y z 1 0 x y z 1 0y 2 z2x y z 4 03x 3 0x 1，x 1x1 y 2z 0 x 1 y t 2；11z t设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为M (1,t 2, t) ，uuur 2(1 3) 2(t 2 1) 2(t 2)22t 26t 9 2(t3 ) 29则有|MP |2 ，uuur2知当t 32 为最短！此时，点Ｍ的坐标M (1,t 2, t )(1, 1,3) ． 时，距离 d=|MP|=3222 2――― ( 注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．x 2 y z 1 0 和L 2: 2x y z 0例如：Ｐ３３６．１１．求过点 A(1,2,1)而与直线L 1 :yz 1 0 x y z 都平行的平面方程？x分析：现已知平面上一点A(1,2,1) ，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．ur uur r 解：记这两条直线的方向向量分别为n1, n2 ，而所以平面的法向量设为n ，ur{1,2, 1} {1, 1,1} {1, uur1,1} {1, 1,1} {0, 1, 1}，则由n2, 3}, n {2,1 2r ur uur( x 1) ( y 2) ( z 1) 0．进而n n1 n2 { 1,1, 1} ，所以所求平面的方程为：。
高等数学第七章微分方程微分方程
常 数 变 易 法
则有 令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是 对上式两边关于 x 求导，得
这两部分 为零。
即
例
解 由常数变易法，解方程组
13
两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
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19
你认为方程应该 有什么样子的特解？
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得 即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
16
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解：
其中：
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
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比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 求微分方程
7
例1
解 所以，方程的通解为
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例2 解：
课堂练习
解
课堂练习
高数 第七章 微分方程常微分方程
5．微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定 解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件： y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始 条件。
(
y) x
的方程，称为齐次方程。
例如（1）2xy d y (x2 y2 ) d x 0
（2）(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2．齐次方程的求解：
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后，再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中，令 u y ，化简并整
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第一讲 微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程方 程
授课题目（章节）§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程 教学目的与要求： 了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念； 2．会识别变量可分离的一阶微分方程，熟练掌握可分离
用常数变易法，令：y ueP(x)dx ，其中u u(x) 为待定函数，
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ，可解
得：u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此，非齐次微分方程 d y P(x)y
解为： d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x
同济高数（第七版）--第七章
第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。
第7常微分方程1-PPT精品文档
称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程 初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2
高等数学-第7章微分方程
教学过程教学思路、主要环节、主要内容7.1 微分方程的基本概念在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。
下面我们先来看一个例子：例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。
这里我们先不求解。
微分方程的概念我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
当然阶数越高的微分方程越麻烦。
从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。
满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同.7.2 可分离变量的微分方程一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。
那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。
假定方程（＊）中的函数g(y)和f(x)是连续的。
设是方程（＊）的解，将它代入（＊）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量y ，得设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C因此，方程（＊）的解满足上式。
教学过程教学思路、主要环节、主要内容齐次方程的定义：如果一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。
高等数学第七章第二节
y Ce
P( x) d x
e
P( x) d x
P( x) d x Q( x) e dx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 y u ( x ) ( x 1 ) ,则 用常数变易法求特解. 令
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
即 对应齐次方程通解 P ( xy )d xC e 两端积分得 u Q( x) e dx C 故原方程的通解 y e 即
P( x) d x
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C
x
例5.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 .
( 1999 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
1 2 S1 y cot 2
(3) ( y x 3 ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y x) d y 0
3
第七章
第五节 可降阶高阶微分方程
一、 二、 型的微分方程 型的微分方程
三、
型的微分方程
一、 y ( n ) f ( x) 型的微分方程
( n 1) , 令zy
因此
复习: 一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 通解: y C e
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解
例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
高等数学第三版第七章课件
(2)特解: 解的图象: 通解的图象: 初始条件:
通解 y = Ce x ;
通解 y = C1 sin x + C 2 cos x;
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分 方程
确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族.
