理论力学综合问题

综合问题习题

综-1 滑块M 的质量为m ，在半径为R 的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块M 上系有一刚性系数为k 的弹性绳MOA ，此绳穿过光滑的固定环O ，并固结在点A 。已知当滑块在点O 时线的张力为零。开始时滑块在点B ，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度v 与ϕ角的关系和圆环的支反力。 解：滑块M 在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a ）所示。滑块M 在下降过程中v 与ϕ的关系可由动能定理确定：

[]

22222

1

)sin 2()2(21)sin 1(2mv R R k R mg =-+-⋅ϕϕ

解得

)1(cos 2mg

kR

gR v +=ϕ （1）

滑块M 的法向运动微分方程为

)2180cos()90cos(sin 2ϕϕϕ-︒+-︒mg kR R

mv F 2

N =- 把式（1）代入上式，化简得

ϕϕϕ22N cos )(42cos sin 2kR mg mg kR F +--=

综-3 一小球质量为m ，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另一端穿过一孔以等速v 向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R ，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度v 0垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力F （提示：解题时宜采有极坐标）

解：设小球在任意瞬时的速度为v 1，由于作用于小球的力对小孔O 之矩为零，故小球在运

动过程中对点O 的动量矩守恒。即 r mv R mv ⋅=10

01v r

R

v =

由题意 r = R - vt

得小球在任意瞬时绕小孔O 转动的角速度为 201

)

(vt R R v r v -==

ω 即 2

0)(d d vt R R v t -==

θω 两边求积分得 vt

R t v t vt R R v t -=-=⎰02

0d )(0θ 故小球的运动方程为 r = R - vt

vt R t

v -=

0θ 而线的张力为 3

2202

1)(vt R R mv r mv F -=

=

综-5 图示三棱柱A 沿三棱柱B 光滑斜面滑动，A 和B 的质量各为m 1与m 2，三棱柱B 的斜面与水平面成θ角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B 的加速度。

解：1）以A 及B 为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向

动量守恒。即 const 21=+B A x m x m 两边求导得：

B A x m m x

1

2

-= （1） 2)以B 为动系分析A 的运动。如图（a ）。 根据 a A = a e + a r = a B + a r

θcos r a x x B A += （2）

θsin r a y A -= （3） 3）对A 进行受力分析及运动分析，如图（b ），建立质点运动微分方程

g

m F y m F x

m A A 1N 1N 1cos sin -==θθ

由式（2）、（3）消去a r 得

θtan )(A B A x x y -= 把式（1）代入上式得，θtan )1(1

2B A x m m

y

+=， 再把该式与式（1）代入式（4）、（5）中消去F N ，解得

g m m m x

a B B )

sin (22sin 2

121θθ

+-== （方向向左）

综-7 图示圆环以角速度ω绕铅直轴AC 自由转动。此圆环半径为R ，对轴的转动惯量为J 。在圆环中的点A 放一质量为m 的小球。设由于微小的干扰小球离开点A 。圆环中的摩擦忽略不计，试求小球到达点B 和点C 时，圆环的角速度和小球的速度。 解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。 设小球至B 位置时圆环绕AC 轴转动角速度为B ω，小球至C 位置时圆环角速度为C ω，又设小球在最低位置为零势能点。 1）A 至B 过程

动量矩守恒： B mR J J ωω)(2

+=

2

mR J J B +=

ω

ω

（1）

机械能守恒

22

22

121212B

B mv J mgR J R mg ++=+⋅ωω （2） 把式（1）代入式（2）解得

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=1)(212222mR J J J mgR m v B ω 2）A 至C 过程

动量矩守恒 C J J ωω=

ωω=C

机械能守恒 222

2

121212C C mv J J R mg +=+⋅ωω

gR v C 2=

如果确定小球在位置B 时相对于圆环的速度v Br ，则从速度分析知v Br 垂直向下，v Be 垂

直于图面向里，且v Be B R ω=故 2

2

22

e

2r 2mR

J R J gR v v v B B B ++=-=ω

综-9 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA 绕水平轴O 作匀角速度转动。已知曲柄OA 的质量为m 1，OA = r ，滑槽BC 的质量为m 2（重心在点D ）。滑块A 的重量和各处摩擦不计。求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC 的加速度、轴承O 的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩M 。

解：曲柄OA 和滑槽BC 、滑块A 的受力分析与运动分析分别如图（a ）、（b ）和（c ）所示，其中p ( x )表示在BC 在槽上受到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系Oxy 。

1）求BCD 的加速度及水平力N

F '。选取BC 为动系，OA 曲柄上滑块A 为动点，A 点加速度分析如图（c ）所示。

根据加速度合成定理 a a = a e + a r 由于 r a 2ω=

故

)( cos cos 2a e ←===t r a a a BC ωωϕ

根据质心运动定理，由图（b ）得滑槽BC 的运动微分方程 N

2F a m BC '= 2）求轴承O 的动反力及作用在曲柄OA 上的力矩M

曲柄OA 的质心在E 点，E 点加速度的方向沿曲柄OA 方向，且指向O 点（见图a ），其大小为

2

2r

a E ⋅=ω

根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方程

Ex Ox a m F F 1N =+ （1）

Ey Oy a m F g m 11=+-

（2）

αωω01N cos 2

sin J t r

g m t r F M =⋅-⋅- (3)

将 t a a t a a F F E Ey E Ex ωωsin ,cos ,N

N -=-='=

2103

1

r m J ⋅= 及α= 0

代入方程（1）、（2）、（3）中，解得 轴承动反力

)sin 2(cos )2

(2

11

22t r g m F t m m r F Oy Ox ωω

ωω-

=+

-=

作用在曲柄OA 上的力矩

t r t r m g m M ωωωcos sin 2221⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

综-11 图示均质杆长为2l ，质量为m ，初始时位于水平位置。如A 端脱落，杆可绕通过B 端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B 端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B 端脱落后的角速度及其质心的轨迹。 解：（一）B 脱落前瞬时

l

g mgl l m

23)2(3

2122=

=⋅ωω