第八讲：尾数和余数问题
五年级尾数与余数111
(2)、9 × 9 × 9 × 9 × …… × 9积的个位数字是几？
61个9 解析：有简单的开始分析找规律： 1个9的个位是9， 2个9的积的个位是1， 3个9的积的个位数字是9， 4个9的积的个位数字是1， 5个9的积的个位数字是9， 6个9的积的个位数字是1， …… 依次这样类推我们不难发现尾数是9,1不断重复 出现的，因此： 61÷2=30……1，余数是1，说明61个9相乘的积 的个位是9.
1个23的个位数字为3， 2个23的积的个位数字为9， 3个23的积的个位数字为7， 4个23的积的个位数字为1， 5个23的积的个位数字为3， 6个23的积的个位数字为9， …… 故我们可以发现末尾数字是以3,9,7,1循环出 现的， 即2000÷4=500 即2000个23的积的个位 数字为1. 故前后两部分的积为8.
100个125 解析： 125的末位数字是5； 125×125的末位数字是5； 125×125×125的末位数字仍是5； 125×125×125×125的末位数字仍是5； …… 故不管多少个125相乘，积的末位数字都是5.
（2）1 ×16）积的尾数是
几？
200个（11 ×16）
每个括号里11×16积的个位是6， 那每个括号里相乘的积的末位数字是6， 200个个位数字都是6的数相乘个位数仍是6.
1、61×61×61×……×61积的尾数是几？
2、1.5×1.5×1.5×……1.5×1.5积的尾数是几？
1000个（12×53）
3、（12×53）×（12×53）×（12×53）×……×（12×53） 积的尾数是几？
例3：写出除213后余3的全部两位数。
213=210+3 210=2 2 2 3 3
×5 ×7 ×5 ×7 × 被除数=商×除数+余数 被除数-余数=商×除数
第八讲 整除特征初步
1. 学会尾数判断法；2. 学会数字和判断法。
1. 尾数判断法（1）能被2, 5整除的数的特征：看个位。
如果一个数的个位能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。
（2）能被4, 25整除的数的特征：看末两位。
如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
（3）能被8, 125整除的数的特征：看末三位。
如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
2. 求和判断法能被4, 25整除的数的特征：如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除。
3. 同时满足多个数方法：逐一满足【例 1】 下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？（2）哪些能被4整除？哪些能被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？（4）这些数除以4的余数分别是多少？【例 2】（1）修改5679中的一个数字，使这个四位数能被5整除，修改后的四位数是多少？（2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除，修改后的六位数是多少？第八讲 整除特征初步例题精讲知识点拨教学目标()【巩固】（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数能被4整除，修改后的五位数是多少？（2）修改675447中的一个数字，使这个六位数能被8整除，修改后的六位数是多少？【例 3】有六个自然数：5762；3105；9631；7953；2945；3281（1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？（2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？【例 4】AA能被3整除，求A。
（1）四位数31AA能被9整除，求A。
（2）五位数232【巩固】下面每个数中的字母分别是多少时，这个数能被3整除？都有哪些填法呢？B563C618D162A541【例 5】在下面每个数的□里填上一个数字，使它符合所提要求。
（1）能被2整除，又能被3整除。
第08讲-尾数与余数(教)(教案教学设计导学案)
1、【2015•希望杯初赛】9个13相乘，积的个位数字是
【解析】1×13个位是3，13×13个位是9,13×13×13个位是7，13×13×13×13个位是1，发现乘积结果的个位数字（尾数）以3、9、7、1循环，周期为4。9÷4=2……1，所以积的个位数字是3。
所以，第50个数字为循环节的第2个数字，即为1。
5、666…6÷4[100个6] 当商是整数时，余数是几？
【解析】经过试除后发现无论多少个6，余数都是2，所以100个6时，余数仍为2。
6、94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？
【解析】4=4，4×4=16，4×4×4=64，4×4×4×4=256，发现若干个94相乘积的尾数以：4、6重复出现，循环周期是2，102 ÷2=51，所以102个94相乘的积尾数是6；同理可知若干个49相乘积的尾数以9、1重复出现，循环周期是2,101÷2=50……1，所以101个49相乘的结果以9为尾数。作差时，个位6-9，不够减，需向前借一位，16-9=7，所以差的个位，及差的尾数是7。
5、888…8÷7[200个8]当商是整数时，余数是几？
【解析】经试除后发现，余数以1、4、6、2、5、2、0，重复循环出现，循环周期是6，200÷6=33……2，所以结果的余数是4。
6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，……。这列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第1992个数被5除余数是几？
