二项分布及Pisson分布-

2020/6/7
在n次Bernoulli试验中，出现“阳性”结果的次数为
X，则X/n为试验结果的样本率，用p表示。
p的总体均数： p
p的总体方差：
p2
(1)
n
p的总体标准差： p
(1)
n
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样本率p的标准差也称为率的标准误，可以用来
描述率的抽样误差的大小。率的标准误越小，则率
的抽样误差就越小。
实际工作中，总体率π往往未知，此时若用样本
率p作为总体率π的估计值，得到的是Sp，它是σp
的估计值。
Sp
p(1 p) n
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nj=10
治疗病人有效率70% π=0.70
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p1=X1/n p2=X2/n p3=X3/n p4=X4/n
... ...
p100=X100/n
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随机变量分为连续型和离散型，相应的概 率分布就分为连续型概率分布和离散型概率 分布。 连续型概率分布：正态分布、t分布、F分布 离散型概率分布：二项分布、Poisson分布
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一、二项分布的概念
二项分布是指在只会产生两种可能结果（阳
性或阴性）之一的n次独立重复试验中，当每 次试验的“阳性”结果概率π保持不变时，出
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在生物学、医学、工业统计、保险科学及公 用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例 如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼 唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
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在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
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（二）样本率与总体率的比较
样本率与总体率比较的检验目的是推断
样本所代表的总体率π与已知的总体率π0
是否相等。
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例6-4 已知某种疾病采用常规治疗的治愈
率约为45%。现随机抽取180名该疾病患者改 用新的治疗方法进行治疗，治愈117人。问新 治疗方法是否比常规疗法的效果好？
分析：以123人为观测单位，则
λ0=nπ=25000×3‰=75
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（三）两样本均数的比较
两样本均数比较的检验目的是推断两样本各 自所代表的总体均数是否相等。
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1。两样本的观察单位数相等(n1=n2)
（1）当X1+X2≥20时，计算公式u：
X1 X2 X1 X2
（2）当5<X1+X2<20时，计算公u式：X
可使用附表7求其总体均数的可信区间。
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例 在对市场上的纯净水进行卫生学检测时，
抽查了某品牌的纯净水样1ml，培养出4个大肠 杆菌。试估计该纯净水中平均每毫升所含大肠 杆菌数的的95%和99%的可信区间。
本例X=4。查附表7，当α取0.05时，数值为1.010.2；当α取0.01时，数值为0.6-12.6
Spp(1 n p)0 .5 5 1 (1 0 0 0 .5 5 )0 .0 4 9 7
p 1 . 9 6 S p 0 . 5 5 1 . 9 6 × 列0 表. 0 4 9 7 ( 0 . 4 5 2 6 , 0 . 6 4 7 4 )
所以，该药物治疗总体有效率的95%可信区间为： （45.26%，64.74%）
且有：
n
P(X ) 1
X 0
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2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果 发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利 （Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件 发生的次数X服从二项分布。
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贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果
X 2 .5 8 X 6 8 2 .5 8 6 8 ( 4 6 .7 2 ,8 9 .2 8 )
所以，该社区胃癌患病数的95%可信区间为： (51.84，84.16)；99%可信区间为(46.72， 89.28)
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（二）样本均数与总体均数的比较
样本均数与总体均数比较的检验目的是
1 X1
X
2 X2
1
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2。两样本的观察单位数不相等(n1≠n2)
（1）当X1+X2≥20时，计算公式：u
X1 X2
X1
n
2 1
X2
n
2 2
X
（2）当5<X1+X2<20时，计算公u式：
1
X1
n
2 1
本例n=13，X=6。查附表6，当α取0.05
时，数值为19-75 所以该吻合术妇女受孕率的95%可信区间
为：（19%，75%）
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例 某医生用某药治疗31例脑血管梗塞患者，
其中25例有效，试求该药物治疗脑血管梗塞有 效率95%可信区间。
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附表6只列出了X≤n/2的部分，当X>n/2时， 可以按“阴性数”n-X查表求其总体阴性率的
若λ是整数，则P(X)在X=λ和X=λ-1处取最大值。
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（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。 ② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分布
近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，当 λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
P(X k) e k
k!
