江苏专转本高数证明题精讲
江苏省专转本数学考试必考要点及解析
江苏省专转本数学考试必考要点及解析1.函数分段点处的连续性（何种间断点）2.函数极限（无穷小的情况）--利用洛必达法则和等价无穷小（必考后者）-- 一般用来求2个函数式中存在的未知量a,b,c等---选择题或者填空题3.已知某点导数值，求在该点处的极限值(必考)—填空题若(0)1f′=，则0()()limxfxfxx→−−=4.证明分段函数在分段点处的连续性和可导性（理解定义并会判别）（必考）--证明题5.交换积分次序(必考)---选择题或者填空题6.洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法（必考）--填空题、选择题、计算题7.利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式注解：7和8常合起来考查函数在某个定义域处的单调性和凹凸性---选择题8.函数极值判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点(2次求导后，用极值判断凹凸性若“极值<0”,则把符号顺时针旋转90度尖朝上突出说明就是“凸”以此类推“>”情况)9.曲线的水平渐近线与垂直渐近线(必考判断渐近线条数)—选择题10.不定积分计算不定积分的基本公式分部积分法（考查两者结合使用）或者对定积分的计算(必考其一或2者皆有)--计算题、填空题11.变上或下限定积分求导数的方法（必考）--选择题牛顿—莱布尼茨公式定积分的换元积分法与分部积分法12.向量的数量积与向量积的计算方法（两向量垂直或平行时的满足情况，进行求给出向量中的未知量）--填空题13.求平面方程或者直线方程（平面的点法式方程、一般式方程。
会判定两平面的垂直、平行；点到平面的距离；直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。
会定两直线平行、垂直；判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上））（必考）--计算题14.隐函数的一、二阶偏导数计算（必考）--计算题复合函数一、二阶偏导数的求法（必考）--计算题二元函数的全微分（在某点处的全微分值计算）--填空题15.二重积分的应用（求给出区域图形的面积）--计算题16.级数收敛、发散（判别方法的应用必考）--选择题几何级数、调和级数与p级数的敛散性级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法（重要应该必考）17.幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法18.一阶微分方程（可分离变量方程的解法。
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
2012江苏专转本高等数学试题及解析
设特解 y = ( Ax + B )e ，代入 y′′ + 4 y′ + 4 y = ( x + 1)e ，得 A =
解：收敛半径 R = lim
(n + 1)3n +1 an = lim = 3 ， − 3 < x − 3 < 3 ，则 0 < x < 6 . n→∞ n→∞ a n3n n +1
∞ (−1) n 1 x = 6 ，发散；当 时，幂级数为交错级数 ，收敛. ∑ ∑ n n =1 n n =1
∞
当 x = 0 时，幂级数为
2 − 15 x 15 ，令 f ′( x ) = 0 ， − x2 = 2 2 x
1
2 2 ， f ′( x ) 不存在的点是 x = 0 . 在区间 (0, ) 内 f ′( x ) > 0 ，函数 f ( x ) 单调 15 15
增加，极小值为 f (0) = 0 ；
-1-
孙久厚教授
2012 江苏专转本高等数学试题解析
sunjh@
2 + 15 x 1 − 15 − 2 4 30 2 ， f ′′( ) < 0 ， 函数的极大值为 f ( ) = . f ′′( x) = − x 2 − x 2 = − 2 4 15 45 15 4x x
选(C). 4. 函数 z = ln(2 x) + A. dx − 3dy 解： z = ln(2 x) +
a + (2 b ) 2 = 32 + 42 = 5 .
2
∫
+∞ a
e− x dx =
+∞ a
1 ，则常数 a = _______. 2
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第二讲：连续,导数、微分
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
第二讲：连续、导数、微分
1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分
lim f ( x) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. (1) x x
0
(2) 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
(3) 函数 f ( x )在点x 处可导 左导数 f ( x ) 和右 0 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
江苏省专转本高等数学第四章定积分核心知识点例题讲解(含答案)
第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb aaf x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．3dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x解：原式=⎰-202cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x=20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25 例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第十讲_定积分的应用
三、小结
y 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周
绕 x 轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
3 2 2 3
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
2 y 例 3 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4 所围
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
A 40
4
A1
1 2 2 a . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 6 求心形线r a (1 cos ) 所围平面图形的 面积(a 0) .
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
d
2 [ ( y )] dy
V
d
c
x ( y)
c
o x
江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)
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反余切函数 y arc cot x
y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
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三
初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
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2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 ②［取整函数］
1
o
y x
-1
y
2 1o
当
③［狄里克雷函数］
1 2 3 4
x
y
1 1, x Q y D( x ) • x o 0, x Q C 无理数点 有理数点 ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.