尾数和余数
尾数和余数准备题：1、“开放的北京盼奥运开放的北京盼奥运……”像这样依次写下去，第2008个字是什么字？2、有一列数：7，3，4，6，7，3，4，6……(1)第150个数是多少？（2）这150个数相加的和是多少？[例1]写出除213后余3的全部两位数。
练一练：写出除109后余4的全部两位数。
[例2](1)125×125×125×……×125（100个125）积的尾数是几？(2)9×9×9×……×9（51个9）积的个位数字是几？（3）23×23×23×……×23×18×18×18×……×18的个位数字是几？2000个23 2001个18练一练：1、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）〔100个（21×26）〕积的尾数是几？2、4×4×4×……×4积的个位数字是几？50个4[例3]444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？练一练：1、555……55（2001个5）÷13，当商是整数时，余数是几？2、888……8（80个8）÷7，当商是整数时，余数是多少？[例4]甲数除以9余7，乙数除以9余5。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练一练：甲数除以5余3，乙数除以5余2，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几?甲、乙两数的积除以5余数是几？感谢您的阅读，祝您生活愉快。
小升初级之金牌奥数暑假15次课程AA
1、小升初金牌奥数：尾数和余数（小升初必考题型）1、教学导如入：估值的意义与方法及思想的引入。
2、知识回顾：3、巩固练习（4题）1、1x1=1，所以尾数是1的数相乘，无论是多少，无论是多少个，积的尾数肯定是1，同样5x5=25，积的尾数肯定是5；6x6=36，积的尾数肯定6.积的尾数，商的小数部分等会出现循环现象，我们称作“周期问题”例如：。
例题一：1、125x125x125x。
125一共是200个125相乘，乘积的尾数是几？2、（11x16）x（11x16）x（11x16）。
x（11x16），一共是200个（11 x16）积的尾数是几？过手训练：61x61 x61。
x61，20个61相乘，积的尾数是几？例题二：1、4 x4 x4 x4。
x4 x4，60个4相乘，积的个数是几？2、9 x9 x9 x9.。
x9，61个9相乘，积的个位数是几？过手训练：24x24 x24.。
x24，2005个24相乘，积的尾数是几？3、写出除以213后余数是3的全部两位数是那些？过手训练：写出除以109后余数是4的全部两位数。
例题四：3÷7商的小数点后面第2005个数字是几？例题五：20022002的个位数字是几？过手训练：20032003的个位数字是几？例题六：有一串数字排成一行，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是两个数的和，他们是：5，8，13，21，34，55，89，。
那么，在这一串数中，第2004个数被3除后所得的余数是几？过手训练：有一串数排成一行，其中第一个数是4，第二数是5，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，他们是：4，5，9，14，23，37，60，97，157，那么在这一串数中，第1000个数被3除后所得的余数是几？例题七：按连写100个12得一个自然数： 位20012......121212这个数除以13余数是几？过手训练： 5200155.55555个。
五年级尾数余数ppt课件
3、9×9×9×…×9[91个9]积的个位数是几？
思路导航：只要找出一个9相乘，积的个位是9， 两个9相乘，积的个位是1。三个9相乘，积的个位 是9，就可以发现规律性。
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
7 4 0 7 4 0…
6 4 4 4 4 4 4 4…4
42
24 24
已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数 比乙数大。 （1）甲、乙两数的和除以9余数是几？ （2）甲、乙两数的差除以9余数是几？ （3）甲、乙两数的积除以9余数是几？
思路导航：1、甲、乙余数的和除以9与甲、乙两数的和除以9余数相同。（5+7） ÷9=1 …3
2、甲、乙两数的差除以9的余数与甲、乙两数余数的差除以9的余数相等。（7-5） ÷9=0 …2
分析：首先对317-2=315，再把315分解质因数： 315=3×3×5×7 ，所有符合条件的两位数再去组合 在一起。
2、写出除349后余4的全部两位数。
思路分析：首先对349-4=345，再把345分解质因数： 345=3×5×23 ，所有符合条件的两位数再去组合 在一起。
3、写出除1095后余3的全部三位数。
一列数
3 10 13 23 36 59 95 154 249 403 652 1055 1707 2762 4469 …
余数
0 1 12 0
2
21
0
1
1
2
0
2
2…
思路：从这列数除以3后的余数中来寻找规律性。从表中可以 发现，这些余数是按照（0、1、1、2、0、2、2、1）顺序出现的。 因为1991÷8=248组…7，即是第249组中的第7个余数是2。
1、61×61×61×…×61[2011个6]积的尾数是几？
小升初五年级数学培优教材(第二期)共四期
