数学问题解决简述

摘要：“问题解决”做为数学教育中的口号的提出是近二十年的事情，一份名曰《行动纲领》的文件，正式提出了问题解决的观点。数学问题解决开始做为中学数学教学的核心，下文我们将从什么是问题解决、数学问题解决的过程和特征以及影响数学问题解决的因素几个方面进行简要的说明。

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一、什么是数学问题

对于“问题”，科学家或者是教育学家们纷纷有自己的认识和观点。1988年的第六届数学教育大会将数学问题界定为“一个对人具有智力挑战特征的没有现场的直接方法、程序或算法的未解决的情境”，具有挑战、待解和情境的特征。鲍尔和皮格弗德认为，所谓问题，是指个人或团体接受某项具有挑战性任务的一种情境，而这项任务没有立即明显的解决办法。我国著名的数学教育家张奠宙现实认为，问题对于学生来说不是常规的，不能依靠简单的方法来解决；问题可以使一种情景，隐含的问题可以由学生自己来提出、解决；问题应具有趣味性，能够引起学生的兴趣；此外，问题并不一定要具有终极答案，不同水平的学生可以根据自己的能力给出不同层次的答案等。

虽然对问题解决的描述不同，但问题解决的目的是很明确的，就是要帮助学生提高解决实际问题的能力，而且问题解决过程是一个创造性的活动，对于问题解决的含义可以理解为一种心理活动过程，一种基本技能或者是一种教学方式。

问题有不同的类型，不同类型的问题具有不同的功能，例如：标准题和练习题常用语概念的理解及规则与程序的掌握，我们中小学生很多提醒都是练习题和标准题，开放题有助于培养学生的发散思维，这种提醒的训练正是我们所欠缺的。根据不同题型的不同功能，为学生们精心的安排习题，会起到事半功倍的效果，并且在一定程度上减轻了学生的课外负担。

那么什么样的问题才是一个好的问题，好的问题具有哪些标准？下面我们了解一下道尔顿指出的好问题的标准：

（1）问题要简单，使学生能认识并解决它

（2）依靠学生的知识能力能得出多种解法

（3）能引导学生转向类似的问题

（4）包含的数据能够被理解、分类、列成表格和分析

（5）能够通过模型和简图解决

（6）能马上引起学生的兴趣

（7）通过学生现有知识或将要学到的知识能将解法一般化

（8）能用一种再认的方式解决

（9）答案要有意思

美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条什么原则：

（1）问题是容易接受的

（2）有多种解题方法

（3）蕴含了重要的数学思想

（4）不故意设陷阱

（5）可以进一步开展和一般化

二数学问题解决的基本过程与特征

数学问题解决做为被心理学界和教育学界广泛研究的课题之一，多年来形成了多种问题解决过程模型，如桑代克的试误说、格式塔心理学的顿悟说、信息加工论模式等。下面我们不一一做具体描述。重点介绍波利亚的“怎样解题表”。

第一，你必须弄清问题1、未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确

定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是

矛盾的?

2、画张图，引入适当的符号．

3、把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．

你应该最终得出一个求解的计划1、你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

2、你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

3、看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．

4、这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．

5、你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?

6、你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?

7、回到定义去．

8、如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?

9、你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?

第三，实行你的计划1、实现你的求解计划，检验每一步骤．

2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是

正确的?

第四，验算所得到的解．1、你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能

不能一下子看出它来?

2、你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?

波利亚作为数学问题解决方面的专家，经过大量的实验研究给出了问题解决表，为我们数学问题解决的教学提供了理论支持和实践指导，我们应该在数学教学中不断渗透。

匈菲尔德的问题解决是在波利亚的理论基础上发展起来的，他是继波利亚之后，在问题解决领域的重要人物。他强调数学解题的研究方向需要烤炉四个因素：知识基础、解题策略、自我控制及信念系统。匈菲尔德研究发现，元认知因素在问题解决中居于关键地位，并且依据元认知的观点，将解题过程分为读题、分析、探索、计划、执行、验证六个阶段。

数学问题解决的基本特征

1、多步化规

过程。数学学科本身是在公理系统的基础上用逻辑方法展开和组织的。也就是一个公理往往与它之前的一个公理紧密相关。另一方面，数学的较高层次的发展往往以较低层次为基础。因此，问题解决的一个基本特征是“多步化规”。

2、多层结构

纽维尔和西蒙将问题分为三种类型：良好结构问题、中等结构问题、不良结构问题。良好结构问题是总是具有相同的解题步骤，只有一个正确答案；中等结构问题是需要改变策略以适应新的背景，具有多种解题途径，只有一个正确答案。不良结构问题，没有清晰的解题途径，并有一定的限制，解法是不可预测的，通常有多个观点、目的和解法，没有一个标准的答案。

3、多元表征

问题表征是人们解决问题时所用的一种认知结构，具有多种形式，多元表征具有三种功能：启发功能、转化功能和理解功能。

4、多种背景

数学的实用性决定了数学问题的背景的重要性。

5、知识丰富

今年来，问题解决研究的一个新动向是区分出了“知识丰富领域”的问题解决与“知识贫乏领域”的问题解决。而数学问题则属于典型的知识丰富的问题，要解决数学问题，仅仅依靠对题目的理解是不行的，要有丰富的知识基础。

三案例分析

数学问题解决案例分析---1，1，2，2，3，3排列

【题目】将六个数字1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。

此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法：因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2或3两种可能。如果两个1之间是2，可以排出三个数字：121，这时左右两侧只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，可以放在左侧或右侧，于是得到本题的两个答案：231213、312132；如果两个l之间是3，可以排出三个数字：131，这时就只能在左侧或右侧写2，即2131或1312，而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：231213和312132。

题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，即：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：23421314和41312432。

再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，将这十个数字排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试验，无论我们如何努力也排不出来。

数学问题解决，作为创造性的思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

问题转化是数学家特别善于使用的解题策略，是数学教学中必须予以关注的。作为数学问题解决的策略，应用转化的必要条件是：和原问题相比，转化后所得的新问题必须是较为简单的，或者是已经解决了的，否则，转化就失去了意义。一个正确的转化策略的产生，往往要经过多次的试验和失败，也就是在尝试错误中进行学习，但是现代认知心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确解题策略的产生还需要靠顿悟。