完全平方公式(1)
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿
《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。
2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。
掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。
（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。
（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。
能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。
3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。
4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。
直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。
并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。
最后通过变式训练进行练习和巩固。
二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。
本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。
对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。
为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。
三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。
数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。
本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。
《完全平方公式》1
(a+b)
(a+b)2
练习2：运用完全平方公式计算：
(2) 1012 (3) 992
14.2.2
完全平方公式
建阳第二中学 练裕民
判断正误
a b
a b
2
2
a b
2
2
2
a ba b
a ab ab b
2
a 2ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
2 (a-b) =
a b
2 a ba b a ab ab b2 2
a 2ab b
2
2
2
a b
2
a 2ab b
2
初识公式
完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 文字叙述 两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减） 它们的积的2倍.
公式结构特点： 1、左边是求两个数和（或差）的平方；
2
2+8b+1 b （ 6 ） b 4 ________ ________
x2-6x+9
2
6
作业
活页第85—86页
计算：
2 (a+b+c)
谢谢！！
（1）
98
2
（2）100.1
2
（1） 2 x 1
2
4x2 4x 1
2
（2）2 x 3 y
4x 12xy 9 y
2
2
（1） a b a b
完全平方公式(1)
091.6完全平方公式(1) 教学设计【教材分析】本节内容是初中数学（北师大版）七年级下册第一章《整式的运算》中的——1.6完全平方公式。
一、教材的地位和前后联系：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。
二、教材设计的思想方法：教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。
逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。
【学情分析】1．认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。
但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。
2.活动经验基础：在平方差公式一节中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。
3. 心理特征：初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）一、教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理水平。
2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。
3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。
4、经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程,进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下基础。
二、教学重难点教学重点；完全平方公式的准确应用。
教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活使用公式实行计算。
三、教学和活动过程：1、整个教学过程叙述：教材“完全平方公式”内容共含两课时。
本节是其中的第一课时，需40分钟完成。
2、具体教学过程设计如下：〈一〉、提出问题[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试：(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，〈二〉、分析问题1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，（1）原式的特点。
两数和的平方。
（2）结果的项数特点。
等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。
2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.4、完全平方公式的几何背景：用不同的形式表示图形的总面积并实行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2你能使用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。
1.6_完全平方公式 (1)(2)
a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2 2 =100 +2×100×2+2
=10000+400+4
=10404
2 197
2 =(200-3) 2 2 =200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
(1) (2)
2 96 2 203
例3计算:(2)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2 (2)(x+5) -(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括 号。
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
归纳
(a±b)2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的结构特征：
公式的左边是两数的和（或差）的平方， 右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数 的积的2倍。