目录第1讲小数的运算技巧（一） (2)第2讲小数的运算技巧（二） (6)第3讲相遇问题（二） (11)第4讲平均数应用题 (15)第5讲尾数与余数问题 (19)第6讲包含与排除 (23)第7讲解方程 (27)第8讲列方程解决问题（一） (31)第9讲列方程解决问题（二） (35)第10讲基本图形的面积 (39)第11讲组合图形的面积（一） (43)第12讲组合图形的面积（二） (47)第1讲小数的运算技巧（一）【知识要点】小数运算中常运用的技巧有：（1）等积变形：（运用一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的性质，可以把几个因数化成相同的数来计算）（2）凑整与拆分；（3）分组与重新组合；（4）乘法分配律及其反用；（5）商不变的性质；（6）用字母代替数字，即代换法。
【例题精讲】例1、计算：0.79×0.46+ 7.9×0.24+11.4×0.079例2、计算：7.5×23+31×2.5例3、计算：（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18）例4、计算：3.6×42.3÷0.9－12.5×0.423×16例5、计算：(1 + 2.3 + 3.4) ×(2.3 + 3.4 + 6.5)-(1 + 2.3 + 3.4 + 6.5) ×(2.3 + 3.4) 例6、计算： 0.1949×0.19951995－0.1995×0.19491949【基础夯实】1、计算： 7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×7242、计算：3.7×15+21×4.53、计算：1）0.9999×0.7+0.1111×2.7 2）99.9 ×22.2+ 33.3×33.44、计算：（3.4×4.8×9.5）÷（1.9×17×2.4）5、(1 + 1.7 + 1.9) × (1.7 + 1.9 + 9.2) - (1 + 1.7 + 1.9 + 9.2) × (1.7 + 1.9)【能力提升】1、大小两数的差是7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，较大数是多少？2、两个数相加，小芳错算成相减了，结果得8. 6,比正确答案小10.4，原数中较大数是多少？3、比较下面两个积的大小A=5.4321×1.2345，B=5.4322×1.2344第二讲小数运算技巧（二）【巩固旧知】1、计算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.92、计算：19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82【例题精讲】例1、计算：0.11+0.13+0.15+0.17+……+0.97+0.99例2、一个物体从空中落下来，经过4秒钟落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距地面多少米？例3、计算：(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(100+1.2×100) 例4、计算：1.999×2003－1.998×2004【基础夯实】1、计算：0.1+0.13+0.16+0.19+...+0.97+12、计算：(1-0.1)+(2-0.2)+(3-0.3)+…+(9-0.9)+(10-1)3、一个物体从空中落下来，第一秒钟下落2.5米，以后每秒多下落9.9米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？4、12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12 +91.235、小王和小明两人比赛赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。
五年级奥数尾数与余数教案
课题奥数“尾数与余数授课时间：5.29 备课时间： 5.25教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题一.写出除333后余3的全部两位数。
思路导航：因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。
例题二. (1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？(2）的积的尾数是几？思路导航：(1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。
51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
（2）小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。
一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。
那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5例题三. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？思路导航：从竖式中的余数可以看出：每3个4组成的数被6整除。
尾数和余数
尾数和余数例1 写出除333后余3的全部两位数练习：1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？2、写出除349后余4的全部两位数3、写出除1095后余3的全部三位数例2（1）9×9×9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？51个9（2）0.3×0.3×…×0.3×25×25×25×25×…25积的尾数是几？204个0.3 1001个25练习：1、61×61×61×…61积的尾数是几？2011个2、（31×36）×（31×36）×…（31×36）积的尾数是几？51个（31×36）3、9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？91个9例3 4444…4÷6，当商是整数时，余数是几？100个4练习：1、5555…55÷13，当商是整数时，余数是几？2001个52、下面各小题中，当商是整数时，余数是几？（1）666…6÷4 （2）4444…4÷7450个6 1000个41化成小数，那么小数点后面100位上的数字是多少？3、把7例4 有一列数，前两个数是3和4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，这一列数中的第2001个数除以4，余数是多少?练习：1、有一串数排成一排，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，在这一串中，第1991个数被3除，所得的余数是几？2、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…。
