7第七讲 典型模型方程差分格式_bugers方程

模型方程差分格式（2）

高阶格式没有表现出比5点格式或9点格式更好的优点。5点格式最常用。

B.C.

,

99×A is very sparse

Can be solved

u x p y

u v x u u t u 21∇+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂νρ

特征线的交叉间断解本质区别：非线性波动方程的特征线会相交，而线性波动方程的特征线不会相交

线性方程

a a

图

非线性方程，

波动方程

非线性波动方程

守恒形式

其中，

Weak solution

（a）

（b）

故，（b）（微分方程）的任何连续可微解（古典解）都满足（a ）（弱解积分关系式），因而也是弱解；反之，任何连续可微的弱解也是古典解。

因此，在连续可微的区域G上，古典解和弱解是

完全一致的，但弱解允许在一些线段（或点）上间断。

间断线上的关系式

由（a ）（弱解积分关系式）得：

＝

（c）

故，若分片连续可微函数U（x，t）是微分方程（b）的弱解，则，它一定在连续区满足微分方程（b），而在间断线x=x（t）上满足间断关系式（c）；反之，若分片连续可微函数U（x，t）在连续区满足微分方程（b），而在间断线上满足关系式（c），则它一定满足（a），即它是弱解。

弱解的两种定义：

1、满足积分守恒型方程（a）

2、在连续区满足微分方程（b），且在间断处满足间断关系（c）

弱解的不唯一性

中的每一个函数都是初值问题的弱解。间断点

处间断点满足：

熵条件：

熵条件

满足熵条件的弱解是唯一的

but

即，在具有间断的问题中，

1、只有1阶精度的差分格式，解才具有单调性；高于1解精度的差分格式，解不具有单调性。

2、单调性的解，具有很强的耗散性。

x A x F A j Δ ⎝

⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+21？？

前差

前差

See from Fig. 4.37 and 4.36, under the same condition

与Rusanov相似（精度相同，三阶）

非线性项()1

2+n u

展开

代入4.175

格式无耗散，震荡较剧烈

在差分方程（4.176）右端加

不改变差分方程的精度

①

Let

②

有粘性项的Burgers方程仅比无粘性项的Burgers方程多出了u对x的二阶导数，在无粘性的Burgers方程的差分方程中添加u对x二阶导数的中心差分格式，即得到了粘性Burgers方程的差分方程。

不相容于原方程

稳定的必要条件：

即：

：：

：

解的震荡性

差分格式引起的耗散要大于方程

本身的耗散，解失真。

可以通过观察修正的

差分方程，可用