江苏专转本高数证明题精讲

6.由隐函数求导法证明等式 方法一:方程两边分别对自变量求导或求偏导,再解出导数或偏导数, 这里特别要注意:因变量与自变量的函数关系,对自变量求导往往是 复合函数的求导. 方法二:公式法
设y y ( x)是由方程F ( x, y ) 0所确定, 则 F dy x , dx Fy
Fy Fx z z 设z z ( x, y )是由方程F ( x, y, z ) 0所确定, 则 , Fz x Fz y
2.罗尔中值定理(属于“导数的应用”这一章)
罗尔中值定理 : 若函数f ( x)满足下列条件 1）在[a, b]上连续;2）在(a, b)内可导;3）f (a ) f (b) 则至少存在一点 (a, b), 使得f ( ) 0.
例：设f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)可导，且f (a ) f (b) 0， 则 R, 使f ( ) f ( ).
z z 例：已知函数z z ( x, y )是由方程 sin( x 2 y 3 z ) x 2 y 3 z , 证明： 1. x y
证明题专题讲座
1.利用零点定理证明根的存在性.
设f ( x)在[a, b]上连续，且f (a ) f (b) 0, 则 在(a, b)内至少存在一个根，使得f ( ) 0
证明的关键是构造辅助函数 f ( x ),有时需要寻找闭区间[ a, b].
例：设函数f ( x)在[0， 2a ]上连续, 且f (0) f (2a ), 试证明 : [0, a ], 使得f ( ) f ( a ).
例：设函数 f (u ) 在[0，1]上连续，证明：

2 0
f ( cos x)dx f (sin x)dx, 并计算
2 0
2 0
cos x dx. cos x sin x
．
5.由导数的定义证明问题.
设f ( x )在U x0 内有定义，若极限
x x0
lim
3.利用函数单调性证明不等式 一般步骤为:(1)构造辅助函数,一般地,将要证的不等式统统移到一 边使得另一边为零，那么非零一边可以设为辅助函数; (2)求辅助 函数的导数以判断辅助函数的单调性;(3)根据单调性定义证明不 等式成立.
x 2 x3 例：证明不等式：ln(1 x) x ( x 0) 2 3
4.利用定积分的换元法证明有关定积分的等式

b
a
f ( x)dx 1
x ( t ); x:a b ~ t: ( a ) ( b ); dx ( t ) dt
1 1
1 ( b )
(a)
f (t ) (t )dt
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x x0 x dy | x x0 . dx
存在, 则称f ( x )在x0处可导，记为f ( x0 )或
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f ( x) , x0 例：设f ( x)具有二阶导数，且f (0) 0, g ( x) x , x0 0, f (0) 证明：g ( x)在x 0可导，且g (0) . 2