这一列数的规律是第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，以此类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？3、有一串数5,8,13,21,34,55,89，…。
尾数与余数
尾数与余数1. 21×21×21×…×21[50个21]积的尾数是几？2. 961999个⨯⨯⨯ 积的尾数是多少？3. 4710047474747个⨯⨯⨯⨯ 积的尾数是几？4. 1.5×1.5×1.5×…×1.5[200个1.5]积的尾数是几？5. （12×63）×（12×63）×（12×63）×…×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？6. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？7. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？8. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？9. 写出除109后余4的全部两位数。
10. 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
11. 5÷7商的小数点后面第2000个数字是几？12. 20022002的个位数字是几？13. 20032003的个位数字是几？14. 求200820072006543++的和的尾数是几？15. 求2004200320022001200098765++++的尾数16. 求238454647⨯⨯的尾数是多少？17. 4320022002-一定是5的倍数吗18. 自然数2221672⨯⨯⨯-……个连乘 的个位数字是多少？19. 1333332007-⨯⨯⨯⨯个 的个位数字是多少？20. 1991个1991相乘所得的积，末两位数字是几？21. 324个324相乘所得的积，末两位数字是多少？22. 7666662007÷个 ，余数是几？23. 688888100÷个 ，余数是几？24. 721994÷，余数是几？25. 178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？26. 写出除1290后余3的全部三位数。
余数问题求解技巧
余数问题求解技巧当我们进行数学运算时，有时候我们需要求解一个问题的余数。
余数是一个数字除以另一个数字所得到的剩下的部分。
在解决余数问题时，有一些技巧可以帮助我们更有效地解决问题。
1. 余数定义：余数是除法运算中除数除以被除数得到的剩余部分。
用数学符号表示，余数可以表示为：被除数= 除数×商 + 余数。
例如，当我们计算20除以3时，可以得到商为6，余数为2，即20 = 3 × 6 + 2。
2. 同余定理：同余定理指出，如果两个整数在除以一个正整数时具有相同的余数，那么这两个整数之差是这个正整数的倍数。
例如，如果a除以n的余数是r，b除以n 的余数也是r，那么就有a - b能够被n整除。
3. 整数相加求余：当我们面对两个整数相加并求余的问题时，可以先对两个整数分别求余，然后再相加，最后再对结果求余。
例如，求解(23 + 33) mod 5，先分别对23和33求余，得到3和3，然后再相加得到6，最后再对结果6求余得到1。
4. 余数的性质：余数具有一些特定的性质，可以用来简化问题。
例如，两个数的和的余数等于两个数分别取余后再相加的余数，即(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。
5. 除数的特殊取值：在解决求余的问题时，有时候除数的特殊取值可以帮助我们更快地得到答案。
例如，当除数是10的幂时，我们可以直接取被除数的末尾几位数作为余数。
例如，求解4357 mod 1000，我们可以直接取57作为余数。
6. 负数求余：当我们面对负数求余的问题时，可以先将负数转换为正数，然后再对正数求余，最后再将结果转换为负数。
例如，求解-25 mod 7，可以将-25转换为25，然后再对25求余，得到结果4，最后再将结果转换为负数-4。
7. 大数求余：当我们面对大数求余的问题时，直接使用除法运算可能会比较繁琐。
可以利用同余定理简化求余运算。
例如，求解1234567 mod 8，我们可以将1234567分解为(1200000 + 3000 + 400 + 60 + 7) mod 8，然后分别对每一项求余，得到(0 + 3 + 0 + 4 + 7) mod 8 = 14 mod 8 = 6。
尾数和余数
第十二讲 尾数与余数【故事小家园】有一天，森林里面来了一群特殊的“客人”。
它们长相很特别，动物们都很奇怪，要求他们一一介绍自己。
第一个走出来一个瘦子，它说：“我是1，像支铅笔细又长”。
接着又走出一个说：“我是2，像只小鸭水上飘。
”第三个说“我是3，像只耳朵听声音。
”“我是4，像面小旗随风飘。
”“我是5，像支衣钩挂衣帽。
”“我是6，像棵豆芽咧嘴笑。
”“我是7，像把镰刀割青草。
”“我是8，像支麻花拧一道。
”“我是9，像把勺子能盛饭。