故
5 −2 ⎛ ⎞ y = ( x + 1)2 ⎜ ∫ ( x + 1) 2 dx + C ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎞ 2⎛ 2 = ( x + 1) ⎜ ( x + 1) 2 + C ⎟ ⎝3 ⎠
y=e
− P ( x ) dx − P ( x ) dx y′ = u′( x )e ∫ , + u( x )[ − P ( x )]e ∫
16
两边积分，得 u − ln | u | + C = ln | x |,
例 4 求解微分方程
或
ln|ux |= u + C , ln | y |= y +C x
所求通解为
y y ( x − y cos )dx + x cos dy = 0. x x 解 令u = y ， 则 dy = xdu + udx，
du = ln C1 x , f ( u) − u
dy dy + y 2 = xy . dx dx
解 方程可写为
（ϕ ( u ) = ∫
du ） f ( u) − u
⎛ y⎞ ⎜ x⎟ dy y2 = = ⎝ ⎠, 2 y dx xy − x −1 x
y ϕ( ) y 得通解 x = Ce x , 代入, x 当 ∃u0 , 使 f ( u0 ) − u0 = 0, 则 u = u0是新方程的解 ,
高数下册第七章微分方程一、二、三节
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
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Xxyy
x y y x ,即 yy2x0 思考与练习 P263 (习题12-1)
Qo
P xx
1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6
8
例3. 已知函数 y x 是微分方程 y y ( x )
ln x
xy
A 的解,
则
(
x y
)
的表达式为（
）
(A)
y2 x2
当G(y) 与F(x) 可微且 G (y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝ (x) 是①的解.同样,当F (x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝ (y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
11
例1. 求微分方程 d y 3 x2 y 的通解. dx
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
10
分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的 则有恒等式
解, g (( x ) ( ) x ) d x f ( x ) d x
两边积分, 得 g(y)dyf(x)dx
则有
G( y)
F(x)
G (y)F (x )C ②
f( x ) 1 2 ( 1 x 2 ) [ l n ( 1 x 2 ) 1 ]
13
例3. 求下述微分方程的通解: ysi2(n xy1 )
解: 令 uxy1,则 u1y
故有
1u si2u n
即
se2cududx
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ) ( x C ( C 为任意常数 )
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分
dy y
3x2
dx
变形, 因此可能增、 减解.
得 lnyx3C1
或
即
yex3C1 eC1ex3
lnyx3lnC
令CeC1
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
12
例2. 解初值问题
dy 2x
①
dx
y x12
②
由 ① 得 y2xdxx2C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
3
引例2. 列车在平直路上以 20ms的速度行驶, 制动时
获得加速度 a0.4ms2, 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
5
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y ( x 0 ) y 0 , y ( x 0 ) y 0 , , y ( n 1 ) ( x 0 ) y 0 ( n 1 )
利用初始条件易得: C1A,C2 0, 故所求特解为
xAcokts
7
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q， 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 (Xx) y
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
第七章
已y知 f(x ),求 y— 积分问题 推广
已知含y及其若干阶导数的, 求方y程
— 微分方程问题
1
第一节
第七章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
2
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
xy d x (x 2 1 )d y0 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
lnyln 1 lnC即 y x21C
x21
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x211
1
练习：已知曲线 y f(x)过点( 0
,
) 2
，且其上任一点
( x , y ) 处切线斜率为 xln(1x2)，则 f (x)
引例1
dy 2x dx
y x12
引例2
d 2s dt 2
04
st0 0,
ds dt
t0
20
通解: yx2 C
s 0 .2 t2 C 1 t C 2
特解: yx2 1
s0.2t22t0 6
例1. 验证函数 x C 1 ck o t C s 2 sk it(n C1,C2为常)数
是微分方程
d d
2
t
x
2
k2x0的解,
并求满足初始条件
x t0 A,
dx dt
t
0
0
的特解
.
解:
d 2x d t2
C1k2coktsC2k2sik nt
k 2 (C 1 sk it n C 2 ck o t)sk2x
这说明 x C 1 ck o t C s 2 sk itn 是方程的解 .
C1,C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
; (B) y 2
x2
;
(C)
x2 y2
x2
; (D) y 2
.
解:
将
y
x ln x代入微分方程，得
(lnx)ln12x
，故
(u)
1 u2
从而
(
x y
)
y2 x2
9Leabharlann 第二节第七章可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy
dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x ) N 2 (y )d y 0
已知
d2 s
d t 2 0.4
st0 0,
ds
20
dt t 0
由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得
因此所求运动规律为
s 0 .2 t2 C 1t C 2 C 12,0 C 20 s0.2t22t0
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
4
微分方程的基本概念
含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x ,y,y , ,y(n )) 0
或 y (n ) f(x ,y ,y , ,y (n 1 ))( n 阶显式微分方程)
14
练习: 求方d程 yexy的通.解 dx
解法 1 分离变量 eydyexdx
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,则 u1y