运筹学指派问题
运筹学指派问题
n
n
总成本最小
每项任务由一人完成 每人只承担一项任务
解矩阵的特征
• 全部元素仅取0或1 • 每行有且仅有一个1 • 每列有且仅有一个1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
例如，n=5时， X xij
数学模型 : m in z cij xij j 1 i 1
n xij 1, j 1,2 ,...,n i 1 n s .t . xij 1, i 1,2 ,...,n j 1 x 0 ,1 i , j 1,2 ,...,n ij
在C中找出最多独立0的步骤
• 设Wi表示第i行0的数目,Lj表示第i列0的数目.
• 1.统计Wi和Lj（i,j=1,2,…n）.
• 2.按W1，W2，…,Wn,L1,L2,…,Ln顺序找出 第一个最小正数，选中该行（列）首个0. • 3.删除该0所在的行与列,对应的Wi=0,Lj=0. • 4.重复步骤1~3，直到全部Wi=0为止.
0
0
这样就找到 4个独立0
如果按自上而下从左到右顺序找
0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
• 这样，4条线就覆盖了全部0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0
运筹学课件ch5指派问题[全文]
![运筹学课件ch5指派问题[全文]](https://img.taocdn.com/s3/m/76c0dd89b9f3f90f77c61b19.png)
运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
三类指派问题
三类指派问题1. 简介三类指派问题是运筹学中的一类经典问题，它的目标是找到一种最优分配方案，将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本或效益达到最小或最大。
这类问题通常可以用线性规划模型来描述和求解。
三类指派问题包括： - 任务分配问题：将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本最小或效益最大。
- 作业调度问题：将若干个作业安排在若干台机器上进行处理，使得总体完成时间最短或机器利用率最高。
- 设备调度问题：将若干个任务安排在若干台设备上进行处理，使得总体完成时间最短或设备利用率最高。
2. 任务分配问题2.1 模型描述假设有n个任务和n个执行者，每个任务只能由一个执行者完成，并且每个执行者只能处理一个任务。
每个任务与每个执行者之间都有一个成本或效益值。
我们的目标是找到一种分配方案，使得总体成本最小或效益最大。
可以使用二维数组C表示各任务与各执行者之间的成本或效益值，其中C[i][j]表示第i个任务分配给第j个执行者的成本或效益值。
定义一个二进制变量X[i][j]，如果第i个任务分配给第j个执行者，则X[i][j]=1，否则X[i][j]=0。
任务分配问题可以用下面的线性规划模型来描述：minimize ∑(i=1 to n)∑(j=1 to n) C[i][j] * X[i][j]subject to∑(i=1 to n) X[i][j] = 1, for j = 1,2,...,n∑(j=1 to n) X[i][j] = 1, for i = 1,2,...,nX[i][j] ∈ {0, 1}, for i,j = 1,2,...,n2.2 求解方法常用的求解任务分配问题的方法有匈牙利算法和线性规划方法。
匈牙利算法是一种经典的图论算法，它通过构建增广路径来找到最优分配方案。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于小规模问题。
线性规划方法则通过将任务分配问题转化为线性规划模型，并利用线性规划求解器进行求解。
指派问题(经典运筹学)
1 1 c 11 2 c 21 … i c i1 … n c n1 2
c 12 c 22 ci2 cn2
…
1 2 3 4
6 20 10
21
25 14 0
5
x6
解：x i
1
2
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
2 6 1 x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1 x x x 1 4 5 6 x i 0 ,1 i 1, 2 , , 6
一、决策问题与0-1变量
决策变量
xi
x i 是否做第
i 件事 i 1, 2 , , n
1 0
做第i件事 不做第i件事
x1 x 2 x n k
n件事中必须做k件并只做k件事 n件事中最多做k件事 n件事中至少做k件事
x1 x 2 x n k x1 x 2 x n k
当n=4时， 有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 于各人技术专长不同，他们承担 各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
工作
Z表示总费用
max Z 3 x11 5 x12 4 x13 5 x14 6 x 21 7 x 22 6 x 23 8 x 24 8 x 31 9 x 32 8 x 33 10 x 34 10 x 41 10 x 42 9 x 43 11 x 44
运筹学指派问题课件
c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 i 1 n st . xij 1 (i , j 1, 2, ..., n) j 1 x 1or 0 ij
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
运筹学教程
指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
运筹学教程
匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
0 11 8 7 7 3 3 2 1 C ' 5 0 4 3 4 0
第二步 圈0 寻找不同行不同列的0元素，圈之。 所在行和列其它0元素划掉
0 0 0 0 0 3 0 11 8 第三步 打 无的行打，打行上0列打 ， 1 7 7 3 打列上行打，打行上0列打 ' 2 3 2 1 C 0 5 0 4 0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 2 3 4 0 C ' 0 2 3 2 1 第四步 确定方案划线 0 0 5 0 4 没有打行上画一条横线； 0 2 3 4 0 有打列上画一条竖线；
15 120 15 12 0 14 100 14 100 8 7 0 0 8 7
运筹学__指派问题
则该指派问题的数学模型为：
min z 2x11 15x12 13x13 4x14 L 11x43 9x44
4
xij
1
(i 1,L
, 4)
∑xij=1 (i=1,2,3,4) 表示第i人只能完成一项任务
j1
s.t.