”“我是0，像个鸡蛋做蛋糕。
”他们刚介绍完了，小鹿又问道”你们中间谁最大？谁最小呢？”9站出来，很骄傲地说“我是9，我最大。
” 0耷拉着脑袋说“我最小。
”“对，就是这个表示什么都没有的0。
”9用冷淡的口气说道。
9刚说完，动物们和它的数字兄弟都笑了。
0更加不好意思了，动物们看到0这么没有用，都不愿意和它一起玩。
它们在一起唱呀！跳呀！非常开心。
突然一只大象不小心掉进一个洞里面，洞很深，又很黑，大象在里面挣扎了很久，用了很大的力气总想爬上来，它爬呀爬累得满头大汗，腿也挂破了，鲜血直流。
可是，怎么也爬不上来，它只好在里面大声喊“救命呀！救命呀！”动物们听到了，就纷纷跑到洞口边，想把大象救出来。
数字1到9也来帮忙了。
他们组成最大的数字987654321，显示了最大的力量，费了九牛二虎之力，也没有把大象拉上来。
这个时候，只听见后面有一个微弱的声音说道“我也来试试。
”它们一看是0，就勉强的同意它也来帮忙。
它们重新组成数字9876543210，它们的力量一下子就增大10倍。
哈哈……，一下子就把大象拉上来了。
动物们都很感谢数字兄弟，同时也为冷落了0感到愧疚，它们都来到0的身边，愿意和0做朋友。
数字兄弟也开始重视0了，愿意和它一起玩耍。
从此以后，0再也不自卑了，它觉得自己还是很有用的。
【探索者之旅】【例1】（1）200125125125125......125⨯⨯⨯⨯14444444444244444444443个积的尾数是几？（2）2001116111611161116)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 144444444424444444443个（）（）（）（积的尾数是几？ 解析：（1）因为个位5乘以5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5。
五年级下册讲义01讲尾数和余数B版(含答案、奥数板块)--北师大版
尾数和余数【名师解析】自然数末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差。
尾数与余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起无从下手的问题。
【例题精讲】例1、写出除333后余3的全部两位数。
练习、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？例2、44344219519...999个⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？练习、 44434442161201161...616161个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？例3、 64...4444100÷321个，当商是整数时，余数是多少？练习、1355 (5555)2001÷43421个，当商是整数时，余数是多少？例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？练习、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这一串数字中，第1991个数被3除，所得的余数是几？例5、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练习、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？例6、有一个自然数，用它分别去除70，98，143，都有余数（余数不为0），三个余数的和是25。
这个数是。
练习、有一个自然数，用它分别去除63，80，32都有余数，得到的三个余数的和是10,这个数是。
【选讲】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是 。
练习、某个大于1的自然数分别去除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是 。
【综合精练】1、写出除349后余4的全部两位数。
2、写出除1095后余3的全部三位数。
课时4、尾数和余数
⑦ ⑧ ⑨
2 0 2 2
1000÷8＝125……0
0
例5、甲数除以9余7，乙数除以9余5。 ⑴甲、乙两数的和除以9余数是几？ ⑵甲、乙两数的差除以9余数是几？ ⑶甲、乙两数的积除以9余数是几？
可以看作这两个数就是7和5
⑴（7＋5）÷9＝1……3
⑵（7－5）÷9＝☆……2 ⑶ 7×5÷9＝3……8
3 余数 3 4 7 11 18 29 47 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 0 3 3 2 1 3 0
2001÷6＝333……3
3
4①有一串数排成一行，其中第一个数是3， 第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好 是前两个数的和。在这一串数中，第1991个 数被3除，所得的余数是几? 3 10 13 23 36 59 95 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
尾数和余数
例1、写出除213后余3的全部两位数。 213－3＝210
210 ＝2×3×5×7 能组成的两位数： 2×5＝10 3×5＝15 2×7＝14 3×7＝21
2×3×5＝30
7×5＝35
2×3×7＝42 2×5×7＝70 10、14、15、21、30、35、42、70
1①写出除109后余4的全部两位数。 109－4＝105
5①甲数除以5余3，乙数除以5余2。那么甲、 乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的 差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余 数是几？