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【思考题解答】
(1) 内层函数g(x)的图形如图示
y f [ g( x )]
x x
2
y
0.25
g(x)= x-x2
x D { x | 0 x 1}, 1 f ( D ) [0, ] 2
o
0.5
1
x
( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
例如 y arcsinu, u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
江苏专转本高等数学 级数 练习加例题
- 160 -第六章 级 数本章主要知识点● 级数收敛定义及性质 ● 正项级数敛散判别方法 ● 一般项级数敛散判别方法 ● 幂级数一、级数收敛的定义及性质定义：∑∞=1n na收敛∑=→=⇔nk nn S aS 1（有限）(→n +∞)性质：① 必要条件 0lim =∞→n n a② ∑na 与∑nb收敛，则∑±)(n nb a收敛③ ∑na 收敛，∑nb 发散，∑±)(n nb a 必发散 ④∑n a发散，∑n b发散，∑±)(n nb a不能确定⑤ ∑p n 1＝⎩⎨⎧发散收敛11p p >≤⑥∑n q 收敛，当.1q const =<例6.1．计算11(3)n n n ∞=+∑ 解：111111111()(1),()(3)33333nn n k k S n n n n n n ====-=-→→∞+++∑∑- 161 -111(3)3n n n ∞==+∑ 例6.2．计算nn q∞=∑（.1q const =<）解：111()11n n q S n q q+-=→→∞-- 所以11n n q q+∞==-∑ 二、正项级数(0)n n a a ≥∑敛散性判别法1. 比值判别法如果∞→n lim11, 1, 1, n nl a l l a l +<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散比值判别法失效 例6.3．∑+∞=1!n nnn 解： 111(1)!lim lim lim()1(1)!1n nn n n n n na n n n e a n n n -++→∞→∞→∞+=⋅==<++ 所以由比值判别法知原级数收敛。
例6.4．124nn n∞=+∑ 解：11124111lim lim lim 12422n n n n n n n a n n a n n ++→∞→∞→∞+++=⋅=⋅=<+ 收敛 例6.5．判别级数()21222133535721n n -+++++⋅⋅⋅-L L L 的敛散性- 162 -解：112357 (21)lim lim 0357...(21)2n n n n n na n a n +-→∞→∞⋅⋅=⋅=⋅⋅+－，收敛 2. 比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。
江苏专转本高数 第六节 极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题
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一、极限存在准则
1.【夹逼准则】
【准则Ⅰ】 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
2 作单位圆的切线，得ACO . 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
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sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于
2
x
0也成立.当 0
x
x0 x 【解】 换元法
令 t arcsin x 则 x sin t
当 x 0 时，t 0 于是由复合函数的极限运算法则可得
lim arcsin x lim t 1
x0 x
t0 sin t
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(2)
lim(1 1 )x e
1
或 lim(1 x)x e
n2 n
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
广义单调数列
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
【准则Ⅱ】 单调有界数列必有极限.
【几何解释】
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
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教材 【例2】
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 7.6直接证明与间接证明教案(含解析)
§7.6直接证明与间接证明考情考向分析高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2)一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法． ②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论 (4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件 2．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等． (2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．概念方法微思考1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是．用综合法证明时常省略大前提．2．综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．3．反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是．反证法是命题中“p与綈p”关系的应用．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ ) 题组二 教材改编2．[P87习题T2]若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是______． 答案 P >Q解析 P 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋42，Q 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋40，∴P 2>Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P >Q .3．[P87习题T7]设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，则a x ＋cy＝________. 答案 2解析 由题意，得x ＝a ＋b2，y ＝b ＋c2，b 2＝ac ，∴xy ＝(a ＋b )(b ＋c )4，a x ＋c y ＝ay ＋cx xy＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b2xy＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )2xy ＝ab ＋bc ＋2ac 2xy＝ab ＋bc ＋ac ＋b 22xy ＝(a ＋b )(b ＋c )2xy＝(a ＋b )(b ＋c )2×(a ＋b )(b ＋c )4＝2.题组三 易错自纠4．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是________．(填序号) ①ac 2<bc 2；②a 2>ab >b 2； ③1a <1b ；④b a >a b.答案 ②解析 a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .(*1) 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，(*2)由(*1)(*2)得a 2>ab >b 2.5．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是________________． 答案 方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根． 6．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是__________三角形． 答案 钝角解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1.sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立．假设△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则cos A 1＝sin A 2＝1，A 1＝0，矛盾．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．题型一综合法的应用1．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则a，b的大小关系为________．答案a<b解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.2．如果a a＋b b>a b＋b a成立，则a，b应满足的条件是__________________________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.3．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立．上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )，∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .4．已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3，∴a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． (2)∵a >0，∴3a ＋1>1， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1(3a ＋1)＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝13时，取等号， 同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ，以上三式相加得 4⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)． 思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．题型二 分析法的应用例1已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x－2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥1223x x +－2·x 1＋x 22， 因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥1223x x+－(x 1＋x 2)， 即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22， 因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2， 由于当x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0，由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．故原结论成立．思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．跟踪训练1已知a >0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ a ＋1a －(2－2)>0， 所以只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a 2 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42， 只需证a ＋1a≥2. 因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立(当a ＝1a＝1时等号成立)， 所以要证的不等式成立．