1第一章 线性系统的状态空间描述

+L+
dqp (t)u p
写成矩阵向量形式
⎡ a11 (t )
A(t)
=
⎢ ⎢
M
L
a1n (t)⎤
M
⎥ ⎥
B(t) = ⎢⎢⎡b11M(t)
L
b1
p (t M(t)⎥⎦
⎢⎣bn1(t) L bnp (t)⎥⎦
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C (t )
=
⎡ ⎢ ⎢
c11(t M
)
L
c1n (t M
(z
+ l sin θ )
u
=
M
d2z dt 2
+
m
d2 dt 2
(z
+ lθ )
两个方程均为非线性方程。 但考虑到要求摆垂直不到，即θ在很小范围变化，
因此以θ0 = 0,θ&0 = 0为平衡工作点，在此工作点处对系统线性化
sin θ
≈
sin θ0
+
d dt
sin θ
(θ
θ =θ0
−θ0)
=
cosθ0 (θ
对于单输入单输出系统用n阶微分方程描述的系统，应有n 个状态变量。
状态变量的选取不唯一。
这n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示。
5
3、状态向量
以n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)作为向量x(t)的分 量，所构成的向量称为状态向量，记作
⎡ x1(t)⎤
x(t
)
=
⎢ ⎢ ⎢
x& = Ax + Bu y = Cx + Du
状态空间表达式的结构示意图
对于非线性系统可以在系统平衡点处对非线性函数进行线性化 的方法
f (x,u) =
f
(
x0
,
u0
)
+
⎜⎛ ⎝
∂f ∂xT
⎟⎞ ⎠ x=x0
⋅
Δx
+
⎜⎛ ⎝
∂f ∂uT
⎟⎞ ⎠ x=x0
⋅ Δu
u =u0
u=u0
g ( x, u)
再叠加。
18
1、能控标准型 可以将 G ' ( s)分解为两部分相串联的形式
z、y应满足下面的微分方程
z(n)
+
a z (n−1) n−1
+L+
a1z&
+
a0 z
=
u
与状态方程有关
y = b'n−1 z(n−1) + L + b'1 z& + b'0 z + bnu 与输出方程有关
选取状态变量为
x1 = z, x2 = z&, x3 = &z&,L, xn = z (n−1)
)
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣cq1(t) L cqn (t)⎥⎦
D(t)
=
⎡ ⎢ ⎢
d11(t M
)
L
d1
p (t M
)⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣dq1(t) L dqp (t)⎥⎦
对于具有q个输出, p个输入的n阶系统,,线性系统状态空间描述
为:
x& = A(t)x + B(t)u
y = C(t)x + D(t)u
x—n×1维状态向量；y--q×1维输出向量；u--p×1维输入向量
=
g(x0 , u0 )
+
⎜⎛ ⎝
∂g ∂xT
⎟⎞ ⎠
x= x0
⋅ Δx
+ ⎜⎛ ⎝
∂g ∂uT
⎟⎞ ⎠
x= x0
⋅ Δu
u =u0
u =u0
11
1.1.3 物理系统状态空间描述的建立
例：如图所示弹簧－质量阻尼系统，其
输入为u1和u2 ，输出为y1和y2 ，写出 状态空间描述。
解：列写原始方程，根据牛顿第二定律
y = b'n−1 xn + L + b'1 x2 + b'0 x1 + bnu
那么状态方程为
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x&1 = x2
x&2 = x3
M x&n−1 = xn
G(s) = bn
+
b'n−1 s n−1 + L + b'1 s + b'0 s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0
= bn
−θ0)
=θ
cosθ
≈
cosθ0
+
d dt
cosθ
θ =θ0
(θ
−θ0)
= 1− sin
θ0 (θ
−θ0)
=1
15
u
=
M
d2z dt 2
+
m
d2 dt 2
(z
+ lθ )
⎡ ⎢m ⎣
d2 dt 2
(z
+
lθ
⎤ )⎥l ⎦
=
mglθ
(M + m)&z&+ mlθ&& = u &z&+ lθ&& = gθ
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x&1 x&2 x&3 x&4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
⎡0
⎢⎢−
k1 m1
⎢0
⎢ ⎢⎣
0
1 −f
m1
0
f m2
0 0 0 − k2
m2
0
f m1
1 −f
m2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x1 x2 x3 x4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
0
1 m1
第一章 线性系统的状态空间描述
1
1.1 系统的状态空间描述
系统描述的几个基本概念 复习单输入单输出系统状态空间表达式的建立 组合系统状态空间表达式的建立
2
1.1.1 系统描述的基本概念
1、系统描述的两种基本类型 输入和输出均称为外部变量； 系统的数学描述： 外部描述——输入输出描述 通过输入输出的因果关系研究系统特性 对系统内部情况不知——“黑箱”
⎢⎢0 ⎢0
0 0
−
mg M
0
⎢⎣0
0
(M +m)g Ml
y = [0 0 1 0]x
0⎤ ⎡ 0 ⎤
0⎥⎥ 1⎥
x
+
⎢ ⎢ ⎢
1 M
0
⎥ ⎥⎥u
0⎥⎦
⎢ ⎣
−1 Ml
⎥ ⎦
16
1.2 化单输入单输出描述为状态空间描述
由微分方程求状态空间描述 由传递函数求状态空间描述 由系统结构图求状态空间描述
惯性力矩为
⎡ ⎢m ⎣
d2 dt 2
(z
+
l
sin
θ
⎤ )⎥l ⎦
cosθ 14
则刚体处于静止或匀角速度转动，其合外力矩应为零
⎡ ⎢m ⎣
d2 dt 2
(z
+
l
sin
θ
⎤ )⎥l
⎦
cosθ
=
mgl sin
θ
⎡ ⎢m ⎣
d2 dt 2
(z
+
lθ
⎤ )⎥l ⎦
=
mglθ
u
=
M
d2z dt 2
+
m
d2 dt 2
0
0
0⎤
0
0
1 m2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 1
0⎤ 0⎥⎦
13
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x2 x3 x4
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
例：设有一个倒立摆安装在传动车上，z为小车相对参考系的位 置，θ为倒立摆偏离垂直位置的角度，摆杆长度为l，忽略其质量； m为摆的质量，M为小车质量，u为控制量，使倒立摆竖立在垂 直位置而不倾倒，所有摩擦忽略不计，试列写状态空间方程。
描述系统内部行为特征的量——状态变量；
状态变量为内部变量；
内部描述——状态空间描述
揭示输入对内部状态的影响
又描述对外部输出的影响——“全描述”
3
2、 系统的几个基本概念 松弛性：系统在时刻t0称为松弛的，当且仅当输出y[t0,∞)由 输入u[t0,∞)唯一确定。
等价零初始状态 y=Hu 因果性：若系统在时刻t的输出仅取决于时刻t及在t之前的输 入，而与t之后的输入无关，则称系统具有因果性。 等价物理可实现性 线性性：叠加性 时不变性（定常性）系统为时不变的，当且仅当系统输出波 形与输入起始时刻无关。
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1.1.2 状态与状态空间的相关概念
对于单输入单输出系统
¾ 独立变量（状态变量）的个数与系统微分方程的阶次一样；
¾ 独立变量确定后，其它变量可以用独立变量代数表示。
¾ 独立变量组不是唯一的。
1、状态（抽象概念）
系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态；
2、状态变量（具体物理量）
能完全确定系统运动状态的最少数目的一组变量。
M x&n = fn (x1,Lxn;u1,Lup;t)
用矩阵和向量的形式表示，
⎡ x1(t)⎤
x(t)