第三章 常见曲面球面和旋转面

因为 l1 与 l2 不垂直，所以 v e3 0, 于是 b 0 。因此， l2 的参数方程为
x a,
y
t,
z bt,
t .
点 M 在旋转面上的充分必要条件是
x0 a,
y0 t, z0 bt,
x
2
y2
x02
y02 ,
1 z z0 0.
消去参数 x0 , y0 , z0 , t 得
已知轴 l 过店 M1x1, y1, z1 ，方向向量为 vl, m, n，母线 的方程为：
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
二、旋转面的方程的求法
点 M x, y, z在旋转面上的充分必要条件是 M 在经过母线 上某一点 M 0 x0 , y0 , z0
的纬圆上（如图 3.2）。即，有母线 上的一点 M 0 使得 M和M 0 到轴 l 的距离相等（或到轴 上一点 M1 的距离相等）；并且 M0M l 。因此，有
因为空间中任一点 M x, y, z必在以原点为球心，以 R OM 为半径的球面上，而球
面上点（除去它与 z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标 , 唯一确定，因此，除去 z 轴外，
空间中的点 M 由有序三元实数组 R, , 唯一确定。我们把 R, , 称为空间中点 M 的球
面坐标（或空间极坐标），其中 R 0， , 0 2 。点 M 的球面坐标 R, ,
消去 x0 , y0 , z0 ，得
F(x lu, y mu, z nu) 0, G(x lu, y mu, z nu) 0, 再消去参数 u ，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求柱面的方程。
例 1：柱面的准线方程为
x2 y2 z2 1,
2
x2
2y2
z2
2,
而母线的方向数为 1, 0,1 ，求柱面的方程。
a t b,
（3.8）
x f (t) lu,
y
g (t )
mu,
百度文库
z h(t) nu,
a t b, u .
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
（3.9）
现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴 l ，圆柱面上每一个点到轴 l 的距离都相 等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆 C ，它的母线方向与准线圆
x2 y2 a2 z2 ， b2
即
x2 a2
y2 a2
z2 a2b2
1，
这是一个旋转单叶双曲面。 作业 习题 3.1：2（4），4，6，9（3，6，9），11(1,3)。
§2 柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立 定义 3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线 C 平行移动时所形成的曲面成为柱面. l 成为母线， C 称为准线。
面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。 四、应用举例
例 3.1 母线 y2 2 pz, x 0,
绕 z 轴旋转所得旋转面方程为
x2 y2 2 pz ，
这个曲面称为旋转抛物面（如图 3.4）。
例 3.2 母线
x2
a2
y2 b2
1,
z 0,
绕 x 轴旋转所得曲面方程为
解：设 M1(x1, y1, z1) 是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过 M1 的纬圆方程为
1 (x x1) 1 ( y y1)1 (z z1) 0,
x
2
y2
z2
x12
y12
z12 ;
由于 M1(x1, y1, z1) 在母线上，所以又有 x1 y1 z1 1 ， 21 0
即
点 M (x, y, z) 在此柱面上的充分必要条件是 M 在某一条母线上，即，有准线 C 上一点
M 0 (x0 , y0 , z0 ) 使得 M 在过 M0 且方向为 的直线上。因此，有
F (x0, y0, z0 ) 0,
Gx (xx0,0
y0
, z0 lu,
)
0,
y
y0 +mu,
z z0 nu,
垂直。
如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用 2.1 中所述方法求出圆柱面的方程。
如果知道圆柱面的半径为 r ，母线方向为 (l, m, n) ，以及圆柱面的对称轴 l0 经过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ，则点 M (x, y, z) 在此圆柱面上的充分必要条件是 M 到轴 l0 的距离等于 r ，
（3.1）
x2 y2 z2 2b1x 2b2 y 2b3z c 0,
（3.2）
其中，
b1 x0,b2 y0,b3 z0,c x02 y02 z02 R2 。
(3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项( xy, xz, yz 项),平方
项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成：
即
MM0 v r ， v
由此出发可求得圆柱面的方程。
特别地，若圆柱面的半径为 r ，对称轴为 z 轴，则这个圆柱面的方程为
x2 y2 r2 ,
（3.10）
例 2：已知圆柱面的轴为 x y 1 z 1 ，点 P(1, 2,1) 在此圆柱面上，求圆柱面方程。 1 2 2
x2 y2 z2 1。
a2
b2
这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图 3.4）。 绕 y 轴旋转所得曲面方程为
x2 z2 a2
y2 b2
1,
这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图 3.5）。
例 3.3 圆
绕 z 轴旋所得曲面为
x a2 z2 r2 ,
y 0,
0 r a.
2
x2 y2 a z2 r2 ，
x R cos cos,
y
R
cos
sin
,
z R sin ,
0 2 , .
2
2
（3.3）
(3.3)称为球心在原点，半径为 R 的球面的参数方程，有两个参数, ，其中 称为经度，
称为纬度。球面上的每一个点(除去它与 z 轴的交点)对应唯一的对实数 , ，因此 ,
称为球面上点的曲纹坐标。
x R cos,
y
R
sin
,
0 2 .
z 0
1.4 旋转面
球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。
一、旋转面的定义
定义 3.1 一条曲线 上每个点 M 0 绕 l 旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过 l 的
半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。
点（可能要除去个别点）便可以由数对 u, v 来确定，因此 u, v 称为曲面上的曲纹坐标。
空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：
F(x, y, z) 0, G(x, y, z) 0.