题型三 反证法的应用命题点1 证明否定性命题例2设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ，则当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．命题点2 证明存在性命题例3已知在四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，BC ，BF ⊂平面SBC ，∴平面SBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .命题点3 证明唯一性命题例4已知M 是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f (x )∈M ，①方程f (x )－x ＝0有实数根；②函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x 4是不是集合M 中的元素，并说明理由； (2)集合M 中的元素f (x )具有下列性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．(1)解 ①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根0；②f ′(x )＝12＋cos x 4，所以f ′(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1. 由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x 4是集合M 中的元素． (2)证明 假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0.不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)，满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1.与已知0<f ′(x )<1矛盾．又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．跟踪训练2若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．答案 A ≤B ≤C解析 因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是________．(用含a ，b ，c 的不等式表示)答案 (a －b )(a －c )>0解析 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.3．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P >Q解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .4．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且为增函数，若a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为________．答案 正解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b .又函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且为增函数，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.同理f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0.5．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明________．(填正确的序号)①2ab －1－a 2b 2≤0；②a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0； ③(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0； ④(a 2－1)(b 2－1)≥0.答案 ④解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.6．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ③解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.7．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________．答案 a ，b 都不能被5整除 8.6＋7与22＋5的大小关系为______________．答案 6＋7>22＋ 5 解析 要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.9．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为____________．答案 c n ＋1<c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，则c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．答案 ①解析 ① ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β， 又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确；②⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα⊥β⇒l ∥β或l ⊂β， ∴l ，m 平行、相交、异面都有可能，故②错误；③ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m⇒m ⊂α或m ∥α. 又m ⊂β，∴α，β可能相交或平行，故③错误．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ， 所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 所以a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ， 所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，矛盾．所以假设不成立，原命题得证．12．设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n>M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．(1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n <0，所以b k －na k 在k ∈N *上单调递减．所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n .所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，所以{c n }是等差数列．(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2>nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1>0时，取正整数m >d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1>d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．②当d 1＝0时，对任意n ≥1，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2,0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)．此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列．③当d 1<0时，当n >d 2d 1时，有nd 1<d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m >max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1，故当n ≥m 时，c n n >M .13．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 解析 若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32， 故满足题干要求的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32. 14．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵a >1，∴ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2，与假设x 0<0(x 0≠－1)相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．15．已知函数f (x )＝2e 2x－2ax ＋a －2e －1，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．若函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是________．答案 (2e －1,2e 2－2e －1)解析 f (x )＝2e 2x －2ax ＋a －2e －1，则f ′(x )＝4e 2x －2a ，x ∈(0,1)，∵4<4e 2x <4e 2，∴①若a ≥2e 2时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)内单调递减，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；②若a ≤2时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0,1)内单调递增，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去； ③若2<a <2e 2时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12ln a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln a 2，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln a 2＝2a －a ln a 2－2e －1.令h (x )＝2x －x ln x 2－2e －1(2<x <2e 2)，则h ′(x )＝－ln x ＋1＋ln2，当x ∈(2,2e)时，h ′(x )>0，h (x )为增函数；当x ∈(2e,2e 2)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数，所以h (x )max ＝h (2e)＝－1<0，即f (x )min <0恒成立，所以函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0， 解得a ∈(2e－1，2e 2－2e －1)．16．(2017·江苏)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ， ①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④ 将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′.在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n }是等差数列．。
江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量)
如果lim u存在, 而c为常数, 则
lim( cu) c lim u .
如果lim u存在, 而n是正整数, 则
推论2
lim u (lim u) .
n n
n 前已证 lim x x0 , 所 以 lim x n x0 . x x
0
x x0
2 例1 lim ( x 3 x 1) lim x lim 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2
定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.