4
xij
1
( j 1,L
, 4)
i1
xij=1 (j=1,2,3,4) 表示第0或1
(i，j 1,L
, 4)
满足约束条件的解称为可行解， 可写成矩阵形式，叫作解矩阵。
如本例的一个可行解矩阵（但不一定是最优解）
0 1 0 0
xij
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0 0 1
指派问题的解矩阵应具有如下特点：
在实际中经常会遇到这样的问题，
有n 项不同的任务， 需要n 个人分别完成其中的一项，
但由于任务的性质和各人的专长不同， 因此各人去完成不同的任务的效率 （或花费的时间或费用）也就不同。 于是产生了一个问题: 应指派哪个人去完成哪项任务，
使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），
这类问题称为指派问题或分派问题。
二 匈牙利算法
思路 算法原理 算法步骤
（一） 思路
匈牙利法基于这样一个明显的事实： 如果在m阶效率矩阵中，所有元素cij≥0， 而其中有m个位于不同行不同列的一组0元素， 则在解矩阵中，只要令对应于这些0元素位置的 xij＝1，其余的xij＝0，就得到最优解。 此时的最优解为０
•如效率矩阵为 •恰有4个不同行 不同列的0系数
2. 指派问题数学模型—一般形式
设[cij]表示指派问题的效率矩阵，令
运筹学 工作指派问题
n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲 乙 丙 丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作 业线的配工，以往各班组完成某项作业的实 际效率的具体数据如下表所示。
项目 班组 甲 乙 丙 丁 戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
9
(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩 阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条 数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下 步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线 的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格 的0元素中找出最优解。 画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这 些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆 盖线。
第一章 线性规划的基本 理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
任务 A
B
C
D
人员
甲
9
17 16
7
乙
12
7
14 16
丙
8
17 14 17
丁
7
9
11
9
解：设决策变量xij,i＝1,2,3,4; j＝1,2,3,4
xij 01
表示分派第i人做第j项工作 表示不分派第i人做第j项工作
任务 A
B
C
D
人员
甲
x11
x12
x13
x14
乙
x21
x22
x23
x24
丙
x31
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
运筹学 指派问题
ij
ij
cij xij i xij j xij
ij
i
j
j
i
z i j
i
j
即z和 z’只相差一个常数,故它们有相同的最优解.
• 利用这个性质，可使原效率矩阵变换为含有很
多0元素的新效率矩阵，而最优解保持不变，在
效率矩阵(bij)中，我们关心位于不同行不同列
(显然z(x*)=0)
0*
如效率矩阵为
9
23
14 20 0*
9 0* 3
3 23 8
令(
xij
)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0
0
则xij是最 优解
0
0
12 14 0* ,
0 0 0 1
因此需对效率矩阵作变换,使变换后效率矩阵 (bij )nn
可行解矩阵
n
xij 1, j 1, 2, , n ②
i1
表明各列之和为1 。
n
xij 1, i 1, 2, , n ③
j1
表明各行之和为1 。
满足约束条件②～④的可行解xij构成的可行解矩阵，
矩阵中有n个为1,其余都为0,而且这n个1必位于矩阵的不
同行不同列上。对应于可行解xij的目标值是这n个cij之和.
如
2
3
0*
0
0
条位,于不同行不同列的”0”元素
0 * 10
5
7
2
的最大个数也为4.
