概率论与数理统计C的习题集-计算题

一、概率公式的题目

1、已知()

()()0.3,0.4,

0.5,P A P B P AB === 求

()

.P B A B ⋃

解：()

()

()

()()()()

()

0.70.51

0.70.60.54

P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃=

=

=

=+-⋃+-

2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求()

.P A A B ⋃

解：

()

()()

()

()()()

0.22

0.70.29

P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃=

=

=

=+⋃+-。

3、已知随机变量(1)X

P ，即X 有概率分布律{}1

(0,1,2)!

e P X k k k -==

=，

并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求：

（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()

P B A 。解：（1）()()

{}{}1

11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；

（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-

（3）()

()

()

{}{}{}{}{}111,201

.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<==

====<=+= 5、为了防止意外，在矿同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,

()()()

0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,

()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=

()()()()()()()()()()()

0.070.080.152.0.8290.07P AB

P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯=

==== 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4

15

，刮风（记作事件B ）的概率为

715，既刮风又下雨的概率为110

，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。 解：()()()1

3

10(1)714

15

P AB P A B P B ===；

()()()1

3

10(2)4815

P AB P B A P A ===

()()()()47119

(3)15151030

P A B P A P B P AB ⋃=+-=

+-=

。 7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假

设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.50.0520

0.50.050.50.002521

⨯=

=

⨯+⨯ 8. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A

的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

()()

()()()()()

P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

+

2/30.98

0.994922/30.981/30.01

⨯=

=⨯+⨯

9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个

次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.960.98

0.9980.960.980.040.05

⨯=

=⨯+⨯

10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞

机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7