可以看作这两个数就是3和2
⑴（3＋2）÷5＝1 ……0
⑵（3－2）÷5＝☆……1 ⑶ 2×3÷5＝1……1
5②甲数除以9余7，乙数除以9余6， 丙数除以9余5，那么（甲＋乙＋丙） ÷9还有余数吗？
① ② ③ ④ ⑤ …
五年级 第08讲-尾数与余数(学)
解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答： 1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题； 2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周期就是几； 3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直接求出余数了。
重点回顾
1、分解被除数写出符合条件的除数 2、确定一个乘积结果的尾数 3、确定循环类结果的数字或余数 4、采用试除法解决余数问题
名师点拨
1、当需要求解有规律的一组数字的尾数（个位数字时），找到循环周期是关键，最后用要求解的数除以周期， 根据余数得到个位数字的顺序，最终得到答案。 2、两个数分别除以同一个数，得到 2 个不同的余数，则这两个数和、差、积的余数就是这 2 个余数的和、差、 积与这个除数作商的余数。
2
考点三：确定循环类结果的数字或余数 1
例 1、 把 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多少？ 7
例 2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这 串数中，第 1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？
考点四：采用试除法解决余数问题 例 1、555…55[2001 个 5]÷13，当商是整数时，余数是几？
1
典例分析
考点一：分解被除数写出符合条件的除数 例 1、写出除 213 后余 3 的全部两位数。
例 2、写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
考点二：确定一个乘积结果的尾数 例 1、125×125×125×……×125[100 个 25]积的尾数是几？
例 2、4×4×4×…×4[50 个 4]积的个位数是几？
五年级奥数——尾数和余数
五年级奥数——尾数和余数(总3
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第七讲 尾数和余数
例1、20122的个位数字是几？
练习：1、
9
519999999个⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？
2、第6周举一反三2第2题。
例2、2019321⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
练习：3、1089848382818⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
4、求 4
.01002.1960.40.40.4－2.12.12.1个个⨯⨯⨯⨯⨯⨯的差的尾数。
例3、788888
100÷
个，当商是整数时，余数是几？
练习：5、第6周举一反三3第2题。
例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
练习：6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…，按此列数的规律，这列数中的第1996个数除以5，余数是几？
例5、甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？
练习：7、第6周举一反三5第1题。
8、第6周举一反三5第3题。
作业（1题，2题必做，3题选做）：
1、
)
1811(11518)(1118)(1118)(11⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个的积的尾数是多少？
2、6111111
1111÷
个，当商是整数时，余数是几？
3、求102101100432++的和的个位数字。
五年级奥数下
指点迷津自然数的尾数和余数分别有如下性质：1、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。
2、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。
3、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数,所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。
1、用一个两位数除708，余数为43,那么这个两位数是多少?2、1991和1769除以某一个自然数a，余数分别为2和1,那么a最小是多少？2、东东在一次计算除法时,把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相等，那么此题中的除数是几？※4、两个数相除,商为15，余数是7，且被除数比除数大735,求被除数是多少?1、320063333个除以7，余数是多少？2、71007777个被13除后，余数是多少？3、9199799999个除以74的余数是多少/※4、整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9,所有余数的和是_________.指点迷津自然数的尾数和余数分别有如下性质:4、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数.5、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。