9 8 0 0* 4
运筹学指派问题实验报告书
运筹学指派问题实验报告书运筹学实践报告指派问题第⼀部分问题背景泰泽公司（Tazer）是⼀家制药公司。
它进⼊医药市场已经有12年的历史了，并且推出了6种新药。
这6种新药中5种是市场上已经存在药物的同类产品，所以销售的情况并不是很乐观。
然⽽，主治⾼⾎压的第6种药物却获得了巨⼤的成功。
由于泰泽公司拥有⽣产治疗⾼⾎压药物的专利权，所以公司并没有遇到什么竞争对⼿。
仅仅从第6种药物中所获得的利润就可以使泰泽公司正常运营下去。
在过去的12年中，泰泽公司不断地进⾏适量的研究和发展⼯作，但是却并没有发现有哪⼀种药物能够获得像⾼⾎压药物⼀样的成功。
⼀个原因是公司没有⼤量投资进⾏创新研究开发的动⼒。
公司依赖⾼⾎压药物，觉得没有必要花费⼤量的资源寻找新药物的突破。
但是现在泰泽公司不得不⾯对竞争的压⼒了。
⾼⾎压药物的专利保护期还有5年1。
泰泽公司知道只要专利期限⼀到，⼤量药品制造公司就会像秃鹰⼀样涌进市场。
历史数据表明普通药物会降低品牌药物75%的销售量。
今年泰泽公司投⼊⼤量的资⾦进⾏研究和开发⼯作以求能够取得突破，给公司带来像⾼⾎压药物⼀样的巨⼤成功。
泰泽公司相信如果现在就开始进⾏⼤量的研究和开发⼯作，在⾼⾎压药物专利到期之后能够发明⼀种成功药物的概率是很⾼的。
作为泰泽公司研究和开发的负责⼈，你将负责选择项⽬并为每⼀个项⽬指派项⽬负责⼈。
在研究了市场的需要，分析了当前药物的不⾜并且拜会了⼤量在有良好前景的医药领域进⾏研究的科学家之后，你决定你的部门进⾏五个项⽬，如下所⽰：1⼀般来说，专利权保护发明的期限为17年。
在1995年，GATT⽴法拓展专利权的保护期限到20年。
在本案例之中，泰泽公司的⾼⾎压药物的注册时间是在1995年之前，所以专利权只能够保护这种药物17年。
Up项⽬：开发⼀种更加有效的抗忧郁剂，这种新药并不会带来使⽤者情绪的急剧变化。
Stable项⽬：开发⼀种治疗躁狂抑郁病的新药。
Choice项⽬：为⼥性开发⼀种副作⽤更⼩的节育⽅法。
运筹学 指派问题课件 PPT
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
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例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
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第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
5280
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数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
运筹学指派问题
若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这 几个人作同一件事的费用系数当然都一样。
• 某事一定不能由某人作的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够大的数 M。
例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究决定，舍 弃建筑公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1，A2，A3参加 招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或二项工程。 求使总费用最少的指派方案。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元 素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。
确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较 大时，可按下列顺序进行 • 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划 去所在的列（行）的其它0元素，记作。 •给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元 素，记作。 •反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。 •如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中 一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即 是独立的0元素。
第二步：确定独立0元素, 即加圈 元素的个数m=4，而n=5，进 行第三步。
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵 的下一个变换。
第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素个数。方法是在 未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中 都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保 持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解 和原问题相同，为什么？因为仅在目标函数系数中进行操作）
2023年运筹学指派问题的匈牙利法实验报告
2023年运筹学指派问题的匈牙利法实验报告一、前言运筹学是一门涉及多学科交叉的学科，其主要研究通过数学模型和计算机技术来提高生产和管理效率的方法和技术。
其中，指派问题是运筹学中的重要研究方向之一。
针对指派问题，传统的解决方法是匈牙利法。
本文将基于匈牙利法，通过实验的方法来探讨2023年指派问题的发展。
二、指派问题1.定义指派问题是指在一个矩阵中指定每一行和每一列只选一个数，使得多个行和列没有相同的数，而且总和最小。
2.传统算法匈牙利算法是一种经典的用于解决指派问题的算法。
该算法基于图论的思想，用于寻找最大匹配问题中的最大流。
匈牙利算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，但是，该算法仍然被广泛应用于实际问题求解。
三、实验设计1.实验目的本实验旨在探究匈牙利算法在指派问题中的应用以及其发展趋势，同时，通过对比算法运行速度来评估其效率和实用性。
2.实验原材料本实验将采用Python语言来实现匈牙利算法，数据集选取为UCI Machine Learning Repository中的鸢尾花数据集。
3.实验步骤步骤1：导入数据集，并进行数据预处理。
步骤2：计算每个样本在所有类别中的得分，并选取得分最高的类别作为预测结果。
步骤3：使用匈牙利算法对预测结果进行优化，以求得更优的分类方案。
步骤4：对比优化前后的分类结果，评估算法的实用性和效率。
四、实验结果本实验的最终结果表明，匈牙利算法在指派问题中的应用具有很好的效果。
实验数据表明，经过匈牙利算法优化后，分类器的准确率有了显著提高，分类结果更加精确。
同时，通过对比算法运行时间，也发现该算法具有较高的运行速度和效率。
五、实验结论本实验通过大量数据实验表明，匈牙利算法在指派问题中的应用具有很高的效率和精度。
将算法运用到实际生产和管理中，可有效地提高生产效率和管理水平。
但是，由于算法的时间复杂度比较高，因此在实际运用过程中需要合理选择算法，并对算法进行优化，以确保其效率达到最大化。
运筹学_指派问题
（xij）是n×n矩阵,对应于效率矩阵(cij).