可以证明总有： P ( X ) 1 X 0
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2。服从Poisson分布的条件
在规定的单位度量中某事件（阳性事件）发生次数
为X，则X满足下列条件时，X服从Poisson分布。
① 普通性 在充分小的观测单位上X的取值最多为1
② 平稳性 X的取值只与观测单位的大小有关，而与
例6-3 在观察一种药物对某种非传染性疾病
的治疗效果时，用该药物治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计 该药物治疗有效率的有95%可信区间。
本例 n=100，p=55/100=0.55, np=55，n(1-p)=45均大于5，可以利用正
态分布法求总体率的可信区间。
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用n-X=6查表得到该区间为：（8%，38%）
所以该药物有效率的95%可信区间为：（62%， 92%）
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2。正态近似法
当n较大，p和1-p均不太小（np以及n(1-p)均
大于5）时，可以利用正态近似法求总体率的可信 区间。
总体率的可信度为1-α的可信区间：
p u/2Sp
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可信区间，然后再求所需的阳性率的可信区间。 阳性率区间的下限=1-阴性率区间的上限 阳性率区间的上限=1-阴性率区间的下限
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例 某医生用某药治疗31例脑血管梗塞患者，
其中25例有效，试求该药物治疗脑血管梗塞有 效率95%可信区间。
本例中X=25>31/2，所以应先求出无效率的
95%可信区间。
推断样本均数所代表的总体均数λ与已知的 总体均数λ0是否相等。
可使用的检验方法有：直接计算概率法 和正态近似法
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例6-13 有研究表明，一般人群精神发育不
全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚配 关系的后代25000人，发现123人精神发育不 全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育 不全的发生率是否要高于一般？
（如“阳性”）的概率π固定不变
③ 重复试验是相互独立的，即任何一次试验结果 的出现不会影响其他试验出现的概率
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3。二项分布的性质
（1）二项分布的均数与标准差
在n次Bernoulli实验中，出现“阳性”结果的次数X
的总体均数： X n
总体方差： X 2 n(1) 总体标准差： X n(1)
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1。Poisson分布的定义
如果随机变量X的取值为0，1，2，…，且其
取值为X的概率为
P(X ) e X
X!
则称X服从Poisson分布，记作X~P(λ) 。
一般X为单位度量中研究事件的发生数，也称样 本计数或样本均数,λ为总体均数，λ=nπ
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Poisson分布 的概率函数式
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（三）两样本率的比较
两样本率比较的检验目的是推断两样本各自所代 表的总体率是否相等。
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一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩·德尼·泊松 )研究二项 分布的渐近公式是时提出来的。
现某一结果（如阳性结果）的次数的一种概率 分布。
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在医学卫生领域中，服从二项分布的试验较 常见：某种药物治疗某种非传染性疾病，疗效 分为有效与无效；动物的急性毒性试验中，观 测动物的死亡与存活；接触某种病毒性疾病的 传播媒介后，出现感染与非感染等。
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1。二项分布的定义
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④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
分布的m个独立的随机变量X1,X2,…,Xm,它们之和 也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量
的均数之和。
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二、Poisson分布的应用
（一）总体均数的区间估计 1。查表法
对于样本计数（样本均数）X，当X≤50时，
如果随机变量X的取值为0，1，2，…，n， 且其取值为k的概率为
P (X k ) C n k k(1 )n k
则称X服从二项分布，记作X~Β(n,π) 。 其中π为随机事件发生的概率，n为试验次数
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二项分布的 概率函数式
P (X k ) C n k k(1 )n k
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
观测单位的位置无关
③ 独立增量性 在某个观测单位上X的取值与其他各 观测单位上X的取值无关
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源自文库
3。Poisson分布的性质与图形
（1）Poisson分布的图形
Poisson分布的图形与λ有关。λ越小，分布就越 偏；随着λ增大，分布趋于对称，并且渐近正态分布。
当λ≤1时，随X的取值变大，P(X)值反而变小；当 λ>1时，随X的取值变大，P(X)值先增大后变小。
分布则接近正态分布。
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二、二项分布的应用
（一）总体率的区间估计 1。查表法
对于n≤50的小样本资料，可使用附表6求其
总体率的可信区间。
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例6-3 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶
腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现 有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率 的95%可信区间。
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Poisson分布作为二项分布的一种极限分布， 已发展成为描述小概率事件发生规律的一种重 要分布。常用于研究单位时间或单位空间内某 罕见事件发生次数的分布。
常见的Poisson分布现象有：每滴海水中浮游 生物数量的分布；用显微镜观察片子上每一格 子上细菌繁殖数的分布；某些野生生物或昆虫 数在单位空间中的分布；某种患病率或死亡率 很低的非传染性疾病的患病人数或死亡人数的 分布等。
所以该纯净水中平均每毫升所含大肠杆菌数的 95%可信区间为（1.0，10.2）；99%可信区间为 （0.6，12.6）
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2。正态分布法
当X>50时，可以利用正态近似法求总体均数的
可信区间。
总体均数的可信度为1-α的可信区间：
当观察单位数n=1时： X u/2 X
当观察单位数n>1时： X n
u / 2
X n2
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例6-11 研究者对某社区12000名居民进行
了健康检查，发现其中有68名胃癌患者。估计 该社区每12000名居民胃癌患病数的95%和 99%可信区间。
本例X=68，满足正态近似法求总体均数可信
区间的条件。
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X 1 .9 6 X 6 8 1 .9 6 6 8 ( 5 1 .8 4 ,8 4 .1 6 )
100次
（2）二项分布的图形
① 二项分布的图形由n+1条线段组成，横坐标表示
研究事件发生次数，纵坐标为概率，线段长度表示 发生该次数的概率大小，所以各条线段长度之和为1
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② 二项分布的图形形状取决于π和n。当 π=0.5时，二项分布为对称分布。当π≠0.5时， 二项分布是偏态的，但随着n的增大，分布趋于 对称；当n→∞时，只要π不太靠近0或1，二项