数列压轴题

9 全国名校高考数学优质专题、学案汇编（附详解）

数列优质压轴题

1.已知数列｛a n ｝和｛0｝满足 31 =m ,

a n 4i

=)局 +n ,

b n =a

和为T n .

当m=1时，求证：对于任意的实数Z , ｛a n ｝ 一定不是等差数列

在⑵条件下，若1

解：⑴.当 m

二1

时，a i =1 , a 2 =A +1 , a 3 =兀仏+1）+2 =k 2

+扎+2，假设数列｛a n ｝ 是

等差数列，由a i +a 3 =2a 2得，k 2+3 = 2（兀+1）,即汇-几+1=0，也=-3*0 , 方程无实根，故对任意的实数Z , ｛a n ｝ 一定不是等差数列；

⑵.当入=-1

时，an +=—1

an + n , 0=%-弓+£，贝卩

2

2 3 9

X _

2(n +l)+4 _/ 1 ,、

b n 十=an + ------- =( — a n 十n)-

3 9 2

+4

一 1 a n +n

-2

—丄（a n -空 +4

） —1

b n ，又 b = m 上

3

92 392 3 9 2 3

时，｛b n ｝是以m —2

为首项，二为公比的等比数列，当

9 2

比数列；

练习7. （08湖北）已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足：a i r

a n+=3an+ n -4,

b n =(T)n (a n -3n+21)，其中 A 为实数，n 为正整数. 3

-却+上,｛b n ｝的前n 项 3 9

(1).

⑵. 当"-1时，试判断｛b n ｝是否为等比数列;

⑶.

4 2

一 =m

—―,

9

9

故当

｛b n ｝不是

2 1 -）［1-（-H 9 2 ⑶•当m-2

, T n =0，不成立，当m^l 时，T n^fg- 9 9 3

…- 1、n ___ 3. 、「，“ S — , 1、n …3 …

「4

］，当n 为奇

20

m =一

（1）.对任意实数■证明：数列｛a n｝不是等比数列;

数n 成立，即a<—(k+18)[1-

5

I

(-3)n]

a

|<-

3(宀8)€ b|

1-(-翕51-(-|)n

3 3

，令鮒円十自①，当n为正奇数时,

1

时, 5 52，故f（n円十I）的最大值为

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⑵.试判断数列｛0｝是否为等比数列，并证明你的结论;

⑶.设0

都有avSnvb?若存在，求几的取值范围；若不存在，说明理由.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和

分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力.

（1）.证明：假设存在一个实数A,使｛a n｝是等比数列，则有a；=a i a3，即(2 k -3)2 = X(4 A _4)，故一几2 _4几+9 =_4 ^2 _4x，贝J 9=0 矛盾.故｛a n｝不是等

3 9 9 9

比数列.

⑵.解：因

b n卡=(—1严[a n+—3(n—1) + I1] = (—1严(-a n -In+ 14) -3n+I1) =

3 3

又b,=_（A+18），故当几=—18 , b n =0（n**），此时｛b n｝不是等比数列：当

入18时，b,=-（A +18）H0，由上可知0工0，故如^二-2（ n壬N*）.故当3

兀—18时，数列｛0｝是以-仏+18）为首项，-1为公比的等比数列.

3

⑶.由⑵知，当A =-18 , b n =0 , S n=0，不满足题目要求.故几18，故

2 3 2

b n =-仏+18)(--)2，于是S.=--(兀+18)[1-(-；)n].要使a

3 5 3 -机,

b n

f(1) = 5, f(n )=1 _(_2)的最小值为f(2) =5，于是，由①式得,

3 3 9

9 3 3b 丄J E. t

—a < —(几+18) V —, ^故—b —18 吒入 < —3a —18，当 a v b 兰3a 日寸，由 5 5 5 4—18>£a-18知，不存在实数满足题目要求；当bA3a存在实数A,使得对任意正整数n,都有acS nC b，且A的取值范围是(_b-18,-3a-18).

(10上海)已知数列｛a n｝的前・n项和为S n，且S n=n -5a^85 , n邛* .

(1).证明：｛anJ是等比数列;

⑵.求数列｛S｝的通项公式，并求出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由. 解析：⑴.当n=1 时，a^ =-14 ;当n 二2时，a. = S n --5a n+5a n_i+1，故

為“冷乩-1)，又卄仁-1"。，故数列｛昂-1｝是等比数列;

⑵.由⑴知：a n-1=-15(5)n」，得a n =1-15(5)2，从而

6 6

Sn=75(|)n r n-90( nW)；解不等式S^ S^^，得(|)^^ <| ,

6 6 5

n :>1+l。g|右M4.9，当n >15时，数列｛S n｝单调递增；同理可得，当n<15时, 数列｛S n｝单调递减；故当n =15时，S n取得最小值.

已知数列｛a n｝的前・n项和为S n , a1 =1，且S n =S n_1 +a n」+寸，数列｛b n｝满足: 119 」

d 一〒，且轴弋厂呵询.

⑴求｛a n｝的通项公式;

⑵.求证：数列｛b n -a n｝为等比数列;