工作
x11 人 x i1 xn1
x1n xij xin xnj xnn x1 j
可行解矩阵
x
i 1
n
ij
1,
j 1, 2, , n ②
指派问题的最优解有这样性质，若从效率矩 阵(cij)的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的 最小元素，得到新矩阵(bij)，那么以(bij)为效率 矩阵求得的最优解和用原效率矩阵求得的最优解 相同 。即 定理2 设给定了以C = (cij)为效率矩阵指派问题G， 现将C的元素cij 改变为 bij cij i j , i 与 j 为常数 则以B= ( bij )为效率矩阵指派问题G’与G有相同的最 优解。
第四节 指 派 问 题
assignment problem
在生活中经常遇到这样的问题，某 单位需完成n项任务，恰好有n个人可承 担这些任务。由于每人的专长不同，各 人完成任务不同(或所费时间)，效率也 不同。于是产生应指派哪个人去完成哪 项任务，使完成n项任务的总效率最高 (或所需总时间最小)。这类问题称为指 派问题或分派问题。
行列都有 零元素
7 6 3 0*
0 * 9 (b ) ij 2 0
0 0 最优解为 ( xij ) 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
定理3 若矩阵C可分成”0”与非”0”两部分,则覆 盖”0”元素的最少直线等于位于不同行不同列的”0” 元素的最大个数.
如
5 0* 2 0 2 2 3 0* 0 0 0* 10 5 7 2 -2 9 8 0 0* 4 0 6 3 6 5 -2 5 0* 2 0 2 2 3 0* 0 0 2 8 3 5 0 9 8 0 0* 4 2 4 1 4 3
运筹学整数规划指派问题
4 8 7 15 12 -4 7 9 17 14 7 -7
0 4 3 11 8 0 2 10 7 3
C
6
9 12
6
10
-6
0
3
6
2
1
6 7 14 8 10 -6
0 1 8 0 4
6
9
6
10
8
-6
0
3
6
4
0
-1 -3
✓
0 0
3 1
0 7
11 7
8 3
✓
C1
0
2
3
2
1
✓
0 0 5 0 4
这样安排能使总的建造费用最少，总的建造费用为 7+9+6+6+6=34（万元）。
三 非标准形式的指派问题
处理方法：化成标准形式，再按匈牙利方法求解。 ⒈ 目标函数最大化指派问题
例 有4名工人A1,A2,A3,A4分别操作4台机床B1,B2,B3,B4。每 人操作每台机床的单位产量见下表。求产值最大的指派方案。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中 一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。
例
5 0 2 0
C
2 0 0
3 0 8
0 6 0
0
7 0
步骤3： 若矩阵所有零元素都被标记的，但圈零的个数m < n ， 作最少直线覆盖当前零元素。
已知5家建筑公司承建5家商店系数矩阵
⒈变换系数矩阵
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
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运筹学作业
-----关于指派问题的求解算法设计
学院：计算机科学与技术学院
班级：信息与计算科学1202班
学号：20
姓名：韩雪平
1.问题描述与数
学模型：
在现实生活中，有各种各样的指派问题。
例如，有若干项工作（或者任务，事情）需要分配给若干人（或者部门，设备等）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干条交通线（如航空线，航海线，公路线等）需要配置若干交通运输工具（如飞机，船只，汽车等）来运营；有若干班级需要安排在不同的教师里上课；等等/诸如此类问题，它们的基本要求是来满足特定的指派要求时，使指派方案的总体效果最佳。
由于指派总是多样性的，有必要定义指派的特定问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）：设有n个人和n件事，已知第i个人做第j 件事的费用为cij(i,j=1,2,....n),求人与事之间一一对应的指派方案，使完成的这n件事的总费用最少。
一般称矩阵
c11 c12 c13 c14 (1)
c21 c22 c23 c24 (2)
c31 c32 c33 c34 (3)
C= . . . . .
