热学习题课(大学物理)

p
A
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B
V1
V2
V
热学部分习题课 解：由摩尔热容的定义：
dQAB C AB dT (CV R)dT CV dT RdT 由热力学第一定律：
dQAB CV dT PdV PdV RdT
再由： PV RT PdV VdP RdT
2PdV VdP 0
积分：
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V2
A pdV
V1
M
V2
Q
M mol
CV (T2
T1 ) pdV
V1
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热学部分习题课
热力学第一定律对理想气体四个过程的应用
过程
E
A
Q
备注
等容 等压 等温 绝热 直线
M M mol
cv T
M M mol
cv T
0
M M mol cv T
0
p(V2 V1 )
M RT ln V2
p
D
A
E C
B
V
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热学部分习题课 解：正循环EDCE包围的面积为70 J，表示系统对外作正 功70 J；EABE的面积为30 J，因图中表示为逆循环，故 系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外作功为：
A=70+(－30)=40 J 设CEA过程中吸热Q1，BED过程中吸热Q2 ，由热一律，
SB SA
BdQ AT
热学部分习题课 1. 一容器中储有氧气，其压强为1.01×105Pa，温度为 27.0Cº，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的密度； （3）分子的平均平动动能。
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解：（1）单位体积的分子数
n P 2.44 1025 m-3 kT
（2）氧气密度
CV R
p2V2 p1V1
CV k1 R
V22
V12
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Q1
k1 2R
V22
V12
R 2CV
A净1
1 2
V2
V1
pA2 p A1
k1 2
V2 V1
2
A1A2A3A1循环过程的效率
A
A净 Q1
k1 2R
V22 V12 R 2CV
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分布函数
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f (v) 4 (
m
)
3
/
2
e
m 2kT
v
2
v
2
2kT
三种速率
vp v v2
2kT m
8kT
m
3kT m
2.能量均分定理：在温度为T 的平衡态下，气体分子每个
自由度的平均动能都相等，其大小等于
1 2
kT
。
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气体的种类
单原子 双原子 多原子
k1 2
V2 V1
2
（R 2CV ）（V2 V1）
R
V2 V1
A1A2A3A1循环过程的效率与斜率无关，故应有 A
B
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A =Q1+ Q2 =40 J
Q2 = A－Q1 =40－(－100)=140 J
BED过程中系统从外界吸收140焦耳热.
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5. 1mol双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程， 其中1–2为直线，2–3为绝热线，3–1为等温线. 已知
= 45, T2 =2T1 , V3 = 8V1 试求：
3 1等温过程 E31 0
A31
Q31
M M mol
RT1
l
n
V1 V3
3RT1 ln2
1 Q2 1 Q31 1 3RT1 ln 2 1 ln 2 30.1%
Q1
Q12
3 RT1
P
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P2
2
P1 1
V1
V2
3 V3 V
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6. 一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A→B 和C→D示等压过程，B→C和D→A是绝热过程. 已知： TC = 300K, TB = 400K. 试求：此循环的效率.
效率为A和B。试比较A和B的大小。
p
A2
A1
A3
B2
B1
B3
0
V1
V2
V
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热学部分习题课 解： 先计算A1A2A3A1循环过程的效率
Q A1A2 A1 E1
Q A1A2 Q吸
A1A2A3A1过程的方程
p k1V
A1
V2 V1
k1VdV
1 2
k1
V22
V12
E1 CV T2 T1
d(PV) d( 2P1 V 2 ) 2P1 2V dV 2PdV RdT
V1
V1
PdV 1 RdT 2
CDA
dQ dT
CV dT dT
PdV
CV
1 2
R
7 2
R
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热学部分习题课 练习题、定容摩尔热容为CV常量的某理想气体。经历如 图所示的两个循环过程A1A2A3A1和B1B2B3B1相应的循环
ln P2 ln(V1 )2
P1
V2
即：PV 2 C
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8. 已知1mol多原子分子理想气体经如图过程，求： 该过程的摩尔热容。
P
2P1
A
P1
D
V1/2
V1
V
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解:
dQ CV dT PdV dQ
CDA dT
直线过程的过程方程
P 2P1 V V1
而：PV RT
2.理想气体的压强和温度
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压强：所有分子每秒钟施于单位面积器壁的冲量。
p
1 3
nmv 2
2 3
n k
温度：标志物体内分子无规则运动的剧烈程度。
k
3 kT 2
T
2 3
k
k
3.内能：在一个系统内，所有分子的动能和分子间
相互作用势能的总和称为系统的内能。
4.理想气体的内能：所有分子的动能总和。
4.掌握内能、功和热量三者的意义。了解做功和传递热量对系统内能的变化 是等效的，但其本质是有区别的。内能是状态的函数。而做功和传递热量则 与过程有关。
5.从普遍的能量转换和守恒定律掌握热力学第一定律及其理想气体各等值过 程中的应用。会计算循环过程的效率。
6.理解热力学第二定律时，掌握热力学第二定律的微观实质。
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解：(1) ∵
百度文库
v0
1
f (v) dv
Kv 3
dv
Kv
4 0
/4
0
0
∴
K
4
/
v
4 0
v0
(2)
v
vf (v) dv
vKv
3
dv
Kv
5 0
/
5
4v 0 / 5
0
0
(3)
∵
1
v1`
v1
f (v) dv Kv 3 dv
16 0
0
K (v1 )4 4 (v1 )4 (v1 )4
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V2
A pdV
V1
a
a2
p
p
V2
V2
A
pdV