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央。 注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式
； .
学一学
例3 计算：(1)
2 (x+3)
-
2 x
你能用几种方法进行计算?试一试。 解:方法一： 完全平方公式合并 同类项
2 2 (x+3) -x
2 2 =x ＋6x+9-x
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
人教版八上册 第十四章：完全平方公式(一)
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述
左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2．
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
巩固应用
例6如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中 挖去直径为a与b的两个圆，求剩下的钢板的 面积．
解：依题意可列式：
(a b)2 (a)2 (b)2
2
2
2
( a2 ab b2 a2 b2 )
42444
ab ab
22
答：剩下的钢板的面积为
ab
14.2.2完全平方公式 （一）
学习目标
1．会推导完全平方公式，掌握完全平方公式 并能灵活运用公式进行简单的运算． 2．会用几何拼图方式验证完全平方公式． 3．培养学生数学语言表达能力和运算能力．
复习回顾，引入新课
问题1（1） 什么是平方差公式？分别用文 字和字母表述． 两个数的和与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差． (a+b)(a-b)= a2-b2 （2）用平方差公式计算： ① (-m+5n)(-m-5n) = m2-25n2 ② (3x-1)(3x+1)= 9x2-1 ③ (y+3x)(3x-y)= 9x2-y2 ④(-2+ab)(2+ab)= a2b2-4
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
复数的完全平方公式(一)
复数的完全平方公式(一)
复数的完全平方公式
复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中a 和 b 都是实数，且 i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在处理复数的平方时，我们可以使用复数的完全平方公式，帮助我们简化计算复数的平方值。
该公式表示为：
(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + b2i2
可以看到，公式中有 3 项。
第一项是实数部分的平方，第二项是两倍的实数和虚数部分之积，第三项是虚数部分的平方经过变换后得到的结果。
为了进一步了解复数的完全平方公式，我们来看一个例子。
示例
假设我们要计算 (3+4i)^2 的值。
根据复数的完全平方公式，我们有：
(3+4i)^2 = 3^2 + 2 * 3 * 4i + (4i)^2
化简后可得：
(3+4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2
然后，我们需要计算 i 的平方值，根据定义，i^2 = -1：
(3+4i)^2 = 9 + 24i + 16(-1)
继续计算并合并项：
(3+4i)^2 = 9 + 24i - 16
最终，我们得到了结果：
(3+4i)^2 = -7 + 24i
通过以上示例，我们可以看到，通过复数的完全平方公式，我们
可以将一个复数的平方计算简化为一系列实数的加减和虚数部分的乘
法运算。
总结
复数的完全平方公式是计算复数平方的一个重要工具。
通过理解
并熟练运用该公式，我们能够更便捷地处理涉及复数平方的数学问题。
需要注意的是，当进行计算时，要注意对实数和虚数部分进行逐项运算，并最终合并结果。
完全平方公式(一)教案及教案说明
第一章整式的运算完全平方公式（一）第一课时教案北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级（下）第一章整式的运算8 完全平方公式第一课时教学目标1知识目标：使学生理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行相关的计算。
2能力目标：通过活动渗透建模、化归、换元、数形结合等数学思想，增强其应用意识，提高解决问题的能力和创新能力。
3情感目标：激发学生的好奇心和求知欲，培养学生学习数学的兴趣，体验数学的学习过程充满着探索性和创造性，增强学生学好数学的信心。
教学重点与难点教学重点：1完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表达、理解公式的本质。
2完全平方公式的应用。
教学难点：1完全平方公式的推导过程。
2完全平方公式的结构特征及其应用。
教学方法教学方法：引导探索法和赏识教学。
教学手段：采用黑板与投影相结合。
学法指导：倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。
教学过程一、回顾与思考复习已学过的平方差公式1平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的乘积。
右边是两数的平方差。
2应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
（要完全符合平方差公式的结构特征的情况下才可以使用，否则就必须用多项式乘法法则来计算）二、引入新课出示幻灯片，提出问题。
一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。
（由于之前对列代数式的学习所以大部分学生能想到两种不同的方法）直接求：（a+b）2间接求：a2+ab+ab+b2问：你发现了什么？引导学生得出公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（两数和的完全平方公式）想一想：（1）（a+b）2等于什么？你能用多项式的乘法法则说明理由吗？（让学生用口头叙述推导过程）接下来让学生先了解一下两数和的完全平方公式的结构特征。
湘教版七年级下册第2章2.2.2完全平方公式第1课时(课件)
（1）下列多项式是完全平方式的是
（ D）
A. 4x²+9
B. x²+2x+4
C. x²-4x+2
D. 4x²-4x+1
解析：A只有两项，显然不是完全平方式。B中4是2²， x²+4是两数x、2的平方和，则第三项为2·x·2=4x，故B 不是完全平方式。C中-4x可写成-2·x·2，则另两项为x²， 4，而不是x²，2，因此也不是完全平方式。D是(2x-1)² 的计算结果，符合题意。
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (x+4)²；
(3) 5m 1 2 . 2
答案：(1) x²+8x+16；
3 25m2 5m 1 .
4
(2) (2a-3)²； (2) 4a²-12a+9；
3. 下面计算正确的是
（B）
A. (m＋n)²=m²＋n² C. -x(2x＋1)=-2x²＋1
5. 我们把计算和或差的平方得到的二次三项式叫做 完 全 平 方 式 ， 例 如 计 算 (x+1)²=x²+2x+1 ， 则 x²+2x+1 叫做一个完全平方式；同样x²-2x+1也是一个完全平 方式。完全平方式的结构特征是：共有三项，其中 两项是两个数（式）的平方和，一项是加或减这两 数（式）的积的2倍。请你根据完全平方式的结构特 征解决问题：
（2）若x²＋kx+16是一个完全平方式，则k=（ D ）
A. 4
B. 8 C. 4或-4 D. 8或-8
解析：∵ x²＋kx+16是一个完全平方式， ∴ x²＋kx+16=x²±2·x·4+4²=x²±8x+16 . ∴ k=±8. 故选D.