即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：
x x(t),
y
y(t),
z z(t),
按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除 去平面外）与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。 柱面的方程的建立。
设一个柱面的母线方向为 (l, m, n) ，准线 C 的方程为
F(x, y, z) 0, G(x, y, z) 0,
下面我们根据点 M (x, y, z) 在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。
第三章 常 见 曲 面
§3.1 球面和旋转面
球面方程的建立
1.1 球面的普通方程
首先建立球心在点 M 0 x0, y0, z0 ，半径为 R 0的球面方程。根据以下充分必要条件
M (x, y, z) 在球面上 M0M R ，
得
展开得
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ，
（1）
x1 2 y1, z1 1，
（2）
由（1），（2）消去 x1, y1, z1 得所求旋转面方程为 x2 y2 z2 9 (x y z 1)2 。 5
三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程
现在设 M (x1, y1, z1) 旋转轴为 z 轴，母线 在 yOz 平面上，其方程为：
x b1 2 y b2 2 z b3 2 c b12 b22 b32 0,
当 b12 b22 b32 c 时，它表示一个球心在 b1,b2 ,b3 ，半径为 b12 b22 b32 c 的
球面；当 b12 b22 b32 c 时，它表示一个点 b1, b2 ,b3 ；当 b12 b22 b32 c 时，它
没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。
1.2 球面的参数方程，点的球面坐标
如果球心在原点，半径为 R ，在球面上任取一点 M x, y, z,从 M 作 xOy 面的垂线，垂
足为 N N，连 OM ,ON 。设 x 轴到 ON 的角度为 ，ON 到 OM 的角度为 (M 在 xOy 面上 方时， 为正，反之为负)，则有
即
x2 y2 z2 a2 r 2 4a2 x2 y2 ，
这个曲面称为环面（如图 3.6）。
例 3.4 设 l1和l2 是两条异面直线，它们不垂直，求 l2 绕 l1 旋转所得曲面的方程。
解 设 l1 和 l2 的距离为 a ，以 l1 和 l2 的公垂线为 x 轴，且命名 l2 与 x 轴的交点 a,0,0 ，建立 一个右手直角坐标系。设 l2 的方向向量为 vl, m, n, 因为 l2 与 x 轴 垂直，所以 v e1 0 ，得 l 0 。因为 l2与l1异面，所以 v 不平行于 e3 ，于是 m 0 。因此可设 v 的坐标为 0,1,b。
f x, y 0,
x 0,
则点 M x, y, z在旋转面上的充分必要条件是：
消去参数 x0 , y0 , z0, 得
f y0, z0 0,
x2
x0 0, y2 x02
y02
,
1 z z0 0.
f x2 y2 , z 0 。
（3.8）
（3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到 yOz 平面上的曲线 绕 z 轴旋转所得 的旋转面方程，只要将母线 在 yOz 平面上的方程中 y 改成 x2 y2 ， z 不动。坐标平
将（2）代入（1）中得
解（3）得
(x t)2 y2 (z t)2 1,
2( x
t)2
2y2
(z
t)2
2,
t z，
将（4）代入（3）中得所求柱面为
（2） （3） （4）
(x z)2 y2 1，
如果给的是准线 C 的参数方程
x f (t),
y
g (t ),
z h(t),
同理可得柱面的参数方程为
a t b.
（3.6）
其中，对于 ta t b的每一个值，由（3.6）确定的点 x, y, z在此曲线上，而此曲线上
任一点的坐标都可由 t 的某个值通过（3.6）表示。
例如，球面 x2 y2 z2 R2与xOy 平面相交所得的圆的普通方程为：
而这个圆的参数方程是：
x2 y2 z2 R2, z 0.
2
2
与 M 的直角坐标 x, y, z的关系为
x R cos cos,
y
R
cos
sin
,
z R sin ,
R 0,
- ,
2
2
0 2
（3.4）
1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程
从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一
个三元方程 Fx, y, z =0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程：
解：设 M1(x1, y1, z1) 是准线上的任意点，所以过 M1 的母线方程为
x x1 y y1 z z1 ，
1 0
1
且有
再设
2x12x12y122
z12 y12
1, z12
2.
x x1 y y1 z z1 t,
1 0
1
（1）
则
x1 x t, y1 y, z1 z t ，
F x0, y0, z0 0,
G x0, y0, z0 0,
. MM1 M0M1 ,
l x x0 m y y0 n z z0 0.
（3.7）
从这个方程中消去参数 x0 , y0 , z0, 就得到 x, y, z 的方程，它就是所求旋转面的方程。
例 1：求直线 x y z 1 绕直线 x y z 旋转所得的旋转面的方程。 21 0
x x(u, v),
y
y(u, v),
z z(u, v),
a u b, c v d,
（3.5）
其中，对于 u, v 的每一对值，由（3.5）确定的点 x, y, z在此曲面上；而此曲面上任一点 的坐标都可由 u, v 的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的