V2
a2 dV
a2(
1
1 )
V1
V1 V 2
V1 V2
pV RT p1V1 RT1 利用p a 2
p2V2 RT2
V2
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T1 V2
T2
V1
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4.如图所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程， BED是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的 面积为70 J，EABE所包围的面积为30 J，过程中系统放 热100 J，求BED过程中系统吸热为多少？
pA pB , pC pD
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A
B
D o
C V
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TA TD TB TC
1 TC (1 TD TC ) 1 TC 25%
TB (1 TA TB )
TB
p
A
B
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D o
C
V
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7. 1mol双原子分子理想气体，经如图A B过程。其摩 尔热容为CAB=CV-R.求：该过程的过程方程。
PMmol 1.30kg m-3
RT
（3）氧气分子的平均平动动能
k
3 kT 2
6.211021 J
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2.已知某粒子系统中粒子的速率分布函数如下所示
Kv 3 f(v)
0
0 v v0 v v0
求：(1) 比例常数K =？ (2) 粒子的平均速率？ (3) 速率在0～v1之间的粒子占总粒子数的1 / 16时， v1 =？ （答案均以v0表示）
p
A
B
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D o
C V
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解：
1 Q2 1 Q DC
Q1
Q AB
1
M M mol
C p ( TC
TD ) 1 TC
TD
1 TC (1 TD TC )
M M mol
C p ( TB
TA
)
TB TA
TB (1 TA TB )
p
p A 1TA pD 1TD pB 1TB pC 1TC
热学部分习题课
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
11. 熵
SB SA
BdQ AT
二、基本定律和定理
1.麦克斯韦速率分布律：在平衡态下，当气体分子间的相
互作用可以忽略时，分子分布在任一速率区间v~v+dv内
的分子数占总分子数的比率为：
dN 4 (
m
)
3
/
2
e
m 2kT
v
2
v
2
dv
N
2kT
M mol
V1
M M mol
cv T
M M mol
cv T
M M mol c p T
M RT ln V2
M mol
V1
0
讨论温度转换点、吸放热转换点
cV
iR 2
i cp 2 R R
cp
cV
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4.热力学第二定律： 开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变 成有用功而不产生其它影响。
教学要求:
热学部分习题课
1.掌握压强和温度的微观意义。
2.在微观方面，掌握能量按自由度均分原则，从而导出理想气体的内能公式。 在宏观方面，掌握理想气体的内能只是温度的单值函数。理解真实气体的内 能是温度和体积的状态函数。
3.掌握气体分子速率的统计分布规律。着重利用分布函数能计算气体分子三 种速率及其它的物理量。
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E
M M mol
CV T
热学部分习题课
5.平均碰撞频 率
6.平均自由程：
z 2nd 2v
kT 2d 2 p
7.定容摩尔热容量 8.定压摩尔热容量 9. 摩尔热容比
i
CV
R 2
C P CV R
CP
CV
10.循环过程：
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热机效率： A Q1 Q2
Q1
Q1
克劳修斯表述：热量不可能自动地从低温物体传向高温 物体。
热力学第二定律的统计意义：一个不受外界影 响的“孤立系统”，其内部发生的过程，总是由概 率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态 数少的状态向包含微观状态数多的状态进行。
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p 1 nmv 2 2 n
3
3
T 2
1 2
R(T2
T1 )
1 2
RT1
M
5
E12 M mol cv (T2 T1 ) 2 RT1
Q12 E12 A12 3RT1
P
2 3绝热过程
Q23 0
P2
2
E23 A23 M
5
P1 1
M mol cv (T3 T2 ) 2 RT1
V1
V2
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3 V3 V
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热学部分习题课 一、基本概念
1.平衡态和平衡过程
平衡态：若系统与外界无能量交换，则系统的宏观性质 不随时间改变，这样的状态称为平衡态。
平衡过程：系统从一个状态不断地变化到另一个状态， 我们称系统经历了一个过程。若其间所经历 的所有中间状态都无限地接近平衡态，这个 过程称为平衡过程。（准静态过程）
自由度
3 5 6
一个分子的平 一个分子的平 一个分子的平
均平动动能 均转动动能
均动能
3/2kT
0
3/2kT
3/2kT 2/2kT 5/2kT
3/2kT 3/2kT 6/2kT
3.热力学第一定律： Q (E2 E1 ) A
理想气体无摩擦的平衡过程 M
(E2 E1 ) M mol CV (T2 T1 )
4
v
4 0
4
v0
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∴ v1 v0 / 2
热学部分习题课 3. 如果一定量的理想气体，其体积和压强依照 V a
p 的规律变化，其中a 为已知常数. 试求： （1） 气体从体积V1膨胀到V2所作的功； （2） 体积为V1时的温度T1与体积为V2 时的温度T2之 比.
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解：对平衡过程： 由： V
（1） 各过程的功，内能增量和传递的热量；
（用T1 和已知常数表示）
（2） 此循环
P
的效率η.
P2
2
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P1 1
V1
V2
3 V3 V
热学部分习题课
解：对双原子分子，
1 2, p V
cv
5 2
R, c p
7 2
R
A12
1 2
( p1
P2 )(V2
V1 )
1 2
( p2V2
p1V1 )
3k
气体分子动理论
dN f (v )dv N
2kT vp m
v 8kT
m
v 2 3kT m
热
能量均分定理
M E M mol CV T
学
Z 2nd 2v
1 kT
2nd 2
2d 2 P
热力学第一定律
热力学 理学院 孙秋华
M
V2
Q
M mol
CV (T2 T1 ) pdV
V1
热力学第二定律：两种表述