高数下册第七章微分方程一、二、三节

f( x ) 1 2 ( 1 x 2 ) [ l n ( 1 x 2 ) 1 ]
13
例3. 求下述微分方程的通解: ysi2(n xy1 )
解: 令 uxy1,则 u1y
故有
1u si2u n
即
se2cududx
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ) ( x C ( C 为任意常数 )
t
x
2
k2x0的解,
并求满足初始条件
x t0 A,
dx dt
t
0
0
的特解
.
解:
d 2x d t2
C1k2coktsC2k2sik nt
k 2 (C 1 sk it n C 2 ck o t)sk2x
这说明 x C 1 ck o t C s 2 sk itn 是方程的解 .
C1,C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
; (B) y 2
x2
;
(C)
x2 y2
x2
; (D) y 2
.
解:
将
y
x ln x代入微分方程，得
(lnx)ln12x
，故
(u)
1 u2
从而
(
x y
)
y2 x2
9
第二节
第七章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy
dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x ) N 2 (y )d y 0
第七章
已y知 f(x ),求 y— 积分问题 推广
已知含y及其若干阶导数的, 求方y程
— 微分方程问题
1
第一节
第七章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
2
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x12
②
由 ① 得 y2xdxx2C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
3
引例2. 列车在平直路上以 20ms的速度行驶, 制动时
获得加速度 a0.4ms2, 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 s
d t 2 0.4
st0 0,
ds
20
dt t 0
由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得
因此所求运动规律为
s 0 .2 t2 C 1t C 2 C 12,0 C 20 s0.2t22t0
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
4
微分方程的基本概念
含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x ,y,y , ,y(n )) 0
或 y (n ) f(x ,y ,y , ,y (n 1 ))( n 阶显式微分方程)
14
练习: 求方d程 yexy的通.解 dx
解法 1 分离变量 eydyexdx
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,则 u1y
利用初始条件易得: C1A,C2 0, 故所求特解为
xAcokts
7
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q， 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 (Xx) y
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
引例1
dy 2x dx
y x12
引例2
d 2s dt 2
04
st0 0,
ds dt
t0
20
通解: yx2 C
s 0 .2 t2 C 1 t C 2
特解: yx2 1
s0.2t22t0 6
例1. 验证函数 x C 1 ck o t C s 2 sk it(n C1,C2为常)数
是微分方程
d d
2
xy d x (x 2 1 )d y0 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
lnyln 1 lnC即 y x21C
x21
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x211
1
练习：已知曲线 y f(x)过点( 0
,
) 2Biblioteka Baidu
，且其上任一点
( x , y ) 处切线斜率为 xln(1x2)，则 f (x)
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分
dy y
3x2
dx
变形, 因此可能增、 减解.
得 lnyx3C1
或
即
yex3C1 eC1ex3
lnyx3lnC
令CeC1
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
12
例2. 解初值问题
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
10
分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的 则有恒等式
解, g (( x ) ( ) x ) d x f ( x ) d x
两边积分, 得 g(y)dyf(x)dx
则有
G( y)
F(x)
G (y)F (x )C ②
Xxyy
x y y x ,即 yy2x0 思考与练习 P263 (习题12-1)
Qo
P xx
1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6
8
例3. 已知函数 y x 是微分方程 y y ( x )
ln x
xy
A 的解,
则
(
x y
)
的表达式为（
）
(A)
y2 x2
5
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y ( x 0 ) y 0 , y ( x 0 ) y 0 , , y ( n 1 ) ( x 0 ) y 0 ( n 1 )
当G(y) 与F(x) 可微且 G (y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝ (x) 是①的解.同样,当F (x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝ (y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
11
例1. 求微分方程 d y 3 x2 y 的通解. dx