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）【学习目标】1、了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
【学习重点】会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
【学习过程】（教师寄语：热爱生命的人一定心中充满希望，飞舞在我们人生的舞台。
）一、课前预习：学习任务一：阅读教材第36—38页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：学习任务二：阅读课本36页---例题1以上的部分, 了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式1、思考：完全平方公式有几种推导的方法？把它们写在下面。
（1）写出完全平方公式字母表达式：（2）写出完全平方公式文字表达式：（3）分析公式左右两边的特点：左边：右边：（4）概括成口诀学习任务三：阅读课本36页例题1，完成下列问题。
1、分别指出例题1两式中的a，b。
2、总结使用完全平方公式进行计算应分几步？二、例题与训练例1.利用完全平方公式计算：(1)( 2x-3)2 (2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2 (4)2331⎪⎭⎫⎝⎛-yx当堂练习1：⑴2)6(+a⑵2)7(-x⑶2)418(y-⑷2)3(ba+例2.利用完全平方公式计算：(1) (-2x+3y)2 (2) (-2x-3y)2当堂练习2:⑴2)34(yx+-⑵2)(ba--⑶ 2)3243(y x - ⑷2533⎪⎭⎫ ⎝⎛-y xy(5)()222m m --三、拓展与探究：1.(a-b)2与(b-a)2 的关系(a-b)2=__________(b-a)2=__________ 所以(a-b)2_____ (b-a)22. (a+b)2与(-a-b)2的关系(a+b)2=__________ (-a-b)2=__________ 所以(a+b)2_____ (-a-b)2四、跟踪练习1.计算：(13x+3y)2=_____________2. 计算：26x x ++_____2(3)x =+3.填上适当的数，使等式成立：24x x -+ =(x - 2) 4.( )2=14y 2-y+15.如果a 2+ma+9是一个完全平方展开的形式,那么m=_________.6.22()()a b a b +--=________.7.下列运算中,错误的运算有( )①(2x+y)2=4x 2+y 2, ②(a-3b)2=a 2-9b 2 ,③(-x-y)2=x 2-2xy+y 2 ,④(x-12)2=x 2-2x+14,A.1个B.2个C.3个D.4个8.运用公式计算①2)32y x + ②2)631(-t③2)2(n m -- ④2)42(-mn⑤2353⎪⎭⎫⎝⎛-y xy ⑥221⎪⎭⎫⎝⎛+-cd。
15.2.2完全平方公式(1)课件
(a ± b)2=a2±2ab+b2
2=a2+b2 (1)（a+b)
(2)
2=a2-b2 (a-b)
(a ± b)2=a2±2ab+b2 运用完全平方公式计算 (1) (4m+n)2 (2)(y 1 2 2)
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
(a ± b)2=a2±2ab+b2
完全平方公式的应用: (1) 1022 ; (2)992
解:(1) 1022 =(100+2)2
(2) 992
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1=9801
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
请同学们完成导学案P93 问题探究一 问题探究二
预习检测
请同学们完成导学案P预习自测
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)= p2+2p+1 2= (m+2)(m+2)=m2+4m+4 (2) (m+2) 2 =(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (3) (p-1) 2 = (m-2)(m-2)=m2- 4m+4 (4) (m-2)
《完全平方公式》(1)课件
两数和的平方，等于它们的 平方和，加上它们的积的2倍。
两数差的平方，等于它们的 平方和，减去它们的积的2倍。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式（也叫完全平方式）； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多式。
完全平方公式（1）
问题：
(a+b)2与 a2 +b2有什么区别，它们相等吗？ (a-b)2与a2 - b2有什么区别，它们相等吗？
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾二倍放中央， 和是加差是减。
一般式 特殊式
小结
二项式乘法
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq2=a2±2ab+b2
完全平方公式(1)
14.2.2完全平方公式（1）教案主备：辅备：
生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b +ab+b2．这正好符合完全平方公式．
生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF
，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
韶关市第十三中学课程教学教学设计（课时）
（2014 ～ 2015 学年第一学期）
课程名称：数学主备教师：李颖任课教师：罗红莲
课题：§14．2．2．2 完全平方公式（二）
课型：新授课
课时：第课时（总第课时）
授课班级：八年级（6）、（8）班
授课时间： 2014 年月日（第周）
教学目标：
一、知识与技能1．添括号法则．
2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
二、过程与方法1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
三、情感、态度与价值观
鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．
教学重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．
教学难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．
教学方法：讲练结合
教学资源：课件
教学过程：
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）
解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
或：4-（5+2）=4-7=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．
也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，•同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
请同学们利用添括号法则完成下列练习：
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（）
（2）a-b+c=a-（）
（3）a-b-c=a-（）
（4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-2c =2a-（b-2
c ） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
Ⅱ．导入新课
例：运用乘法公式计算
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（a+b+c ）2
（3）（x+3）2-x 2
（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，•我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，•以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．
（2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c 中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．
（3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算．
（4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，•减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P111练习1、2．
Ⅳ．课时小结
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
我体会到了转化思想的重要作用，•学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现．
Ⅴ．课后作业
课本P112习题3题．
教学后记：。