6、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数,所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的.1、自然数a除以13余6，自然数b除以13余12,那么a加b的和除以13余几？2、自然数a除以20的余数是7，自然数b除以20余数是7，那么a与b的差（大数减小数）除以20余数是多少？※3、试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98,这个四位数是多少？1、138与1279的积被19除，余数是多少？135被13除的余数是多少？2、33、437×309×1999被7除的余数是多少？※4、20043＋2004除以7所的余数是___________.1、有一个不等于1的整数,除69、90、125得到的余数相同,那么这个整数是多少？2、自然数a除以13余7,自然数b除以13余7，已知a＞b，那么，a减b的差除以13，余数是多少?A加b的和除以13，余数是多少？a乘b的积除以13，余数是多少？※3、53、27和42三个数被同一个数去除，所得的商的和是9,余数和是4,求它们各自的商和余数？1、有一个质数，用它分别去除63、91、129都有余数，三个余数的和是28，问这三个余数中最小的一个是几？2、学校买来《习作选》240本《趣味数学》201本，《科技》149本，如果将每种书平均分给每个班，那么三种书剩的本数相同,如果有1999本书平均分给这些班级,会剩下多少本？※3、有9个袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球,若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋,已知甲取走的球数总和是乙的2倍,问剩下的一袋内装有几只球？1、1993100除以3的余数是多少？2、一个数被7除，余数是3,该数的13倍被7除，余数是多少？3、有一个三位数，在其后面补上三个数字，使之变成一个六位数，用这个六位数减去原来的三位数,结果是8826487,你能求出补上的三个数字组成的三位数是多少吗？※4、的余数是几？除以＋＋＋＋＋＋3984321984322。
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《小学应用题训练营》P30页 小学应用题训练营》 页 配套训练一。 配套训练一。
五年级(上 五年级 上)
第八讲： 第八讲：尾数和余数问题
★应用题解题思路
找数量，问问题， 找数量，问问题， 正想到推鹊桥会。 正想到推鹊桥会。
★基础知识
自然书末位的数字叫自然数 的尾数.除法算式中 除法算式中,被除数减 的尾数 除法算式中 被除数减 去商与除数的积的差叫做余 数.尾数和余数在运算时是有 尾数和余数在运算时是有 一定规律的,利用这种规律可 一定规律的 利用这种规律可 以解决一些看似无从下手的 问题,解答这类问题 方法如下: 解答这类问题,方法如下 问题 解答这类问题 方法如下
★基本思路
1.根据题目中各数的特点 找出规律, 根据题目中各数的特点,找出规律 根据题目中各数的特点 找出规律 确定周期,根据周期再求问题 根据周期再求问题. 确定周期 根据周期再求问题 2.循环小数的问题 要通过计算得出 循环小数的问题,要通过计算得出 循环小数的问题 商,发现循环节是由哪几个数字组成 发现循环节是由哪几个数字组成 有几位,周期就是几 的,有几位 周期就是几 有几位 周期就是几. 3.求一串数除以某数得到的余数 可 求一串数除以某数得到的余数,可 求一串数除以某数得到的余数 通过试除,看前多少位能被这个数整 通过试除 看前多少位能被这个数整 还余多少,就把这个余下的数除以 除,还余多少 就把这个余下的数除以 还余多少 某数,就直接求出余数了 就直接求出余数了. 某数 就直接求出余数了
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升5-2
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
例6.
这里44号字 这里 号字. 号字
(拓展题型 拓展题型) 拓展题型
●模仿提升 模仿提升6-1
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升6-2
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
（基本题型） 基本题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升2-2
（基本题型） 基本题型）号字
(变式题型 变式题型) 变式题型
●模仿提升 模仿提升3-1
（变式题型） 变式题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升3-2
（变式题型） 变式题型）
这里44号字。
例1.
这里44号字 这里 号字. 号字
(基本题型 基本题型) 基本题型
●模仿提升 模仿提升1-1
（基本题型） 基本题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升1-2
（基本题型） 基本题型）
这里44号字。
例2.
这里44号字 这里 号字. 号字
(基本题型 基本题型) 基本题型
●模仿提升 模仿提升2-1
例4.
这里44号字 这里 号字. 号字
(变式题型 变式题型) 变式题型
●模仿提升 模仿提升4-1
（变式题型） 变式题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升4-2
（变式题型） 变式题型）
这里44号字。
例5.
这里44号字 这里 号字. 号字
(拓展题型 拓展题型) 拓展题型
●模仿提升 模仿提升5-1