无穷小量的性质：
定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；
2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
7
sin x 例1 求 lim . x x
1 解 当x 时, 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
25
因为 lim a
n 2n
0 , 所以原极限为-1；
an an 1 a 2 n 1, lim 当 a 1 时， lim n n 2 n n a a n 1 a 1 , 0 a 1 a n a n 所以 lim n 0, a 1 . n n a a 1, a 1
x1 1 lim . x 1 x 3 2
5
第四节
定义
无穷小(量)和无穷大(量)
一、无穷小(量)
以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 x 0 1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
2021年江苏专转本高等数学真题及答案
江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选取题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限对的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表达 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22t t y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 通解为8、互换积分顺序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =全微分=dz 10、设)(x f 为持续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 间断点，并阐明其类型.14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx e e xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处获得极值，试拟定a 、b 值，并求出)(x f y =表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具备二阶 持续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周体积。
江苏省专转本高等数学第一章函数的极限与连续知识点讲解第一节函数
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x a a a ˆ, ). 点a的去心的邻域, 记作N (a
ˆ , ) {x 0 x a }. N (a
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
五、初等函数
（一）基本初等函数及其图像
y x (是常数) 1、幂函数 y
y x
x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
x 2、指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
称 f ( x )为奇函数;
y
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第四讲：中值定理及其导数的应用
(1)
例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
江苏省专转本高数全部知识点极限洛比塔法则不定积分概念与性质换元积分法
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
例13 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
江苏专转本高数 第五节 极限运算法则
但因
x + 2x 3 0 lim = = 0. x →1 4x 1 3
2
∴
4x 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x 3
机动
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x 1 0 . ( 型) 求 lim 2 【例4】 】 x →1 x + 2 x 3 0
2
14/26
方法】 【方法】消去零因子法
0 【解】 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
B g( x ) > 2
机动 目录 上页 下页 返回
即
1 1 2 = < g( x ) B + ε B
1 1 1 2 故 = < 2, B( B + β ) B B + ε B
8/26
有界, 有界,
. ∴(3)成立
函数和, 商的极限等于极限的和, 函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商. 【推论 】如果lim f ( x)存在而c为常数 则 推论1】ຫໍສະໝຸດ , ,机动 目录 上页 下页
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注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如】 【例如】 1 1 但 (1) n → ∞时, 是无穷小, n个 之和为 1 , 非无穷小 . n n 1 1 1 lim ( + + + ) = lim 1 = 1 n→ ∞ n n→ ∞ n n n个 个 1 2 n ( 2) 2 , 2 , , 2 都是 n → ∞ 时的无穷 小 n n n n( n + 1) 1 2 n 1 n( n + 1) 2 但 2 + 2 ++ 2 = → 非无穷小 = 2 2 2 n n n n 2n
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3.利用函数单调性证明不等式 一般步骤为:(1)构造辅助函数,一般地,将要证的不等式统统移到一 边使得另一边为零，那么非零一边可以设为辅助函数; (2)求辅助 函数的导数以判断辅助函数的单调性;(3)根据单调性定义证明不 等式成立.
x 2 x3 例：证明不等式：ln(1 x) x ( x 0) 2 3
2.罗尔中值定理(属于“导数的应用”这一章)
罗尔中值定理 : 若函数f ( x)满足下列条件 1）在[a, b]上连续;2）在(a, b)内可导;3）f (a ) f (b) 则至少存在一点 (a, b), 使得f ( ) 0.
例：设f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)可导，且f (a ) f (b) 0， 则 R, 使f ( ) f ( ).
4.利用定积分的换元法证明有关定积分的等式
b
a
f ( x)dx 1
x ( t ); x:a b ~ t: ( a ) ( b ); dx ( t ) dt
1 1
1 ( b )
(a)
f (t ) (t )dt
例：设函数 f (u ) 在[0，1]上连续，证明：
2 0
f ( cos x)dx f (sin x)dx, 并计算
2 0
2 0
cos x dx. cos x sin x
．
5.由导数的定义证明问题.
设f ( x )在U x0 内有定义，若极限
x x0
lim
z z 例：已知函数z z ( x, y )是由 y 3 z , 证明： 1. x y
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x x0 x dy | x x0 . dx
存在, 则称f ( x )在x0处可导，记为f ( x0 )或
f ( x) , x0 例：设f ( x)具有二阶导数，且f (0) 0, g ( x) x , x0 0, f (0) 证明：g ( x)在x 0可导，且g (0) . 2
6.由隐函数求导法证明等式 方法一:方程两边分别对自变量求导或求偏导,再解出导数或偏导数, 这里特别要注意:因变量与自变量的函数关系,对自变量求导往往是 复合函数的求导. 方法二:公式法
设y y ( x)是由方程F ( x, y ) 0所确定, 则 F dy x , dx Fy
Fy Fx z z 设z z ( x, y )是由方程F ( x, y, z ) 0所确定, 则 , Fz x Fz y
证明题专题讲座
1.利用零点定理证明根的存在性.
设f ( x)在[a, b]上连续，且f (a ) f (b) 0, 则 在(a, b)内至少存在一个根，使得f ( ) 0
证明的关键是构造辅助函数 f ( x ),有时需要寻找闭区间[ a, b].
例：设函数f ( x)在[0， 2a ]上连续, 且f (0) f (2a ), 试证明 : [0, a ], 使得f ( ) f ( a ).