构造法在求解微分方程中的应用

构造法在求解微分方程中的应用

刘 华

（第二炮兵工程大学，710025）

摘 要：构造法是一种常见的化归策略，在高等数学中有着重要的应用，本文将介绍构造法在不同类型微分方程求解中的应用。 关键词：构造法 微分方程

构造法是一种常用的数学方法，它指的是根据所要解决问题的具体特点构造出特定的数学形式，达到化简、转化和桥梁的作用，进而能够方便地解决问题。历史上不少数学家都曾经运用该方法，解决了数学难题，比如柯西、欧拉、费马、拉格朗日等。这种方法体现了思维的转换，有利于培养创新意识及创新能力。

构造法在高等数学中有着普遍的应用，比如通过构造函数证明等式、不等式，证明微分中值定理，通过构造级数求极限，通过构造数列、积分等解决相应问题。这种方法在微分方程求解中的应用尤为突出，从一阶线性微分方程到二阶（高阶）常系数齐次线性微分方程，再到二阶（高阶）常系数非齐次线性微分方程，无不体现出构造法的便利之处。下面介绍构造法在求解微分方程中的应用。

一、构造法在不同类型微分方程求解中的应用

1．

()()dy

P x y Q x dx

+= 通过对比一阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的特点，找出其内在联系，根据一阶线性齐

次微分方程的通解()()P x dx

y x Ce -⎰=，构造出一阶线性非齐次微分方程的通解

()()()P x dx

Y x C x e -⎰

=， 借鉴待定系数法的思想，容易求出一阶线性非齐次微分方程的通解为

()()()[()]P x dx P x dx

Y x e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰。

2．'''

0y py qy ++=

通过对五类基本初等函数的逐一分析，考虑到指数函数求导的特点，构造该方程特解的形式为

*()rx y x e =，根据构造的这种形式，可以将微分方程的求解问题转化为一元二次方程

20r pr q ++=（特征方程）求根的代数问题，根据方程根的不同形式可以进一步得到该微分方程

的通解。在特征方程有二等实根的情况下，进一步利用构造法构造出另一与1()rx

y x e =线性无关的特解2()()rx y x u x e =，可求得这一特解为2()rx

y x xe =。上述构造法的运用可以推广到高阶齐次线

性微分方程。

3．'''()x

m y py qy P x e λ++=（其中()m P x 为m 次多项式函数）

根据该微分方程右端自由项的特点，可以构造出特解形式为*()()x

m y x Q x e λ=，将其代入微分

方程整理可得

'''2

()(2)()()()()m m m m Q x p Q x p q Q x P x λλλ+++++=

由此结果不难发现，当λ是特征方程2

0r pr q ++=的单根或二重根时，上式不可能成立，构造的特解形式将不再适合该微分方程的求解。究其原因是因为等式两端多项式函数的次数不等，于是调整后特解的形式为

*()()(0,1,2)k x

m y x x Q x e k λ==

当λ不是特征方程2

0r pr q ++=的根时，k 取0，当λ是特征方程2

0r pr q ++=的单根时，k 取1，当λ是特征方程2

0r pr q ++=的二重根时，k 取2。借鉴待定系数法的思想可以求出

()m Q x ，进而得到该微分方程的特解，利用相对应的齐次微分方程的通解，可以进一步地求得该微

分方程的通解。

特别地，当λ是特征方程2

0r pr q ++=的二重根时，可直接构造2()()m z x x Q x =，使得其

二阶导数等于()m P x 即可，这样以来可以更为简单方便地得到其特解*()()x

y x z x e

λ=。

当上述微分方程右端自由项()[()cos ()sin ]x

l n f x e P x x P x x λωω=+时，其特解形式可以类

似地构造为

*(1)(2)

()[()cos ()sin ](0,1)k x m m y x x e R x x R x x k λωω=+=

当i λω+不是特征方程20r pr q ++=的根时，k 取0，当i λω+是特征方程2

0r pr q ++=的单根时，k 取1。

二、典型例题分析

例1．求微分方程x

x y y y 32

e )1(96+=+'-''的特解。

解法一： 由于x

3e 中x 的系数3=α是对应齐次方程特征方程的二重根.因而该方程特解的形式可构造为

*223()()e x y x x Ax Bx C =++

将它代入方程左边求导，化简并和方程右边比较系数可得方程组

1216021A B C =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

于是，可求得其特解为2*

2

31()e 122x

x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭ 解法二：构造其特解x

x z y αe

)(=(22

()()z x x Ax Bx C =++ 且)(x z 满足

2()1z x x ''=+.

因此有

22()12621z x Ax Bx C x ''=++=+.

比较系数得112=A ，06=B ，12=C ，即121=

A ，2

1

=C 所以原方程的特解为 2*

2

31()e 122x

x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭.

例2．求微分方程x y y 2sin =+''的特解

解法一：由于对应齐次方程的特征根为i ±=λ,所以可构造该方程的特解为

*()cos 2sin 2y x A x B x =+

将上式代入原方程整理可得

3cos23sin2sin2A x B x x --=

比较等式两端可得

30

31

A B -=⎧⎨

-=⎩ 求解方程组可得1

0,3

A B ==-

，所以原方程的特解为 1

*()sin 23

y x x =-

解法二：由于第一个方程右边只有正弦函数，左边不含一阶导数项，若y 是正弦函数，则y ''也必是正弦函数.因此可以构造其特解为

*()sin 2y x A x =

将上式代入原方程可得

3sin2sin2A x x -=

比较上式两端，可得1

3

A =-

，于是原微分方程的特解为 1

*()sin 23

y x x =-

构造法是一种富有探索性、技巧性和创造性的方法，在不断探索、发现、创造的基础上，往往可以构造出更为简洁、有效地形式，从而更便于解决问题。构造法的应用不仅能够巧妙、简便地解决问题，还能够激发创新思维，培养创新意识，提高创新能力。 参考文献