. . . . .
. . . . .
cn1 cn2 cn3 cn4……cn5
为指派问题的系数矩阵。
在实际问题中，根据cij的具体意义，矩阵C可以有不同的名称，如费用矩阵，成本矩阵，时间矩阵等。
系数矩阵C中，第i行各元素表示第i人做各事的费用，第j列各元素表示第j件事由各个人做的费用。
为建立标准的指派问题的数学模型，引入n^2个0-1变量
1 当指派第i人去做第i件事时
Xij=｛（i，j=1,2,3……,n）
0 当不指派第i人去做第j件事时
然后对矩阵进行化解，当然作为可行解，矩阵中每一列都有且只有一个1，每行有且仅有一个1，以满足约束条件
2．算法思想：
标准的指派问题是特殊的整数规划问题，也是特殊的0—1规划问题和特殊的运输问题。
因此它可以用很多相应的解法来求解。
匈牙利解法的依据是指派问题的最优解的一下性质：设指派问题的系数矩阵C=（cij）n*n.若将C的一行或列分别减去一个常数K，则得到一个新的矩阵C'=（c'ij）n*n,那么C’为系数矩阵的指派问题和以C为系数矩阵的原指派问题有相同的最优解。
虽然不要求指派问题系数矩阵中无负元素，但是匈牙利解法求解指派问题时，为了从已变换后的系数矩阵中判别能否得到最优指派方案，要求此时的矩阵中无负元素因为只有这样，才能使用总费用为零这一特征来判断指派问题是否为最优方案。
3.算法流程或步骤:
步骤1 变换系数矩阵，使各行和各列皆出现零元素。
如各行各列分别减去本行及本列最小元素，这样可以保证每行及每列都有零元素，同时也避免出现负元素。
步骤2 求能覆盖所有零元素的最少数目的直线集合。
若直线数等于n，则可得出最优解。
否则，转步骤3。
步骤3 变换系数矩阵，使未被直线覆盖的元素中出现零元素。
回到步骤2。
4.算法源程序：
/*设计算法用匈牙利法求解指派问题：
比如：
4 8 7 1
5 12
7 9 17 14 10
C= 6 9 12 8 7
6 7 14 6 10
6 9 12 10 6
求出它的最优指派问题例与结果：
目标矩阵:
进行行列变换后处理的矩阵截图如下:
对没覆盖的行进行减去行中最小值处理截图:
论与总结：
本次课程设计主要运用了C语言去编写和实现它，通过本次的课程设计，使我在运用C 语言的过程中更加体会到了运筹学这一本课程的实用性，运筹学主要的设计方向是使一个普通问题变为最优化问题，它是在研究在有限种或无限中可行方案中选择最优方案，构造寻求最优的计算方法。
本次的课程设计算法编写使为求最优的指派问题的程序，运用的方法是匈牙利方法，匈牙利是通过把一个指派问题设计成一个矩阵，然后通过化解求解最优矩阵去求出它的最优指派问题，而这个指派问题在我们的生活中非常的有用，设计一个这样的算法不仅可以解决一线简单的现实问题，而且可以使生活更加简单化。
本次的课程设计虽然只是对一般问题的实行简单的解决，但是在一些复杂的问题上也是非常的有用的。
通过这次的课程设计我也更加体会到了自己的一些编写程序能力的一些弱区和缺陷，更加懂得在以后的学习过程中要多练多动手，提高自己的编程能力和算法设计能力，可以更好的处理一些数学问题和实际问题。
一个好的算法设计离不开好的推敲和思考，因此也要在算法设计的过程中，放开自己的大脑去思考去设计一个完美算法，课程设计的目的就在于此，
它引导我们驱使我们去思考和创新，去设计好的程序，因此，在设计过程中认真负责的对待也是非常重要的。
我相信在以后的学习和课设中我会做得更好，做的更加完美。